Метод символический

Наличие в уравнениях дополнительных членов сильно затрудняет и усложняет преобразования. В таких случаях бывает полезным ввести применяемый в теории малых колебаний математический метод символического решения системы дифференциальных уравнений, позволяющий произвести исключение всех переменных за исключением одной, интересующей нас. [c.49]

Подкова Смейла и ее аналоги, с одной стороны, н введенное Я- Г. Синаем понятие марковского разбиения, с другой, вновь вызвали к жизни методы символической динамики. На сей раз обнаружилось, что эти методы являются эффективным средством анализа таких классических систем, как алгебраические автоморфизмы тора, нелинейные колебания и небесная механика. Можно надеяться, что в скором времени такие понятия, как символическая модель , топологическая марковская цепь и т. п., станут для изучающих конкретные системы столь же привычными, как инвариантный тор , разложение в ряд Фурье , показатели Ляпунова . [c.6]

М. Морс [3], [4] и [5] использовал методы символической динамики для изучения минимальных геодезических па поверхности отрицательной кривизны. Данную статью можно рассматривать как распространение и обобщение результатов Морса на рассматриваемый случай. Настоящим обобщением геодезических потоков, изучавшихся Морсом, являются потоки, удовлетворяющие аксиоме А (см. [9]). Технически они сложнее диффеоморфизмов, ио со временем и для них будут построены марковские разбиения, и методы этой статьи будут перенесены на случай потоков. В частности, можно ожидать, что справедлива следующая [c.92]

Строго говоря, Адамар не связывал динамику геодезического потока с гомеоморфизмом сдвига а. Поэтому собственно методы символической динамики> ведут начало от М. Морса. См. также [33]. — Прим. ред. [c.106]

Это соотношение является ключом к исследованию каскадов методами символической динамики. [c.197]

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465]

Воспользуемся методами символической динамики [10]. Для этого разобьем фазовое пространство на конечное число областей До, А1, А2, , Ап и предположим, что физический прибор показывает нам только, в какой из областей в данный момент находится изображающая точка. Тогда каждой начальной точке отвечает последо- [c.466]

В символическом указателе ключ рассматриваемой записи У хранится в записи X. Поиск записи осуществляется методом доступа внутренней модели. Основное преимущество состоит в том, что символический указатель не зависит от устройства и при пересылке нет необходимости обновления указателей. В качестве недостатка отметим, что он длиннее других указателей и имеет в общем случае худшую эффективность доступа. [c.120]

Таков метод центрального проецирования точек пространства на плоскость проекций П, его можно записать с помощью следующего символического равенства [c.11]

Применяется и метод символической записи чертежей. Он основан на том статистически достоверном положении, что простые детали, форма которых не требует геометрических пояснений, составляют 25% от общего числа деталей и узлов современных конструкций. Вычерчивание в этом случае заменяется печатанием на пишущей машинке кодированных описаний чертежа. В Академии наук БССР при решении задачи проектирования агрегатных станков с помощью вычислительной машины чертежи были описаны при помощи 68 элементов деталей (цилиндрическая поверхность, плоскость, цилиндрическая резьба и т. п.). [c.133]

В. М. Алексеев применил метод символической динамики в задаче о пылинке в поле двойной звезды (см. п. 3 5 гл. I). Оказывается, если эксцентриситет орбит массивных тел отличен от нуля, то траектории пылинки выглядят весьма запутанными. Это дает возможность доказать неинтегрируемость уравнений движения [5]. Более точно, квазислучайность траекторий пылинки удается установить при малых значениях эксцентриситета е ф 0. Методом Пуанкаре (см. 1 гл. IV) можно доказать отсутствие интегралов и нетривиальных групп симметрий в виде формальных рядов по степеням е. Либре и Симо [216] перенесли метод Алексеева на ограниченную круговую задачу трех тел в предположении, что масса Юпитера много меньше массы Солнца. [c.308]

Книга представляет собой сборник переводов недавних работ известного американского математика. В них исследуются топологические и метрические свойства классических динамических систем, удовлетворяющих условию гиперболичности (пернолические траектории, энтропия, инвариантные меры). Исследование проводится методами символической динамики, иитенсивно развивающимися в последнее десятилетие. Теория, излагаемая в книге, интересна своими связями с различными задачами дифференциальных уравнений, эргодической теории, статистической физики. [c.4]

Развивая идеи Адамара, Маретон Морс первым ввел в обиход то, что впоследствии получило название методы символической динамики . Хотя с тех пор прошло около шестидесяти лет, псе же долгое время сфера применимости Этих методов оставалась довольно узкой — фактически это были все те же геодезические иа поверхностях отрицательной [c.5]

Кроме того М. В. Якобсогг и я написали для данного сборника специальное добавление.. Первая его часть имеет целью познакомить читателей с нашей точкой зрения на суть методов символической динамики и объяснить естественность их появления в гладких системах. Поэтому мы рекомендуем Прочесть эту часть в самом начале, а затем уже обратиться [c.7]

Для диффеоморфизмов все соответствующие гипотезы справедливы. Моделью в этом случае служит топологическая марковская цепь, которая устроена проще, чем гиперболический символический поток поэтому программа примеиеиня методов символической динамики осуществлена в большей степени для диффеоморфизмов (см. [3]. [4], [12] 2)), чем для потоков. [c.108]

Когда же говорят о методах символической динамики, то имеют в виду изучение произвольных динамических систем при помощи символических моделей, в которых последовательности (1.1) соответствуют траекториям изучаемой системы, а отображение а —некоторому сдвигу вдоль этих траекторий. В частности, методы символической динамики оказываются применимыми в качественной теории дифференциальных уравнений, где рассматриваются гладкие системы на гладких многообразиях, хотя сама по себе символическая динамика большей частью имеет дело со вполне несвязными нульмерными пространствами, гомеоморфными канторову множеству. [c.196]

Наиболее эффективными методы символической динамики оказываются в тех ситуациях, где изучаемые детерминированные системы обнаруживают аналогию со случайными процессами. К настоящему времени накопился ряд примеров и даже целые классы динамических систем, в том числе п с конкретным физическим содержанием, которым присущи черты квазнслучайного поведения и для описания которых удобно пользоваться топологическими аналогами некоторых понятий вероятностного происхождения, Подчеркнем, что речь здесь вовсе ие идет о рассмотрении моделей, в которых эволюция явно или неявно подвержена воздействию Случая (в виде случайных параметров, случайных начальных условий или случайного внешнего шума). Мы по-прежнему остаемся в рамках математического детерминизма, т. е. един- Мир , 1979 [c.196]

Это направление продолжает развиваться, н за последнее время появился ряд работ, в которых методы символической динамики применяются к анализу конкретных динамических систем. В [30] развивается подход, прн котором условия гиперболичности заменяются отчасти некоторыми когомологическими условиями н полученные результаты применяются к гамильтоновым системам с двумя степенями свободы н потенциалами типа обезьяньего седла , Энона —Эльса и т. п. В [55] изучается квазислучайное поведение геодезических иа открытых поверхностях, содержащих рога с неположительной кривизной. В [41] обнаружено бернуллиевское под- множество в анизотропной задаче Кеплера (см. также [34] н [35]). [c.219]

Развитие методов символической динамики было стимулировано фундаментальной работой Смейла [93]. Это направление сейчас активно развивается (см. монографию Нитецкого [95]). Изложение основных понятий, связанных с гомоклиническими точками, можно найти в [94, 95]. Исследованию стохастических свойств динамических систем методами символической динамики посвящены работы Алексеева [96, 97]. [c.102]

Рассматриваемый нами генератор шума при д = О, как мы сейчас покажем, описывается невзаимнооднозначным отображением отрезка в себя. Однако оно существенно сложнее, чем, например, отображение рис. 22.7. Поэтому аналитически найти инвариантное распределение вероятностей, решая уравнения (22.9), для него не удается. Для доказательства стохастичности и определения статистических характеристик генератора шума при определенных значениях его параметров мы воспользуемся методом символической динамики [5]. [c.473]

Кроме материалов летней украинской математической школы в Ка-цивели (июль 1971 года), далее широко использован русский вариант доклада [35], а также результаты, с которыми я ознакомился сравнительно недавно. Часть 1 содержит обзор некоторых направлений качественных исследований в задачах небесной механики. Часть 2 является наглядным введением в символическую динамику я старался, чтобы технические детали возможно меньше заслоняли здесь существо дела. В части 3 я хотел показать, каким образом методы символической динамики могут оказаться полезными уже в простейших задачах теории нелинейных колебаний и что они позволяют сделать применительно к задачам, рассмотренных в части 1. Я приношу искреннюю благодарность организаторам школы, пригласившим меня прочитать эти лекции и проявившим незаурядное терпение, дожидаясь, пока они окажутся иаписанными. [c.17]

С целью обойти трудности, связанные с большой размерностью фазового пространства, А. Н. Колмогоров предложил в 1954 г. изучить один частный случай задачи трех тел, в котором соображения симметрии позволяют свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Подробнее мы рассмотрим эту систему в одной из следующих частей, а сейчас ограничимся лишь упоминанием о результатах, которые удалось на этом пути получить. Во-первых, К.А.Ситников [29] в 1959 г. доказал для этого примера (а, следовательно, и для общей задачи трех тел) существование осциллирующих движений (0S). которые были введены Шази как чисто логическая возможность, которую приходится терпеть, коль скоро не удается ее отвергнуть. Строго говоря, рассуждения К. А. Ситникова относятся лишь к одностороннему поведению решений, но соображения симметрии позволяют показать существование решений типа 08 П 05+, что и отражено в табл. 2. А. Н. Колмогоров показал, что в основе рассуждений Ситникова лежит весьма простая геометрическая конструкция и высказал в связи с этим гипотезу о строении границы областей НЕ ,, упомянутую выше. Затем автору удалось показать, что в рассматриваемом примере применимы методы символической динамики это позволило доказать непустоту классов НЕ П В+, НЕ П 08+, В П 08 , 08 П В+. К сожалению, в все построенные примеры лежат на подмногообразии высокой коразмерности, что не позволяет судить о мере соответствующих подмножеств. Все же каждое из них содержит континуум (в смысле мощности) траекторий. [c.51]

Именно так был сформулирован первоначальный результат С. Смейла [60], показавший возможность использования методов символической динамики в обш ей гомоклинической ситуации. При этом Смсйл предполагал еще, что диффеоморфизм / приводим к линейному в некоторой окрестности точки р за счет подходяш его выбора системы локальных координат — предположение, хотя и иссущсствсппое с точки зрения общего положения (ибо сколь угодно малым изменением / можно добиться его выполнения), но все же излишнее. [c.71]

Нашей конечной целью является построение семейства решений уравнения (1), исследование которого можно проводить методами символической динамики. Поскольку, однако, в предыдущей части речь шла лишь об отображениях, первым нашим шагом должно быть построение секущей поверхности в смысле Пуанкаре и соответствующего отображения (функции последования) 5. При этом используются лишь самые общие свойства функции Я, сформулированные ниже как основные предположения . При выполнении еще и дополнительных предположений для отображения 5 удается построить инвариантное множество достаточно сложной структуры, на котором действие 3 изоморфно топологической марковской цепи . Переходя обратно от отображения 3 [c.73]

Назовем т. м.ц. Т) транзитивной, если матрица П неприводима в смысле Перрона-Фробениуса ([51], гл. XIII). Методами символической динамики ([40]) легко доказывается [c.151]

Смотреть страницы где упоминается термин Метод символический : [c.696] [c.636] [c.8] [c.39] [c.204] [c.250] [c.755] [c.66] [c.100] [c.148] [c.2] [c.246] [c.268] [c.551] [c.228] [c.305] [c.6] [c.273] [c.541] [c.238] [c.394]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...