Простая итерация

Численные методы решения (5.1) различаются способом вычисления поправки AV . В методе простой итерации [c.227]

Метод простой итерации характеризуется медленной сходимостью. Если система (5.1) плохо обусловлена, то значение h, при котором обеспечивается сходимость, мало и требуется большое число итераций [c.227]

Однако не во всех случаях релаксационные методы оказываются эффективнее метода простой итерации] [c.228]

В методе простых итераций И может достигать неприемлемо больших значений, поэтому целесообразно ввести на И ограничение Игр сверху. Если принять Ягр=1,5-10 , то из соотношения Ягр = —0,5 Ц Ige при е=10" получаем, что метод простых итераций можно применять только к решению системы уравнений, у которых матрица Якоби имеет Ц< 0. Методы Зейделя, Якоби, последовательной верхней релаксации (ПВР) имеют аналогичный характер зависимости И от Ц, хотя скорость сходимости у них часто оказывается несколько выше, чем в методе простых итераций. [c.234]

Надежность применения метода определяется не только фактом принципиальной сходимости к корню, но и тем, каковы затраты времени Т на получение решения с требуемой точностью. Ненадежность итерационных методов проявляется либо при неудачном выборе начального приближения к корню (метод Ньютона), либо при плохой обусловленности задачи (методы релаксационные и простых итераций), либо при повышенных требованиях к точности решения (метод простых итераций), либо при высокой размерности задач (метод Гаусса при неучете разреженности). Поэтому при создании узкоспециализированных программ необходимы предварительный анализ особенностей ММ заданного класса задач (значений п, Ц, допустимых погрешностей) и соответствующий выбор конкретного метода. При создании ППП с широким спектром решаемых задач необходима реализация средств автоматической адаптации метода решения к конкретным условиям. Такая адаптация в современных ППП чаще всего применяется в рамках методов установления или продолжения решения по параметру. [c.235]

Для синхронного моделирования (решения систем логических уравнений) используются итерационные методы простой итерации и Зейделя. [c.251]

Алгоритм метода простой итерации при решении (5.19) совпадает с алгоритмом асинхронного моделирования при tft = l. На первой итерации (такте) выбирается начальное приближение Vq и подставляется в правую часть (5.19), при этом определяется новое приближение Vi. На второй итерации рассчитывается V2 при подстановке Vi в правую часть [c.251]

Итерации по методу Зейделя отличаются от простых итераций тем, что новое значение k-ro элемента вектора V, сразу же после его вычисления на г-й итерации заменяет старое значение и используется для вычисления новых значений следующих элементов вектора V,- на той же t-й итерации, т. е. [c.251]

Уравнение Кеплера можно решать методом простой итерации. На рисунке представлен результат трех первых итераций. Видно, что отображение через итерацию оказывается сжимающим. Число арифметических операций для каждой итерации невелико, и процесс сходится достаточно быстро. [c.263]

Полученную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных решаем одним из существующих методов. Часто применяют метод простой итерации, но, конечно, пригодны и другие приемы. Таким образом найдем поле значений функции для момента т. е. величины 1з, Далее по формулам (8.58), заменяя в них л = О на п = 1, определим значения проекций скорости Ux, и у для момента ti. Теперь, обращаясь вновь к уравнению (8.56), заменим в нем все величины, относившиеся к моменту to, на величины, соответствующие моменту Тогда найдем уравнение для определения значения вихря в момент т. е. величины Q , k- Затем снова, используя систему (8.57), находим все Повторяя последовательность операций, получим численное описание неустановившегося течения через функции 2 и . Одновременно находим поле скоростей. [c.323]

Рассмотрим теперь несколько более подробно алгоритм вычислений по методу итераций. Процесс вычисления вектора х в (/г + 1)-м приближении по известному к-му приближению состоит в последовательном вычислении компонент этого вектора. При этом вектор х в k-м приближении должен быть сохранен в памяти вычислительной машины до конца вычисления нового вектора х. Затем необходимо организовать пересылки вновь вычисленных компонент вектора х в те ячейки памяти, где хранилось предыдущее приближение. После этого весь процесс можно повторить. Намного проще реализуются вычисления по методу Зейделя, одному из модификаций метода простой итерации. В ней матрица А заменяется суммой двух матриц + 2. где [c.92]

Итерационные методы. Рассмотрим метод простой итерации для систем [c.26]

Таким образом, метод Зейделя эквивалентен методу простой итерации (1.69) приВ=—ЛГ Лг, с = ЛГ Ь,что определяет и условия его сходимости. Сформулируем достаточное условие сходимости метода Зейделя если 1 I йц], / = 1, 2,..., [c.27]

Если эта последовательность сходится, то она сходится к корню уравнения. Метод (1.74) называется методом простой итерации. Если во всех точках рассматриваемого интервала Га, Ь] функция ф(х)е[а, Ь], существует и непрерывна ф (л ) и ф (л ) <1, то итерации (1.74) сходятся при хо [а, f ]. Это легко показать, воспользовавшись формулой Лагранжа [c.28]

Большинство итерационных методов для системы /lv=f А — матрица, v, f —векторы), в том числе метод простой итерации и метод Зейделя можно символически записать в виде [c.134]

Система (7.45) является нелинейной системой уравнений относительно a,(n+i), t=l, 2,..., N. Решение ее методом простой итерации нецелесообразно, так как условия сходимости итераций приводят к ограничению на шаг h (hxx) такому же, как при использовании явных схем. Поэтому необходимо применять какой-либо иной метод, например метод Ньютона с переменной матрицей Якоби D, элементами которой являются dfi/dak- Эту матрицу удобно находить, используя аналитические выражения для производных dfi/dak. Неизвестные адп+1) находят итерациями по формуле [c.207]

Поскольку применение метода Ньютона приводит к значительным затратам машинного времени, особенно с увеличением числа компонентов, что, как отмечалось, связано с вычислением и обращением матрицы Якоби, развиваются методы простой итерации для решения системы (7.45), в которых не требуется вычисления и обращения матрицы Якоби . [c.209]

Итерационная схема состоит из двух шагов. На первом (промежуточном) шаге определяется величина вектора концентраций по схеме простой итерации [c.209]

В заключение отметим, что оба рассмотренных метода можно применять и для решения систем нелинейных алгебраических уравнений общего вида. Для общего случая изложение метода простой итерации и метода Ньютона приведено в (2, 101. [c.16]

Для решения уравнения (1.56) применяют два метода метод простой итерации и метод Ньютона. Рассмотрим первый метод. В этом случае находим с помощью итерационного процесса [c.36]

Для решения жестких систем применяют специальные неявные разностные схемы, при реализации которых возникает ряд трудностей. Во-первых, при решении систем нелинейных разностных уравнений применение метода простой итерации неэффективно. Необходимо применять метод Ньютона. Во-вторых, линейные системы разностных уравнений, получающиеся либо непосредственно в процессе решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, либо при реализации метода Ньютона в случае нелинейных систем, являются часто плохо обусловленными. Для их решения применяют специальные приемы. [c.41]

Если функция / (ц) достаточно гладкая, то часто есть возможность значительно сократить количество вычислений функции по сравнению с методом половинного деления. Известны различные итерационные методы, из которых мы рассмотрим только метод Ньютона, метод секущих и метод простой итерации. Р - 2 3 [c.55]

Метод простой итерации. В заключение остановимся на самом простом методе решения нелинейных уравнений, который так и называется — метод простой итерации. Для применения этого метода уравнение (2.14) представляется в виде [c.56]

На рис. 2.6 показан пример сходящегося, а на рис. 2.7 — расходящегося процесса простой итерации. [c.57]

Отметим, что переход от уравнения (2.14) к уравнению (2.18) может производиться различными способами и соответственно будут получаться разные схемы простой итерации. Например, в нашем случае уравнение (2.15) можно представить в виде (2.18) следующими способами [c.57]

Для рассматриваемых задач обычно используют два способа решения нелинейной разностной схемы (3.67) — (3.69) при т = /. Первый способ — метод простой итерации — состоит в следующем. На каждом /-м шаге по времени организуется итерационный процесс, в котором значения коэффициентов вычисляются по температурам предыдущей (s—])-й итерации. Верхним индексом в скобках будем обозначать номер итерации, выполняемой на текущем шаге по времени, а индекс / при этом будем опускать, имея в [c.107]

Для численного решения этих уравнений применяют различные итерационные методы (методы последовательных приближений). В гидравлических расчетах хорошо зарекомендовал себя метод простой итерации или его модификации — метод Зейделя. Могут быть использованы также метод Ньютона, метод деления интервала пополам и т. д. [c.137]

Рассмотрим метод простой итерации на примере системы двух уравнений в следующем виде [c.137]

Ниже описывается простой и эффективный алгоритм решения вещественных алгебраических или трансцендентных уравнений являющийся усовершенствованием метода простых итераций. Алгоритм обеспечивает сходимость вне зависимости от формы уравнения и в качестве исходного приближения требует одного значения аргумента. [c.211]

В случае решения системы большой размерности на ЭВМ. потребовалась бы очень большая память. Поэтому для реализации на ЭВМ решеиия таких сложных систем, как система уравнений математической модели паротурбинной установки, метод Ньютона малоэффективен. Метод простой итерации, а также метод Зейделя [Л. 16] дают возможность более эффективно реализовать на ЭВМ решение рассматриваемой системы. При использовании этих методов в запоминающем устройстве ЭВМ хранятся лишь столбцы (векторы) решения двух последовательных итераций и л , где д Ч = =4>i x°u [c.22]

Для ЭКОНОМИИ памяти ЭВМ несколько кодов записывается в одной ячейке. Управление процессом расчета на ЭВМ осуществляет специальный блок управления (подпрограмма-диспетчер), для которого основной информацией является логическая. Блок управления, расшифровывая и перерабатывая эту информацию, осуществляет надлежащую последовательность расчета. Первая подсистема уравнений математической модели схемы в основном состоит из уравнений состояний. При применении уравнений состояния, выражающих явную зависимость свойств от температуры и давления, параметры состояния на выходе из отсека определяются итеративными методами (методы хорд, половинного деления, простой итерации). [c.29]

Вторую подсистему в основном составляют линейные уравнения теплового и материального балансов для определения расходов отбираемого пара. Матрица этой подсистемы имеет большое количество нулей, поэтому для ее решения эффективны итеративные методы, в частности метод простой итерации. Погрешность итеративных методов не должна превосходить 0,031 кг/с по расходу и 0,4 кДж/кг по энтальпии. В целях экономии оперативной памяти целесообразно коэффициенты каждого уравнения каждый раз подсчитывать при обращении к его решению, а не держать постоянно в памяти при решении всей подсистемы. При вышерассмотренном расчете значения к. п. д. большинства отсеков не подсчитываются, а извлекаются из массива исходной информации. [c.30]

Вышеприведенные системы линеаризованных алгебраических уравнений необходимо дополнить уравнениями состояния для энтальпии теплоносителей, уравнениями смещения (впрыски и др.), расхода топлива, теплообмена в топке, радиационного теплообмена, а также уравнениями, отражающими связи искомых переменных по поверхностям нагрева. Таким образом, получается математическая модель тепловых процессов в парогенераторе. Для реализации этой модели на ЭВМ разработан алгоритм, сводящийся к итеративному процессу решения данной системы комбинацией методов Зейделя и простой итерации. Расчет полной системы модели парогенератора наиболее эффективно проводится по ходу движения дымовых газов от топки. [c.48]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

В литературе для решения системы (2.42) а нелинейных уравнений с а неизвестными предлагаются итерационные методы [24]. Наиболее распространен метод простых итераций для решения систем специального вида [c.28]

Всего в программе около 20 итерационно уточняемых параметров. По одним из них (А, Гвых ТS — температура насыщения и т. д.) число итераций невелико, циклы небольшие. При нахождении других (Z)r, вх — температура на входе в турбину низкого давления, бр и т. д.) циклы включают расчет всей схемы, где в свою очередь имеются меньшие циклы, поэтому для таких параметров весьма важно задание хорошего исходного приближения. Для определения температуры теплоносителя на выходе из нагревателя газа, температуры жидкости на выходе из насоса, расходов газа и Na по теплообменным аппаратам применяется метод простых итераций с автоматическим выбором величины шага, в остальных случаях — итерационный метод Зейделя. [c.98]

Рассмотрим процесс простой итерации. Следуя работе [18], назовем граничные узлы узлами первого разряда. Внутренние узлы, у которых среди соседних есть хотя бы один граничный узел, назовем узлами второго разряда внутренние узлы, у которых среди соседних имеется хотя бы один узел второго разряда, назовем узлами третьего разряда и т. д. Таким образом, все узлы окажутся разбитыми на конечное число разрядов. [c.83]

Для граничных узлов доказательство ведется точно таким же образом, как и для простой итерации (узлы первого разряда). [c.85]

Проверьте наличне сходимости при решении уравнения j —10=0 методом простой итерации с Л=0,5 и h = 4, задавшись начальным приближением j o=0. [c.260]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...