Преобразование уравнений Лагранжа

Замечательное преобразование уравнений Лагранжа, произведенное Гамильтоном, фактически означает, что произвольная сколь угодно сложная вариационная задача может быть преобразована в эквивалентную задачу с удвоенным количеством переменных и с кинетической частью, приведенной к простой форме. Это преобразование осуществляется без какого бы то ни было интегрирования, лишь при помощи дифференцирований и исключения переменных. [c.199]

После преобразований уравнения Лагранжа будут иметь вид [c.288]

После подстановки выражений (1.8) и (1.17), а также значений частных производных, приведенных в табл. 1.1, в преобразованные уравнения Лагранжа (1.45) получим искомые уравнения движения [c.31]

Для рассматриваемой механической системы преобразованные уравнения Лагранжа имеют вид [c.39]

М. Ф. Шульгин предложил преобразование канонических переменных, выраженных в голономных и неголономных координатах, позволяющие установить соответствие между теоремами аналитической голономной динамики. Он показал также, что метод преобразования уравнений Лагранжа второго рода, установленный Э. Раусом, можно обобщить на неголономные системы с линейными связями. [c.102]

Преобразование уравнений Лагранжа в случае циклического движения [c.239]

Причем среди величин Лу могут оказаться равные между собой. После выполненных преобразований уравнения Лагранжа примут вид [c.563]

Излагается вывод системы уравнений Нильсена путем преобразований уравнений Лагранжа второго рода. На основе полученных формул дается подробное решение задач на движение системы с двумя степенями свободы. [c.125]

В качестве примера применения принципа Гамильтона исследуем преобразование уравнений Лагранжа при заменах переменных. Система (19.3) определена функцией Лагранжа Ь(1,ц,д). Всевозможные решения д(1) системы при помощи неособенной замены переменных t, д <—> , д преобразуются в функции д ). Спрашивается будут ли функции д ) решениями уравнений Лагранжа (19.3), порожденных некоторой функцией Ь 1,д,д)1 Положительный ответ на этот вопрос дают следующие рассуждения. Возьмем произвольный прямой путь д 1) в исходных переменных и произвольным (с учетом [c.93]

Для преобразования уравнений Лагранжа (15) мы полагаем, как обычно, все qi и щ независимыми друг от друга. Имеем [c.36]

Преобразование уравнений Лагранжа. В случае орбит с малым эксцентриситетом уравнения Лагранжа представляют известные неудобства, так как в правых [c.191]

Подставляя (1У.84) в первую формулу (IV.80), (IV.85)— во вторую формулу (IV. 80), (IV. 92) — в третью формулу (IV. 80), получим новые формулы для преобразования уравнений Лагранжа к аномалиям как независимым переменным [c.202]

Обратимся теперь к определению функции / (а), с помош,ью которой в 8 было произведено преобразование уравнений Лагранжа (1) 8 к виду (5) 8. Функция / (а) есть значение функции х (а, Ь, ги) при 6 = 0 [c.680]

Утверждение, обратное принципу Гамильтона, важно и по другой причине оно позволяет установить, как изменяется лагранжиан при преобразовании координат и времени, и тем самым разъяснить, что собственно имеется в виду, когда утверждается, что уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к таким преобразованиям. Рассмотрим преобразования [c.280]

Легко показать, что экстремаль является инвариантом преобразований, т. е. если преобразования (62) выполняются одновременно над кривой пучка, представляющей собой экстремаль, и над функционалом, то преобразованная кривая остается экстремалью для преобразованного функционала. Отсюда и из обратного утверждения принципа Гамильтона (см. выше) сразу следует, что преобразованный прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом L, который определяется по формуле (64). [c.281]

Таким образом уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к любым преобразованиям координат и времени вида (62), [c.281]

Разумеется, как в том случае, когда время не преобразуется и L может быть вычислен по формуле (65), так и в том случае, когда время преобразуется и L вычисляется по формуле (64), новый лагранжиан (как функция новых переменных), вообще говоря, отличается от старого лагранжиана (как функции старых переменных). Именно поэтому мы говорим о ковариантности (а не об инвариантности) уравнений Лагранжа по отношению к любым преобразованиям вида (62). Но, разумеется, среди преобразований (62) содержатся и преобразования специального вида, такие, что для них L как функция новых переменных имеет совершенно такой же вид, что и L как функция старых переменных, т. е. [c.282]

Из структуры уравнений (4.4) видно, что если вместо функции L выбрать другую функцию Li — L+ /(/), где f t)—любая функция времени, то функция Li тоже будет удовлетворять уравнениям (4.4). То же самое будет, если вместо L взять Li = L, где с — любое постоянное число, кроме нуля. Существуют и другие преобразования, относительно которых уравнения Лагранжа инвариантны ). [c.95]

Для дальнейшего преобразования используем тождество Лагранжа, полученное при выводе уравнений Лагранжа [формула (83), 6, гл. 6[ [c.400]

Во втором томе учебника будет дан вывод уравнений Лагранжа второго рода, основанный на преобразовании общего уравнения динамики. Этим способом получения уравнений Лагранжа второго рода можно ограничиться, если преподавание ведется по сокращенной программе. [c.13]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Замечание. Изучение движения твердого тела в случае, рассмотренном Лагранжем, можно произвести, основываясь непосредственно на дифференциальных уравнениях Лагранжа второго рода. При этом оказывается, что координаты ф и ф — циклические. Поэтому далее можно применить преобразование Раута ( 122). [c.431]

Преобразование сумм, стоящих в правых частях этих равенств, производилось в 159 при выводе уравнений Лагранжа второго рода повторив этот вывод, получим [c.575]

Умножим уравнения Лагранжа с множителем Я соответственно на dx, dy, dz и сложим. После очевидных преобразований [c.112]

Зададимся вопросом вывести теорему живой силы из уравнения Лагранжа. С этой целью умножим (4.21) на q после простого преобразования получим [c.124]

Излагаемые ниже преобразования и теоремы применимы только в том случае, когда проекции X, К, Z равнодействующей заданных сил, приложенных к точке, суть частные производные функции и 1, X, у, а), которая может содержать явно время 1. Уравнения Лагранжа будут тогда иметь вид [c.466]

Следовательно, связь, наложенная на тело, не может быть выражена в виде соотношения в конечной форме между координатами. Вследствие этого при приложении общих теорем аналитической механики возникают особые трудности, из которых наиболее существенной является невозможность применения уравнений Лагранжа, если при преобразовании выражения кинетической энергии Т приходится принимать в расчет такие связи. [c.323]

Однако после таких преобразований уже нельзя будет применить уравнения Лагранжа. Сейчас мы это докажем. [c.327]

Из равенства (3) видно, что для прямого пути, т. е. при а = 0, выражение, стоящее под знаком преобразованного интеграла, в силу уравнений Лагранжа, равно нулю. Поэтому [c.106]

Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что если система такова, что д,ля нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получения уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и другие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями Т и V, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Г и У в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан L и, подставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых, координат к обобщенным получается для функций Г и У с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так, [c.34]

Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы Uij не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования, [c.124]

Хотя принцип наименьшего действия и дает нам способ вывода общих уравнений Лагранжа, непревзойденный по своей наглядности и краткости, все же этот способ представляется нам несколько искусственным. Приведенный вывод не раскрывает истинной природы уравнений Лагранжа, заключающейся в свойствах преобразований различных механических величин. Следующий вывод должен восполнить этот пробел. [c.266]

Таким образом, все изложенное убеждает нас в том, что при выводе уравнений Лагранжа можно обойтись без принципа наименьшего действия, если только вместо этого достаточно глубоко исследовать свойства преобразований механических величин. [c.271]

Мы знаем, что уравнения Лагранжа инвариантны относительно любых точечных преобразований т. е. они сохраняют свою форму, если мы вместо qk вводим любые другие координаты Q/., связанные с q соотношениями [c.291]

Первые иитегралы (3.11) можно использовать для преобразования уравнений Лагранжа для позиционных координат. Это преобразование принадлежит Раусу и носит его имя. Не останавливаясь на выводе (см., например, [38, 49]), приведем только результаты. [c.83]

Исходя из этой эквивалентности, естественно предположить, что соответствующим образом преобразованные уравнения Лагранжа применимы и в случае полигенных сил. Это действительно так. Полигенную систему сил можно охарактеризовать с помощью их виртуальной работы. Пусть эта работа имеет вид [c.174]

Для получения уравнений движения достаточно выполнить необходимые математические операции над выражением (1.10) и поставить найденные результаты в уравнения Лагранжа (1.9), Для простой механической системы эти вычисления не представляют больпшх трудностей. Однако при выводе уравнений движения сложных механических систем, как это будет видно из даль нейшего изложения, оказывается удобнее пользоваться преобразованными уравнениями Лагранжа второго рода. [c.18]

Значения частных производных, найденных из выражений (1.64), приведены в табл. 1.7. Используя выражения (1.20), (1.21), (1.64), (1.65) и (1.61), а также данные табл. 1.2 и 1.7 с помощью преобразованных уравнений Лагранжа (1.58), уравнения движения КА и стабиплаты запишем следующим образом [c.46]

После этих преобразований уравнения Лагранжа напишутся таким образом [c.530]

Применительно к системе без механических связей уравнения Лагранжа имеют одно основное преимущество они ковариантны по отношению к точечным преобразованиям координат. В случае же, когда система стеснена механическими идеальными связями, применение лагранжева формализма имеет дополнительные пре имущества по сравнению с непосредственным применением урав нений Ньютона. Оно позволяет уменьшить порядок системь уравнений, описывающих движение, до 2п, где л —число степе ней свободы, и избежать определения реакций идеальных связей Возможность выписать уравнения движения, не интересуясь нор мальньши реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями. [c.156]

Уравнения движения, записанные в ковариантной форме (уравнения Лагранжа), имеют одинаковый вид в любой системе отсчета и поэтому в равной мере пригодны для описания движения в инерциальных и в неинерциальных системах. Для того чтобы описать движение материальной точки по отношению к неинерциальной системе отсчета, надо лишь в качестве новых координат принять отрюсительные ( греческие ) координаты неинерциальной системы. Заданное переносное движение определяет тогда все функции ф,- и г ),-, т. е. преобразование (8) новых ( гре- [c.160]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

TO вид уравнений Лагранжа и Гамильтона останется прежним. Преобразование кородинат (5.31) называется точечным. [c.137]

Масса каждой точки ttiv может изменяться в функции обобщенных координат q,, обобщенных скоростей qi и времени t. После выполнения дифференцирования, суммирования и обычных преобразований, применяемых при выводе уравнений Лагранжа, получаем уравнения Лагранжа второго рода для систем с переменными массами [c.301]

Математическое преобразование требования (39.4) повторяет гауссово (ср. выше) и на основании условий варьирования, установленных на стр. 280 в пп. а) и б), приводит, очевидно, к уравнениям Лагранжа первого рода (при rrik = 1) для свободного движения. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...