Дифференциальные уравнения для простых тел

Дифференциальное уравнение агрегатных превращений (уравнение Клапейрона — Клаузиуса) получается на основе рассмотрения основного дифференциального соотношения для простых тел (уравнение 1.99) [c.71]

Одной из классических задач механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта задача имеет первостепенное значение для теории гироскопов, нашедшей широкое применение в различных областях современной техники. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо дал для того же самого случая наглядную геометрическую интерпретацию. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет динамическую ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. После Эйлера и Лагранжа многие ученые пытались найти новый случай решения этой задачи, т, е. новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, но безуспешно. [c.17]

Основные дифференциальные уравнения термодинамики для простых тел [c.57]

Отсюда следуют первые два основных дифференциальных уравнения термодинамики для простых тел (с учетом выражений и отраженных соотношениями 1.37 и 1.38) [c.58]

Анализ уравнения (2.25) показывает, что выражение первого начала термодинамики для простых тел приводится к виду дифференциального бинома двух независимых переменных Ьд=Мйх+Ыйу, для которого, применяя известные правила математики, например соотношения взаимности, можно установить, является ли он полным дифференциалом или нет и при каких условиях неполный дифференциал перейдет в полный. [c.36]

ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ ДЛЯ ПРОСТЫХ ТЕЛ [c.71]

Полученные дифференциальные уравнения термодинамики для простых тел имеют большое значение для исследования свойств вещества. В частности, уравнения (6.10) и (6.11) позволяют, используя данные об изменении, например, удельного объема тела в зависимости от температуры и давления, находить изменения внутренней энергии или энтальпии на той же изотерме t [c.73]

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положено первое начало термодинамики для простых тел [c.199]

Дифференциальные соотношения второго начала термостатики (110) широк используются при изучении физических свойств простых тел и, в частности, при составлении эмпирических уравнений состояния простых тел. Эти соотношения дают также возможность упростить расчетные уравнения термодинамических процессов изменения состояния, главным образом адиабатического процесса, причем в основу анализа полагается объединенное аналитическое уравнение термодинамики для простых тел (113). [c.76]

Дифференциальные уравнения для процессов теплоотдачи. В ядерной энергетике приходится встречаться с разнообразными условиями протекания конвективного теплообмена. Из этого многообразия можно выделить два типа процессов теплоотдачи, которые встречаются наиболее часто и в то же время являются сравнительно простыми. Первый из них связан с определением плотности теплового потока др на поверхности нагрева, если задана температура этой поверхности tp а также условия отвода тепла путем теплоотдачи. С таким процессом теплоотдачи наиболее часто встречаются при проектировании теплообменных аппаратов, в которых тепло от более нагретой жидкости передается к менее нагретой через разделяющую их стенку. Второй тип процессов теплоотдачи связан с определением температуры tp поверхности твердого тела, если заданы плотность теплового потока др на этой поверхности и условия отвода тепла от нее. Такие процессы встречаются главным образом при расчетах охлаждения тепловыделяющих элементов энергетических ядерных реакторов. [c.237]

Имеем девять дифференциальных уравнений в проекциях на оси репера, связанного с телом, т.е. значительно больше, чем это было необходимо для получения закона движения при использовании углов Эйлера. Уравнения Пуассона структурно просты, единообразны и включают только операции типа умножения и сложения [c.450]

Совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера является системой шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно ф, гр, 0 и сот,, со . При заданном моменте внешних сил М и известных начальных условиях определение движения тела сводится к указанной системе дифференциальных уравнений. В общем виде эта задача не решена. Однако несколько частных случаев движения тела около неподвижной точки всесторонне исследованы и уравнения их проинтегрированы. Среди них наиболее простой и широко применяемый в технике случай движения симметричного гироскопа, для которого А = В. [c.180]

Для того чтобы получить скалярные дифференциальные уравнения движения тела, имеющего одну неподвижную точку О, в наиболее простом виде, Эйлер предложил проектировать уравнение (14) на подвижные оси Охуг, неизменно связанные с движущимся телом и направленные по главным осям инерции тела в точке О (рис. 387). Этим достигаются два существенных упрощения проекции вектора кинетического момента на главные оси инерции тела в точке О определяются весьма простыми формулами (6), а входящие в эти формулы осевые моменты инерции У ,, У остаются при движении тела величинами постоянными. [c.701]

Весьма привлекательна идея сведения обыкновенного дифференциального уравнения к алгебраическому, уравнения в частных производных с двумя аргументами к обыкновенному, уравнения в частных производных с п аргументами к уравнению также с частными производными, но с п — 1 аргументами, поскольку уменьшение числа аргументов в уравнении, как правило, упрощает отыскание его решения. Добиться уменьшения числа аргументов любого из перечисленных дифференциальных уравнений (в случае их линейности) принципиально возможно с помощью интегрального преобразования. Разберемся в этом вопросе на примере обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего единственный аргумент t, исключение которого трансформирует дифференциальное уравнение в алгебраическое. Операторный метод весьма эффективен и находит широкое применение, например, в некоторых задачах теплопроводности [15]. В данной главе для иллюстрации метода приведены решения задач о прогреве тел простой формы стержня полубесконечного и стержня конечных размеров, а также круглой пластины. [c.193]

Форма записи дифференциальных уравнений теплопровод-лости ДЛЯ всех тел простейшей геометрической формы одинакова. Обобщенное уравнение запишется следующим образом 3 0. п 39 I ЗХ 39 [c.222]

Обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности для тел простейшей геометрической формы записывается следующим образом [см. формулы (14.2), (14.4), (14.6) и (15.4)] [c.245]

Для двухмерного температурного поля вида T = f x, у) получение аналитического решения, удовлетворяющего дифференциальному уравнению и граничным условиям, целесообразно для тел простой формы. Для тел сложной формы решение получается громоздким, а в отдельных случаях его можно и не получить тогда для практических расчетов либо упрощают аналитическое решение, либо задачу решают численно, например на электронной вычислительной машине. [c.55]

После решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепло- вые потоки. Заметим, что аналитическое решение данной задачи возможно лишь для тел правильной геометрической формы и при достаточно простых условиях однозначности. В остальных случаях такие задачи решаются численными или экспериментальными методами. [c.164]

Для решения задач нестационарной теплопроводности могут быть использованы различные методы. Наиболее общим, но весьма сложным даже для тел простой формы, является аналитический метод, при котором дифференциальное уравнение теплопроводности решается совместно с граничными и временными условиями. Обычно результаты решения представляются в виде графиков, удобных для использования. [c.372]

Для определения и еу в общем случае получается система связанных между собой дифференциальных уравнений. Однако встречаются важные простые случаи, когда задачу об определении напряженного состояния идеально-пластического тела можно решить независимо от задачи об определении остаточных пластических деформаций. [c.461]

Решить задачу нестационарной теплопроводности — это значит найти зависимости изменения температуры и количества переданного тепла во времени для любой точки тела. Такие зависимости могут быть получены путем решения дифференциального уравнения теплопроводности (см. 2-2). Аналитическая теория ставит себе целью получение общего решения задачи. Такие решения получаются достаточно сложными даже для тел простой формы пластины, цилиндра и шара. Для ряда тепловых задач такие решения имеются в [Л. 19, 60 и др.]. [c.206]

Об интегрировании дифференциальных уравнений движения ДИСКА, в п. 9 мы видели, что в общем случае определение движения тяжелого гироскопического тела с круглым основанием, опираю-ш,егося на горизонтальную плоскость, приводится, если не считать двух дальнейших квадратур, к интегрированию системы дифференциальных уравнений (19). Для диска (2о = 0) система (19) должна быть заменена более простой системой (19 ) как было сказано в п. 10, мы предполагаем здесь исследовать аналитическую природу задачи интегрирования, к которой приходим в этом последнем случае. [c.207]

Из трех дифференциальных уравнений равновесия (уравнений статики) найти шесть неизвестных функций не представляется возможным. Имея в виду, что системы, в которых усилия или напряжения не могут быть найдены нз одних уравнений статики, называются статически неопределимыми, приходим к выводу, что напряжения в сплошной среде (за исключением так называемых простейших задач, о которых говорится в главе IX) статически неопределимы. Для выяснения картины распределения напряжений в теле приходится кроме уравнений статики использовать и так называемые уравнения совместности деформаций (см. гл. VI). Граничными условиями для функций, входящих в уравнения (5.59), являются (5.4), если при этом иметь в виду, что наклоненная грань тетраэдра [c.411]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

Приведенные уравнения справедливы для твердых тел. Для жидкостей и газов они также справедливы при условии, что отсутствуют другие способы переноса тепла (конвекцией, излучением и др.). Эти уравнения не имеют общего решения. Но получены частные решения применительно к телам определенной геометрической формы при конкретно заданных условиях однозначности. Такие частные решения и используются при постановке различных экспериментов. Решения дифференциальных уравнений (1-8) и (1-9) применительно к одномерным температурным полям для тел простой геометрической формы позволяют найти коэффициент теплопроводности из соотношения [c.19]

Условие стационарности функционала полной потенциальной энергии (3.16) для линейно упругого тела позволяет достаточно просто получить разрешающие дифференциальные уравнения и граничные условия, записанные через перемещения. Для этого в функционале потенциальной энергии деформации (3.19) следует заменить деформации е их кинематическими выражениями. В случае малых перемещений эти выражения имеют вид (3.4). Тогда функционал Лагранжа, выраженный через перемещения, определится как [c.78]

Расчет динамики проводится по методикам, описанным а) для машин с линейными дифференциальными уравнениями движения — т. 1, гл. VI б) для машин с нелинейными упругими связями — т. 2, гл. II в) для ударно-вибрационных машин при соударении твердых тел — т. 2, гл. XII, т. 4, гл. IX в простейшем случае одномассной системы можно пользоваться расчетом, приведенным в гл. XXV г) для ударно-вибрационных Машин с соударением деформируемых тел — гл. IX. [c.384]

Мы уже многократно рассматривали как примеры для объяснения общих понятий и законов механики те движения, причиной которых считают силу тяжести, рассмотрим эти движения подробнее и вначале разъясним, как измеряется сила тяжести. Для этого нам послужит наблюдение колебаний тяжелого тела, которое способно вращаться вокруг горизонтальной оси. Такое приспособление называют маятником, а именно сложным маятником — в противоположность простому маятнику, о котором мы уже говорили. Допустим, что сила тяжести — постоянная ускоряющая сила. Рассмотрим маятник как твердое тело и пренебрежем влиянием воздуха, движением Земли и трением оси вращения тогда мы сможем очень легко вычислить движение такого маятника. Положение последнего в некоторый момент определено одной переменной выберем в качестве ее угол образованный плоскостью, проходящей через ось вращения и центр тяжести маятника, и вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения. Согласно 5 четвертой лекции, имеем теорему площадей относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения, так как связи точек маятника допускают вращение вокруг нее эта теорема дает дифференциальное уравнение для такого угла. Обозначим величину силы тяжести — g, массу маятника—т, расстояние от его центра тяжести до оси вращения—s, момент инерции маятника относительно этой оси — к, таким образом получим дифференциа ное уравнение [c.69]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Для решения задачи о дифракции для тел нескольких простых форм применйм простейший метод нахождения поля — метод разделения переменных. Суш,но-сть метода состоит в том, что решение иш.ется в виде бесконечной суммы, каждый член которой есть произведение функций, зависящих только от одной координаты. Условием применимости этого метода является существование такой системы координат, в которой, во-первых, поверхность тела совпадает с какой-либо координатной поверхностью, и, во-вторых, уравнения Максвелла (для акустики волновое уравнение) распадаются на несколько обыкновенных дифференциальных уравнений. Для двумерных задач метод применйм к клину и цилиндрам, ограниченным кривыми второго порядка. В трехмерных задачах тела могут быть ограничены любыми поверхностями второго порядка мы рассмотрим только задачу о сфере. [c.42]

Станем теперь на наиболее современную точку зрения чистого описания и примем известные дифференциальные уравнения для внутренних движений твердых и жидких тел. Из них следует, что во многих случаях, как, например, при ударе двух твеодых тел, при движении жидкостей в замкнутых сосудах и т. д., если только форма тела хоть немного отличается от простой геометрической формы, должны появляться волны, которые затем все более раз- [c.26]

В простейшем случае, когда имеется всего только один внешний параметр, полезная внешняя работа = —ас1А, где а — обобщенный внешний параметр, характеризующий данное явление, а А — обобщенная сила, относящаяся к этому параметру. Для систем, механическая связь в которых осуществляется посредством давления, = —Ус1р, откуда видно, что обобщенной силой является давление окружающей среды, а роль обобщенного внешнего параметра играет объем тела. Поэтому, заменив в соответствующих данному явлению дифференциальных уравнениях термодинамики в частных производных давление р эквивалентной ему в условиях рассматриваемого явления величиной Л, а 1/ эквивалентной величиной а, получим искомое [c.159]

Электротепловая аналогия (ЭТА) чаще всего используется для исследования процесса теплопроводности, протекающего в сложных условиях. ЭТА основана на формальном сходстве математических опи- саний процессов теплопроводности и электропроводности. Поле температур в теле описывается дифференциальным уравнением теплопровод-нойти, а поле электрического потенциала описывается дифференциальным уравнением точно такого же типа. Можно создать электрическую модель образца, провести измерения потенциалов в соответствующих точках, в соответственные моменты времени, а затем простым пересчетом найти распределение температуры в теле. ЭТА может быть применена также для исследования некоторых процессов конвективного теплообмена, а также теплообмена излучением. [c.92]

Большинство задач нестационарной теплопроводности связаны с определением температурного поля тела и полного количества теплоты, отданной или полученной телом по истечении определенного промежутка времени. В других задачах требуется найти длительность процесса, по завершении которого температура тела примет определенное, наперед заданное значение. Решения этих задач могут быть получены аналитическим путем, т. е. путем решения дифференциального уравнения теплопроводности (2.44) с учетом к]заевых условий. Заметим, что таким путем решаются сравнительно простые задачи. Для решения же более сложных задач применяются приближенные методы. [c.177]

Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Пусть требуется найти движение свободного твердого тела относительно неподвижной системы координат OaXYZ. Согласно теореме Шаля (п. 21), любое движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения, определяемого движением произвольной точки тела (полюса), и движения тела вокруг этой точки как неподвижной. При описании движения полюс желательно выбрать так, чтобы его движение определялось наиболее просто. Из основных теорем динамики следует, что за полюс удобно взять центр масс. Действительно, согласно теореме о движении центра масс, последний движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы системы, а теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии для движения вокруг центра масс (см. определение этого понятия в п. 81) формулируются точно так же, как и для движения вокруг неподвижной точки. [c.214]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Отметим одну характерную особенность, которая может быть использована как упрощающее обстоятельство при описании пространственных движений модели тела или системы тел, соединенных с упругим полупространством. Упругое пространство можно дискретизировать и представить системой конечных элементов — тел или точек (рис. 98). При этом математическая модель из дифференциальных уравнений смешанного типа приводится к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, допускающих более простое алгоритмизирование ее для ЭЦВМ. [c.323]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Для математического описания подрельсового основания существует ряд моделей. При статических расчетах пути применяют модель Винклера. Эта модель не обладает распределительной способностью и ие дает возможность учесть инерционные свойства основания. Был предложен ряд моделей основания без указанных недостатков. Наиболее удобной для исследований взаимодействия подвижного состава и пути является модель В. 3. Власова [7J. Эта модель позволяет достаточно просто вырапить перемещения всех точек балки и основания через перемещения точек контакта колес и рельсов. Получается система с конечным числом степеней свободы, равным числу степеней свободы движущегося рельсового экипажа. Если рассматривать четырехосный вагон как систему трех тел, то при тех же обобщенных координатах, которые были взяты выше, дифференциальные уравнения движения имеют вид (9). Новые уравнения отличаются только значениями элементов матриц М, В, С и вектора Q [29]. [c.415]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...