Интегральное представление общего решения

Воспользуемся интегральными представлениями общего решения задачи для бесконечной плоскости, ослабленной системой М [c.171]

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ [c.29]

Интегральное представление (12) позволяет не только изучить асимптотическое поведение общей совокупности решений уравнения (7") при г, стремящемся к бесконечности, но и дает возможность исследовать некоторое определенное решение, что всегда значительно труднее. [c.671]

Анализ математической постановки линейных задач позволил доказать некоторые общие теоремы и установить ряд точных соотношений. В э гом случае нет необходимости рассматривать каждую новую зависимость кинематических параметров от времени и решать для нее все краевые задачи. Можно ограничиться решением задач для ступенчатых зависимостей от времени, а переход к любым другим зависимостям производить при помощи интегральных представлений [2.6]. [c.57]

Напомним, что широко применявшиеся в первой части книги термины прямая формулировка МГЭ и непрямая формулировка МГЭ означали там лишь указание на использование одного из двух подходов к интегральному представлению решения исходной задачи. Численные схемы для обоих этих подходов строятся на общей основе, описываемой ниже. [c.222]

На основании представления (5) ядра К у) можно показать [1, 2], что общее решение интегрального уравнения (1) имеет структуру [c.74]

Эффективное решение всех задач теории решеток можно получить с помощью второго общего представления периодической аналитической ограниченной в бесконечности функции Р (г) в виде ряда по производным сШ Х2, которое следует из ее интегрального представления (3.1) (Г. С. Самойлович, 1950) [c.119]

Решение. Расчету потенциала й в общем случае мещает конструкция с логарифмом (в невырожденном случае, рассмотренном в предыдущей задаче, она пропадает, и этой трудности нет). Покажем, что вытащить экспоненту ехр —( р—и)/6 из-под знака логарифма можно с помощью его интегрального представления [c.546]

Сделаем несколько замечаний общего порядка [27]. Выше были рассмотрены вопросы решения основных краевых задач теории упругости на основе представления смещений в виде соответствующих потенциалов. Получены сингулярные интегральные уравнения и установлены условия их разрешимости в предположении, что граничная поверхность принадлежит классу поверхностей Ляпунова, а правая часть —классу Г. — Л. В этом случае и решение принадлежит классу Г. — Л. [c.569]

Для каждого из этих предельных случаев главным членом разложения функции распределения в ряд является максвелловская функция распределения [1]. В общем случае можно попытаться построить интерполяционные формулы для расчета кинетических коэффициентов, используя их представление для каждого из предельных случаев. Однако гораздо удобнее прибегнуть к решению интерполяционного линейного интегрального уравнения, в этом случае интерполяционные формулы для кинетических коэффициентов получают как естественное следствие решения упомянутого линейного интегрального уравнения. Изложение указанного подхода (обобщенного метода Энскога), предложенного Б. В. Алексеевым, а также методов возмущений для уравнения Больцмана с неупругими столкновениями можно найти в [1]. [c.127]

Таким образом, поставленная задача о восстановлении напряженно-деформированного состояния упругого тела по известному вектору перемещений на части поверхности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.9). Исходная информация, необходимая для однозначного нахождения неизвестного вектора реакций или нагрузки, в общем случае должна включать в себя данные о всех трех компонентах вектора перемещений на поверхности измерений. Но во многих случаях эффективному измерению поддаются лишь отдельные компоненты вектора перемещений. Например, при тензометрических исследованиях натурных конструкций или их моделей находят величины относительных удлинений (деформаций) в точках поверхности, что позволяет после предварительной обработки дискретных данных измерений (интерполирование, сглаживание и т.п.), путем интегрирования эпюр деформаций построить в локальной системе координат поверхности эпюры компонент вектора перемещений, касательных к поверхности измерений. В то же время нормальная к поверхности компонента вектора перемещений не может быть определена тензометрическими методами. В таких случаях определение неизвестного вектора напряжений может быть осуществлено по двум или даже одной компоненте вектора перемещений, при этом искомый вектор напряжений может восстанавливаться не однозначно. Это связано с возможностью появления нетривиальных решений для неполной системы однородных уравнений (3.9). В некоторых случаях характер нетривиальных решений можно предсказать. Выбор того или иного решения может быть осуществлен на основании некоторой дополнительной информации (например, информации о величине искомого вектора в какой-либо одной точке) или исходя- из общих представлений о напряженном состоянии исследуемой конструкции. [c.66]

Помимо математической формулировки задач термоупругости в виде дифференциальных уравнений и краевых условий возможна также интегральная форма представления решения. Такая форма позволяет выявить некоторые общие свойства температурного и напряженно-деформированного состояний тела и наряду с классическими методами строгого аналитического решения построить эффективные алгоритмы приближенных решений. [c.23]

Представление плотностей комплексных потенциалов Ф г) и 4 (2 ) в виде (3.2) позволяет не только исследовать поведение напряжений и смещений вблизи угловых точек контура, но и получить решение сингулярных интегральных уравнений с явно выделенными особенностями в этих узлах. Ниже рассмотрим случаи кусочно-гладкой криволинейной трещины и криволинейного отверстия с угловыми точками на его контуре [98, 101]. Аналогично может быть исследован общий случай конечной или бесконечной многосвязной области с концентраторами напряжений такого вида. [c.67]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

В то время как исследования, в которых используются интегральные уравнения для потенциала, были в большинстве своем направлены на выяснение теоретических вопросов, в прикладной математике пытались найти общие методы решения инженерных задач, исходя из решения дифференциальных уравнений. На этом пути был ряд крупных достижений, к которым относятся различные усовершенствования в методах бесконечных рядов и конечных разностей, приближенные методы вариационного исчисления и, наконец, метод конечных элементов, что привело к созданию мощных и общих численных методов прикладной механики. Метод конечных элементов является синтезом энергетических методов, представлений о конечных разностях и структурном моделировании при помощи вычислительных машин. [c.9]

В сборнике ) систематически применяется следующий способ вывода граничного интегрального уравнения. Для данной системы эллиптических дифференциальных уравнений получается аналог третьего тождества Грина (см. формулу (3) на стр. 12), дающий представление решения в произвольной точке Р области в виде интегралов от граничных значений решения и комбинации его производных, входящей в естественные краевые условия. Предельный переход в этом тождестве при условии, что точка Р стремится к точке границы Q области, приводит к двумерному (в общем случае сингулярному) интегральному уравнению по границе (ГИУ). [c.183]

Решение уравнения St = можно получить, используя различные методы решения статических задач, поскольку трансформанта Фурье 8 а) ядра интегрального уравнения (7) не имеет особенностей на вещественной оси и убывает степенным образом на бесконечности так же, как в задачах статики. Следующая теорема дает общее представление решения уравнения St = [c.87]

Книга посвящена подробному анализу математических основ теории упругости. На современном уровне математической строгости впервые с одинаковой полнотой рассмотрены трехмерные задачи статики, гармонических колебаний и общей динамики линейной теории упругости, термоупругости и моментной упругости. Методом многомерных сингулярных интегральных уравнений и сингулярных потенциалов, развитым в книге, исследованы общие вопросы теории и получены представления решений в рядах и квадратурах, допускающие эффективную реализацию на ЭВМ. [c.2]

Задача (й, р) в упругой постановке изучалась в [13], где исследовались вопросы корректности и методы решения, связь с задачей аналитического продолжения и с задачей тензометрии. Показано, что эта задача относится к условно корректным и может быть сведена к задаче Коши для бигармонического уравнения (в плоском случае) или для уравнений Ламе, либо для системы Бельтрами-Митчела (в пространственном случае). В [14-17] использовалось представление общего решения теории упругости через голоморфный вектор, удовлетворяющий системе уравнений Моисила-Теодореску это позволило свести задачу (w, р) к задаче продолжения голоморфного вектора, которая, в свою очередь, приведена к интегральному уравнению, численное решение которого строилось без процедур регуляризации, что обосновано сопоставлением с точным решением тестовой задачи. В [12, 18] рассматривалась идеально упругопластическая задача (w, р), где также исследовались вопросы корректности, построения алгоритмов решения и их численной реализации на конкретных примерах (нахождение пластических зон вокруг эллиптических и круговых отверстий при полном и неполном охвате [c.778]

Следует отметить, что, систематизируя курс теории упругости по математическим методам, авторы не ставили перед собой цель добиться единообразия в изложении материала различных глав. В тех случаях, когда имеется полноценная теория, она излагалась с небольшим количеством иллюстрирующих примеров (таковы, например, главы, связанные с теорией аналитических функций и потенциалов). В других же случаях, наоборот, в основном приводились решения конкретных задач. Пр ичиной этого (например, в главе Метод разделения переменных ) явилось то обстоятельство, что достаточно полная ясность этого сранительно простого метода достигается раньше (уже в гл. I), а интерес представляют отдельные специфические задачи теории упругости, в которых удается получить важные и конструктивные результаты. В главе VI Интегральные представления и интегральные преобразования создается такая же ситуация,но в силу совершенно других причин. Ввиду отсутствия универсальных методов решения задач такого класса изложение математического аппарата возможно лишь на отдельных примерах. При их подборе авторы руководствовались не только указанными выше общими критериями, но и обращали внимание на новизну и оригинальность математических результатов, степень важности предлагаемых задач для тех или иных, родственных теории упругости наук (в частности, механики разрушения), воз- [c.8]

Заметим, что разработан метод определения указанных коэффициентов для общего случая эллиптических краевых задач [154, 155]. Для них получены явные интегральные представления, в которые входят исходные краевые условия и некоторые специальные решения вспомогательной однородной краевой задачи. Указанные решения зависят только от конфигурации области и характера краевых условий. Они определяются однозначно главными членами своей асимптотики и так же, как функции (8.17), имеют особенность в нерегулярной точке границы. Реализация этого метода представляется особенно эффективной тогда, когда требуется для одной и той же области решить совокупность однотипных краевых задач, поскольку потребуется лишь один раз решать вспомогательную задачу. В [162] приведены примеры, иллюстрирующие применение метода в задачах теории упругости. [c.312]

Контуры такого вида можно выбрать лишь при нек-рых ограничениях, наложенных на коэф. ур-ния (2). Распространение результатов, полученных при таких ограничениях, на более общие случаи можно получить с помощью аналитнч. продолженпя решений. Из интегрального представления (5) легко вывести все свойства перечисленны.х С. ф. разложения в степенные ряды, разл. функциональные соотношения, асимптотич. разложения и др. [c.630]

Таким образом, функции (1.71) и (1.75) дают решение поставленной вспомогательной задачи (1.66), (1.67) для общего случая неса-моуравновешенной нагрузки q (t). Эти решения можно также рассматривать как интегральные представления комплексных потенциалов Ф (z) и (z) для бесконечной плоскости, разрезанной вдоль контура L. [c.19]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

При действии в плоскости с трещинами сжимающих напряжений, а также в некоторых других случаях противоположные берега их могут смыкаться, налегая друг на друга. Контакт берегов трещины приводит к перераспределению поля напряжений и деформаций в ее окрестности. Решению контактных задач для бесконечной плоскости, ослабленной прямолинейным разрезом или щелью переменной ширины, посвящено ряд работ [42, 136, 147, 241, 254, 282, 292]. Рассматривался также случай дугообразной трещины, берега которой приходят в гладкий контакт по всей длине или по некоторой ее части [41, 115, 145]. В общем случае криволинейной трещины контактные задачи почти не изучались (исключением является сообщери1е [247]). Ниже при использовании интегральных представлений комплексных потенциалов напряжений через скачки смещений ла линии криволинейного разреза строятся интегральные уравнения контактной задачи для бесконечной плоскости с разрезом. При этом рассматриваются два предельных случая когда трение между берегами трещины ничтожно мало (гладкий контакт) или велико (полное сцепляйте). Предложенный подход легко обоб-1цается па случай системы криволинейных разрезов. [c.72]

Различные специальные вопросы. Недавно С. М. Белоносову И—3] удалось получить интегральные уравнения плоской задачи, пригодные, вообще говоря, и в случае угловых точек ). Рассматриваемая область (конечная или бесконечная), ограниченная кусочно-гладким контуром L, отображается на правую полуплоскость Re С >0 плоскости вспомогательного переменного + iii]. Затем для искомых комплексных потенциалов ф и -ф, регулярных в правой полуплоскости, получаются функциональные уравнения, аналогичные уравнениям, данным в 78. Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредголь-мовым. В общем случае при наличии угловых точек оно уже не будет фредгольмовым, но будет принадлежать к типу ядер Карлемана. Для частных случаев клина и бесконечной полосы интегральное уравнение допускает обращение по формуле Римана — Меллина и решение задачи находится в замкнутом виде (в квадратурах). Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе [c.598]

Систематическое изучение пространственных задач теории упругости было предпринято Б. Г, Галеркиным. Используя найденное им представление общего интеграла уравнений теории упругости через три бигармо-нические функции (1930) и применяя ряды, он развивал с начала тридцатых годов метод расчета толстых плит, предполагающий выполнение условий для произвольных нагрузок на торцах и интегральных условий на боковой поверхности им были изучены плиты прямоугольные, круглые, секторные, треугольные (1931, 1932), В 1931 г. Галеркин построил решение задачи о равновесии слоя, подверженного действию нормальной нагрузки. При помощи рядов, содержащих функции Бесселя и Ханкеля, Галеркин рассмотрел задачу о равновесии полого цилиндра и его части (1933), а позже получил частные решения задачи об осесимметричной деформации полой сферы (1942). [c.17]

Получен ряд решений задачи дифракции в общем трехмерном случае. Приведены интегральные представления для оператора распространения электромагнитного поля, сводящие решение прямой задачи к четырем преобразованиям Фурье. При этом доказанное свойство унитарности оператора распространения позволяет обобпщть скалярные итерационные алгоритмы синтеза фазовых волновых полей на случай точного электромагнитного расчета. На основе указанных интегральных представлений, разработан градиентный метод решения обратной задачи восстановления волновых полей. [c.236]

Преобразование, айалогичное использованному в п. 5 14, позволило представить Ф(г, z) интегралом по контуру области, занятой меридиональным сечением тела, и" йа этой основе привести задачу к интегральному уравнению первого рода. В работе [45] аналогичные представления использо-1 вались при решении граничных задач для функций, удов- летворяюш их уравнению (26.1). Отметим, что к задаче кручения однородного изотроп- ного тела вращения, а следовательно, и к указанному выше интегральному уравнению сводится широкий класс задач кручения неоднородных анизотропных тел враще- i ния (см. [77]). 3 В работе И. С. Аржаных и Б. А. Бондаренко [41 ] j общее решение системы уравнений (1.7) представлено в форме I [c.226]

Для построения общих решений задачи теории пологих оболочек может быть применен эф )ективный метод И. Н. Векуа 35 , который позволяет выразить все регулярные решения уравнения (141) через аналитические функции комплексного переменного. Эти общие представления задаются интегральными операторами, ядра которых строятся в общем случае методом последовательных приближений. В частном случае к = 0 (задачи для пластин) эти решения имеют явный внд. Общие представления решений эллиптических уравнений порядка выше второго в многосвязных областях лs чил Д. Ф. Харазов 1031. [c.103]

Во всех рассмотренных в работе [183] задачах реализован единый подход, который используется для многих задач математической физики. Сущность его заключается в следующем. Для каждой области существования звукового (электромагнитного) поля на основе выбора соответствующих частных региений уравнения Гельмгольца строится такая их совокупность, которую мы называем общим решением граничной задачи. Это не совсем традиционное для математической физики понятие означает, что каждый раз мы строим некоторую совокупность частных решений уравнения Гельмгольца, которая содержит достаточно произвола для того, чтобы удовлетворить произвольное граничное условие для скорости или давления на поверхности, ограничивающей область существования поля. Само доказательство такой возможности обычно основано на использовании свойств функций штурм-лиувиллевского типа [152]. В частности, одно из важнейших их свойств — свойство ортогональности позволяет в последующем свести задачу определения произвольных постоянных и функций в общем представлении характеристик поля к решению простых систем линейных алгебраических уравнений. Задача несколько усложняется, если на граничной поверхности, совпадающей с координатной поверхностью, заданы смешанные граничные условия В этом случае на одной части границы задана нормаль ная составляющая скорости, а на другой — давление. Такие граничные условия приводят к довольно сложным системам интегральных или алгебраических уравнений, для решения которых не предложены к настоящему времени методы, эффективные для произвольной длины волны. [c.13]

Отметим, что приведенной структурной записи (Гц, ) не отвечают соотношения, полу ченные для оценки (ф, к) соединений с X- и F-образными мягкими прослойками. Последнее связано с тем, что данная структурная запись вытекает из решения, полу-ченного для прямолинейных мягких прослоек, базирлтощегося на представлении сеток линий скольжения в виде отрезков циклоид с постоянным радиу сом производящего круга (данное условие соблюдалось при анализе наклонных и шевронных прослоек). Как было показано ранее, аппроксимация сеток линий скольжения вХ-к F-образных прослойках осуществлялась отрезками циклоид с переменным по дайне прослоек радиусом производящего круга Гц (0,5) = Гц (х). Данное противоречие легко устраняется введением понятия условного среднего (интегрального) радиу са циклоид, позволяющего воспользоваться для оценки К . рассматриваемых соединений общей структурной записью расчетных методик в виде (3.44). Величина условного среднего радиуса отрезков циклоид, аппроксими-р ющих сетки линий скольжения в прослойках обеих геометрических форм (рис. 2.7,б,в), может быть определена из условия обеспечения равенства расчетных значений величин контактного упрочнения рассматриваемых прослоек, подсчитанных по обоим вариантам расчета (по [c.144]

Полученные результаты составляют главное содержание теории теплового переноса излучением. В случае соленоидаль-ного поля излучения результирующий перенос тепла тождественно равен нулю. В общем случае, когда помимо излучения в теплообмене участвуют и другие виды переноса тепла (теплопроводность, конвекция и др.), под результирующим потоком -следует поянмать суммарное значение энергии в рассматриваемом месте среды. Такие процессы описываются нелинейным интегро -дифференциальным уравнением энергии, решение которого для конкретных приложений вызывает большие трудности математического характера. Поэтому широкое распространение получили приближенные методы. По-атедние обычно связаны с приближенными представлениями уравнений переноса энергии (дифференциальные методы) или интегральных уравнений излучения (зональный метод). При этом особое внимание приходится уделять оптическим свойствам сред. [c.525]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Следствием изложенного общего метода явлются теоремы о представлении ядер интегральных операторов второй и третьей глав. Он позволяет понять природу полз ченных ранее разложений и строить решения более сложных задач для систем штампов, поскольку нахождение необходимого ортопроектора не составляет труда. Соответствующие примеры будут даны в следующем параграфе. [c.158]

Введение такого рода обобщения понятия аффинного подобия оправдывается тем, что, хотя обобщенно подобное соотношение (186) является более общим, чем обычное подобное (автомодельное) распределение скоростей, не содержащее формпараметров, но вместе с тем оно не обладает той общностью, как действительное распределение скоростей, представленное решением уравнений пограничного слоя в общей постановке (17). Если это строгое решение является функционалом, учитывающим полностью, влияние формы кривой распределения внешней скорости U(х) и начального профиля скоростей Uo(y) на развитие движения вязкой жидкости внутри пограничного слоя, то обобщенно подобное равенство (186) представляет лишь функцию дискретной совокупности параметров, выражающи влияние распределения скорости во внешнем потоке. Что же касается начального профиля скоростей, т. е. предыстории потока внутри пограничного слоя, то она учтывается только интегрально, через начальное значение какой-нибудь условной толщины пограничного слоя. [c.634]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...