Таблица преобразований Лапласа

Изображение функции (4. 7. 12) легко определить пользуясь таблицей преобразования Лапласа [59]. Оно имеет вид [c.161]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Такой вид наиболее удобен при теоретическом исследовании. Функция g i) является ядром интегрального оператора. Однако для определения результата действия оператора А на произвольную входную функцию u t) соотношение (2.2.77а) мало пригодно поскольку интеграл в правой части при сложном виде (0 и u t) вычислить не удается. Чаще всего для определения выходной функции v t) используется передаточная функция W p). Метод определения у (О состоит в следующем. По таблицам преобразований Лапласа ищется изображение й(р), затем строится функция u. p)W(p) и по тем же таблицам находится оригинал этой функции, который и дает выходную функцию v t). Хотя часто отыскание прямого и обратного преобразования Лапласа представляет собой трудную задачу, указанный метод наиболее эффективен для определения выходной функции объектов по известной входной функции. [c.72]

В соответствии с формулой (2.2.74), зная передаточную функцию W(р) оператора, можно найти выражение для весовой функции оператора. Оригинал функции (2.2.85) определим из таблицы преобразования Лапласа, он равен [c.74]

По таблицам преобразований Лапласа определим [c.74]

Оригинал каждого из слагаемых в этом выражении легко находится по таблицам преобразований Лапласа. В результате получим выражение для выходной функции [c.92]

Применим к (4.1.9) обратное преобразование Лапласа по пространственной координате (т. е. по переменной s). Из таблиц преобразований Лапласа находим, что оригинал функции - + ] [c.117]

По таблицам преобразований Лапласа находим, что [c.127]

При вычислении изображений и оригиналов используется таблица преобразований Лапласа (табл. 4.3. см. также [41, 46] и др.). [c.112]

ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА р)= [c.483]

ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА 485 [c.485]

Применяя теорему обращения для преобразования Лапласа (см. [32], стр. 114, 115) или используя таблицы преобразований Лапласа [33], Приложение III, номер 86 , получаем [c.233]

Пользуясь таблицей преобразований Лапласа, легко обратить это выражение и получить [c.297]

Используя таблицы преобразования Лапласа—Карсона, находим оригинал [c.226]

Сначала, пользуясь таблицами преобразования Лапласа, нужно перейти к изображению Х р). Затем, используя связь [c.95]

Пример 4.2. На основе таблицы преобразования Лапласа найдем выражение для весовой функции, соответствующей передаточной функции (4.18). [c.100]

Для нахождения по изображению (10.114) оригинала воспользуемся указанным в таблицах преобразования Лапласа следующим соответствием [18 [c.240]

Уравнение (14) может быть выражено в форме, которую можно найти в таблицах преобразований Лапласа. Используя тождества сЬ = 2 (е + ) и зЬ и = 2 е" — е "), после некоторых преобразований получим [c.329]

Решение задач теплопроводности методом преобразования Лапласа существенно упрощается благодаря наличию таблиц изображений. В результате преобразования решать приходится обыкновенное алгебраическое уравнение, после решения которого применяют обратное преобразование (по таблицам), являющееся решением исходного дифференциального уравнения. Широкое использование операционного метода при решении самых разных задач теплопроводности нашло в работе Теория теплопроводности А. В. Лыкова (М., 1967). [c.107]

По таблицам обратного преобразования Лапласа окончательно находим у t) = St+ Ger . [c.115]

По таблицам обратного преобразования Лапласа имеем [c.115]

Наиболее трудной частью задачи при решении уравнения в частных производных посредством преобразования Лапласа является определение оригинала для решения в области изображений. Часто имеющиеся таблицы соответствий недостаточны для такой операции, тогда приходится пользоваться различными приемами, [c.97]

Проведя операцию обратного преобразования Лапласа (т) = = L (s) , которую легко выполнить по таблице соответствий, получим формулу для изменения температуры оребренной трубы [c.124]

В-пятых, эффективность решения разнообразных задач методом преобразования Лапласа в значительной мере усиливается наличием подробных таблиц изображений. [c.81]

Таблица 4.3. Преобразование Лапласа

Для облегчения перехода от оригинала функции к её изображению и обратно существуют таблицы преобразований по Лапласу для часто встречающихся функций [73]. Во многих случаях переход к изображениям упрощает вид функции. Если записать уравнение для системы управления, представленной на рис. 4.2, в виде [c.214]

Таблица 4.3. Преобразовании Лапласа

Аппарат описываемого метода состоит из нескольких элементарных теорем и таблицы преобразованных по Лапласу функций, т. е. интегралов (2.1). [c.293]

Если изображения v в таблице нет, то v определяется из v при помощи теоремы об ращения преобразования Лапласа. Согласно этой теореме [c.297]

Рассмотренная выше задача очень хорошо иллюстрирует сходство между методами преобразований Фурье и Лапласа в одномерных задачах подобного типа. Во-первых, если в нашем распоряжении имеются соответствующие таблицы преобразованных функций, то работа, которую необходимо проделать при расчетах по одному и другому методу, одинакова. Во-вторых, если таблиц преобразованных функций нет, то в любом случае необходимо провести определенное количество расчетов с интегралами, полученными из формулы обращения. Существенное преимущество преобразования Лапласа для задач этого типа проявляется в связи с граничными условиями, поскольку в нем рассматриваются одинаковым образом все граничные условия. Однако ранее было необходимо использовать преобразование по синусам, так как при X = О была задана температура тела v если бы был задан тепловой поток на граничной поверхности, следовало бы использовать преобразование по косинусам в случае граничного условия третьего ряда ни одно из этих преобразований не подходит и следует разработать преобразование нового типа в случае граничного условия типа Е, приведенного в 9 гл. I, потребуется уже другое преобразование и т. д. [c.449]

Хотя может быть получена общая формула для выражения обратного преобразования Лапласа, на практике чаще пользуются таблицами типа табл. II.1. Кроме того, отметим частный случай, кода функция-изображение является рациональной функцией р, т.е. [c.346]

Практическое применение функций Эал связано с установлением параметров Ед, ад, Рл, А,л, которые принимаются за реологические характеристики материала. В [22] предлагается метод определения этих параметров с помощью преобразования Лапласа экспериментальной кривой ползучести. Авторами статьи разработан и реализован метод определения характеристик ограниченной ползучести при помощи ЭВМ. В случае отсутствия программы для ЭВМ используются приближенные, но зато весьма простые способы установления параметров ал, Рл, кд, каким, например, является графический способ [24] аппроксимации кривых ползучести. Способ основан на том, что графики Э-функций в полулогарифмических координатах имеют большой линейный участок, угол наклона которого к оси абсцисс пропорционален соотношению ал/Рл. Другой метод определения параметров ал, Рл и Хд основан на использовании при аппроксимации экспериментальных кривых ползучести таблиц Э-функ-ции и интеграла от нее [25]. [c.84]

Таким образом, при применении метода преобразования Лапласа основная трудность решения той или иной задачи переносится на определение оригинала по найденному изображению. Но благодаря наличию достаточно подробных таблиц для определения оригинала по изображению метод преобразования Лапласа находит всё большее и большее применение при решениях задач механики и физики. [c.308]

Приведенные примеры иллюстрируют методику получения г-преобразований для некоторых простейших функций. Аналогичным способом составляются таблицы, содержащие наиболее часто употребляемые функции. Небольшая таблица такого рода помещена в приложении к данной книге. В ней для нескольких непрерывных функций времени даны преобразования Лапласа и г-преобразования. Анализ этой таблицы позволяет заключить следующее [c.35]

Данная таблица содержит некоторые часто используемые временные функции x(t), их преобразование Лапласа х (s) и z-преобразования х (z). Такт квантования равен То- Более полные таблицы могут быть найдены в (2.15], [2.19], [2.21], 2.13], [2.14]. [c.516]

Большая таблица преобразований по Фурье приведена в [3 Точная математическая теория, а также многочисленные приложения и.эложены в [ ]. Много практических приложений можно найти в [4] (гл. V посвящена задачам теплопроводности). У Титчмарша и Снеддона [1, 4] рассматриваются и другие интегральные преобразования, изложенные в этом параграфе. Следует отметить, что не существует таблиц этих преобразований, которые по своей полезности равнялись бы таблице Кэмпбелла и Фостера [3] или каким-либо опубликованным таблицам преобразования Лапласа. Наиболее полной из выи1едших в последнее время таблиц интегральных преобразований служит таблица, приведенная в [5]. [c.446]

Преобразование Лапласа представляет собой математический метод, позволяющий относительно просто решать линейные дифференциальные уравнения. В результате преобразования дифференциальное уравнение (оригинал) приобретает форму алгебраического уравнения (изображение), в котором в качестве независимого переменного вместо времени используется комплексное переменное s. Решение исходного дифференциального уравнения отыскивается посредством применения к решению указанного алгебраического уравнения обратного преобразования Лапласа. Уравнения переходного процесса в системе автоматического регулирования, как правило, решаются этим методом, чему в большой мере способствует наличие достаточно полных таблиц преобразований Лапласа. Другая причина широкого распространения метода преобразования Лапласа состоит в том, что по выражению для передаточной функции системы, которая определяется как отнонтение преобразованного по Лапласу выходного сигнала к входному, также преобразованному по Лапласу, можно непосредственно получить частотные характеристики системы. Любое количественное исследование систе.мы автоматического регулирования начинается с определения передаточных функций каждого элемента структурной схемы системы. [c.29]

Во многих случаях, когда вычисление интеграла (6.18) методом вычетов представляет затруднение (если Ф, кроме простых полюсов, имеет также другие особые точки, как, например, множитель У (o-fa, или где сходимость интеграла (6.18) остаётся под вопросом), имеет смысл лучше попытаться найти такую функцию /( ), которая, будучи подставлена в (6.19), даёт требуемую форму для ср. Для того чтобы упростить решение такой задачи о нахождении соответствующей функции / ( ), были составлены таблицы преобразований Лапласа (таблицы (Ьупкций /(/) и соответствующих им функций Ф(, ) этими [c.70]

Осуществим обратное преобразование Лапласа, используя при этом метод последовательных приближений. Вначале будем полагать, что Хг = onst, т. е. положение межфазной границы практически не меняется со временем. С помощью таблиц обратных преобразований [67] сразу получим из (2.5) [c.50]

Общая процедура решения дифференциального уравнения методом преобразования Лапласа состоит в следующем сначала отыскиваются изобралсеиия для всех членов уравнения, затем полученное в результате алгебраическое уравнение решается относительно переменной S и при помощи таблиц производится обратное преобразование полученного решения. [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...