ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральное представление общего решения из "Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела " Будем предполагать, что коэффициенты упругости ijKi продолжены в и ограничены там вместе со своими первыми производными, которые, кроме того, удовлетворяют на бесконечности условию (1.1.44). [c.29] При формулы (1.13) и (1.15) ((1.14) и (1.18)) дают представление полей перемещений и напряжений внутри тела через граничные интегралы, определяемые плотностями распределения граничных перемещений и поверхностных сил на Г, и через объемный интеграл, определяемый распределением заданных объемных сил в Q. Ядра этих интегралов выражаются с помощью формул (1.12), (1.16) и (1.17) через матрицу фундаментальных решений. Тем самым, если известна матрица фундаментальных решений, то основные краевые задачи упругой статики сводятся к нахождению в каждой точке границы неизвестных перемещений или поверхностных сил. Таким образом, понижается на единицу размерность исходной задачи. [c.32] Целесообразно и для величин Sijrt x,у) аналогичным образом выразить зависимость от компонент нор.мали. [c.32] Свойство (1.15) достаточно очевидно в силу (1.11). [c.34] Свойство (1.29) непосредственно следует из (1.31). Ввиду (1.30) столбцы матрицы Т х,у) будем называть сингулярными решениями. [c.34] Бесконечные области рассмотренного типа являются бесконечными областями с конечной границей. [c.35] Перейдем к случаю полубесконечной области Q типа полупространства, под которой будем подразумевать область с бесконечной границей, обладающую следующим свойством область й принадлежит некоторому полупространству и содержит другое полупространство (границы обоих полупространств конечно параллельны). Далее в качестве областей с бесконечной границей будем рассматривать только полубесконечные области типа полупространства, которые для краткости будем называть просто по-лубесконечными областями. [c.35] Ввиду (2.1) матрица фундаментальных решений U x,y) инвариантна относительно параллельного сдвига прямоугольной системы координат (канонического базиса), т. е. [c.36] Для построения матрицы фундаментальных решений (7(л ) = = [ г зхз воспользуемся методом плоских волн [66,45, 19]. [c.36] Заметим, что свойства (2.14) и (2.15) обеспечивают выполнение свойства (Г.9), доказанного другим путем для более общего случая упругой среды (вообще говоря, иеоднородной). [c.38] Следовательно, вычисление матрицы сингулярных решений Т(х,у) и ядер Dijm x,y), S jm(x, у) сводится к вычислению первых и вторых производных матрицы фундаментальных решений 0(х). [c.39] В полученных выше ( 1) формулах представления общего решения фигурируют интегралы по области в (объемный потенциал) и по границе области (граничные потенциалы). Объемный потенциал представляет собой интеграл со слабой особенностью, порядок которой возрастает при его дифференцировании. Интегралы с особенностями возникают и в граничных потенциалах при стремлении точки наблюдения на границу. [c.44] Важное значение для построения граничных интегральных уравнений имеет установление свойства непрерывности потенциалов вплоть до границы и нахождение связи предельных граничных значений потенциалов со значениями этих потенциалов на границе. [c.44] В настоящем параграфе, посвященном этим вопросам, рассматривается случай однородной (анизотропной, вообще говоря) среды. В пункте 4.1 приводятся некоторые общие сведения об интегралах с особенностями. [c.44] При рассмотрении граничных свойств потенциалов необходимо накладывать определенные требования на гладкость границы Г тела. Здесь будет в основном предполагаться, что Г — кусочно-гладкая граница класса при а 0 (см. 3 главы 1). Будем в этом случае называть Г кусочно-гладкой ляпуновской (или в смысле Ляпунова) границей. [c.44] у)— непрерывная в R X функция, (р(у) — ограниченная и интегрируемая в Q функция. Тогда интеграл (4.1) непрерывен 6- R . [c.44] Если предел справа в (4.4) существут, то интеграл (4.3) существует в смысле Коши и называется сингулярным интегралом. Точка называется полюсом сингулярного интеграла (4.3), функция со( , 0)— его характеристикой, функция ф(г )— его плотностью. [c.45] Имеет место следующая теорема [54]. [c.45] Теорема 4.3. Пусть характеристика (л , 0) ограничена и непрерывна по geO, и удовлетворяет условию (4.5). [c.45] Вернуться к основной статье