Устойчивость периодических орбит

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ 479 [c.479]

Устойчивость периодических орбит [c.168]

Понятие устойчивости можно ввести также и для периодических орбит. По традиции это делается с использованием характеристических показателей Пуанкаре. Для строгого определения и исследования устойчивости периодических орбит необходимо проинтегрировать уравнения в вариациях. Вначале рассмотрим понятие поверхности сечения. [c.168]

В. В. Белецкий, 1965). Ф. Л. Черноусько (1963) рассмотрел асимптотические решения уравнения (6.3) как при малых е, так и при любых е, но малых п . В последнем случае обнаружена, в частности, смена устойчивости 2я-периодического решения при е > 0,682, когда становится устойчивым решение, отвечающее < 0 при этом в перигее ось наи-(меньшего момента инерции направлена по касательной к орбите. Если же е < 0,682, то устойчиво периодическое решение, при котором в перигее ось наименьшего момента инерции направлена по радиусу-вектору (тг2>0). [c.290]

Бифуркация рождения цикла - это появление периодических орбит ( автоколебаний ) из устойчивой неподвижной точки при прохождении параметра через критическое значение. Хотя в наше время доказана возможность применения бифуркационной теории Хопфа к нелинейным параболическим уравнениям с частными производными, мы целиком и полностью ограничимся применением этой теории к обыкновенным дифференциальным уравнениям на плоскости. [c.70]

Иными словами, будем рассматривать задачу об орбитальной устойчивости периодического лагранжева движения, так как при новой постановке вопроса орбиты двух точек М. и Мг относительно Мо в возмущенном движении будут сколь угодно мало отличаться от орбит этих точек в невозмущенном движении, хотя возмущенные и невозмущенные положения точек (и скорости, разумеется ) вовсе не будут оставаться близкими во всякий момент времени. [c.386]

Как и прежде, существует два способа перенести понятие структурной устойчивости на случай потоков. Мы не будем формулировать первый, непосредственный способ, опирающийся на эквивалентность всех возмущений. Не будучи полностью вырожденным, это требование редко выполняется например, при наличии периодических орбит их периоды являются модулями в таком смысле. Мы зарезервируем термин структурная устойчивость для второй возможности, которая встречается гораздо чаще. [c.82]

В случае потоков устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболических неподвижных точек и периодических орбит могут быть определены с помощью соответствующей модификации теоремы Адамара — Перрона 6.2.8, как предложено в упражнении 6.2.5. Соответственно можно говорить о трансверсальности относительно этих многообразий. Заметим, что такие многообразия состоят из орбит потока, так что трансверсальное пересечение может возникнуть только при условии, что сумма их размерностей строго больше размерности многообразия. [c.301]

Слова устойчивое и неустойчивое применяются здесь в связи с существованием или несуществованием малых колебаний относительно положения равновесия или периодических орбит Этот тип устойчивости иногда называют устойчивостью по Пуанкаре, чтобы отличить его от таких задач устойчивости, как, например, задача Пуассона, связанная с вековой неизменностью больших полуосей планетных орбит. [c.232]

Полученные периодические орбиты Е и Е — это единственные известные устойчивые периодические орбиты в рассматриваемой задаче о движении КА вблизи треугольных точек либрации системы Земля — Луна при наличии возмущающего гравитационного воздействия Солнца. Отметим, что учет исключенных из гамильтониана К короткопериодических членов и членов, содержащих долгопериодические функции с частотой (о — со (см. 4), приведет к тому, что орбиты Е и Е станут условно-периодическими, но размеры этих орбит изменятся незначительно по сравнению с размерами периодических орбит Е и Е [144]. Отметим еще, что в работе [144] сделана попытка найти периодические орбиты, отличающиеся от Е , Е и Е . Но приближенность анализа, проведенного в [144], не позволила сделать достаточно строгих выводов об их существовании и устойчивости. [c.264]

Очевидно, что это рассуждение не вполне строго, потому что в правых частях диференциальных уравнений были отброшены члены высших порядков. Одни линейные члены не дают достаточных условий для существования периодических орбит, и, следовательно, когда рассмотрение ограничено таким образом, то оно отвечает лишь на вопрос, касающийся устойчивости решения. Но в настоящем случае периодические орбиты [c.272]

В возмущенном движении при г оо г а, так что расстояние между изображающими точками на спиральной орбите и на круговой орбите непрерывно убывает и стремится к пределу 2а sin - - да . Периодическая орбита устойчива по Ляпунову, и мы мо-Л [c.477]

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации L и б ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации L и Ц неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1, е (ц — малая возмущающая масса, е — эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е [c.846]

Основная тема второй части книги — взаимосвязь между локальным анализом вблизи отдельной (например периодической) орбиты и сложностью структуры орбит в целом. Эта взаимосвязь изучается с помощью таких понятий, как гиперболичность, трансверсальность, глобальные топологические инварианты, а также с помощью вариационных методов. Набор методов включает анализ устойчивых и неустойчивых множеств, бифуркаций, исследование индекса и степени и построение орбит как минимумов и мини-максов функционалов действия. [c.12]

Подчеркнем, что конструкция модулей, связанных с произвольными периодическими орбитами, введенная в 2.1, не работает для топологической сопряженности. Кроме того, скоро мы увидим (в 2.4 и 2.6), что структура орбит дифференцируемого отображения в целом может быть устойчивой в топологическом смысле. Эта возможность отражается следующим определением. [c.81]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Для структурно неустойчивых систем различные элементы структуры орбит все еще могут быть устойчивыми. Например, С -возмущения сохраняют гиперболические периодические точки (предложение 1.1.4). Однако ограничение на норму возмущения, сохраняющего те или иные элементы структуры орбит, например различные гиперболические периодические точки, не равномерно, и при разрушении устойчивости данного свойства нередко возникают различные патологии. Это обстоятельство указывает на то, что [c.293]

Вследствие одновременной зависимости коррозии как от внутренних факторов, так и от внешних нахождение металла в периодической системе элементов Менделеева и, следовательно, электронная конфигурация орбит и строение ядра атома металла однозначно не характеризуют общую коррозионную устойчивость. [c.147]

Устойчивость периодических орбит. Как мы видели в 23.5, в задаче о движении в окрестности периодической орбиты один характеристический показатель равен нулю. Здесь мы докажем,, что если все остальные характеристические показатели имеют отрицат Лъные вещественные части, то периодическая орбита асимптотически устойчива в орбитальном смысле. [c.479]

Аналитическое исследование периодических орбит вблизи треугольных точек либрации в системе Земля — Луна с учетом солнечных возмущений было начато Брэквилом и Принглем [106] при помощи методов теории возмущений гамильтоновых систем. Это аналитическое исследование было продолжено Шехтером [170], который впервые с достаточной строгостью показал возможность существования устойчивых периодических орбит вблизи точки либрации 4 системы Земля — Луна при наличии солнечных возмущений. [c.251]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

Таким образод , условия теоремы Пуанкаре (для случая, когда внутренний радиус кольца стремится к нулю) оказываются выполненными. Поэтому, если теорема верна и если существует одна устойчивая периодическая орбита Gq, то существует бесконечно много таких периодических орбит. [c.625]

Рассматривая классическую ограниченную круговую задачу трех тел при определенном соответствии конечных масс, Г. Дарвин и ученые копенгагенской школы под руководством Э. Стремгрена установили классификацию всех существуюпщх простых периодических решений задачи, которая позволяет проследить процесс исчезновения определенных классов периодических орбит при изменении начальных условий. Много работ посвящено также изучению траекторий вблизи лагранжевых частных решений, исследованию ограниченной задачи трех тел, устойчивости движения динамических систем и др. [c.108]

В главах 2 и 3 рассмотрены либрационные движения спутников. Здесь показано, что гравитационные моменты обеспечивают устойчивое относительное равновесие спутника на круговой орбите при расположении наибольшей оси эллипсоида инерции спутника по радиусу-вектору орбиты, наименьшей оси — по нормали к плоскости орбиты и, следовательно, средней оси — по касательной к орбите. Исследованы плоские и простран ственные колебания около этого положения. На эллиптической орбите такого относительного равновесия не существует. Но анализ нелинейных колебаний на эллиптической орбите показывает наличие устойчивых периодических ( эксцентриситетных ) колебаний около направления радиуса-вектора. Исследованы условия появления резонанса в плоских и пространственных колебаниях. Возможность практического приложения исследованных в главе 2 эффектов иллюстрируется [c.11]

Весьма обширные (хотя в основном нестрогие) исследования влияния нелинейностей в правых частях системы (1) на поведение ее решений вблизи начала координат были проведены егце в конце XIX — начале XX века Кортевегом [2] и Бетом [3-5]. Они, в частности, показали, что устойчивое в первом (линейном) приближении решение j = О может стать неустойчивым нри учете нелинейностей в правых частях системы (1). В работах Т. Леви-Чивита [6-8] содержится ряд строгих результатов по устойчивости периодических движений системы (1), когда она автономна и п = 2. В этих же работах содержится приложение обгцетеоретических выводов к доказательству неустойчивости резонансных орбит астероидов. [c.115]

Когда уравнения возмущенного движения нелинейны, вопрос о существовании периодических движений рассматривали А. А. Андронов (1937) для уравнений второго порядка и П. А. Кузьмин (1939) для уравнений второго и третьего порядков, а вопросы о поведении траекторий как в области точек бифуркации, так и в точках ответвления периодических орбит исследовал Н. Н. Баутин (1950). Последний показал, что в рассматриваемых случаях поведение динамической системы вблизи границы области устойчивости определяется ее поведением на самой границе. Те границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение устойчиво,, называют безопасными , а те границы, на которых оно неустойчиво,— опасными . Нахождение опасных и безопасных границ сводится, к решению задачи устойчивости в критических случаях. Впоследствии эти результаты были развиты в работах ряда авторов (А. И. Лурье, 1951 И. Г. Малкин, 1952, и другие). [c.60]

На эллицтической орбите относительного равновесия не существует, но аналогичную важную роль играют устойчивые периодические колебания около направления радиуса-вектора орбиты. Особенно подробно исследованы колебания в плоскости орбиты, описываемые уравнением (В. В. Белецкий, 1959) [c.289]

В общем случае анализ периодических решений уравнения плоских колебаний на эллиптической орбите проводился численными методами, что позволило получить полную картину областей существования устойчивых периодических колебаний при любых значениях эксцентриситета эллиптической орбиты и любых моментах инерции спутника (В. А. Златоустов, 1964 Д. Е. Охоцимский, 1964 В. А. Сарычев, 1964 А. П. Тор-жевский, 1964). Исследованию уравнения плоских колебаний на эллиптической орбите посвящены также работы В. В. Белецкого (1963), И. Д. Килля (1963—1964) и А. П. Торжевского (1964). [c.290]

В этой главе мы осуществляем часть программы, сформулированной в 4 введения. Главный принцип нашего анализа состоит в использовании своего рода гиперболичности линеаризованной динамической системы вдоль определенных орбит. Мы покажем, что она порождает аналогичное поведение нелинейной системы вблизи некоторой заданной орбиты (теорема Адамара — Перрона 6.2.8). Комбинация локальной гиперболичности, возникаю-ш,ей в линеаризованной системе, с нетривиальным возвращением, явлением по существу нелинейным, приводит к изобилию периодических орбит (теорема Аносова о замыканни 6.4.15) и порождает богатую и устойчивую во многих отношениях структуру орбит, которая будет далее исследоваться в части 4. [c.243]

В этой главе мы вернемся к общей структурной теории гиперболических множеств гладких динамических систем, отправляясь от точки, достигнутой в конце 6.4. Сначала мы сосредоточим наше внимание на устойчивости глобальной структуры орбит таких систем, а затем покажем, как центральная идея аппроксимации почти орбиты настоящими орбитами позволяет описать характер возвращаемости, получить точную асимптотику роста чи-ела периодических орбит и почти обратимое полусопряжение с топологическими цепями Маркова. [c.566]

К настоящему времени обнаружено и исследовано огромное число периодических орбит. В этом разделе будет приведено только несколько примеров. В период 1913—1939 гг. Штрёмгреном и учеными копенгагенской школы было выполнено исчерпывающее исследование плоской ограниченной задачи при ц. = Уг, когда оба массивных тела имеют единичные массы и отстоят друг от друга на единичном расстоянии (рассмотренную ими специальную задачу обычно называют копенгагенской). Периодические орбиты в этой задаче симметричны относительно оси у (во вращающейся системе координат с началом в центре масс двух массивных тел). Что касается изучения эволюции периодических орбит внутри семейства, то выполненное ими исследование имеет огромную ценность, но ограничено случаем ц, = /4. Поскольку нам известно, что устойчивые периодические орбиты около треугольных точек Лагранжа существуют при ц < 0,0385 (значение ц = 0,0385 называется значением Рауса), то изучением одной копенгагенской задачи ограничиваться нельзя. [c.165]

Для несоизмеримых орбит возмущения средних движений астероидов пропорциональны отношению массы Юпитера к массе Солнца. В случае соизмеримой орбиты критические члены вызывают большие долгопериодические либрации среднего движения и других элементов орбиты. Эти либрации приводят к тому, что средние движения астероидов с соизмеримостью, выраженной отношением малых целых чисел, будут наблюдаться очень редко. С аналогичной ситуацией мы столкнемся, если в темноте в случайные моменты вре.мени будем фотографировать со вспышкой качающийся маятник. На подавляющем большинстве снимков маятник будет отклонен от своего вертикального положения. Таким образом, если взять распределение средних движений на поперечном разрезе около орбиты, соответствующей указанной соизмеримости, то мы обнаружим мало астероидов с оскулирующими в непосредственной близости от соизмеримости средними движениями, даже при условии, что соизмеримость является устойчивой. Приводя различные доводы, Брауэр [З] и ]Месседж [221 опирались на факты, доказывающие точку зрения, согласно которой провалы в поясе астероидов вовсе не являются областями неустойчивости. В одной из работ Шубарта 1301 указывалось, что соизмеримость 3/2 (группа Гильды) представляет собой область, в которой могут иметь место устойчивые колебания около периодических орбит. Группа Гильды насчитывает около 40 членов. [c.266]

Таким образом, существует точка ( фокус ), выше которой стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. Иными словами, дело имеем с точкой бифуркации, в которой расщепляется траектория, при этом одной ветвью является устойчивый предельный цикл. Пример траекторий в фазовом пространстве X, V при различных начальных условиях показан на рис. 3.20. Видно асипмтотическое приближение системы к замкнутой орбите (предельному циклу) в плоскости X, У. Можно показать, что система имеет единственный предельпьп1 цикл, устойчивый к малым возмущениям [37]. [c.82]

Вибрацией называют колебательный процесс в механических системах. Колебательный процесс характеризуется таким движением материальной точки, при котором наблюдается периодическое прохождение этой точкой одного и того- же положения устойчивого равновесия. Понятия вибрация и механические колебания являются синонимами. Однако в технике принято называть одни колебательные процессы механическими колебаниями (например, колебание электрона на орбите, колебание маятникаит. п.), а другие —вибрациями (например, вибрация ставка при обработке деталей, вибра-.ция фундаментов сооружений и т. п.). Как правило, вибрациями в технике называют вредные колебательные процессы. Вибрация возникает в механизмах, приборах и их элементах, различных сооружениях вследствие несовершенства их конструкции. Она может появиться в результате периодических толчков, сотрясений, при больших ускорениях движущихся неуравновешенных масс, при периодическом изменении давления пара в паровых котлах и т. д. Значение вибра1 ,ии в технике очень велико. Явление вибрации необходимо учитывать при проектировании, производстве и эксплуатации зданий, судов, самолетов, металлорежущих и деревообрабатывающих станков, турбин, паровых котлов и т. д. [c.164]

В 1773 г. Лаплас опубликовал теорему, впоследствии уточненную Пуассоном (до второго порядка по возмущающим массам), из которой следовало, что Солнечная система устойчива в том смысле, что движение каждой планеты постоянно ограничено собственным сферическим слоем, причем слои разных планет никогда не пересекаются друг с другом. Другими словами, изменения больших полуосей являются чисто периодическими. Зате.м (в 1784 г.) Лаплас, воспользовавшись уравнениями движения планет в форме Лагранжа, пришел к выводу, что наклонения и эксцентриситеты планетных орбит должны все время оставаться малыми. Свои результаты он получил, учитывая лишь первые и вторые порядки этих малых величин. Американский астроном Саймон Ньюком [23] показал, что если массы всех тел, кроме одного, малы (по сравнению с массой единственного большого тела) и орбиты малых тел имеют малые эксцентриситеты и наклонения, то такая задача п тел имеет решение в виде бесконечных многократных периодических тригонометрических рядов. При этом, однако, оставался решающий вопрос о том, сходятся илн расходятся ряды Ньюкома. Если ряды сходятся, то реальные движения планет должны быть ква-зипериодическпми если они расходятся, то о поведении планетных орбит на больших интервалах времени ничего сказать нельзя. [c.278]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...