Равновесие предельное

Оказывается, что для выяснения качественной картины для системы второго порядка нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых из них, называемых особыми траекториями. К последним относятся состояния равновесия, предельные циклы и незамкнутые траектории, у которых хотя бы одна полутраектория (т. е. кривая, описываемая изображающей точкой при t +00 или при — XD из начального положения точки в момент времени t = о) является сепаратрисой какого-нибудь состояния равновесия. Если взаимное расположение этих особых траекторий известно и, кроме того, определена устойчивость состояний равновесия и предельных циклов, то мы получаем полную качественную картину разбиения плоскости ху на траектории. [c.42]

Итак, если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. полностью выяснить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. [c.43]

При условии состояния равновесия предельная растворимость олова в меди при нормальной температуре составляет 16в/о- Однако в обычных условиях отливки бронзовых деталей затвердевание бронзы в форме происходит со скоростью, значительно превышающей скорость диффузии олова в меди. [c.303]

Сила трения может принимать различные значения от нуля до наибольшего. Поэтому уравнения равновесия твердого тела, которые выражались равенствами [ 2, уравнения (1 ), (2 ), (3 )], при наличии сил трения превращаются в неравенства. В связи с этим при решении задач, как правило, рассматривают наибольшее значение силы трения и находят при этом из уравнений равновесия предельные (наибольшие и наименьшие) значения искомых величин. [c.105]

В нелинейных системах возможны режимы автоколебаний. Поэтому характер особых точек для нелинейных систем еще не определяет поведения изображающей точки на всей фазовой плоскости. В таких случаях требуется дополнительно выяснить характер движения изображающей точки вдали от точки равновесия. Для нелинейных систем имеется три типа особых траекторий точка равновесия, предельные циклы, усы седел. [c.24]

Требуется отдельный анализ, чтобы выяснить характер движения изображающей точки вдали от точки равновесия. При таком анализе важную роль играет определение так называемых особых траекторий на фазовой плоскости. Имеются три типа особых траекторий точки равновесия, предельные циклы, усы седел. [c.227]

Предельную нагрузку находят из приведенных выще уравнений равновесия, предельного условия (8) или (10) и соответствующих зависимостей для скоростей кривизн. Рещение этой системы уравнений связано со значительными трудностями (исключая случай осесимметричных пластинок). Весьма эффективно применение энергетических методов (см. гл. 3). [c.617]

Лемма 2. Пусть незамкнутая полутраектория имеет отличную от состояния равновесия предельную точку М. Пусть I — дуга без контакта, проведенная через точку М, имеющая М своей внутренней точкой. Тогда траектория пересекается с дугой I в счетном множестве точек, стремящихся к точке М. Если перенумеровать эти точки в порядке возрастания соответствующих им значений I [c.107]

Рассмотрение частных примеров разбиений на траектории (например, разбиений в случае систем (9) и (11) 1, п. 14) приводит к заключению, что не все траектории равноправны, что во всяком разбиении есть такие траектории, которые естественно назвать особыми , в отличие от остальных неособых траекторий. В рассмотренных выше примерах такими особыми траекториями являлись состояния равновесия, предельные циклы и сепаратрисы седел. Непосредственно представляется очевидным, что при установлении топологической структуры разбиения на траектории знание числа и расположения таких особых траекторий играет фундаментальную роль. [c.256]

II. Вокруг каждой точки полутраектории L+, имеющей отличную от состояния равновесия предельную траекторию, всегда можно указать такую окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории орбитно-устойчивы при г ->- + оо и при i + оо имеют то же предельное множество, что и L+. [c.54]

Это интересное для радиотехники (а также для других областей науки) явление жесткого возбуждения колебаний получает здесь на языке состояний равновесия, предельных циклов и бифуркационных значений параметра естественное адекватное объяснение. Значения параметра Я1 и Яо, соответствующие сложному фокусу и двукратному предельному циклу, являются, очевидно, бифуркационными ). [c.224]

При дальнейшем убывании Я на интервале 0<Яо<Яо смены устойчивости состояний равновесия не происходит, но при Я = О циклов уже нет (при Я = О существует интегральная прямая г/ = 0, проходящая через все состояния равновесия). Предельные циклы могут исчезнуть, только превратившись в петли сепаратрис или слившись с циклами, вновь возникшими из петель сепаратрис. Существенно, что циклы вокруг фокусов и цикл, охватывающий все три состояния равновесия, имеют разную устойчивость. В соответствии со знаком седловой величины (гл. 11) только неустойчивые циклы, охватывающие состояния равновесия, могут превратиться (и обязательно превратятся при некотором Я = Я ) в петли сепаратрис. Эти две петли (возникающие одновременно, так как Ь = 0 — линия симметричных структур) можно рассматривать как одну вырожденную большую петлю, от которой при ее разрушении с убыванием Я возникает неустойчивый же предельный цикл, охватывающий три состояния равновесия. При некотором Я = Я <Я+ предельные циклы, охватывающие три состояния равновесия, сливаются и при убывании Я исчезают. [c.298]

Особые траектории сшитых систем. Рассмотрим теперь вопрос об особых траекториях сшитых динамических систем. Очевидно, все особые траектории каждой из частичных систем (Ai), целиком лежащие в этих областях (состояние равновесия, предельные циклы сепаратрисы состояний равновесия, лежащие в Gi), являются особыми траекториями сшитой динамической системы. Кроме того, рассмотрим другие особые траектории склеенной системы. [c.363]

Странный аттрактор Притягивающее множество в фазовом пространстве, по которому движутся хаотические траектории. Любой аттрактор, который не является положением равновесия, предельным циклом или квазипериодическим аттрактором. Аттрактор в фазовом пространстве с фрактальной размерностью. [c.273]

При АГ<1, когда начало координат — устойчивое состояние равновесия, предельных циклов не существует (в этом легко убедиться, применяя, например, критерий Бендиксона) и все фазовые траектории асимптотически (при < — -f оо) приближаются к состоянию равновесия. [c.390]

Пусть — траектория, не являющаяся состоянием равновесия,— предельная для полутраектории L . Будем доказывать теорему от противного. Предположим, что полутраектория L+ сама является предельной для некоторой полутраектории й покажем, что мы придем к противоречию. [c.405]

I. Топологически инвариантные свойства и топологическая структура разбиения на траектории. Перейдем теперь к основной задаче качественного исследования динамической системы — к установлению качественной картины разбиения фазовой плоскости на траектории. Рассмотрение приведенных в предыдущей главе частных примеров динамических систем приводит к мысли, что для знания качественной картины нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых особых траекторий. Таких особых траекторий в рассмотренных примерах было конечное число, и они разбивали всю совокупность траекторий на области, в которых траектории вели себя одинаково. Особыми траекториями в этих примерах были состояния равновесия, предельные циклы и траектории, стремя- [c.410]

Действительно, таких точек могло бы не быть только в том случае, если бы траектория I была предельной траекторией для Но это невозможно, так как у Ь есть отличные от состояний равновесия предельные точки, именно точки Ь, а тогда, в силу теоремы [c.415]

Можно показать, что если известен характер каждого состояния равновесия, известно взаимное расположение предельных множеств (состояний равновесия, предельных циклов и предельных множеств типа III см. 1), а также расположение сепаратрис, не являющихся предельными, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. но- [c.426]

Можно показать (ср. 3 настоящей главы), что если мы знаем совокупность особых траекторий, именно, знаем взаимное расположение состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис и знаем направление движения по сепаратрисам и предельным циклам, а также знаем характер устойчивости элементов притяжения и отталкивания (узлов, фокусов и предельных циклов), то этих знаний нам достаточно для однозначного установления топологической структуры разбиения на траектории, т. е. для полного качественного исследования грубой динамической системы. [c.457]

Отметим еще одно простое, но весьма важное свойство грубых систем качественная структура разбиения на траектории всякой грубой системы может быть установлена путем приближенного построения всех особых траекторий (состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис). Точность приближения, с которой особые траектории должны быть построены, определяется некоторой величиной — мерой грубости [31]. [c.464]

Фазовые портреты, приведенные на рис. 86 и 87, указывают на необходимость так расширить определение устойчивости (которое до сих пор было дано только для положения равновесия), чтобы оно охватывало и поведение фазовых траекторий в окрестности предельных цимов. В полной аналогии с определением устойчивости положения равновесия предельный цикл (а вместе с ним и соответствующие ему колебания) называется устойчивым, если фазовая траектория, начинающаяся при t= to в окрестности данного предельного цикла остается в этой окрестности при всех От более точного математического определения устойчивости здесь приходится отказаться. [c.111]

Знак неравенства (>) в последнем уравнении относится к реально Протекающим термодинамическим процессам. Следовательно, знак неравенства (<) будет соответствовать условиям, когда протекание процесса невозможно. Это означает, что система находится в состоянии равновесия. Предельным условием равновесия будет знак равенства в уравнении (5.46) [c.233]

Наблюдения показывают, что равновесие возможно, пока у гол а не превышает некоторого предельного значения ф и пока имеет) место неравенство [c.214]

Неравенство (11.2) устанавливает только максимально возможную величину силы трения покоя, так как сила трения является слагающей пассивной реакции связи и ее сначала неизвестное направление определяется в дальнейшем только активными силами. Из этого неравенства также следует, что сила трения покоя имеет всегда такую величину, которая необходима для предотвращения скольжения тел одного относительно другого, но не может превзойти некоторого предельного значения. Если бы трение отсутствовало, то равновесие было бы возможно при вполне определенных значениях сил или координат, определяющих положение тела. При трении имеется целая область положений равновесия и бесконечное множество значений активных сил, при которых имеет место равновесие. [c.215]

Уравнения предельного равновесия частиц слоя [Л. 273] и касательного напряжения на границе слоя со стенкой по [Л. 68, 242] соответственно имеют вид [c.287]

Для получения критериального уравнения движения плотного слоя методами теории подобия преобразуем исходные уравнения. Тогда из условия предельного равновесия (9-30) [c.289]

Характер движения и структура слоя при первом режиме движения были рассмотрены ранее ( 9-5, 9-6). Остановимся на режимах, характерных разрывом слоя. При увеличении скорости до величин, близких к предельной, предвестники разрыва слоя наблюдались в пристенной зоне. Эти местные разрывы, локальные воздушные мешки, имеющие в основном продольную протяженность, как правило, вызывались некоторым местным отличием состояния поверхности стенок. Дальнейшее небольшое повышение скорости до Уцр увеличивало частоту появления местных разрывов до их слияния по периметру канала. Возникал пробковый разрыв слоя, который также периодически исчезал, уступая место неустойчивому плотному слою. Наконец увеличение скорости сверх предельного значения полностью разрушало остатки предельного равновесия сил в слое и приводило к полному распаду плотной среды в гравитационно падающую взвесь с высокой концентрацией частиц. [c.302]

Вместе с тем отмечалось (см. также гл. П), что превращение при температуре фазового равновесия невозможно, так как в этом случае нет стимула для -превращения, нет выигрыша в запасе свободной энергии. Поэтому равновесную диаграмму состояния следует рассматривать как тот предельный случай, когда при бесконечно малых скоростях нагрева или охлаждения достигается бесконечно малая разность уровней свободных энергий сосуществующих фаз и когда, следовательно, превращение совершенствуется с бесконечно малой скоростью. Реально же обнаруживаемые температуры превращения при нагреве, который производится с какой-то конечной скоростью, лежат всегда выше равновесных, а для случая охлаждения всегда ниже, что и показано схематически на рис. 107. [c.136]

Выше было показано, что температуры положительны при условии ( О( )/й )>0, т. е. число возможных состояний всегда возрастает с энергией. Это справедливо для свободных частиц или гармонического осциллятора таким образом, жидкости и кристаллические решетки, всегда имеют положительные температуры. Однако существуют некоторые весьма специфические системы, в которых имеется верхний предел спектра энергетических состояний. Если частицы в этих состояниях находятся в тепловом равновесии друг с другом и одновременно термически изолированы от состояний, не имеющих верхнего энергетического предела, то они могут вести себя так, как если бы они обладали отрицательными температурами. Поскольку выше предельного уровня нет других энергетических уровней, при возрастании внутренней энергии системы достигается такое состояние, когда все уровни одинаково заселены. Согласно статистической механике, это мо- [c.24]

При экспериментальном определении величин к а Я в принципе требуется измерить параметры состояния системы, которая находится в тепловом равновесии при температуре 273,16 К и для которой можно написать уравнение состояния в явном виде с единственным неизвестным параметром к или Я. Такую систему представляет собой реальный газ в пределе низких давлений. До последнего времени наиболее точные экспериментальные значения для к в Я получались методом предельно разреженного газа. [c.26]

Очевидно, особая траектория принадлежит классу внутренней эквивалентности, содержащему не более счетного множества траекторий. Положение равновесия, предельный цикл, гетерокли-ническая траектория, принадлежащая W(r[W2, dimH f + [c.139]

Это явление впервые было обнаружено в алюминиевой бронзе Курдюмовым и Хандросом [48] и было названо термоупругим равновесием. Предельным случаем является упругий мартенсит, который возникает за счет одних только механических напряжений в отсутствие химической движущей силы и исчезает при удалении напряжений. Скорость роста термоупругого мартенсита полностью определяется, очевидно, скоростью изменения движущей силы и не дает никаких сведений о механизме роста. [c.327]

Для систем с одной степенью свободы, имеющих двухмерное фазовое пространство, задача о зависимости структуры фазового пространства от параметров полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера и Л. С. Понтрягина. При этом оказалось, что если ограничиться так называемыми грубыми системами, то качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории полностью определяется конечным числом ее особых траекторий состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис седловых состояний равновесия. В силу этого вопрос о зависимости качественной картины разбиения фазовой плоскости свелся к изучению бифуркаций перечисленных особых траекторий. [c.155]

Схема динамической системы. В настоящем пункте вводится понятие схелш динамической системы и определяется, в каком случае две схемы считаются одинаковыми. При этом используются введенные раньше понятия полной схемы состояния равновесия, предельного кон-тину тиа и границы области. [c.481]

Q y — — (1 — с соз ф) не меняет знак при 1й1 < 1), ни прямую Я = О (так как с -кривыми не может быть более одной точки пересечения). При переходе через -кривую вдоль /с-кри-вых при возрастании X и возникновении двойной петли к каждой полупетле стягивается устойчивый предельный цикл (так как седловая величина (Р у)г = —Я(1 4- й) отрицательна, а векторное поле поворачивается по часовой стрелке). При дальнейшем изменении X и разрушении петли от двойной петли, рассматриваемой как замкнутый контур, охватывающий состояние равновесия О1, появляется устойчивый предельный цикл, охватывающий это состояние равновесия. Предельный цикл стягива-23 [c.355]

Гидродинамическая турбулентность, описываемая уравнениями Навье-Стокса, имеет много общего с движением динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, о которых шла речь в предыдущей главе. Связь эта определяется действием вязкости, которая лишает моды с высокими номерами самосто-ятельности . Хопфом даже была высказана гипотеза о том, что все множество траектории уравнения Навье-Стокса (его фазовое пространство бесконечномерно) притягивается к конечномерному множеству. Отсюда сразу следует, что при i оо движение жидкости можно описывать конечномерными уравнениями. Эта гипотеза, правда, до сих пор не доказана, но она кажется совершенно естественной, если учесть, что вязкость препятствует существованию мелкомасштабных возмущений. Добавим, что уже обнаруженные для уравнения Навье-Стокса основные бифуркации носят конечномерный характер [5]. Это, например, переход стационарного устойчивого течения в периодическое (рождение из состояния равновесия предельного цикла), установление двухпериодического течения (рождение двумерного тора) и др. Поэтому есть все основания считать, что и очередная бифуркация — переход к неупорядоченному течению — для многих гидродинамических задач также окажется конечномерной. [c.496]

Учебное пособие для университетов большое внимание уделено физическим основаи прочности, основам теории пластичности, теории предельного равновесия. [c.34]

В соответствии с указанными условиями однозначности скорости фаз на входе в канал равны (коэффициент скольжения фаз фг, = = 1), слой не продувается и находится под действием сил предельного равновесия в плотном состоянии. Последнее означает, что твердый компонент достиг такой объемной концентрации, при которой все соседние частицы обязательно кон-тактируются друг с другом. Движение плотного слоя возникает за счет периодического нарушения предельного равновесия, приводящего к конечным деформациям сдвига без разрыва контактов. Однако согласно граничным условиям на стенке канала скорость частиц не падает до нуля. Так как для газовой среды (и)ст = 0, то Фг с,т= ( т/ )ст—>-оо. Наконец, условие ф1,= 1 на входе в канал не означает, как это обычно полагают, автоматического равенства скоростей фаз непродуваемого слоя по длине канала. Предварительные опыты показали, что при определенных условиях и в ядре движущегося слоя возможно небольшое проскальзывание фаз потока. Если пренебречь отмеченными смещениями скорости компонентов слоя, т. е. если положить фч,= 1, то v vi = v n-Если дополнительно принять, что концентрация (пороз-ность) движущегося плотного слоя неизменна (p = onst), то тогда взамен уравнения сплошности (1-30) приближенно получим [c.288]

Бернштейн Р. С., Иммерман И. И,, О статических свойствах несвязанного сыпучего тела в предельном равновесии, Изд-во по строительству н архитектуре, 1952. [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...