Задача п тел ограниченная круговая плоская

Предпринимаются попытки решения пространственных задач теории трещин в пределах упругости. В частности, решен целый ряд задач для дискообразных трещин [53—56], для плоских параболических трещин [57], для центральной сквозной трещины в брусе [58]. Кроме того, в пределах упругости исследованы системы трещин (например, концентрических, расположенных в одной плоскости и ограниченных круговыми контурами [59]. [c.57]

Теорема 3 применима ко многим задачам гамильтоновой механики. Так, например, плоская ограниченная круговая задача трех тел не допускает нетривиальной группы симметрий в виде ряда по степеням малого параметра /2 с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (ср. с п. 1 2 параметр /2 равен отношению массы Юпитера к массе Солнца). [c.194]

С теорией устойчивости (в смысле Ляпунова) тесно связано также отдельное течение в качественном направлении, посвященное изучению форм и свойств траекторий в задаче с двумя степенями свободы, типа плоской ограниченной круговой задачи трех тел (В. В. Степанов, Н. Д. Моисеев и его ученики). [c.344]

В своей теории движения Луны Хилл исходил из уравне ний движения плоской ограниченной круговой задачи трех тел, для которой, считая расстояние между двумя конечными массами весьма большим, знаменитый астроном вывел удобные приближенные уравнения, частное периодическое решение которых затем и разыскивал. [c.272]

Плоская ограниченная круговая задача трех тел описывается системой дифференциальных уравнений четвертого порядка [c.534]

Для плоского варианта ограниченной круговой задачи трех тел имеем следующие уравнения. [c.544]

Понижение порядка системы уравнений плоской ограниченной круговой задачи трех тел [c.547]

Основываясь па этом критерии, Н. Д. Моисеев [28], [29] установил существование четырех семейств периодических решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел Солнце — Юпитер — астероид. С помощью критерия Уиттекера И. Д. Моисеев нашел кольцевые области, в которых располагаются периодические решения. И. Ф. Рейн разработала [103] метод нахождения периода периодического решения в ограниченной задаче трех тел, аналитическая структура которого неизвестна. В теории движения ИСЗ критерий Уиттекера был применен В. Г. Деминым [31]. [c.797]

Теорема о неприводимости уравнения Гамильтона — Якоби для плоской ограниченной круговой задачи трех тел к уравнению типа Штеккеля [c.817]

Отметим существенное отличие в поведении условно-периодических решений в окрестности 4 и .5. В плоском случае любая точка из достаточно малой окрестности L и 5 при всех значениях ц, удовлетворяющих условию 27ц(1 —ц)< 1, кроме двух ([X = Ц1, [Х = Х2), порождает условно-периодическое решение. Другими словами, точки 4 и в устойчивы в смысле Ляпунова. В пространственной задаче большинство точек (но не все) из достаточно малой окрестности точек либрации порождают условно-периодические решения. Неясно, имеют ли условно-периодический характер решения, порождаемые точками, принадлежащими множеству малой (в смысле Лебега) меры, поэтому говорить об устойчивости по Ляпунову (или о неустойчивости) треугольных точек либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел преждевременно. [c.845]

Н. Д. Моисеевым построены [28], [29] области сплошной устойчивости и неустойчивости в плоской ограниченной круговой задаче трех тел с помощью критерия Уиттекера. [c.846]

Существенные результаты по устойчивости решений гамильтоновых систем, к которым относится и ограниченная круговая задача трех тел (плоская и пространственная), принадлежат [c.846]

В ограниченной задаче движение двух тел с конечными массами Ш], и ГП2 относительно их барицентра считают известным, требуется определить движение тела с бесконечно малой массой тпъ. Для определенности будем полагать, что тъ Ш2<-гп. Если тела гп ж М2 с конечными массами движутся относительно своего барицентра по круговым орбитам, то имеет место круговая ограниченная задача трех тел. Эта задача может быть плоской, если все три тела движутся в инерциальном пространстве в одной плоскости. Таково, например, движение КА в плоскости эклиптики под воздействием Солнца и Земли, Пространственная задача возникает в том случае, когда плоскость движения тела бесконечно малой массы тъ не совпадает с плоскостью движения тел Ш], и М2. Примером пространственной круговой ограниченной задачи трех тел может служить движение КА под воздействием Земли и Луны при условии, что плоскость его движения не совпадает с плоскостью орбиты Луны (эта орбита предполагается круговой). [c.208]

Таким образом, общая задача трех тел, описываемая девятью дифференциальными уравнениями второго порядка, сводится к трем дифференциальным уравнениям второго порядка, т. е. порядок системы понижается от 18 до 6. Если задачу ограничить еще больше, потребовав, чтобы третье тело двигалось в плоскости орбит двух массивных тел, то останется только два уравнения второго порядка, так что система будет иметь четвертый порядок. Такой частный случай называется плоской ограниченной круговой задачей трех тел. Из приведенных выше рассуждений становится понятным, почему пространственной и плоской ограниченной круговой задаче трех тел было посвящено большое число аналитических и численных исследований, хотя при такой постановке задачи мы волей-неволей лишаем себя воз.можности использовать десять известных интегралов движения. Однако при этом можно найти новый интеграл (впервые полученный Якоби), который будет полезен при исследовании поведения малой частицы. [c.146]

Точка в фазовом пространстве определяет состояние системы в данный момент времени t. С течением времени точка в фазовом пространстве описывает траекторию, которую не следует путать с физической траекторией какой-либо частицы в реальном пространстве. Фазовая траектория определяется уравнениями движения и начальными условиями. В случае плоской ограниченной круговой задачи трех тел начальные условия представлены значениями Хо, Уо, Хо, Уо (в момент /о), между которыми в силу интеграла Якоби существует связь [c.160]

ИЗ двух конечных тел к массе всей системы). Поиск семейств периодических орбит выполняется при данном значении ц,. Теоретически, для того чтобы доказать существование периодических орбит в ограниченной задаче, можно провести исследование при ,1 = О, а затем аналитически продолжить полученные результаты в область положительных ц. Такой подход, примененный впервые Пуанкаре, использовался и многими другими исследователями. Пуанкаре в своей работе, основанной на методе аналитического продолжения, разделил периодические орбиты ограниченной задачи на три класса. Орбиты первого класса рождаются из круговых орбит задачи двух тел (е = О, t = 0), орбиты второго класса рождаются из эллиптических орбит задачи двух тел (е О, t = = 0). Периодические орбиты третьего класса также рождаются из орбит задачи двух тел, но при отличном от нуля наклонении орбиты бесконечно малой частицы к плоскости движения основных тел е = 0, i фО). Другими словами, первые два класса орбит относятся к плоской ограниченной круговой задаче, а третий класс относится к пространственной ограниченной круговой задаче. [c.161]

Наличие функции Грина для пространства с плоским круговым разрезом автоматически приводит к решению смешанной задачи для полупространства, когда в области, совпадающей с разрезом, задано значение гармонической функции, а на оставшейся части границы ее нормальная производная равна нулю. Естественно, что последнее ограничение может быть легко устранено преобразованием исходной краевой задачи при наложении частного решения задачи Неймана для всего полупространства. [c.110]

При решении плоской задачи встречаются тела, ограниченные поверхностями кругового цилиндра и радиально расходящимися плоскостями. В этих случаях переход от декартовой системы координат к полярной значительно упрощает решение. [c.81]

Пример 1 (Ограниченная задача ТРЕХ ТЕЛ (см. п. 124)). Пусть точка Р малой массы движется под действием притяжения двух точек S и J конечных масс, не оказывая влияния на движение последних. Будем считать, что точка J движется относительно точки S по круговой орбите, а точка Р движется в плоскости этой орбиты (т. е. рассматривается так на- Р с. 138 зываемая плоская круговая ограниченная задача трех тел). [c.325]

В начале данной главы получены сингулярные интегральные уравнения первой основной задачи плоской теории упругости для кольцевой пластины с трещинами, ограниченной внутренним круговым и произвольным внешним контурами. В параграфе 3 подробно рассмотрено круговое кольцо с краевыми радиальными трещинами. Ниже, пользуясь этим же приемом, изучим упругое равновесие эллиптической пластины с одной или двумя радиальными трещинами, выходящими на внутреннюю круговую границу, при действии сосредоточенных сил на замкнутых граничных контурах. [c.200]

Этот вариант ограниченной задачи трех тел называется ограниченной плоской круговой задачей трех тел, К этой задаче сводится, например, изучение движения космической ракеты под воздействием Земли и Солнца в случае, когда орбита ракеты находится в плоскости эклиптики. [c.229]

В ближайших двух параграфах мы сделаем некоторые выводы из уравнения (7.3.8) для ограниченной плоской круговой задачи трех тел. Для простоты будем полагать, что нами выбрана каноническая система единиц, так что [c.244]

D, а В преобразовании Крылова — Боголюбова вида (3.60) но будет отсутствовать. Чтобы преобразование Крылова — Боголюбова давало асимптотические представления для решения нервоначальной системы (62), необходимо, как неоднократно указывалось раньше, решить усредненную систему (70). Моиаю доказать [8, 124], что усредненные по Делоне — Хиллу уравнения плоской ограниченной круговой задачи трех тел интегрируемы в квадратурах, т. е. известна полная система ее первых интегралов (система уравнений имеет четвертый порядок). То же самое можно утверждать и относительно усредненных но Фату и Моисееву уравнений плоской ограниченной круговой задачи трех тел. Что касается пространственного случая ограниченной круговой задачи трех тел, то известно, что только схема Гаусса (см. (35)) приводит к интегрируемой задаче. Первые интегралы усредненных уравнений можно найти в [7, 8, 124]. [c.148]

В. А. Приходько [127] решил эту задачу для соизмеримости А /сг = 2 5, характерной для группы астероидов Минервы. В случае плоского варианта (t = Q = 0) ограниченной круговой задачи трех тел усредненная возмущающая функция после выполнения процедуры интегрирования по формуле (67) принимает вид [c.150]

Этот результат представляет собой случай изгиба пластинок, исиользоваиный впоследствии А. Надаи для экспериментального подтверждения приближенной теории изгиба ), предложенной Кирхгоффом. О другой интересной краевой задаче упоминается н Натуральной философии Томсона—Тэйта. Здесь сообщается по этому поводу До сих пор, к сожалению, математикам не удалось решить, а возможно, что они даже и не пытались решать, прекрасную задачу об изгибании широкой, весьма тонкой полосы (подобной, например, часовой пружине) в круговое кольцо ). Лэмб исследовал антикластический изгиб по краю тонкой полосы ) и достиг большого прогресса в решении задачи о балке ). Рассматривая бесконечно длинную балку узкого прямоугольного сечения, нагруженную через равные интервалы равными сосредоточенными силами, действующими поочередно вверх и вниз, он упростил решение двумерной задачи а для некоторых случаев получил уравнения кривых прогиба. Таким путем было показано, что элементарная теория изгиба Бернулли достаточно точна, если высота сечения балки мала в сравнении с ее длиной. При этом было также показано, что поправка на поперечную силу, даваемая элементарной теорией Рэнкина и Грасхофа, несколько преувеличена и должна быть снижена до 75% от рекомендуемого этой теорией значения. Надлежит упомянуть также и о труде Лэмба, посвященном теории колебаний упругих сфер ) и распространению упругих волн по поверхности полубесконечного тела ), а также в теле, ограниченном двумя плоскими гранями ). Он изложил также и теорию колебаний естественно искривленного стержня ). Особый интерес для инженеров представляет его и Р. В. Саусвелла трактовка колебаний круглого диска ). [c.407]

При изучении распределения напряжений в пластинках, ограниченных прямоугольным контуром, мы пользовались системой прямоугольных координат. В целом ряде дальнейших задач при определении напряжений в пластинках, ограниченных круговым контуром, и в круговых кольцах прямоугольного поперечного сечения является более выгодным применение полярных координат. Рассмотрим, как напишутся уравнения равновесия плоской задачи я уравнение для определения функции напряже- ний в этих координатах. Положение какого-либо бесконечно малого элемента АВСВ (рис. 27), выделенного из пластинки двумя плоскостями ОА и ОС, проходяш,ими через ось 2, и двумя цилиндрическими поверхно- [c.91]

Однако задача Хилла, представляющая собой некоторый предельный случай плоской ограниченной круговой задачи трех тел, имеет интерес не только для теории движения Луны, айв ряде других случаев, например, для некоторых спутников Юпитера, а поэтому, естественно, возник вопрос о применении рядов Хилла — Ляпунова в таких задачах, где параметр т выходит из границ, определенных Ляпуновым. Для седьмого спутника Юпитера, например, т 0,146, что больше предела [c.354]

Задача о движении такого астероида называется ограниченной задачей трех тел. Плоская ограниченная задача трех тел приводит к системе с двуд1я степенями свободы, периодически зависящей от времени, для движения астероида. Если же вдобавок орбита Юпитера круговая, то во вращающейся вместе с ним системе координат для движения астероида получается автономная гамильтонова система с двумя степенями свободы — так называемая плоская ограниченная круговая задача трех тел. [c.383]

Уравнения (9,89) всегда, т, е. каковы бы ни были тела Ti, лишь бы они обладали плоско-осевой симметрией, допускают интеграл, соответствующий классическому интегралу Якобн в круговой плоской ограниченной задаче трех материальных точек. Этот И1пе1 рал, как легко можно установить, имеет вид [c.444]

В ПЛОСКОЙ ограниченной круговой задаче трех тел поверхности нулевой скорости соответствует кривая нулевой скорости (кривая Хилла) [c.535]

Уравпенке Гамильтона — Якоби для плоской ограниченной круговой задачи трех тел в эллиптических переменных и, V (5.2.56) не имеет форму уравнения Штеккеля (10.2.12), поэтому правомерен вопрос о существовании такой замены переменных, которая делала бы возможным такое преобразование. [c.817]

Определение устойчивости по Хиллу. Плоская ограниченная круговая задача трех тел имеет интеграл Якоби (5.2.07). Если постоянная интеграла Якоби С больше С( г) [ (L2) — значение постоянной интеграла Якоби для точки либрации г], то область возможности движения третьего тела [c.832]

Работа [127] полностью исчерпала проблему устойчивости треугольных лагранжевых решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. Б [128] А. П. Маркеев исследовал устойчивость треугольных равновесных решений в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Им доказано, что для большинства начальных условий (в смысле меры Лебега) при всех значениях ц, удовлетворяющих условию (10.3.40), кроме двух значений, ц = Х], ц = хг из совокупности (10.3.43), треугольные точки либрации устойчивы. При ц = [Х1 и ц = 112 имеет место неустойчивость. [c.845]

Пуанкаре в Новых методах [2] доказал, что решения плоской ограниченной круговой задачи трех тел, устойчивые в смысле Хилла (см. 3.03), будут устойчивыми по Пуассону и, следовательно, обладают свойством возвращаемости в любую сколь угодно малую окрестность начальной точки. [c.846]

Под ограниченной задачей автор поиимает плоскую ограниченпуи круговую задачу трех тел. Прим. перев.) [c.47]

А. М. Леонтович [1] доказал устойчивость периодических лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел плоской и круговой). [c.97]

Пример 10. Рассмотрим плоскую ограниченную круговую задачу трех тел (гл. 2, 5). Массу Юпитера обозначим е и будем считать малой по сравнению с массой Солнца. В этой системе две с половиной степени свободы (две степени свободы плюс явная периодическая зависимость от времени). Переходя в рапиомерно вращающуюся барицентрическую" систему коор-динаг, одна из осей которой направлена на Юпитер, а другая [c.182]

Пример 18 (Устойчивость треугольных точек либрации)- Плоская ограниченная круговая задача трех тел во вращающейся системе координат примера 10 имеет две степени свободы. Треугольные тояки либрации —ее положения равновесия [94]. Эти равновесия, как было известно еще Лагранжу, устойчивы в линейном приближении, если 1<Ц1== [c.212]

Устойчивость плоских решений двукратноосредненной ограниченной круговой задачи тре.< тел. Письма в Астрон. ж., 1975, /, № 10, 41—45 [c.296]

Важный шаг в задаче об устойчивости точек либрации (в плоской ограниченной круговой задаче) был сделан в 1959 году Литл-вудом [152, 153]. Он показал, что при начальном возмущении порядка 8 отклонение тела Р от вершины треугольника будет иметь тот же порядок в течение интервала времени, равного ехр (Л8" / 1 log ej- / ), где величина А зависит только от ц. [c.124]

В заключение отметим некоторые работы, в которых рассмотрено решение плоских задач теории упругости методом Шварца. В [63] рассмоторено решение этой задачи для эксцентрического кругового кольца. В [41] решена задача для бесконечной области, ограниченной двумя круговыми контурами. В [135 рассмотрено решение задачи теории упругости для бесконечной области, ограниченной несколькими эллиптическими контурами. В [81] рассмотрен итерационный метод решения задач теории упругости для тел, содержащих упругие включения, свойства которых отличаются от свойств окружающего их материала (матрицы). Этот метод в основном аналогичен методу Шварца и в определенном смысле является его обобщением. [c.236]

Полагая в уравнениях (17), (18) z ri О, получим дифференциальные уравнения движения спутника в ограниченной плоской круговой задаче трех тел. Так как при г О третье из уравнений (18) превращается в тождество 0 = 0, то рассматриваемая плоская задача описывается системой диффере1щиальпых уравнений четвертого порядка относительно двух вещественных ( зуикций х (/) и у (/). [c.234]

Периодические орбиты. Дифференциальные уравнения ограниченной плоской круговой задачи трех тел могут быть решены для любого данного конечного промежутка времени с любой требуемой точностью, если воспользоваться методами численного интегрирования. Однако получаемые таким образом результаты не позволяют судить о движении непритягивающего спутника вне этого промежутка времени. Исключение составляет тот случай, когда движение периодическое. [c.263]

Движение спутника Р в ограниченной плоской круговой задаче трех тел называют периодическим, если его координаты X t), у f) во вращающейся системе отсчета являются периодическими функциями времени, то есть существует такая константа А, > О, что х t К) = х t) г/ (/ Н- Я) = i/ t) при любом t. Если движение точки Р является периодическим и мы знаем его в течение только одного периода, то тем самым мы знаем движение для любого промежутка времени. В течение последних 70 лет появилось значительное число исследований, посвященных периодическим орбитам ограниченной задачи трех тел. Так, например, группа датских астрономов (Т. Тйле, Э. Стрем-грен и другие) дали полную классификацию периодических решений для так называемой Копенгагенской задачи, то есть для ограниченной плоской круговой задачи трех тел при условии, что массы притягивающих центров Ai и А2 равны (т = /Пз). Аналогичное исследование при = 1 10 выполнил английский астроном Дж. Дарвин в последние годы XIX столетия. Фундаментальные результаты и методы в исследовании периодических орбит принадлежат русскому математику А. М. Ляпунову (1857 — 1918) и французскому математику А. Пуанкаре (1856—1912), [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...