Три точки Лагранжа

Три точки Лагранжа. Лагранж указал на то, что в ряде случаев удается получить точные решения уравнений движения. В частности, имеются две задачи, в которых расстояния ri, Гг, Гз сохраняют постоянные значения в течение всего времени движения. В первой из этих задач частицы располагаются в вершинах треугольника постоянного размера и постоянной формы, а во второй задаче они располагаются вдоль одной прямой. [c.576]

Чтобы установить существование частных решений общей задачи трех тел, найденных Лагранжем заметим сначала, что если начальные скорости всех трех тел располагаются в плоскости треугольника, образованного начальными положениями этих гел, то три точки, Мо, М), Ма, всегда будут оставаться в этой плоскости, т. е. движение системы будет плоским ). [c.745]

Пример Солнечной системы. В качестве примера рассмотрим случай, когда три точки, массы которых шу, tn-i, mg, взаимно притягиваются друг к другу согласно ньютоновскому закону и движутся каким-либо образом в одной плоскости. Отнесем систему к некоторым прямоугольным осям, тогда живая сила системы и силовая функция будут функциями шести декартовых координат и их производных. Мы можем перемещать начало координат и поворачивать координатные оси вокруг него, не меняя живую силу и силовую функцию. Отсюда следует, что каждая из этих функций не зависит от трех координат, хотя и может зависеть от их производных по времени. Можно, следовательно, модифицировать функцию Лагранжа и сделать ее зависящей только от трех других координат. [c.364]

Существует три значения А, соответствующие трем точкам Лагранжа Lj, и з (см. рис. 5.4), полученным из трех уравнений пятой степени ((5.37) — одно из этих уравнений]. Можно показать, что все три значения удовлетворяют неравенству [c.158]

Возвращаясь к барицентрической системе координат, мы обнаружим, что и в случае треугольного решения Лагранжа, и в решении Эйлера все три точки будут описывать конические сечения с общим фокусом в центре масс. [c.170]

Уравнения Лагранжа для материальной точки. Рассмотрим материальную точку, находящуюся под действием сил. равнодействующую которых обозначим F. Будем определять положение точки какими-нибудь независимыми между собой параметрами любой размерности q,, однозначно определяющими положение точки, которые назовем обобщенными координатами. Число их будет равно числу степеней свободы точки, т. е. для свободной точки их будет три, а для несвободной — две или одна. Тогда декартовы координаты точки, а следовательно, и ее радиус-вектор r = xi- -s)j- - zk можно выразить через параметры и время t, которое может вообще войти в эти соотношения или в результате соответствующего выбора координат qi, или когда на точку наложены нестационарные связи. Допустим для общности, что О [c.452]

Полученная система уравнений движения носит название системы уравнений Лагранжа второго рода. В дальнейшем будет показано, что к такой форме приводятся дифференциальные уравнения для лагранжевых координат произвольной голономной системы материальных точек. В случае движения абсолютно твердого тела первые три обобщенные силы имеют смысл проекций суммарной силы на оси абсолютного репера, а последние три — моментов сил относительно осей е, , е ,, соответственно. [c.453]

Теорема 6.8.1. При —1 < 1 < 2 < 1 в случае Лагранжа-Пуассона существуют только три типа кривых, описываемых точкой г на единичной сфере между ограничивающими параллелями д2 ид. [c.482]

На основании I1) и (2) из (3) вытекают три таких уравнения движения, учг(-тывая, что Ju = J = J = Jу, вследствие того, что в случае Лагранжа эллипсоид инерции тела для точки О есть эллипсоид вращения [c.515]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

В случае движения в потенциальных полях уравнения Лагранжа содержат только лагранжиан системы, вид которого зависит от выбора системы координат, 2. Если поместить начало координат в центре масс Солнечной системы, а координатные оси направить на какие-нибудь три неподвижные звезды, то получится гелиоцентрическая система координат. [c.81]

Теперь можно видеть, что три координаты R являются циклическими, и следовательно, центр масс этих точек либо будет находиться в покое, либо двигаться равномерно. Что касается уравнений движения, определяющих вектор г, то ни одно из них не будет содержать составляющих вектора R или R. Поэтому процесс интегрирования будет здесь особенно простым, и во всех проводимых ниже рассуждениях можно будет опустить первый член лагранжиана. Оставшаяся часть будет тогда такой, как будто мы имеем дело с неподвижным центром силы и с одной движущейся точкой, радиус-вектор которой относительно этого центра равен г, а масса равна [c.73]

Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы Uij не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования, [c.124]

В том случае, когда все три косинуса X, ( ., v равны нулю, приведенные выше два условия всегда сами по себе выполняются, и формулы Лагранжа оказываются всегда правильными. Таков случай координат гг, а, отнесенных к трем взаимно перпендикулярным осям. Действительно, для подобных координат дифференциалы d%, dn, da представляют собою выражения самих виртуальных скоростей движущейся точки, измеренных по направлению этих линий, и дифференциальное уравнение [c.530]

Спроектируем теперь уравнение (91) движения маятника на оси х,у, Z. Так как составляющие реакции / пропорциональны частным производным от левой части уравнения связи (94), то, обозначая через л обычный множитель Лагранжа, мы получим три уравнения [c.157]

Много теоретических затруднений может встретиться при попытке согласовать понятия пространства конфигураций и фазового пространства. В этом вопросе можно достичь некоторой ясности, если учесть то обстоятельство, что траектория в пространстве конфигураций является существенно более произвольной, чем в фазовом пространстве. Определение вида функции Лагранжа (что эквивалентно установлению уравнений движения) является отправным пунктом в обоих случаях, но не устанавливает траекторию. Если, кроме функции Лагранжа, задать одну точку в фазовом пространстве, то вся траектория в нем определяется, так как, выбирая одну точку, в действительности задают шесть начальных значений для координат каждой материальной точки. С другой стороны, отдельная точка в пространстве конфигураций дает только три начальных значения для каждой материальной точки, и нужно указать другие данные, чтобы определить траекторию. Иначе говоря, если уравнения движения определены, то в пространстве конфигураций через любую точку проходит бесчисленное множество траекторий, а в фазовом пространстве возможна только одна траектория. [c.59]

Значение давления Р в точке t , I) определим с помощью полинома Лагранжа, записав его относительно Р ж w ш используя любые три узловые точки при t = t , для запертой трубы [c.102]

Ю. Д. Соколов изучил также траектории общего соударения в обобщенной задаче трех тел. Ему принадлежит первое исследование трансцендентного уравнения Эйлера — Лагранжа, связывающего отношения взаимных расстояний с отношением масс в обобщенном случае. Он доказал, что при стремлении времени к моменту общего соударения три тела, вообще говоря, стремятся образовать предельную конфигурацию, соответствующую известным частным случаям Эйлера—Лагранжа, а также указал исключения из общего правила. Соколов исследовал пространственное симметрическое движение и, в частности, траектории общего соударения, с коллинеарной (на оси вращения) предельной конфигурацией. Он изучил также траектории обобщенной задачи трех тел в случае неограниченного расхождения точек системы для плоского и пространственного движения в течение конечного интервала времени. [c.114]

Так как три постоянные интегрирования можно рассматривать как координаты частицы жидкости в некоторый начальный момент времени, то мы опять приходим к уравнениям Лагранжа (1). [c.50]

Следует отметить три самых полезных свойства функций тока Лагранжа и Стокса. Во-первых, они описывают в алгебраической форме геометрию течения. Во-вторых, их пространственные производные могут быть использованы для определения компонентов вектора скорости в любой точке. В-третьих, поскольку при сложении двух потоков вектор скорости результирующего потока является векторной суммой составляющих скоростей, соответствующие функции тока, являясь скалярными величинами, могут просто складываться алгебраически. [c.42]

Уравнение / х, у, г, /)=0 связывает координаты точки и является уравнением связи. Три уравнения движения вместе с уравнением связи полностью определяют движение материальной точки. Сами уравнения называются уравнениями Лагранжа с множителями. [c.270]

Необходимо остановиться и на некоторых особенностях метода Лагранжа, создающих подчас дополнительные трудности. Уравнения Лагранжа получены для систем с идеальными, удерживающими и голономными связями. Это не означает, что уравнения Лагранжа нельзя использовать для систем с неудерживающими или неидеальными связями. Но если для системы с удерживающими и идеальными связями уравнения Лагранжа полностью решают задачу об определении закона движения, то для системы с неудерживающими или неидеальными связями одних уравнений Лагранжа, составленных для независимых обобщенных координат, может оказаться недостаточно. Поясним сказанное на задаче 19.2 19.3, рассмотрев три случая. [c.443]

Три точки Лагранжа. Применим теорему 30.2 к исследованию равновесного решения, в котором три частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника и находятся в нокое. Уравнения движения возьмем в иреобразованной форме 29.8. Собственные значения линеари- овапной задачи о возмущенном движении найдем из уравнения [c.611]

При реализации подобной методики целесообразнее пользоваться функционелом в виде суммы слагаемых (9.12), чем вводить условия (9.5) уже после построения глобальной матрицы жесткости [к] и переходить к расширенной матрице (9.8). Последнее неудо(3-но тем, что матрица (9.8) теряет свою диагональную структуру и Для ее восстановления требуется проводить перенумерацию неизвестные. Если же использовать представление (9.12) и считать глобальными степенями свободы узловые перемещения и три множителя Лагранжа на сторонах, то можно получить матрицу жесткости эле-1 ента (вид ее будет подобен (9.8)), которую обычным образом разносим по глобальной мйтрице в соответствии с выбранной ну- ерацией перемещений. [c.113]

Тогда получим следующую интерпол<вдаонную формулу Лагранжа йо три точкам [c.20]

Для того чтобы полностью определить закон движения твердого тела, системы динамических уравнений Эйлера недостаточно. Эту систему следует допо.пнить кинематическими соотношениями ( 6.2). В целом получается система дифференциальных уравнений, исследование свойств решения которой часто сопряжено со значительными трудностями. Ниже будут рассмотрены три случая, когда для этой системы аналитически может быть построено общее решение. Это — случай Эйлера, когда момент внешних сил отсутствует, а также случаи Лагранжа-Пуассона и Ковалевской, когда движение вокруг неподвижной точки происходит под действием параллельного поля силы тяжести. [c.466]

Так как единственной заданной силой является вес Mg, приложенный в G, то существует силовая функция U = Mgri. Применяя последовательно уравнения Лагранжа к параметрам , т), б и сокращая на М, получим три уравнения движения [c.311]

Три материальные точки Р, Р,, Р с массами т, т , движутся по плоскости точки Р и Р связаны с точкой Р двумя твердыми стержнями,. могущими свободно вращаться вокруг Р, длиной 1 . Мы имеем здесь, очевидно, голономную систему с четырьмя степенями свободы. Определить жквую силу системы Т, пренебрегая массой стержней и принимая за параметры Лагранжа координаты х, у точки Р относительно какой-нибудь декартовой системы Оху в плоскости движения и углы 01. 02. образованные прямыми PPi и РР с осью Ох. [c.251]

Различные типы уравнений движения свободного твёрдого тела. Подобно тому, как кинетическая энергия свободного твёрдого тела может быть пре дставлена в той или другой форме, точно так же и уравнения движения могут принимать различный вид. Главных тигюв уравнений движения три, соответствен числу форм кинетической энергии, изложенных выше уравнения движения, отнесённые к неподвижным осям,-уравнения движения, отнесённые к осям, неизменно связанным с телом, и урав 1ения движения в независимых координатах (уравнения Лагранжа второго рода). Твёрдое тело, не стеснённое никакими связями, имеет Qie Tb степеней свободы (см. примеры 76 на стр. 273 и 97 на стр. 324) [c.500]

Так как / есть известная функция от х, у, z, р, то это есть линейное уравнение в частных производных относительно р, содержащее три независимых переменных х, у, г таким образом предложенная задача сводится к тому, чтобы найти для этого линейного уравнения с частными производными одно решение p — S> (х, у, z, а) с одной произвольной постоянной а. Го обстоятельство, что требуется знать только odno такое решение, было отмечено Лагранжем. [c.149]

Ньютон, стоя на плечах гигантов , дал в Началах , в первых же следствиях из трех основных законов, два существенных обобщения следствие III гласит, что количество движения системы тел не изменяется при взаимодействии этих тел, а из следствия IV мы узнаем, что общий центр тяжести двух или большего числа тел не изменяет своего состояния движения или покоя при взаимодействии этих тел, и, следовательно, без внешних воздействий на систему и препятствий он либо остается в покое, либо движется прямолинейно и равномерно. Но в рассуждениях, которыми Ньютон обосновывает свои следствия, ничто не наводит читателя на мысль, что эти два утверждения равнозначны. В дальнейшем более наглядная формулировка, относящаяся к центру тяжести, была долгое время на первом плане. Далам-бер, по мнению Лагранжа, значительно расширил принцип центра тяжести по сравнению с Ньютоном, показав, что когда тела находятся под действием постоянных ускоряюпщх сил, причем все они (силы) направлены по параллельным линиям или по линиям, сходящимся в одной точке, и действуют пропорционально расстояниям, то центр тяжести должен описывать ту же кривую, как если бы тела были свободны . Окончательная формулировка принадлежит самому Лагранжу, который, вслед за похвалою в адрес Да-ламбера, пишет Можно еще добавить, что движение этой точки (центра тяжести системы) вообще остается таким же, как если бы все силы тел, каковы бы они ни были, были приложены в этой точке с сохранением за каждой силой ее направления Ив заключение Лагранж указывает, что принцип служит для определения движения центра тяжести независимо от соответствующих движений тел и что он, таким образом, может дать три конеч- [c.124]

Лагранж в историческом обзоре, которым он начинает Динамику , указывал, что закон площадей имеет место для любой системы материальных точек, взаимодействующих любым обра ом и находящихся под действием внешних сил, направленных к неподвижному центру, независимо от того, будет ли система совершенно свободна или же она будет двигаться вокруг центра сил. Лагранж подчеркнул при этом, что, принимая три взаимно перпендикулярных плоскости в качестве плоскостей проекций, мы получаем три закона площадей в виде дифференциальных уравнений первого порядка, свя- зываюпщх время и координаты точек системы, и в этих уравнениях собст-венно, и заключается природа изложенного выше принципа . [c.127]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

В историческом введении к разделу Статика трактата Аналитическая механика (1788) Ж. Л. Лагранж (1736—1813) выделяет три главные линии развития статики от античности до XVIII в. принцип рычага, принцип сложения и разложения сил и принцип виртуальных скоростей. Кроме того, упоминается и еще один принцип статики, который представляется Лагранжу естественным основанием для принципа виртуальных скоростей , как бы простейшим и самоочевидным случаем последнего. Речь идет о принципе блоков или полиспастов. После краткого, но достаточно глубокого исторического анализа сравнительной ценности и достоинств каждого направления статики, связанного с тем ли иным принципом, Лагранж отдает предпочтение принципу вир туальных скоростей [4, т. 1, с. 43] И вообще, мне кажется, можно сказать наперед, что все общие принципы, которые еще могли бы быть открыты в учении о равновесии, представляли бы собой не что иное, как тот же принцип виртуальных скоростей, рассматриваемый с иной точки зрения... . [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...