Лагранжа решения

Метод Эйлера — Лагранжа решения [c.15]

Пусть задача математического описания движения жидкости решена в переменных Лагранжа и требуется записать решение в переменных Эйлера. В переменных Лагранжа решение имеет вид [c.10]

Исследование Ковалевской показало, что в ее. случае, как й в случаях Эйлера и Лагранжа, решения действительно однозначны. Следовательно, необходимые условия являются и достаточными. [c.163]

Рассмотрим решение прямой задачи оптимизации распределения надежностей элементов [26]. Для этого воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Составим вспомогательную функцию [c.80]

Для определения максимального значения аддитивного критерия F(V, N) с учетом ограничения на массу автомата воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. В результате решения задачи оптимизации получаем =100 м/с, =0,445 м, Ngp =65. На рис. 1.2 данному решению соответствует точка В. [c.20]

Решение. Вычисляем функцию Лагранжа. Имеем [c.417]

Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся определяется число уравнений Лагранжа только числом степеней свободы системы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений (127) входят обобщенные активные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей. [c.378]

Задача 176. Решить с помощью уравнений Лагранжа задачу 143 (см. 124). Решение. Механизм имеет одну степень свободы (см. рис. 314) и его положение определяется координатой ф (перемещении элементарная работа бЛх будет иметь выражение, совпадающее с выражением dA в задаче 143, если только заменить в нем <1ф на бф. Следовательно, [c.381]

Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем координату х, определяющую относительное движение шарика, и угол поворота ф трубки. Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид [c.381]

Решение. Система имеет две степени свободы (независимы перемещение катка относительно тележки и перемещение самой тележки). В качестве обобщенных координат выберем координату х тележки и координату s центра масс С катка относительно тележки. Тогда уравнения Лагранжа для системы будут [c.382]

Решение. У системы две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат угол <р поворота барабана и удлинение х пружины ( i=уравнения Лагранжа будут [c.383]

Такие решения с применением систем уравнений Лагранжа второго рода являются приближенными не только из-за численных методов решения дифференциальных уравнений, но и потому, что трение в кинематических парах здесь можно оценить лишь весьма приближенно, а упругость звеньев и зазоры в кинематических парах не учитываются вообще. Поэтому при разработке опытных образцов ПР применяют экспериментальные методы динамического исследования ПР, позволяющие с помощью соответствующих датчиков и аппаратуры записать осциллограммы перемещений, скоростей и ускорений звеньев и опытным путем учесть как неточности теоретического расчета, так и влияние ранее неучтенных факторов. [c.338]

Для решения вариационной задачи 1 воспользуемся методом множителей Лагранжа. Составим сумму [c.71]

Снова для решения задачи используем метод Лагранжа. Составим сумму [c.152]

Решение. Примем за обобщенную координату системы вертикальное отклонение г груза от положения покоя (рис. 272, б). Рассматриваемая система находится под действием консервативных сил — сил тяжести и силы упругости. Воспользуемся уравнением Лагранжа в виде (126.1) [c.353]

Решение. Для свободной механической системы, движущейся по инерции, функция Лагранжа имеет следующее выражение [c.377]

Решение. Для получения дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа II рода для консервативных систем [c.358]

Решение. Положение данного механизма вполне определяется одним параметром —углом ф поворота водила, который и принимаем за обобщенную координату. В соответствии с этим в данной задаче имеем одно уравнение Лагранжа [c.401]

Решение. За обобщенную координату данной системы с одной степенью свободы принимаем угол а отклонения стержня h АВ от горизонтали, отсчитываемый от оси д против часовой стрелки, тогда имеем уравнение Лагранжа [c.406]

О существовании и единственности решений по начальным данным Если на этот вопрос будет получен положительный ответ, то это будет означать, что уравнения Лагранжа удовлетворяют тем естественным требованиям детерминированности движения, [c.137]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить — они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений. [c.207]

С другой стороны, выпуская движение из точки a = (q, q ) в силу условия теоремы получаем, что обязательно существует такой конечный момент времени (, для которого d (/)/Л < О (здесь ( ) — значение энергии в движении Р ). Поэтому Е (t) а Е . Следовательно, значения энергии в движениях Р и в движении Р в момент времени t отличаются на конечную величину Е — Е ), несмотря на то, что начальные точки (<7 qs) и q, q ) этих движений сколь угодно близки, а это противоречит теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение >0 ошибочно. Теорема доказана. [c.232]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Пусть в старых координатах динамическая система имеет лагранжиан L q, dq/dt, i), и пусть qj tj q , 4 ), / =1, п,— решение соответствующих уравнений Лагранжа, В пространстве q, t эти решения определяют семейство кривых. В пространстве q, t им соответствует новое семейство кривых. [c.280]

Поставим теперь следующие вопросы всегда ли существует новый лагранжиан L (q, dq jdt, / ), такой, чтобы построенное указанным способом новое семейство кривых являлось решением новых уравнений Лагранжа с этим лагранжианом L [c.280]

Эти уравнения называются уравнениями Я -оби. Легко видеть, что каждое из уравнений Якоби имеет второй порядок, что общий порядок системы уравнений Якоби равен 2п — 2 и что подобно уравнениям Лагранжа эта система разрешима относительно старших производных и, следовательно, ири обычных предположениях решение полностью определяется начальными данными. [c.329]

Вычисление суммы работ сил, приложенных к материальной точке либо к системе материальных точек, является одним из этапов решения задач, в которых применяется теорема об изменении кинетической энергии, либо составляются уравнения Лагранжа второго рода (см. ниже, главу X, 6). [c.276]

Вычисление кинетической энергии системы материальных точек является одним из этапов решения задач при использовании теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек, либо при составлении уравнений Лагранжа второго рода (см. ниже, главу X, 6), либо при вычислении потери кинетической энергии при ударе (см. ниже, главу XII, 1). [c.285]

Вычисление потенциальной энергии системы материальных точек является одним из этапов решения задач при использовании теоремы об изменении кинетической энергии, уравнений Лагранжа второго рода и т. д. [c.331]

Из общего уравнения динамики вытекают дифференциальные уравнения движения системы материальных точек, в которые не входят силы реакций идеальных связей. Возможно решение как прямых (определение сил по заданному движению), так и обратных задач (определение движения по заданным силам) динамики. При решении обратных задач приходится интегрировать составленную систему дифференциальных уравнений движения. Заметим, что использование общего уравнения динамики является формальным методом составления дифференциальных уравнений движения системы. Этот метод является менее удобным и менее эффективным по сравнению с применением уравнений Лагранжа второго рода (читатель сможет в этом убедиться, ознакомившись с содержанием следующего параграфа). [c.414]

Данную задачу, подобно всем предыдущим задачам этого параграфа, можно решить с помощью уравнений Лагранжа второго рода. Это решение приведено в задаче 414. Там же дана сравнительная оценка обоих методов решения задачи. [c.442]

Вычисление обобщенных сил материальной системы является одним из существенных этапов решения задач с помощью уравнений Лагранжа второго рода. [c.455]

Во втором мемуаре ) Sur la for e des ressorts plies ( 0 силе плоских пружин ) Лагранж исследует изгиб полосы постоянного сечения, жестко заделанной одним концом и загруженной на другом конце. Он вводит обычное допущение о том, что кривизна пропорциональна изгибающему моменту, и обсуждает несколько частных случаев, могущих представить известный интерес для теории расчета плоских пружин, подобных тем, которые применяются в карманных часах. Форма предложенного Лагранжем решения слишком сложна для практического использования. [c.54]

Согласно методу Лагранжа решение уравнений (4.3.01) отыскивается в том же виде (4.3.04), что и решение невозмущенной системы, лииль с той разницей, что Q, i, со, р, е, т рассматриваются в формулах (4.3.04) не как гюстоянные, а как функции времени, определяемые таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения возмущенного движения (4.3.01). [c.333]

В XVIII в. начинается интенсивное развитие в механике аналитических методов, т. е. методов,- основанных на применении дифференциального и интегрального исчислений. Методы решения задач динамики точки и твердого тела путем составления и интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений были разработаны великим математиком и механиком Л. Эйлером (1707—1783). Из других исследований в этой области наибольшее значение для развития механики имели труды выдающихся французских ученых Ж. Даламбера (1717—1783), предложившего свой известный принцип решения зйдач динамики, и Ж. Лагранжа (1736—1813), разработавшего общий аналитический метод решения задач динамики на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. В настоящее время аналитические методы решения задач являются в динамике основными. [c.7]

Решение. Маятник имеет одну степень свободы и его Лоложение определяется углом ф (см. рис. 324). Следовательно, qi=сила тяжести Р и 6/li= (—Ра sin ф)бф, где а=ОС. Поэтому Qi = —Pa sin ф. Кинетическая энергия маятника T=Jo( l i или T=Joобобщенную скорость, а (о=ф). Уравнение Лагранжа, так как 91=Ф, имеет вид [c.380]

Рассмотрим теперь решение задач 2 и 4 при выполнении условия р ф) > <ро(ф). При решении задачи 2, как уже отмечалось в 3.3.1, постоянные величины а, д, и у (р определяются уравнениями (3.13)-(3.15). Множители Лагранжа Д2, / з. М определяются из условий (2.7)-(2.9). Интетрируя уравнение (2.11), получаем на экстремали ЬЛ [c.103]

Уравнения Лагранжа второго рода сыграли рси1ающую роль в развитии динамики системы и шпрохо используются для решения многих задач механики. [c.343]

Решение. В одиородном поле силы тяжести материальная точка движется в вертикальной плоскости, содержащей вектор начальной скорости va. Выберем за начало коордннат точку А, ось х направим горизонтально в сторону движения точки, а ось (/ — вертикально вверх. Полная механическая энергия материальной точки при ее движении в однородном поле силы тяжести остается постоянной. Для определения траектории точки воспользуемся принципом стационарного действия Мопертюи—Лагранжа. [c.411]

При решении практических задач этот подход, как правило, непригоден из-за отсутствия явных функциональных выражений ограничений-равенств. ГТоэтому обычно применяют второй подход, использующий классический метод множителей Лагранжа. Он требует построения функций Лагранжа [c.252]

Если выполняются обычные условия единственности решений уравнений Лагранжа, то в стационарном случае более удобн(э1е условия равновесия определяет следующая [c.209]

Езольшое достоинство уравнений Лагранжа заключается в том. что при наличии идеальных и голономных связей в них не входят силы реакций связей. (При применении других методов решения задач приходится в ходе решения исключать силы реакций связей из системы составленных уравнений.) [c.473]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...