Вариационная задача частная

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

Величины Аз и А4 являются постоянными, а Аг(у) и Х у) — переменными множителями Лагранжа. При постановке частных вариационных задач некоторые из условий задачи 1 могут не использоваться. Например, в задаче о плоском профиле может не задаваться подъемная сила (. В этом случае в сумме (2.20) достаточно положить равным нулю соответствующий множитель Лагранжа. [c.71]

Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U—2А = т п является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. [c.180]

Принимая часть естественных условий вариационной задачи за предварительные условия, мы получим вариационные уравнения или вариационные принципы более частного характера, когда функционал зависит от меньшего числа варьируемых параметров- [c.255]

При изучении проблемы под геометрическим углом зрения естественно ожидать, что уравнению в частных производных Гамильтона может быть придан глубокий геометрический смысл. Для получения такой новой интерпретации начнем с преобразования вариационной задачи (8.9.7) к каноническому виду. Введем импульсы [c.323]

В математической физике методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений, основанные на сведении задач к решению системы алгебраических уравнений, принято называть прямыми методами. Прямые методы широко применяют непосредственно для построения приближенных решений задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных, а также вариационных задач, к которым сводятся соответствующие задачи математической физики. [c.115]

Функционалы, для которых вариационная задача формулируется без дополнительных условий, охватывая все компоненты полей выбранного пространства состояний, будем называть полными функционалами. Полный функционал является наиболее общей энергетической характеристикой данной системы, выраженной через все компоненты выбранного пространства состояний. Общность состоит, во-первых, в том, что из полного функционала могут быть получены все возможные частные функционалы в данном пространстве и, во-вторых, в том, что его достаточно для определения всех компонентов полей, т. е. для полного решения задачи в данном пространстве состояний. [c.29]

Отсюда следует тождественность постановки вариационных задач на основе полных ц частных функционалов. [c.32]

Теория Куранта —Гильберта построена на основе двух общих положений. Первое положение очевидно и состоит в том, что любое из условий стационарности функционала (полного или частного) можно включить в список дополнительных условий, причем полученная вариационная задача эквивалентна исходной. [c.33]

Вывод полных функционалов. Как показано в гл. 1, существует два способа преобразовать частный функционал F u), участвующий в формулировке вариационной задачи (1) с дополнительным условием [c.34]

Изменение экстремальных свойств при выводе частных функционалов из полного. Ограничимся случаем, когда полный функционал имеет седловую точку вариационная задача примет вид (И). [c.45]

Пусть требуется решить вариационную задачу 6Э и) = 0, где Э и)—квадратичный функционал, который зависит от функции и (возможно, векторной) и от ее частных производных [c.177]

В первые годы основное содержание курса было посвящено изложению общей теории движения тел переменной массы (уравнение Мещерского, задачи Циолковского, основные теоремы, уравнения типа Эйлера, Лагранжа и Гамильтона, частные задачи) позднее (с 1945/46 учебного года) в курс были включены вариационные задачи динамики точки переменной массы в беге времени значение оптимальных режимов полета все возрастало, и в шестидесятых годах курс получил сильный крен в эту сторону. Некоторое представление о моих взглядах на механику тел переменной массы и значении этого раздела современной механики для авиа- и ракетостроения можно получить из второй части моего курса теоретической механики. [c.215]

Вариационную задачу (74.1), (74.2) при помощи хорошо известных методов можно сформулировать в виде уравнения в частных производных для экстремальной функции и. Введем с этой целью множители Лагранжа v и Х = Х(х) и запишем формально [c.239]

Для изопериметрических условий частного вида было найдено решение для множителей Лагранжа в виде интегралов, не зависящих от исходных данных задачи. Были получены необходимые условия экстремума в задаче о нахождении поверхности тела с минимальным сопротивлением в случае трехмерного обтекания. Здесь в частном случае также удалось найти интегралы для множителей Лагранжа. В результате оказалось возможным выделить класс решений, для которого количество независимых мых переменных в краевой задаче понижается до двух. При решении некоторых двухмерных вариационных задач предложен итерационный процесс численного решения. [c.243]

Метод конечных разностей основывается на замене уравнения Лапласа набором линейных алгебраических уравнений, связывающих друг с другом значения потенциала в узлах расчетной сетки. Эта связь может быть установлена и другим способом. В методе конечных элементов используется расчетная сетка, состоящая из треугольных элементов переменных размеров, покрывающих всю область, для которой необходимо найти решение уравнения в частных производных, -Затем аппроксимируемая вариация потенциала на каждом таком элементе некоторым образом связывается с положением угловых узлов, и строится функционал (интегральная величина, определенная на множестве функций), минимизация которого по значениям потенциала в узлах треугольников эквивалентна решению уравнения в частных производных [122]. Эти два подхода математически эквивалентны, поэтому любая задача, сформулированная в виде уравнения в частных производных, может быть переформулирована в виде вариационной задачи. Конечно-разностная процедура аппроксимирует решение задачи в форме уравнения [c.154]

Функции, принадлежащие к классу допустимых в нашей вариационной задаче, должны, кроме выполнения граничных условий, иметь непрерывные частные производные первого порядка частные же производные второго порядка, если они и не будут конечными, должны быть таковы, чтобы интеграл работы деформации (5) имел конечное значение. [c.152]

Заметим, что краевые условия, рассмотренные ранее (фиксированные и естественные), являются частными случаями однородных краевых условий вида (53), т. е. в данном параграфе рассмотрен более общий случай краевых условий для вариационной задачи. [c.84]

ЧТО И НОСИТ название Эйлерова дифференциального уравнения, которое имеет особо важное значение для решения некоторых вариационных задач в общем, аналитическом виде. Но если исходить из существования и непрерывности частных производных первого порядка, то приближенное решение задачи в числах (а не в общем аналитическом выражении) может быть получено и без использования этого орудия, что мы сейчас и. покажем на некотором численном примере очень простого характера. [c.241]

Именно первое направление общей проблемы устойчивости оболочек, т. е. проблема определения критических нагрузок, рассмотрено в настоящей книге. Следует отметить, что большинство опубликованных в настоящее время работ по устойчивости оболочек в той или иной мере затрагивает эту проблему. В подавляющем большинстве случаев задача об определении крити-че ской нагрузки для оболочки сводится к отысканию наименьшего собственного значения системы однородных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями или к соответствующей вариационной задаче. [c.6]

В этом разделе были рассмотрены различные задачи минимизации н вариационные задачи, каждой из которых была сопоставлена краевая задача для эллиптического оператора с частными производными (заметим, что, как показывают два последних примера, это соответствие не взаимно однозначно). По этой причине сами эти задачи минимизации и вариационные задачи называются эллиптическими краевыми задачами. На том же основании говорят, что это задачи второго порядка или четвертого порядка, если соответствующее уравнение с частными производными соответственно порядка два и четыре. [c.41]

Вариационная задача Общеупотребительная терминология для задач теории упр гости Частный случай модельной задачи — Д = / н 12, и=0 на Г Название методов конечных элементов, основанных на тех же самых постановках [c.411]

Однако получение разложения (2.14) является сложным, так как для этого требуется решение вариационной задачи, приводящее к системе интегральных уравнений, которая выражает равенство интегралов исходной и аппроксимирующей функций по некоторым семействам прямых, пересекающих область. Интегральные уравнения преобразуются в систему фор-мул, пригодных для определения искомых функций одной переменной методом последовательных приближений. В частных случаях, однако, подбор функции может оказаться практически целесообразным. [c.137]

Возникает вопрос о непосредственном применении вариационных принципов механики для определения закона движения системы материальных точек без интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений движения. Ответ на этот вопрос можно найти в прямых методах вариационного исчисления. Не рассматривая этот вопрос подробно, так как такое рассмотрение выходит за пределы содержания этой книги, остановимся на некоторых частных случаях непосредственного применения принципа Гамильтона — Остроградского к решению задач динамики. [c.210]

Ряд важнейших исследований по аналитическим методам решения задач механики принадлежит знаменитому русскому математику и механику М. В. Остроградскому (1801 —1861). Он установил очень важный вариационный принцип динамики — принцип наименьшего действия, позволяющий сводить изучение движения механических систем к некоторой экстремальной задаче. Этот принцип называется принципом Остроградского — Гамильтона, так как независимо от Остроградского и в несколько менее общем виде он одновременно также был дан английским ученым Гамильтоном (1805— 1865). М. В. Остроградский решил также много частных механических задач в области гидростатики, гидродинамики, теории упругости, теории притяжения и баллистики. [c.16]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Здесь предполагается суммирование по повторяющему индексу 7, а черта над 6z означает вариацию z для неварьированных аргументов х, у. Интеграл по контуру С в формуле (4.13) отвечает классическому выран еыию вариации для вариационной задачи с частными производными при переменной области интегрирования. Появление интеграла по области D обусловлено зависимостью подынтегрального выражения в (4.12) от контура области интегрирования. [c.44]

При составлении уравнений в методе Бубнова—Галеркина никакие связи с вариационными задачами вообще говоря не используются, поэтому этот метод является универсальным. Он может быть применен к уравнениям в частных производных различных типов эллиптическим, гиперболическим, параболическим.Однако для вариационных задач метод Бубнова—Галеркина находится в тесном взаимоотношении с методом Ритца, а в ряде случаев эквивалентен последнему в том смысле, что приводит к тому же приближенному решению, но с помощью более простых выкладок. [c.118]

Для г/ = о и So = onst сочетание постановок вариационной задачи на траектории и в сечении t = tf позволило доказать, что траектории, реализующие схемы течения рис. б и г, действительно обеспечивают минимум А. При произвольных г/, sq и Г столь же полного анализа провести не удается, что типично для вариационных задач газовой динамики. Более того, постановка на траектории в общем случае просто не проходит, так как несправедливо решение с Я = о ( простая волна ). Сужаются и возможности перехода к сечению t = tf. С другой стороны, требование отсутствия ударных волн при t < tf указывает на то, чтобы схемы рис. б и г (разумеется, с и onst на 5/ и с криволинейными характеристиками пучков) были проверены на оптимальность для любых г/, sq и Г. Указанная проверка особенно проста в том частном случае схемы рис. 1, г, когда точки d и f совпадают (рис. 1, ). Подобное может произойти при tf > т , где упоминавшееся ранее время определяется в процессе решения. [c.322]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Функционалы, для которых вариационная задача формулируется с дополнительными условиями (опре деляющими подпространство в выбранном простран стае состояний), назовем частными функционалами Частные функционалы получаются из полных пу тем наложения дополнительных условий на некото рые компоненты данного пространства состояний (см 2). Они являются некоторыми энергетическими ха рактеристиками системы в усеченных пространствах Таким образом, в выбранном пространстве состоя ний понятия полного и частного функционалов строго определены и имеют абсолютный характер. При переходе от одного пространства к другому эти понятия становятся относительными. Полный функционал, определенный в некотором пространстве, можно рассматривать как частный в расширенном пространстве он является частным (менее общим) по отношению к полному функционалу в расширенном пространстве. [c.30]

Одной из ключевых и принципиальных проблем динамики систем с движущимися границами и нагрузками была корректная математическая постановка краевых задач в частных производных. Еще со времен С.П. Тимошенко движущуюся нагрузку заменяли некоторой эквивалентной сосредоточенной силой. Однако такой подход был некорректен, и при больших отно сительных скоростях движения нагрузок приводил к неправильным выводам. В результате многолетних поисков была разработана универсальная процедура постановки с амосогласованных задач динамики упругих систем с движущимися по ним объектами на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Возникающие при этом вариационные задачи оказались неклассическими, что потребовало проведения дополнительных разработок по вариационному исчислению. Новыми оказались и получаемые таким путем краевые задачи математической физики. Их принципиальное отличие от классических задач состоит в наличии дополнительного существенно нелинейного краевого условия, описывающего взаимовлияние движущегося объекта и колебаний упругой направляющей. Физический смысл последнего условия состоит в том, что при взаимодействии распределенной системы с движущимся со средоточенным объектом возникают силы вибрационного давления. На существование таких сил впервые обратили внимание еще Рэлей (1902 г.) и Е.Л.Николаи (1912-1925 гг.), изучавшие колебания струны с движущимся вдоль нее кольцом. Предложенный подход позволил по-новому взглянуть на проблемы динамики упругих систем, несущих подвижные нагрузки, и вскрыть новые, ранее не учитываемые явления. [c.9]

Особое место среди многошаговых методов оптимизации занимает динамическое программирование [11]. Причем метод динамического программирования может быть реализован в виде непрерывного и дискретного алгоритма (дискретное динамическое программирование). Непрерывный многошаговый алгоритм динамического программирования используется для решения вариационных задач, т. е. относится к аналитическим методам оптимизации. В этом случае решение задачи оптимизации сводится к решению уравнения в частных производных (управнения Веллмана), составленного по целевой функции и уравнениям динамики объекта. [c.197]

Заключительный 3.4 разбит на два идеологически дополняющих друг друга раздела. Первый из них посвящен полету ракеты с большой реактивной тягой и, как следствие, с большим ускорением. Второй, наоборот, — полету с малой тягой и с малым ускорением. Плоские уравнения движения уточняются для различных важных частных случаев. Кроме того, первый раздел знакомит с интересной задачей о движении многоступенчатых ракет, о распределении масс ступеней для придания составной ракете максимальных скоростных показателей. При исследовании полета с малым ускорением в свободном полете и в поле тяготения анализируются оптимальные режимы работы двигателей КА с помощью решения условных вариационных задач. [c.77]

Другие вариационные принципы. Кроме рассмотренных выше основных вариационных принципов, существуют различные вариационные формулировки частных задач динамики жидкости. Некоторые из этих вариационных задач мы будем рассматривать ниже в соответствующих разделах нашей статьи. Отметим, в частности, теорему Кельвина о минимуме энергии (п. 24), вариационные принципы Б ейтмена (п. 47), теоремы Гельмгольца и Рэлея (п. 75) и т. п. [c.48]

Другой подход к решению вариационных задач газовой динамики был предложен Т. К Сиразетдиновым. Этот подход дает возможность решать задачи при произвольных ограничениях, накладываемых на на поверхность обтекаемого тела, и состоит в том, что дифференциальные уравнения в частных производных, описывающих течение, используются в качестве связей между функциями в области влияния. При составлении функционала Лагранжа для задачи на безусловный экстремум эти. уравнения учитываются при помощи переменных множителей Лагранжа. Необходимые условия экстремума для такой задачи в общем случае представляют собой краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на замкнутой поверхности, ограничивающей область влияния. При сверхзвуковых скоростях эта система, включающая уравнения для множителей Лагранжа, имеет гиперболический тип. [c.243]

К. Г. Гудерлей и Дж. В. Армитедж предложили ) новый подход к решению вариационных задач газовой динамики, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход, идея которого была также независимо высказана Т. К. Сиразетдиновым (1963), состоит в том, что экстремальная задача формулируется для интеграла от давлений, записанного непосредственно по контуру тела, при наличии связей между искомыми функциями в области влияния.контура в виде дифференциальных уравнений, описывающих движение газа. При составлении минимизируемого функционала эти связи учитываются введением соответствующих переменных множителей Лагранжа, так что функционал состоит из суммы интеграла, взятого вдоль искомого контура, и двойного интеграла, взятого по области влияния контура. Необходимые условия экстремума дают краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на границе области влияния. [c.180]

Качественное влияние магнитогидродинамических эффектов на течение электропроводного газа в канале МГД-устройства было исследовано на основе гидравлического одномерного) приближения. Исследования в этом направлении, начатые работой Э. Л. Реслера и В. Р. Сирса J. Aeronaut. Sei., 1958, 25 4, 235—245), весьма многочисленны и содержат результаты расчетов массы конкретных частных примеров. С принципиальной стороны расчет отдельных примеров на базе гидравлической теории не представляет труда, так как сводится к решению задачи Коши или Б крайнем случае к двухточечной краевой задаче для системы обыкновен ных дифференциальных уравнений. С другой стороны, получение выводов общего характера из этой массы примеров весьма затруднительно. Гораздо больший интерес представляет решение различных вариационных задач на основе гидравлического приближения с целью определения оптимальных в определенном смысле режимов течения. Четкая постановка вариационной задачи в связи с течением в канале МГД-генератора дана [c.445]

Общий принцип здесь таков нужно поднять геометрические объекты иэ конфигурационного пространства V в фазовое пространство T V, в котором особенности или исчезают, или упрощаются (в теории дифференциальных уравнений в частных производных и в квантовой теории такой подход называется микролокальным ). Это поднятие трансформирует простые факты дифференциальной геометрии в общие теоремы симплектической и контактной геометрии, чья область применения гораздо шире (например, можно использовать дифференциально-геометрическую интуицию, рассматривая поверхности в евклидовом пространстве, для того чтобы получить результаты, касающиеся общих вариационных задач с односторонними ограничениями). [c.5]

Таким образом, соответственные конечпоэлементные аппроксимации Р (х) ( ). Требование соответственности обусловлено упоминавшимся ранее обстоятельством, что в вариационной задаче класса область определения функционала состоит из функций и 6 Щ, частные производные которых порядка р принадлежат )-, в случае нарушения этого требования могут появляться неограниченные энергетические нормы (см. примечание на стр. 128). С одной стороны, использование соответственных конечноэлементных аппроксимаций обеспечивает необходимую для решаемой задачи степень гладкости функций, но, с другой стороны, оно накладывает дополнительные ограничения на форму элементов. В п. 10.4 будут приведены примеры допустимых конечно--элементных аппроксимаций. [c.135]

Большую популярность за последнее время приобрел в а р и а ц и о н н ы й мет о д В. 3. Власова. В этом методе искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (например, прогиб в задаче об изгибе упругой пластинки). Эта функция выражена в виде произведения двух функций, из которых одна представляет заданную функцию от одного переменного, д другая — искомую функцию от другого. Вместо искомых постоянных коэффициентов, рассматриваемых в методе Бубнова — Галеркина (а также в методе Ритца — Тимошенко) и определяемых линейными алгебраическими уравнениями, в вариационном методе Власова, построенном на прямом применении принципа возможных перемещений, рассматривается система искомых функций. [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...