Метод решения простейших дифференциальных уравнений

Наибольшую ценность представляют методы решения систем дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса в конечном виде (различные методы интегрирования). Замкнутые решения позволяют наиболее просто исследовать влияние отдельных параметров на ход процесса, найти соотношения между важнейшими показателями и др. В тех случаях, когда решить задачу таким образом нельзя, пользуются методами численного решения или методами экспериментальных аналогий. Роль численных методов решения различных краевых задач особенно повысилась в последние годы в связи с интенсивным развитием и внедрением в практику электронных счетных машин. Выбор метода решения зависит от конкретной задачи, требований, предъявленных к расчетным данным, и оценки затраты времени для ее решения с заданной степенью точности. [c.78]

Наконец, следует отметить, что методы, изложенные в данном параграфе применительно к градирням, имеют более широкую область применения. В конечном счете их следует квалифицировать просто как методы решения нелинейного дифференциального уравнения определенного типа. Такие методы можно применять для всех случаев решения уравнений указанного типа. Например, уравнение (7-114) [c.344]

Решение уравнения (1ба) можно заменить решениями двух более простых уравнений, применяя символический метод решения линейных дифференциальных уравнений. [c.649]

Методы решения второй задачи динамики разъясняются на примерах, помещенных в следующих главах. Решение этих примеров требует интегрирования некоторых простейших дифференциальных уравнений второго порядка, для чего достаточно первоначального знакомства с дифференциальным и интегральным исчислениями. [c.38]

Для решения задач нестационарной теплопроводности могут быть использованы различные методы. Наиболее общим, но весьма сложным даже для тел простой формы, является аналитический метод, при котором дифференциальное уравнение теплопроводности решается совместно с граничными и временными условиями. Обычно результаты решения представляются в виде графиков, удобных для использования. [c.372]

Однако в общем недостаточно ясно, что мы подразумеваем, когда говорим о решении системы дифференциальных уравнений. В самом деле, проблема считается решенной, когда координаты частиц модели в момент времени t выражены как простые функции времени t и тех параметров, которые определяют их начальные положения и скорости. Но что такое простые функции Мы будем, далее, считать функцию/(<) не формальным выражением, содержащим t, а величиной, определяемой переменной t, тогда невозможно четко разграничить простые и непростые функции. Если мы опускаем слово простые и говорим только функции, то каждая динамическая проблема разрешена как только она хорошо сформулирована, потому что дифференциальные уравнения с начальными условиями и начальным значением t определяют координаты в момент времени t. Это не только домыслы математиков, но и реальный факт, потому что в современных методах численного решения динамических проблем с помощью электронных вычислительных машин можно получить решение с любой желаемой степенью точности после замены дифференциальных уравнений разностными. Например, в баллистике этот современный [c.196]

Рассмотренный в предыдущей главе статический метод, в общей постановке сводящий задачу о приспособляемости (и предельном равновесии) к проблеме математического программирования, является весьма эффективным и универсальным. Однако его использование связано со сложными вычислениями. При применении ЭВМ требования к объемам запоминающих устройств в общем случае довольно высоки и возможности получения решений пока еще далеко не безграничны. Использование методов оптимального управления приводит в общем случае к необходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому заслуживают внимания другие методы, хотя и не столь универсальные, но позволяющие получать достаточно простыми средствами приемлемые по точности результаты применительно к отдельным классам задач, представляющим интерес для приложений. [c.88]

Дифференциальное уравнение (1.2), в котором искомая функция а = а(/) входит под знаком синуса, является нелинейным. Его решение не удается отыскать так просто, как решение линейного уравнения. Объясняется это тем, что до настоящего времени нет строгих математических методов точного решения нелинейных дифференциальных уравнений, хотя существует большое число методов отыскания их приближенных решений. [c.23]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

Метод функций Грина часто непосредственно применяется для решения линейных дифференциальных уравнений математической физики [59, 3, 28]. Однако полезность различных функций Грина заключается не столько в их удобстве для вычислений, сколько в том, что они выявляют связь между различными решениями [108]. С помощью функций Грина можно, например, получать тождества, неравенства и соотношения симметрии для всевозможных частных случаев. На основе этих функций можно изучать и устанавливать общие свойства решения, зависимости решения от различных наложенных на него условий, что принципиально невозможно в рамках прямых численных методов. Функции Грина удобны еще и тем, что часто допускают простую физическую интерпретацию. [c.20]

Наиболее простое приближенное решение этого дифференциального уравнения можно получить путем перехода к краевому интегральному уравнению и применения метода последовательных приближений. [c.102]

Классические методы пытаются решать задачи распределения полей напрямую, формируя системы дифференциальных уравнений на основании фундаментальных физических принципов. Точное решение, если удается получить уравнения в замкнутой форме, возможно только для простейших случаев геометрии, нагрузок и граничных условий. Довольно широкий круг классических задач может быть решен с использованием приближенных решений систем дифференциальных уравнений. Эти решения имеют форму рядов, в которых младшие члены отбрасываются после исследования сходимости. Как и точные решения, приближенные требуют регулярной геометрической формы, простых граничных условий и удобного приложения нагрузок. Соответственно, данные решения не могут быть применены к большинству практических задач. Принципиальное преимущество классических методов состоит в том, что они обеспечивают глубокое понимание исследуемой проблемы. [c.20]

Оно выражает обратное преобразование Фурье (нахождение оригинала по изображению). При решении линейных дифференциальных уравнений изображение неизвестной функции находится чрезвычайно просто и задача сводится к отысканию оригинала по изображению. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа играют большую роль в современных математических методах. Перейдем теперь к представлению стационарных случайных функций с помощью рядов Фурье. [c.175]

На простом примере в этом параграфе показано, что разные методы получения дискретного аналога приводят к одному и тому же конечному уравнению. Но это случается не всегда. Здесь мы использовали очень простое дифференциальное уравнение и выбрали частный случай предположения о профиле для метода контрольного объема. Для более сложных дифференциальных уравнений или для других предположений о форме профиля итоговые дискретные аналоги могут различаться в случае использования рядов Тейлора, метода контрольного объема и других способов. Решение, полученное с помощью метода контрольного объема, всегда будет сохранять баланс (энергии, количества движения и др.) во всей расчетной области, чего нельзя сказать о решениях, найденных другими методами. [c.31]

Для простых дифференциальных уравнений и простых схем дискретизации, особенно тех, в которых распределения потенциала и интенсивностей источников по линейным граничным элементам и треугольным внутренним ячейкам считаются однородными, все указанные выше интегралы можно вычислить аналитически. Их, безусловно, можно найти и приближенно с любой степенью точности методами численного интегрирования, как это приходится делать при вычислении интегралов от гораздо более сложных сингулярных решений с учетом их изменения по элементам с криволинейными границами. Используемые при этом численные квадратуры, изопараметрические элементы и т. п. будут подробно рассмотрены ниже. [c.77]

Несомненно, что из указанных выше двух классических задач задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки является более простою. В самом деле, решение этой задачи приводится к интегрированию шести уравнений первого порядка, в то время как задача трех тел приводится к интегрированию девяти уравнений второго порядка. Естественно было начинать с попыток приложения общих методов аналитической теории дифференциальных уравнений, именно к задаче о движении тяжелого твердого тела кроме того, эта задача представляла еще тот интерес, что она, несомненно, привлекала к себе гораздо менее внимание исследователей, в то время как задаче трех тел (ввиду несомненного астрономического интереса ее) было посвящено огромное число исследований. [c.23]

Решение указанных дифференциальных уравнений возможно лишь для некоторых простейших случаев. Поэтому аналитический метод в изучении явлений теплоотдачи большого и решающего значения не имеет. Вследствие этого в изучении процесса теплоотдачи большое значение приобретает эксперимент. [c.68]

Метод Канторовича, таким образом, сводит проблему решения системы дифференциальных уравнений в частных производных к проблеме решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (173). Так как достаточно просто решаются только системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то метод Канторовича может быть рекомендован для случаев, когда система (173) линейна. Линейной системе (173) соответствуют и линейная система дифференциальных уравнений в частных производных относительно всех тех слагаемых, в которые входят (д ). Обычно это равносильно требованию линейности всей системы, чему соответствуют только квадратичные функционалы. Отметим, что метод Канторовича может быть применен для различных функционалов. В зависимости от свойств этих функционалов решение может дать как завышенное, так и заниженное по жесткости значение. [c.88]

Чтобы проиллюстрировать применение метода конечных разностей для решения параболических дифференциальных уравнений, начнем с простой задачи. [c.120]

Отсюда можно заключить, что в общее решение уравнений (7.7) должны входить только три независимые гармонические функции, что и позволяет положить в (8.8) Фо—0. Однако, как это было указано еще П. Ф. Папковичем (которому принадлежит приведенная выше форма общего решения уравнений Ляме), сохранение Ф в (8.8) в ряде случаев оказывается целесообразным, поскольку это придает методу большую гибкость и позволяет в отдельных конкретных случаях существенно упростить выкладки за счет возможности произвольного выбора Фд. Наряду с (8.8) было предложено много других форм представления общего решения уравнений классической теории упругости через функции, подчиняющиеся достаточно простым дифференциальным уравнениям. (Начало исследований в этом направлении было положено Б. Г. Галеркиным, который выразил это общее решение через три независимые бигармонические функции.) [c.194]

Регулярное решение. Матричное дифференциальное уравнение (15.92) решается методами гл. 12. Единственное имеющееся при этом незначительное затруднение состоит в том, что в систему уравнений входят неодинаковые центробежные члены данное обстоятельство приводит к тому, что решения по-разному ведут себя в точке г = 0. Вследствие этого прежде всего не существует простого способа выделить регулярное решение с помощью задания граничного условия в нуле. Для триплетного состояния двух частиц со спинами /г с четностью (—1) + главным членом одного, регулярного решения-столбца является первый член, имеющий порядок г В других решениях-столбцах ведущим является второй член, имею.щий порядок Все остальные элементы матрицы имеют порядки между г и и они зависят от потенциала. Таким образом, невозможно выделить первое решение-столбец с помощью граничного условия так, чтобы исключить произвольную примесь второго решения-столбца. [c.427]

Те, кто знаком только с численными методами для обыкновенных дифференциальных уравнений, постоянно удивляется низкому порядку аппроксимации в схемах, применявшихся в прошлом для дифференциальных уравнений в частных производных. Причина этого просто заключается в том, что для нетривиальных задач гидродинамики трудно добиться фактического получения результатов равномерно высокого порядка точности. В полной задаче точность решения уравнения переноса вихря будет ограничена точностью решения уравнения Пуассона (см. разд. 3.2) и постановкой граничных условий "(см. разд. 3.3.1). Последняя особенно увеличивает трудность достижения равномерно высокого порядка точности для задачи в целом при использовании стандартных многоточечных уравнений высокого порядка точности, таких, которые рассматриваются в разд. 3.2.10. (Например, вблизи прямолинейной границы, обычно параллельной одной из осей координат, для схемы с ошибкой порядка О Ах ) требуется знать значения на границе и в пяти ближайших внутренних точках см. Саусвелл [1946].) Исследовать устойчивость таких схем очень трудно, хотя здесь на помощь может прийти понятие расщепления по времени (разд. 3.1.13). [c.170]

Применительно к ЖРД, описываемому в простейшем линейном приближении дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, использование z-преобразования и метода логарифмических частных характеристик затруднительно. Поэтому будем пользоваться наиболее точным, а в нашем случае и наиболее простым методом численного интегрирования дифференциальных уравнений. Для расчета используем линейную модель ЖРД с дожиганием окислительного газа, описываемую уравнениями (7.1.5), (7.1.7), (7.1.9) — (7.1.15). В математическую модель ЖРД введем алгоритм управления для цифрового регулятора. При этом будем рассматривать управление только по одному контуру и для упрощения в первом приближении примем, что первичные преобразователи идеальные, шум в измеряемом сигнале отсутствует, обмен информацией между ЭВМ и остальной частью системы происходит мгновенно с постоянным синхронным тактом квантования Т , т. е. в каждый момент йГо ЭВМ принимает сигнал для обработки и одновременно выдает сигналы управления в форме решения по алгоритму по данным измерений параметров ЖРД в предыдущем такте. [c.272]

Теория Прандтля основана на рассмотрении системы П-образных вихрей и нриводит к интегро-дифференциальному уравнению для распределения циркуляции вихря вдоль несущей линии крыла. В простейшем случае можно принять эллиптическое распределение подъемной силы вдоль крыла, что приводит к удобным формулам, позволяющим определить в некотором смысле минимальную величину индуктивного сопротивления (М. Мунк). Исследования приближенных методов решения интегро-дифференциального уравнения крыла конечного размаха были начаты в Германии еще А. Бетцем (1919— 1920) и Э. Треффтцем (1921), значительные успехи в этой области были достигнуты там позже Г. Мультхоном [c.290]

Уравнение (3-3) ыожно достаточно просто решить и при помощи целого ряда стандартных методов решения линейных дифференциальных уравнений. Преимущество использования преобразования Лапласа и полных таблиц изображений те.м более очевидно, чем сложнее дифференциальное уравнение. [c.41]

Рассмотрим применение интегральных уравнений для расчета теплообмена в простейшем случае течения — вдоль плоской пластины [dpldx = 0). (Строгий метод решения системы дифференциальных уравнений пограничного слоя для пластины будет рассмотрен в разд. 5.11.) [c.124]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Из-за математических трудностей точное решение уравнений ламинарного пограничного слоя возможно лишь в случае, когда скорость внешнего потока выражена как простая функция расстояния вдоль стенки. Для более сложных скоростных распределений необходимо прибегать к приближенному методу решения, в котором уравнение количества движения интегрируется по толш,ине пограничного слоя и, следовательно, удовлетворяется только в среднем. Задаваясь формой скоростного профиля в функции расстояния, нормального к стенке, получаем обычное дифференциальное уравнение, в котором расстояние вдоль стенки является независимой переменной. В хорошо известном методе Польгаузена [c.166]

Для решения системы (38) целесообразнее использовать метод численного интегрирования, который является наиболее универсальным и допускает простую реализацию на ЭЦВМ. Эта система уравнений может быть проинтегрирована по стандартной программе решения систем дифференциальных уравнений первого порядка, входящей в математическое обеспечение современных ЭЦВД1. Для этого необходимо лишь ввести уравнения (38) в машину, задать начальные условия to, сою, шго, Qo] и требуемую точность интегрирования. [c.32]

Случай изменяющейся геометрии стержней приводит к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами (ступенчатые стержни, стержни с непрерывно меняющимися по длине сечениями, криволинейные стержни с переменными радиусами кривизны, а также стержни с изменяющимися по длине массой, сжимающей силой, коэффициентом постели и т.п.). Теория построения решений таких уравнений приводит к псевдодифференциальным уравнениям и сложным фундаментальным функциям. Известны буквально считанные случаи в механике и других науках, когда удавалось построить фундаментальные решения для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В публикациях на эту тему наметился другой подход, когда объект с распределенными параметрами заменялся объектом с кусочно-постоянными параметрами (рисунок 2.36). В этом случае все ступени описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, решения которых всегда можно получить. При достаточном числе ступеней решение для дискретизированного таким образом стержня будет мало отличаться от решения для стержня с распределенными параметрами. Эта простая идея довольно долго не могла быть реализована из-за отсутствия соответствующего метода расчета. Метод начальных параметров (МНП), методы сил и перемещений, МКЭ и другие методы приводят алгоритм расчета к произведениям матриц фундаментальных функций, что при большом числе ступеней существенно ухудшает точность результатов вследствие неустранимых погрешностей округления. Предлагаемый аналитический вариант МГЭ свободен от этого недостатка. [c.109]

Поиск частот собственных колебаний связан с приведением матрицы Д к верхнетреугольному виду и дальнейшему анализу знаков диагональных элементов или величины определителя (3.2). При росте частот собственных колебаний растут и абсолютные величины диагональных элементов верхнетреугольной матрицы. Поэтому верхняя граница спектра частот по МГЭ зависит от возможностей ЭВМ. Для определения частот можно использовать метод исключения Гаусса, где достаточно выполнять только прямой ход. Представим фундаментальные решения линейных дифференциальных уравнений простых видов колебаний. [c.125]

С другой стороны, развитие механики деформируемого твердого тела идет по пути усложнения исследуемых моделей и постановок задач. Исходя из модельных представлений механики, композиционный материал можно определить как неоднородную среду, описываемую с помощью разрывных по координатам быстроосциллирующих материальных функций, которые, как правило, считаются либо периодическими, либо случайными однородными. Необходимость разработки методов решения дифференциальных уравнений с такими коэффициентами привела к появлению относительно новой области математических исследований — теории осреднения дифференциальных операторов с частными производными, позволяющей получить решение исходной задачи с помощью более простых дифференциальных уравнений, называемых осредненными. [c.7]

Пусть инициирование полубесконечного слоя ВВ происходит в плоскости а = 0 в момент времени 1— 0. Слева от плоскости о = О находится вакуум. Для этого случая возможно точное решение системы дифференциальных уравнений методом характеристик, определяющее течение в простой волне разреже я [c.124]

В заключение заметим вы не должны забывать, что вычислительная программа, такая как ONDU T, является просто инструментом для решения системы дифференциальных уравнений численным методом. Если уравнения удовлетворительно описывают реальность, то рассчитанные результаты очень полезны. Однако, когда математическая модель сомнительна, то результаты вычислений настолько же хороши , насколько лежащие в их основе уравнения. В таких случаях желательно провести некоторую экспериментальную проверку, которая часто приводит к дальнейшей доработке и корректировке математической модели. Нет безусловных гарантий того, что итерационный метод, используемый в ONDU T, приведет к сходимости решений для всех типов нелинейностей. Несмотря на это, вы можете черпать надежду из эмпирически доказанного факта, что программа позволяет решать очень большое число сложных задач. Подобный успех ожидает и вас. [c.125]

Приближенные методы решения для установившихся потоков. Вообще проблемы пограничного слоя не могут быть сведены к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Математически изящный метод решения уравнений двухмерного пограничного слоя в частных производных, предложенный впервые Блазиусом и развитый впоследствии К. Хейменцом и Л. Говардом, выражает распределение скорости степенным рядом по длине дуги вдоль границы с коэффициентами, представляющими универсальные функции ортогональных координат. Этот метод обладает тем преимуществом, что, раз затабулиро-вав универсальные функции, можно решать любые двухмерные проблемы с помощью только арифметических выкладок. Недостатком этого метода, однако, является то, что в случае медленной сходимости для получения точного решения требуется большее число универсальных функций, чем затабулировано. Тем не менее этот метод очень ценен для проверки точности других более простых методов с меньшим приближением и используется на практике для расчета первого участка ламинарного пограничного слоя, тогда как следующие по течению участки рассчитывают при помощи одного из имеющихся численных приемов получения последовательных изменений профиля пограничного слоя. Хотя эти методы являются действенными средствами решения проблем ламинарного пограничного слоя, ограниченность объема настоящей работы не позволяет изложить их здесь. Вместо этого рассмотрим метод решения, предложенный Вейгард-том, считающийся лучшим из известных методов. В этом методе дифференциальное уравнение- в частных производных также заменяется приблизительной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.312]

Преобразование Лапласа представляет собой математический метод, позволяющий относительно просто решать линейные дифференциальные уравнения. В результате преобразования дифференциальное уравнение (оригинал) приобретает форму алгебраического уравнения (изображение), в котором в качестве независимого переменного вместо времени используется комплексное переменное s. Решение исходного дифференциального уравнения отыскивается посредством применения к решению указанного алгебраического уравнения обратного преобразования Лапласа. Уравнения переходного процесса в системе автоматического регулирования, как правило, решаются этим методом, чему в большой мере способствует наличие достаточно полных таблиц преобразований Лапласа. Другая причина широкого распространения метода преобразования Лапласа состоит в том, что по выражению для передаточной функции системы, которая определяется как отнонтение преобразованного по Лапласу выходного сигнала к входному, также преобразованному по Лапласу, можно непосредственно получить частотные характеристики системы. Любое количественное исследование систе.мы автоматического регулирования начинается с определения передаточных функций каждого элемента структурной схемы системы. [c.29]

Общая теория малых колебаний материальной точки приводится во всех курсах теоретической механики. Задача обычно сводится к отысканию решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Наибольшие затруднения, по-видимому, представляют вопросы, связанные с определением сил,, создающих колебательное движение, а также составление дифференциальных уравнений, определяющих малые колебания. В простейших задачах линейные дифференциальные уравнения в точности описывают механический процесс. В общем же случае эти уравнения являются лишь приближенными и остаются справедливыми только для достаточно малых колебаний. Методы линеаризации уравнений движения остаются и в настоящее время наиболее простым и эффективным средством решения бТ)льшей части технических задач. [c.48]

В работе [43] для этого используется разложение в ряд. Другой способ, употреблявшийся в работе [80], состоит в использовании точного решения (2.20), являющегося асимптотикой соответствующего решения в плоскости годографа. Данные на характеристике ЕЕ, достаточно близкой к точке К, получаются из этого решения, после чего методом характеристик строится решение в области ЕЕА2В. Контур АС, ограничивающий область простой волны, получается как решение обыкновенного дифференциального уравнения по данным на последней характеристике узла АВ. [c.118]

Метод Келлера — Рубинау, описанный в предыдущей главе, применим, если существует замыкающаяся конгруэнция лучей, или, точнее, /—1 параметрическое семейство конгруэнций. Такие конгруэнции удалось пока построить только в том случае, когда переменные в соответствующем уравнении эйконала разделяются в выбранных должным образом криволинейных координатах. Однако если переменные в уравнении эйконала разделяются, то задачу о построении асимптотики собственных функций можно свести к нахождению асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, роль построений 1—5 главы 3 сводится, казалось бы, лишь к интересной геометрической интерпретации асимптотических формул, которые могут быть получены более простым путем. [c.101]

В основе спектрального метода лежит стандартный математический аппарат, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения в частных производных. Решение ищется в виде разложения по ряду базисных функций от пространственных переменных с конечным числом членов ряда п. Эффективный способ применения спектральных методов к решению нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамические процессы, предложен Орсегом 30]. Преимуществом спектрального метода является возможность точного удовлетворения граничных условий при правильном подборе базисных функций, впрочем, только для областей с простой геометрией. Кроме того, этот метод в определенных условиях позволяет получить более точное решение по сравнению с методом, основанным на интегрировании по контрольному объему. Однако применение спектрального метода к решению системы уравнений Навье—Стокса встречает значительные трудности. Число базисных функций п вычисляется как отношение наибольшего характерного геометрического масштаба поля течения к наименьшему. Например, в случае течения в ограниченной области пространства наибольший масштаб имеет порядок размеров этой области, а наименьший определяется толщиной вязкого слоя вблизи стенки. Для сложных пространственных задач и течения с большими числами Рейнольдса указанное отношение может быть достаточно велико. Очевидно, ошибка численного решения уменьшается с ростом числа базисных функций п. Приемлемая точность решения часто не может быть достигнута из-за непомерно возрастающего с ростом п объема вычислений. Кроме того, при применении спектрального метода ошибка решения носит глобальный характер (т.е. появление погрешности решения в какой-либо точке приводит к распространению ошибки на всю область независимых переменных). С увеличением степени нелинейности уравнений эффективность спектральных методов снижается. Поэтому спектральные методы используются в основном для исследования однородной или изотропной турбулентности или для расчета течения в областях простой формы. [c.197]

В космической баллистике используют различные системы координат. При Удачном их выборе дифференциальные уравнения движения КА даже при самом полном учете действующих иа КА сил принимаккг более простой вид, что существенно упрощает решение конкретной навигационной задачи. Однако и при правильном выборе системы координат и состава используемых переменных, характеризующих движение, сложность решения системы дифференциальных уравнений и подбора рационального метода получения требуемых данных в значительной степени зависят от полноты и сложности задания правых частей уравнения (18.1), т. е. ее составляющих О, К, Р, Q. Эта задача доста- [c.476]

В тех случаях, когда специалист может дать полную оценку принимаемых решений, например, в баллах, и указать, что одно решение имеет балл, например, 4, а второе - 5. Это, конечно, наилучший вариант оценивания решений. Если при этом еще известны точки экстремума некоторой функции, которые являются оптимальным решением данной задачи, и они могут быть найдены традиционными методами, например, решением системы дифференциальных уравнений, то нахождение оптимального решения сводится к хорошо разработанным традиционным методам, которые здесь рассматривать просто нет смысла. Однако, как уже отмечалось, очень часто, может быть, даже в большинстве случаев, свести задачу оценки нахождения оптимального решения к классическим методам не удается. Поэтому в последнее время усиленное внимание теоретиков и прикладников уделялось разра- [c.142]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...