Задача о кручении

В результате того, что аналитическое решение задачи о кручении бруса с некруглым поперечным сечением является достаточно сложным, возникла необходимость создания косвенных методой исследования этого вопроса. Среди таких методов первое место занимает метод аналогий. [c.95]

Учебник для вузов, в которых сопротивление материалов изучается по полной программе. Книгу в целом отличает глубоко продуманная последовательность изложения - от частного к общему - и разумное повторение материала, позволяющее глубже вникнуть в существо вопроса. В первой части дается традиционный курс сопротивления материалов в элементарном изложении. Во второй части приводятся дополнения по некоторым вопросам, рассмотренным в первой части, а также рассматриваются задачи, требующие применения методов теории упругости. Таковы, например, задачи о кручении стержней, о местных напряжениях, об изгибе пластинок, о кручении тонкостенных стержней. Для возможности более обоснованной трактовки таких задач в книгу включен раздел, посвященный основным уравнениям теории упругости и некоторым наиболее простым задачам этой науки. [c.234]

Примерами задач, где осуществляется данное напряженное состояние, являются задачи о кручении толстостенной трубы и кольца. [c.154]

Если положить ф=0, то получим решение задачи о кручении стержня круглого поперечного сечения. Действительно, в этом случае [c.176]

Таким образом, решение задачи о кручении стержня произвольного поперечного сечения сводится к отысканию гармонической функции кручения ф, удовлетворяющей уравнению (8.6) во всех точках поперечного сечения и условию (8.7) во всех точках контура L поперечного сечения. [c.176]

При решении задачи о кручении иногда вместо функции кручения Сен-Венана ф удобно ввести другую функцию F, называемую функцией напряжений Прандтля. Она вводится по формулам [c.176]

Л. Прандтль (1875—1953)—немецкий ученый. Ввел мембранную аналогию в задаче о кручении. [c.176]

Таким образом, задача о кручении стержня с произвольным поперечным сечением сводится к решению уравнения Пуассона [c.177]

В случае поперечных сечений сложной формы решение задачи о кручении может оказаться весьма трудоемким. В этом случае весьма эффективно использование так называемой мембранной аналогии Прандтля. Суть.ее заключается в том, что основные уравнения задачи о кручении стержня и задачи о деформации упругой мембраны, условно натянутой на контур поперечного сечения стержня и подвергнутой равномерному поперечному давлению q (рис. 8.4), аналогичны. [c.177]

Подставляя данную функцию в гармоническое уравнение (8.6), убеждаемся, что оно тождественно удовлетворяется. Следовательно, функция (8.24) является решением задачи о кручении. Подставим функцию ф в граничное условие (8.7). В результате имеем [c.178]

Эпюры касательных напряжений на малой и большой полуосях эллипса показаны на рис. 8.6. Если а=Ь, то постоянная А = 0 и <р=0, Ыз=0. В этом случае мы имеем задачу о кручении круглого стержня радиусом а. [c.180]

Согласно мембранной аналогии задача об изгибе мембраны математически аналогична задаче о кручении стержня при условии ql(2N) = GQ. Осуществляя указанную замену, получаем [c.182]

Рассмотрим задачу о кручении цилиндрического стержня, рассмотренную в 2.6, Поскольку напряжения в теории Генки ограничены, то, очевидно, задавать произвольный крутящий момент [c.285]

Методами сопротивления материалов решена задача о кручении бруса только круглого сплошного или кольцевого поперечного сечения. Расчетные формулы для напряжений и перемеш,ений получены на основании следуюш,и.х допуш,ений [c.230]

Задача о кручении бруса некруглого поперечного сечения не может быть решена методами сопротивления материалов в связи с тем, что гипотеза неизменности плоских сечений (гипотеза Бернулли) в данном случае неприменима. При деформации бруса происходит коробление сечения в результате неодинакового смещения его точек вдоль оси. Кроме того, задача весьма усложняется тем, что для некруглого сечения величина напряжения в точке зависит не от одной координаты (р), а от двух х и у). [c.239]

Задача о кручении бруса прямоугольного поперечного сечепия решена методами теории упругости. [c.239]

Рассмотрим задачу о кручении призматического стержня произвольного поперечного сечения под действием двух внешних моментов, лежащих в плоскости его крайних поперечных сечений (рис. 5.3). Объемные силы считаем равными нулю, а боковую поверхность — свободной от внешних нагрузок. [c.132]

Итак, решение задачи о кручении стержня сведено к определению функции ф (дг, у), которая должна удовлетворять уравнению (5.14) и граничному условию (5.16). [c.134]

Осуществление эксперимента мембранной аналогии в случае задачи о кручении призматического тела с профилем в виде многосвязного сечения представляет большие трудности. Однако для качественного изучения конкретной задачи о кручении полого призматического тела, как уже указывалось для случая односвязных областей, мембранная аналогия имеет большую ценность. [c.185]

Рассмотрим в качестве ариме-ра задачу о кручении тонкостенных труб. [c.185]

Как видно, в формулы для определения центра изгиба призматического тела с односвязным сечением входят функции ф и Ф, связанные только с решением задачи о кручении тела. Следует отметить, что если известна одна из функций ф, Ф, то другая определится путем квадратур из (7.110). [c.206]

Иногда находят решение, соответствующее упругому телу, но с несколько другим (но близким к заданному) более гладким поперечным сечением. Такой метод—смягчение геометрии формы— оказывается эффективным в задачах о кручении стержней со сложным поперечным сечением (случай кручения вала с входящими углами и т. п.) [64]. [c.58]

К числу задач, успешно решаемых методом конечных разностей, относятся те, которые сводятся к плоскому напряженному состоянию, к плоской деформации, к задаче о кручении, к задаче об изгибе плит и к задаче о напряженном состоянии пологих оболочек. [c.89]

Задача о кручении стержня произвольной формы сечения [c.91]

Как известно, задача о кручении стержней произвольного поперечного сечения сводится либо к отысканию решения уравнения Лапласа (гармонической функции) [c.91]

Задача о кручении бруса прямоугольного [c.98]

Задача о кручении бруса сложного сечения [c.102]

Как уже отмечалось, метод разделения переменных является эффективным, когда область в соответствующей криволинейной системе координат представляет собой параллелепипед (или прямоугольник). Однако возможно применение этого метода и в том случае. А, , когда область есть объединение областей такого вида [4]. Изложим этот метод на л примере задачи о кручении призматического стержня в форме уголка (рис. 31). [c.345]

Касательные напряжения в элементарном решении задачи о кручении вала единичного радиуса имеют следующие выражения [c.521]

Этот результат (пунктирная линия на рис. 61) вытекает из решения Нейбера [77] задачи о кручении тела вращения, содержащего внешнюю выточку. [c.525]

Это условие означает, что нормаль к контуру в данной точке направлена так же, как радиус-вектор точки, значит — контур представляет собою окружность. Итак, формулы (9.6.1) дают только решение задачи о кручении стержня, сечение которого ограничено концентрическими окружностями, значит либо сплошного круглого стержня, либо трубы. Вектор касательного напряжения, компоненты которого даются формулами (9.6.1), направлен перпендикулярно радиусу-вектору и величина его [c.291]

Надо сказать, что задача о кручении бруса может быть решена не только методами сопротивления материалов, но также и методами теории упругости без принятия каких-либо гипотез, кроме предположения о непрерывности строения вещества. Решение, полученное этим путем, показывает, что круглое поперечное сечение бруса действительно остается плоским и поворачибается как жесткое целое. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. [c.83]

В задачах механики часто встречаются случаи, когда совершенно различные по физической сущности задачи сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Тогда между задачами может быть установлена аналогия. Можно, не решая уравнения, сказать, например, что между переменными Хх и ух одной задачи существует та же зависимость, что и между переменными х , и у другой задачи. Тогда говорят, что переменная дгд является аналогом переменной ЛГ], д. у — аналогом переменной ух. Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить себе связь между переменными Хх и Ух, а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости от у.х. В та1гом случае установленная аналогия дает возможность наглядно представить себе закономерности, существующие в первой задаче. Так, в частности, обстоит дело с задачей о кручении. Оказывается, что, независимо от формы исследуемого сечения, задача о кручении бруса сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой по 7<онтуру того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента — объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. [c.95]

Рассмотренная аналогия не является единственной. Для задачи о кручении бруса могут быть предложены и другие аналогии, связанные, например, с гидродинамическими законами течений. В теории упругости при решении нетсоторых задач используются также эле) тро-статические аналогии, где законы распределения напряясеннй в упругом теле устанавливаются путем замера напряженности электростатического поля в различных точках исследуемой области модели. [c.97]

Показать, что решение задачи о кручении стержня с поперечным сечением в виде равностороннего треугольника можно получить, если, принять функцию депланации в виде (p=A(xh 3x X2), где А—постоянная величи-. на. Уравнения контура сечения определяются уравнениями (xi—а) = 0, (j i + 2а — > 3j 2) = О, (xi + 2а + у 3х2) =0- [c.184]

Ценность мембранной аналогии заключается не только в том, что она позволяет экспериментально исследовать проблему кручения, но и в том, что при помощи этой аналогии можно без какого-либо эксперимента в каждой конкретной задаче о кручении лризматического тела составить качественное представление о виде траекторий касательных напряжений и о наибольшем тангенциальном напряжении. [c.184]

Однако существенно больший интерес представляют такие задачи, для решения которых элементарные гипотезы не могут привести к цели. Типичный пример — задача о кручении призматического стержня. Если принять для кручения такую же гипотезу плоских сечений, которая была принята для изгиба, окажется, что верный результат получится только для того случая, когда сечение представляет собою круг или круговое кольцо для других форм сечения эта гипотеза приведет к очень грубой ошибке. Точно так же никакие элементарные нредно-ложения не позволяют найти напряжения в толстостенной трубе, подверженной действию внутреннего давления. Можно привести много примеров других элементов конструкций, для которых напряжения и деформации нельзя определить с помощью элементарных приемов, а нужно использовать уравнения теории упругости. [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...