Формула Бетти

Принимая во внимание формулу Бетти (3.77), из сопоставления последних равенств (5.20) и (5.21) приходим к заключению [c.93]

Применим теперь двумерную формулу Бетти (4.26 ) гл. II к области, ограниченной контуром (см. рис. 23). Тогда для функций ( 40) и (8.42), получим [c.318]

Начнем построения с =1. Формула Бетти принимает вид — V Ь. u) йО.— uT V —у Т и)й8 = 0. (1.9) [c.550]

Поскольку формулы Бетти справедливы для случая областей, ограниченных несколькими поверхностями, то очевидно, что и полученные выше тождества также остаются справедливыми ). [c.551]

Преобразуем это тождество, воспользовавшись второй формулой Бетти (4.260 гл. И, применив ее к смещениям Va и Vb. Тогда получим равенства [c.563]

Равенство (2.16) позволяет установить еще один результат. Применим для этого третью формулу Бетти (4.26 ) гл. II к смещениям Va и Vь [c.563]

Как ранее отмечалось, все формулы Бетти, привлекаемые для спектрального анализа, оказываются справедливыми и для области, ограниченной несколькими поверхностями. Поэтому оказываются справедливыми утверждения, связанные с вещественностью собственных значений и их величин (они по модулю не меньше 1). Требуется лишь произвести дополнительный анализ для точек X = 1. [c.567]

При доказательстве единственности будем исходить из первой формулы Бетти (см. 4 гл. II) [c.599]

Пусть О а — область, вырезанная из полупространства сферой S радиуса Я с центром внутри 51 (/ 1 > Фат 51). Согласно первой формуле Бетти (4.26) гл. II имеем [c.602]

Согласно третьей формуле Бетти (4.26 ) гл. II (с учетом того, что смещения удовлетворяют неоднородному уравнению) получаем равенство [c.621]

Применяются и иные интегральные уравнения, вывод которых основан на использовании формул Бетти [273]. Приведем их без вывода [c.102]

Имеет место формула Бетти [c.35]

Формула Бетти для рассматриваемой моментной задачи имеет вид [c.112]

Построим два набора собственных напряжений и перемещений ui, oi, ii и uii, (оц, i[i соответствующих в первом случае значению = —1/2 для и, v и к == 1/2 для со, а во втором — значению к = 1/2 для и, v и /с = — 1/2 для со. Применим формулу Бетти для искомого решения и построенных собственных наборов поочередно. Тогда получим формулы для Со и Dq [c.112]

Запишем формулу Бетти для искомого решения (3.6.19), [c.127]

Это так называемая первая функция Бетти. Полагая в ней й = й, получим вторую формулу Бетти [c.82]

Тогда из третьей формулы Бетти имеем [c.83]

Формулы Бетти служат источником получения многих важных формул. Рассмотрим, например, задачу о действии сосредоточенной силы в неограниченном упругом пространстве. Предположим, что в точке среды действует сосредоточенная массовая сила [c.84]

Тогда первая формула Бетти примет вид [c.12]

Замечание 1.1. Для обоснования применимости формулы Гаусса—Остроградского при выводе первой формулы Бетти требуется наложить некоторые ограничения на область Q и на определенные Б ней функции, входящие в формулу (1.39). [c.12]

Предположим, что функции щ, ац и) н а,- непрерывны в Й, а функции (A )f интегрируемы в Q. Эти условия достаточны для справедливости первой формулы Бетти. [c.12]

Аналогичным образом формулируются условия, достаточные для справедливости второй формулы Бетти. [c.13]

Следовательно, р-и=р Ип+Рх-Иг- Поэтому первую формулу Бетти (1.39) можно записать также в виде [c.13]

Тогда на основании второй формулы Бетти (1.1.43), примененной к полям перемещений и и и, получаем равенство [c.29]

Легко видеть, что решение у, х) = Uu y, х), U2i(y,x), si(y, х) , удовлетворяющее (1.5), обладает свойством единственности. Действительно, пусть существуют два таких решения. Тогда их разность — вектор перемещений v, имеющий во всем пространстве нулевые объемные силы, удовлетворяет в силу первой формулы Бетти условию [c.30]

Рассматривая вектор и в момент времени t—x, а вектор и в момент времени т, получим на основании второй формулы Бетти (1.1.43) следующее тождество [c.89]

На основании первой формулы Бетти (1.1.42) и ввиду (1.20) [c.92]

Мф=(ТпМ) на Г. На основании первой формулы Бетти [c.126]

Из (3.38) и (3.40) получаем формулу Бетти [c.73]

Сопоставив сумму произведений всех компонент напряжений первого состояния на соответствующие компоненты деформаций второго состояния и аналогичную сумму для произведений напряжений второго состояния на деформации первого состояния. Очевидно, равенство этих сумм, в связи с чем справедливо тождество (которое в дальнейщем используется при выводе формулы Бетти) [c.221]

Для доказательства высказанных утверждений необходимо произвести ряд построений. Обратимся ко второй формуле Бетти (4.26) гл. II, применив ее для области, заключенной между заданной поверхностью 5 и сферой сге радиуса е с центром в некоторой точке Цо. Пусть при этом смещение и р) удоплст-воряет уравнению Ламе во всей области 0+, а смещение у(р) порождается силой, приложенной в точке ро и имеющей рапную [c.549]

Свойства функционала потенциальной энергии. Формула Бетти. Принцип Каетильяно. Тождество Прагера — Сингха. Введем в рассмотрение функционал потенциальной энергии деформации упругого тела, подчиняющегося закону Гука [c.35]

Изложенная методика вычисления коэффициентов интенсивности применима и к задачам линейной теории упругости. Следует лишь вместо собственной функции брать некоторый собственный вектор смещений и соответствующие ему собственные напряжения и вместо формулы Грина использовать формулу Бетти. В частности, формула Седова для коэффициентов интенсивности напря- [c.64]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...