Получение дискретных аналогов

Выражения (5.98а), (5.99а) получены из анализа стандартного дискретного аналога для условного бесконечно тонкого КО с узловой точкой В (рис. 5.9). Еще один вариант получения дискретных аналогов граничных условий для указанного разбиения расчетной области состоит в непосредственной подстановке одного из выражений (5.97)—(5.99) в дискретный аналог для КО с узловой точкой I [47]. В этом случае при условиях (5.98), (5.99) неизвестное значение искомой функции в граничном узле В исключается из системы алгебраических уравнений. В математическом плане оба варианта тождественны. [c.160]

Обзор основных методов получения дискретных аналогов [c.93]

ПОЛУЧЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ [c.28]

Обсуждение метода контрольного объема. В книге будет использоваться метод контрольного объема для получения дискретных аналогов. Основная причина этого заключается в том, что дискретные аналоги, полученные этим методом, являются не только формальной математической аппроксимацией, но и имеют ясный физический смысл. Интересующие нас дифференциальные уравнения представляют собой законы сохранения. Например, уравнение теплопроводности основано на законе сохранения энергии. В дальнейшем мы используем законы сохранения количества движения при течении в каналах и сохранения массы при течениях в пористых средах. Когда дискретные уравнения получены методом контрольного объема, они представляют собой законы сохранения энергии, количества движения, массы для каждого контрольного объема. Из этого следует, что полученное численное решение удовлетворяет законам сохранения этих величин во всей расчетной области. [c.31]

На простом примере в этом параграфе показано, что разные методы получения дискретного аналога приводят к одному и тому же конечному уравнению. Но это случается не всегда. Здесь мы использовали очень простое дифференциальное уравнение и выбрали частный случай предположения о профиле для метода контрольного объема. Для более сложных дифференциальных уравнений или для других предположений о форме профиля итоговые дискретные аналоги могут различаться в случае использования рядов Тейлора, метода контрольного объема и других способов. Решение, полученное с помощью метода контрольного объема, всегда будет сохранять баланс (энергии, количества движения и др.) во всей расчетной области, чего нельзя сказать о решениях, найденных другими методами. [c.31]

Для вычисления же слагаемого, соответствующего области имеется ряд приемов [45, 115, 173]. Например, в [173] предлагается вводить в рассмотрение точки, расположенные в самом теле в непосредственной близости от точки (наиболее удобно их располагать на нормали к поверхности). Будем обозначать их через так что параметр I характеризует расстояние до точки В этих точках следует вычислять компоненты напряжений (исходя из плотности, заданной только на 5 и далее осуществлять экстраполяцию в точку д ). Полученные значения напряжений следует дополнительно ввести в сумму (6.5). В результате придем к дискретному аналогу уравнения (6.4) в точке ( 1 [c.615]

Полученные уравнения восстановления в качестве первого слагаемого содержат дискретный аналог Р- (п) плотности распределения времени безотказной работы ф (i). При невозможности восстановления элемента (ф- (х) ==0, у — оо х < оо) ПО вырождается в одно событие— первый отказ, безусловная вероятность которого определяется величиной (п). Из (9.2) при ф- (х) О имеем [c.143]

Множество дискретных точек, в котором ищется приближенное решение, называется сеткой, отдельные точки —узлами сетки, а функция, определенная в узлах сетки, —сеточной функцией. Полученные в результате дискретизации алгебраические уравнения, связывающие неизвестные значения зависимой переменной Ф на некотором множестве узлов сетки, называют дискретными аналога- [c.151]

Дискретный аналог дифференциальных уравнений представляет собой алгебраические уравнения, связывающие значение Ф в некоторой группе узловых точек. Эти уравнения получаются из дифференциальных уравнений, описывающих изменение Ф, и, следовательно, этот аналог несет ту же физическую информацию, что и исходные дифференциальные уравнения, В дискретный аналог входят значения Ф только в некоторых узловых точках, что является следствием кусочного характера выбранных профилей. При этом значение Ф в некоторой узловой точке оказывает влияние только на распределение Ф в окрестностях этой точки. Предполагается, что при очень большом числе узлов решение дискретного аналога сближается с точным решением соответствующего дифференциального уравнения. Возможные дискретные аналоги любого дифференциального уравнения не единственны, однако, предполагается, что в пределе очень большого числа узловых точек все типы дискретных аналогов дают одно то же решение. Возможные отличия в решениях являются следствием различных предположений о характере профиля зависимой переменной и способов получения аналогов. [c.93]

Когда расчетная область содержит небольшое число расчетных точек, дискретные аналоги представляют собой грубую аппроксимацию дифференциального уравнения. При этом полученное численное решение обычно не совпадает с точным решением дифференциального уравнения. При увеличении числа расчетных точек численное решение становится более корректным и приближается к точному. Для многих задач использование даже небольшого числа расчетных точек приводит к решениям, которые достаточно точны для практических целей, что будет продемонстрировано в этой и других главах. [c.28]

Существует множество способов из дифференциального уравнения, подобного уравнению (2.1), получить систему дискретных аналогов — алгебраических уравнений, содержащих Т , , Г,,, в качестве переменных. В этом параграфе рассмотрим несколько путей получения таких дискретных аналогов и выберем один из них для дальнейшей работы. [c.28]

Во-вторых, применение дискретных аналогов формул (4.2.6) для получения операторного представления (4.2.5) в сочетании с консервативностью модели делает возможным получать численные результаты, аппроксимирующие решения с большими градиентами и разрывами. [c.88]

Выражение (1.20) является дискретным аналогом полученного выше выражения (1.18). [c.48]

Таким образом, процедура численного решения задач ЕК состоит из трех основных этапов. Сначала на выбранной сетке производится аппроксимация дифференциальных уравнений и краевых условий, в результате которой строится разностная схема — дискретный аналог исходной задачи. Затем выбирается метод решения полученной нелинейной разностной задачи и конструирование вычислительного алгоритма завершается. Заключительный этап — программная реализация этого алгоритма на ЭВМ. [c.28]

В этой главе мы рассмотрим дискретные отображения с шумом, о которых упоминалось во введении. В первых разделах мы покажем, каким образом результаты, полученные нами ранее для дифференциальных уравнений, обобщаются на дискретные отображения, а в разд. 7.7—7.9 — как обобщается принцип подчинения. Затем читатель познакомится с дискретным аналогом уравнения Фоккера—Планка (разд. 10.2—10.4), и в заключение мы введем интегралы по траекториям и покажем, каким образом с их помощью можно найти дискретный аналог решений временного уравнения Фоккера—Планка. [c.349]

Разобьем границу 8 ш. N прямолинейных отрезков. Предполагаем, что на каждом из полученных отрезков, например к-ш, интенсивность источников (стоков) постоянна и равна Суммируя действия всех таких источников на центр р-то отрезка, получим дискретный аналог уравнения (2.8) [c.504]

Согласно предлагаемому алгоритму преобразование аналога на первом шаге осуществляется изменением первой группы внутренних параметров. Успех такого преобразования обеспечивает получение наиболее экономичного решения, позволяющего с минимальными затратами перейти к варианту проекта, для которого выполнены требования ТЗ (например, оставить прежними штампы для производства пластин статора и ротора, конфигурацию крышек и пр.). С учетом малочисленности названных параметров и их дискретного характера на данном шаге поиск прототипа может осуществляться с использованием алгоритмов сканирования или Гаусса-Зейделя. [c.205]

Кроме того, известно, что допуски на целый ряд параметров (например, на геометрические размеры) регламентируются системой ква-литетов, а следовательно, изменяются дискрета. Для реализации общего подхода к решению задачи оптимизации и соответствующей унификации применяемых алгоритмов целесообразно заменить в первом приближении дискретно изменяемые параметры их непрерывными аналогами. Эта операция, в частности, позволяет применять при определении допусков практически всю совокупность методов и алгоритмов поисковой оптимизации. После получения оптимальных значений допусков они могут быть скорректированы с учетом дискретности изменения допусков на ряд параметров. [c.247]

Следует подчеркнуть, что сформулированный выше постулат, несмотря на существующую здесь аналогию, не может быть получен из классической механики системы дискретных материальных точек простым предельным переходом. [c.20]

Блок функционального управления по командам скорости Ур и положения при разгоне Хр, выдаваемым микропроцессором, вырабатывает текущее положение х,р робота во времени и ускорение ау, позволяющее нейтрализовать рост ошибки в цепи обратной связи. Блок I содержит компаратор 2, который сравнивает заданное значение скорости Ур с текущим значением и в зависимости от имеющегося рассогласования (Ор т) посылает импульсы из тактового генератора 1 в реверсивный счетчик приращения 4. В случае равенства Ур — переключатель занимает центральное положение. При этом импульсы в счетчик не передаются, и он показывает постоянное значение, соответствующее движению руки с постоянной скоростью. В период торможения скорость плавно уменьшается по оптимальному закону. Значение оптимальной скорости VI, как функции пройденного пути Хр — л ,) хранится в ОЗУ 3. Дискретное значение скорости от компаратора 5 передается через переключатель 5з на преобразователь цифра аналог 6 для последу ющего дифференцирования в блоке 7 и получения сигнала ускоре ния Ах, необходимого для разгона двигателя и формирования отклика из блока II. Кроме того, сигнал Ст позволяет уменьшить ошибку позиционирования. Для формирования значения пройденного пути предназначены АЦП 8 и счетчик 9. [c.124]

Метод дискретизации. Существует множество методов получения дискретного аналога из уравнения (2.98). Три из них следующие явный, Кранка—Николсона и полностью неявный. Не будем детально их рассматривать. Они приведены во многих книгах по численным методам. Кроме того, можно обратиться к [6], где они подробно описаны в контексте метода контрольного объема. В представленной книге будет использоваться только полностью неявный метод, так как он единственный (среди трех упомянутых), который позволяет использовать любые значения Д , не получая физически нереальных результатов. Даже метод Кранка—Николсона, который часто описывается как безусловно устойчивый, может демонстрировать нефи-зичное поведение, когда Д превыщает некоторое значение (за более подробной информацией по этой теме можно обратиться к [6, 9]). Действительно, для малых значений Al метод Кранка—Николсона может быть более точным, чем полностью неявный. Однако для наших целей более важно гарантированное получение реалистичных результатов при любых значениях Дл [c.60]

Таким образом, выражение (52) и его дискретное представление являются наиболее полной моделью анализатора изображения. Однако его реализация на ЭВМ требует значительных затрат ресурсов, причем полученная при этом информация может быгь и не нужна проектанту. При разработке большинства ОЭП проектант стремится выбрать постоянную времени его тракта такой, чтобы за цикл анализа изображения распределение освещенности менялось во времени на пренебрежимо малое значение. Поэтому модельное представление (52) является избыточным и практическое значение имеет модель (50) л ее дискретный аналог (51). [c.62]

Конечно-разностное представление системы уравиещ)й (5.26), (5,27) с коэффициентами Oi, bt. l, dt, ei, зависящими от искомых функций fi (/г — компоненты скорости, энтальпия, температура, энергия турбулентных пульсаций, масштаб турбулентности и т. д.) и их производных, осуществляется по явной и неявной схемам (см. 4.11). В первом случае искомые функции явно определяются по известным значениям функций. Недостатком явных схем является ограничение по шагу счета, вытекающее из условий устойчивости. При нарушении этих условий могут возникнуть физически неправдоподобные результаты. Неявные схемы обладают безусловной устойчивостью. Неудобство неявных схем заключается в необходимости одновременного решения нескольких уравнений. Ниже приведен пример дискретного аналога системы уравнений (5,25), полученного по двухслойной неявной шсстито-чечной схеме [64] [c.184]

В методе конечных элементов расчетная область разбивается на элементы. Для удобства задания информации об этих элементах и обеспечения приемлемой гладкости функций используются достаточно простые области отрезки в одномерной модели, треугольники и прямоугольники в случае двухмерной области, тетраэдры и параллелепипеды - в трехмерном случае. В результате расчетная область представляется в виде объединения отдельных элементов, соседние из которых имеют общие точки, стороны или грани. Обычно дискретные аналоги получаются с помощью вариационного принципа, если он существует, или с помощью метода Галёр-кина. Метод конечных элементов не следует рассматривать как отличающийся в принципе от конечно-разностных методов. Его дополнительные возможности обусловлены только тем, что при этом методе можно использовать нерегулярную сетку. Например, треугольная сетка более удобна для аппроксимации нерегулярных областей и получения локального сгущения точек. [c.95]

Итерации для нестационарных задач. Если нестационарная задача нелинейна, то в ONDU T не реализована возможность на некотором шаге по времени выполнять несколько итераций и постоянно пересчитывать коэффициенты дискретных аналогов. Предполагается, что значения коэффициентов, полученные по известным значениям ф в момент времени t, достаточно точны в течение всего шага по времени. Из этого следует, что для нелинейных задач шаг по времени должен быть достаточно мал. При решении нестационарных задач коэффициенты релаксации RELAX (NF) всегда должны быть равными единице. Иначе нестационарное решение будет представлять собой результат, соответствующий искусственно измененному уравнению (5.63), а не первоначальной постановке (5.62). [c.96]

Полученное уравнение (4.27) есть уравнение свертки для носледова-тельностей и является дискретным аналогом АИП (дискретная модель АИП). Подставим выражения (4.25) и (4.27) в формулу (4.26). [c.105]

Велика роль вьгаислительного эксперимента и в науке о конвективном теплообмене Наиболее разработанным и универсальным методом решения дифференциальных задач конвекции является метод конечных разностей Накоплен значительный опыт по его применению Имеется немало модификаций этого метода, учитывающих особенности конкретных физических постановок Различные аспекты численного моделирования конвективных процессов рассмотрены в книгах [1—3] Однако до сих пор ощущается потребность в пособии, которое бы позволило начинающему исследователю проследить все стадии вьгаислительного экснеримента — от построения адекватной математической модели и ее дискретного аналога до составления машинной программы, получения и анализа численных результатов Попытаться восполнить этот пробел — одна из целей данной монографии [c.5]

Легко видеть, что приближенное решение вида (1.10) удовлетворяет граничным условиям (1.2). После подстановки (1.10) в (1.1) и соответствующих операций проектирования придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений порядка N = относительно функций 0у. Коэффициенты j/y однозначно выражаются через неизвестные 0,у из первого уравнения системы (1.1). Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений при всех значениях параметров сохраняет свойство косимметричности, а сама косимметрия определяется дискретным аналогом выражения (1.4). [c.55]

Примечание. Теорема 3 интересна тем, что позволяет свести исследование представлений КАС к исследованию представлений С -алгебры 21. Напомним, что алгебру 21 мы определяли как бесконечное прямое произведение тождественных экземпляров четырехмерной С -алгебры Шч, а поэтому можем пользоваться всеми средствами, применявшимися в 1 в случае представлений прямого произведения С -алгебр. Кроме того, теперь у нас есть одно дополнительное упрошение, а именно алгебры гНу теперь конечномерны. С одним из следствий, к которым приводит данное обстоятельство, мы уже встречались в теореме 2. В другой связи алгебра 21 будет рассмотрена нами в гл. 4. Отметим, в частности, что теорема 3 позволяет получать аналоги различных следствий из теоремы И, приведенной в гл. 3, 1. Приведем лишь один пример. Дискретные представления, полученные в 1 как частные случаи представлений НППП, возникают точно таким же образом снова и с точностью до унитарной эквивалентности определяются классом эквивалентности [п] бесконечных последовательностей т = = /Иу 2+ Шу — О или 1 . Представление, ассоциированное с последовательностью т = 0 7 2+ , выделяется среди дискретных представлений как стандартное представление в пространстве Фока, построенное для вакуума ). [c.350]

В качестве разностного аналога уравнения (10.1) в данной работе используется схема Кранка — Николсона, наиболее часто применяемая при численном решении дифференциальных уравнений параболического типа. В этой схеме дискретное представление осуществляется в момент At(n + 1/2), где п - номер шага по Времени, т. е. в момент между двумя временными слоями с известными и неизвестными искомыми значениями функций. Преимуществом схемы Кранка - Николсона является ее безусловная устойчивость, не зависящая от соотношения величин Ах и At, где Ах и At — дискретные шаги по пространству и времени соответственно. При этом, однако, неизвестные в полученной системе уравнений содержатся неявно, что обусловливает либо одновременное их вычисление, либо вычисление с применением итеративных методов, которые требуют больших временнь1х затрат по сравнению с явными схемами. Однако это неудобство, типичное для всех неявных схем, компенсируется выбором больших дискретных шагов по времени, величина которых зависит от требуемой точности. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...