Вариационная задача классическая

Классическим примером вариационной задачи является задача о брахистохроне — линии быстрейшего ската, предложенная в 1696 г. И. Бернулли. Между точками А ж В, не лежащими на вертикали, требуется провести линию, по которой материальная точка в минимальное время скатится из точки А в точку В (рис. 8.1). Здесь роль функционала выполняет время i перемещения из точки >1 в точку В, а уравнение у (ж) кривой, проходящей через точки А и В,— искомая функция. [c.190]

В случае классической механики консервативной системы можно сформулировать нашу вариационную задачу изящнее, чем это было здесь сделано, без непосредственной связи с уравнением Гамильтона, следующим образом [ 2 ]. Пусть Т( , р) — кинетическая энергия, зависящая от координат и импульсов, Г — потенциальная энергия, т — рационально измеренный элемент объема конфигурационного пространства, т. е. произведение ( д ,..., (1дп, умноженное еще на корень квадратный из дискриминанта квадратичной формы Т(д, р) (ср. Гиббс, Статистическая механика). Тогда значение функции у> должно придавать интегралу Гамильтона [c.678]

Что же касается принципа Гамильтона, то с его помощью вариационные задачи в классической механике рассматриваются двумя различными методами. [c.867]

Понятие о прямых методах решения вариационной задачи. Решение вариационной задачи о минимуме функционала может быть выполнено не только классическим путем, описанным выше, согласно которому она сводится к краевой задаче для некоторого дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, но и так называемым прямым методом. Последний состоит в представлении искомой функции (экстремали), минимизирующей функционал, в виде ряда [c.449]

Для решения поставленных задач классическими методами вариационного исчисления необходимо ввести под знак интеграла производные от независимой переменной х [31]. Это достигается введением функций [c.37]

Понятие функции эффективности играет важную роль при постановке экспериментальных исследований (например, в задаче планирования экспериментов по идентификации систем) и в теории оптимизации. В последнем случае применение функций эффективности позволяет в наиболее общем виде формулировать классические и неклассические вариационные задачи на поиск оптимальных распределений параметров. [c.24]

Напомним также, что условие (П.16) эквивалентно известному дифференциальному уравнению Эйлера—Лагранжа, используемому при решении классических вариационных задач [40]. Если подынтегральная функция в (П.15) , явно зависит от х, у к производных (/<"), например, так [c.219]

В предыдущей главе было построено классическое решение вариационной задачи об экстремуме энтропии при дополнительных условиях (3.2). При помощи метода множителей Лагранжа было выведено стационарное распределение, сходящееся к точному выражению. [c.57]

В вариационном исчислении различают классические задачи, имеющие ограничения в форме равенств, и неклассические задачи, ограничения в которых могут быть в виде неравенств и в других формах. В данной книге рассматриваются классические вариационные задачи, с помощью которых формулируются вариационные принципы механики твердого деформируемого тела. [c.15]

В отличие от классической вариационной задачи, когда дня подынтегрального вьфажения функционала, содержащего л-го порядка производную определяющей функции, задаются граничные условия дня всех порядков производных от О до л -1, в теории кубических сплайнов [c.304]

Поиск подходов к решению контактных задач для штампа полигональной формы в плане [181] привел к разработке нового математического подхода — метода / -функций, который соединил в себе алгебраические методы математики с классическими методами математической физики. На базе аппарата / -функций В. Л. Рвачевым [184] на аналитическом уровне разработан структурный метод решения краевых задач для областей сложной формы со сложным характером краевых условий. Характерной особенностью данного подхода является построение координатных последовательностей для сложных областей в рамках элементарных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям вариационной задачи, рассматриваемой методами типа Бубнова — Галеркина. [c.10]

Прикладные способы решения задач динамической оптимизации обтекания. Пусть в текущее выражение для мощности сил сопротивления управляющие воздействия в явном виде не входят. Тогда текущее значение мощности сил сопротивления должно однозначно определяться реализовавшейся частью фазовой траектории системы. В этой ситуации задачи динамической оптимизации первого типа редуцируются к классическим вспомогательным задачам стандартно [10]. В таких задачах динамические ограничения состоят из уравнения для работы сил сопротивления и кинематических связей механической системы. Роль управлений берут па себя импульсы — производные обобщенных координат. Так построенная вспомогательная задача по форме принадлежит к числу задач классического вариационного исчисления и для ее исследования может быть применен аппарат, изложенный в подразделе 4.2. Так оно и есть в тех случаях, когда система состоит из тел с гладкой поверхностью. Если в ее состав входят тела с кусочно-гладкой поверхностью (например, цилиндрические тела), то в пространстве обобщенных координат и скоростей исходной задачи появляются многообразия, на которых проекция этих тел на плоскость, перпендикулярную вектору скорости их центра масс, а следовательно, и гамильтониан теряет свойство дифференцируемости. Оптимальные управляющие силы и моменты находятся из уравнений динамики рассматриваемых систем. [c.41]

В этом разделе исследуются необходимые условия оптимальности в задаче 2.2. В силу отсутствия ограничений на величину управлений задача относится к числу задач классического вариационного исчисления. Но формальной попытке составить уравнения Эйлера-Лагранжа препятствует то, что мощность, а отсюда и гамильтониан не дифференцируемы в ситуации, когда или р = О, или д = О, т.е. задача принадлежит к числу задач негладкой динамической оптимизации [23]. Это заставляет предусмотреть участки оптимального управляемого процесса, на которых или р = О, или = О, и указать для них уравнения движения цилиндра. Как оказалось, достаточно ограничиться случаем интервала времени [ 1, 2], ДО которого д = О, а после р = 0. На интервале [0, х) цилиндр движется с сохранением вертикальной ориентации. Уравнения для работы и обобщенных координат цилиндра имеют вид [c.89]

Во-вторых, в силу отсутствия ограничений на величину управлений задача относится к числу задач классического вариационного исчисления. Но формальной попытке составить уравнения Эйлера Лагранжа препятствует то, что могцность лобового сопротивления, а отсюда и гамильтониан не дифференцируемы в ситуации, когда или р = О, или g = О. [c.126]

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ И ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ [c.121]

В случае с [2] ситуация оказалась еще сложнее, так как авторы этого исследования - А. Л. Гонор и Г. Г. Черный первыми предприняли попытку решить ЗН с использованием для давления на поверхности осесимметричной головной части не формулы Ньютона, а более сложной И, как тогда представлялось, более точной формулы Ньютона-Буземана. В связи со свойствами найденных в [2] с использованием этой формулы экстремалей - оптимальных образующих, удовлетворяющих уравнению Эйлера - классическому условию экстремума, ВОЗНИКЛО два вопроса. Во-первых, как и при использовании формулы Ньютона, экстремали, как правило, не могли начинаться на оси симметрии, т.е. были пригодны лишь для тел с протоком. Исключение - не представляющие особого интереса экстремали, совпадающие с осью симметрии и прямолинейные отрезки, перпендикулярные ей. Во-вторых, замена нулем отличного от нуля угла наклона экстремали в ее концевой точке уменьшала сопротивление на конечную величину. Возможность такого уменьшения, как выяснилось вскоре, связана с тем, что согласно формуле Ньютона-Буземана при обтекании выпуклых ИЗЛОМОВ давление р в точке излома обращается в минус бесконечность, создавая уменьшающий сопротивление тянущий эффект . Так как в газе р > О, то такой эффект есть следствие несовершенства указанной формулы, что необходимо учитывать при формулировке вариационной задачи. Как показал А. Л. Гонор ([3] и Глава 4.1), учет данного обстоятельства приводит к тому, что концевая часть оптимального контура оказывается участком краевого экстремума - [c.358]

Отметим, что примерно в это.же время в конце сороковых годов и за рубежом начали публиковаться крупные работы, посвященные исследованию вариационных задач, связанных с управлением реактивным движением. Большая часть этих исследований опиралась на уравнения Эйлера—Лагранжа, выражающие равенство нулю первой вариации 6/ оптимизируемого функционала. Таким образом, эти исследования в значительной степени сводились к той или иной модификации необходимых условий экстремума, известных в классическом вариационном исчислении и выделяющих стационарные движения, подозрительные на экстремум. [c.183]

Удобная для приложений компактная формулировка принципа максимума вызвала к нему большой интерес. В частности, возник вопрос о том, как соотношения, характеризующие этот принцип, трактуются в привычных для механиков понятиях вариационного исчисления. Кроме того, вообще ощущалась потребность подвести теоретический итог результатам приложения классических методов вариационного исчисления к задачам об управлении и изложить эти методы в форме рабочих критериев, приспособленных для этих задач. Такая работа была выполнена, результатом чего явилась серия публикаций, относящаяся главным образом к началу шестидесятых годов. При этом задачи об оптимальном управлении трактовались как вариационные задачи на условный экстремум, причем уравнения движения рассматривались как дифференциальные связи, наложенные на координаты системы. Было выяснено, как классические подходы позволяют [c.189]

Некорректность вариационных задач и задач решения операторных уравнений обычно исключает возможность прямого применения классических вычислительных методов. [c.34]

О, Т], т. е. к классу непрерывных функций с непрерывными производными до и-го порядка включительно на отрезке [О, Т]. Для подобных вариационных задач в классических постановках необходимо задавать краевые значения функции к t) и (х—1) ее производных [c.37]

Линейные вариационные задачи формулируются в терминах квадратичных функционалов (и). Классический случай заключается в минимизации потенциальной энергии 1(и)= a v,v) — 2 f,v) (здесь мы разделяем члены второго и первого порядков) на пространстве допустимых решений V. Член второго порядка описывает энергию деформации и связан с энергетическим скалярным произведением [c.338]

Подзадача, соответствующая уравнению (3.53), требует оптимизации динамических процессов за счет выбора Y(/) при фиксированных коэффициентах и начальных условиях уравнений динамики. В этом случае общая задача А оптимального проектирования преобразуется в классическую вариационную задачу с закрепленными концами (назовем ее задачей Б), а именно максимизировать (минимизировать) функционал Яо[Х(/), Y(0] по аргументу У (О так, чтобы удовлетворить условиям. XeD, YeDy, в которых множества D, Dy образуются выражениями типа [c.74]

Потребуем, кроме того, чтобы функции, на которых будет минимизироваться функционал, удовлетворяли также краевым условиям, поскольку они главные. Будем решать нашу, теперь уже вариационную задачу методом Ритца. Сначала покажем его классическое применение, а затем конечно-элементное . [c.163]

Здесь предполагается суммирование по повторяющему индексу 7, а черта над 6z означает вариацию z для неварьированных аргументов х, у. Интеграл по контуру С в формуле (4.13) отвечает классическому выран еыию вариации для вариационной задачи с частными производными при переменной области интегрирования. Появление интеграла по области D обусловлено зависимостью подынтегрального выражения в (4.12) от контура области интегрирования. [c.44]

Вариационные принципы, в которых истинность указанных полей гарантирует стационарность частных функционалов, постулируют выполнение и тех или иных дополнительных условий. В 15.11 и 15.12 подробно рассматриваются два из них —вариационный принцип Лагранжа (потенциальной энергии системы) и вариационный принцип Менабреа — Кастильяно (дополнительной работы) применительно к стержневым системам и пространственной задаче классической (линейной) теории упругости. В 15.20 мы возвратимся к этим принципам еще раз. В 15.21 обсуждаются вариационные принципы, соответствующие другим частным функционалам. [c.457]

Так как задача оптимизации режимов ГЭС в математическом отношении является вариационной задачей, то первым начали применять для ее решения классический метод вариационного исчисления. В отечественной литературе наиболее ранние и наиболее полные работы по применению этого метода к режимам ГЭС принадлежат В. М. Горн-штейну [Л. 16, 17]. Разработкой этого метода в СССР занимались Б. И. Никитин [Л. 51], Л. С. Беляев [Л. 47] и С. А. Елаховский Л. 53]. Из наиболее значительных зарубежных работ в этой области можно указать на работы Стаге [Л. И], Кирчмаера Л. И] и др. [c.35]

Итак, переход от классической модели деформирования слоистых тонкостенных пластин к той или иной корректной уточненной модели сопровождается увеличением не только порядка системы дифференциальных уравнений, но и спектрального радиуса матрицы ее коэффициентов и, как следствие, появлением быстропеременных решений, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и описывающих краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом поперечных сдвигов и обжатия нормали. Такая ситуация характерна не только для балок или для длинных прямоугольных пластинок, изгибающихся по цилиндрической поверхности, но, как будет показано ниже, и для элементов конструкций других геометрических форм — цилиндрических панелей, оболочек вращения и др. Отметим, что стандратные методы их решения, которые согласно известной (см, [283 ]) классификации делятся на три основные группы (методы пристрелки, конечно-разностные методы, вариационные методы, метод колло-каций и др.), на этом классе задач малоэффективны. Так, группа методов пристрелки, включающая в себя, в частности, широко используемый и весьма эффективный в задачах классической теории оболочек метод дискретной ортого-нализации С.К. Годунова [97 ], на классе задач уточненной теории оболочек оказывается практически непригодной. Методами этой группы интегрирование краевой задачи сводится к интегрированию ряда задач Коши, формулируемых для той же системы уравнений. Для эллиптических дифференциальных уравнений теории оболочек такие задачи некорректны (см., например, [1]), что при их пошаговом интегрировании проявляется в форме неустойчивости вычислительного [c.109]

Одной из ключевых и принципиальных проблем динамики систем с движущимися границами и нагрузками была корректная математическая постановка краевых задач в частных производных. Еще со времен С.П. Тимошенко движущуюся нагрузку заменяли некоторой эквивалентной сосредоточенной силой. Однако такой подход был некорректен, и при больших отно сительных скоростях движения нагрузок приводил к неправильным выводам. В результате многолетних поисков была разработана универсальная процедура постановки с амосогласованных задач динамики упругих систем с движущимися по ним объектами на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Возникающие при этом вариационные задачи оказались неклассическими, что потребовало проведения дополнительных разработок по вариационному исчислению. Новыми оказались и получаемые таким путем краевые задачи математической физики. Их принципиальное отличие от классических задач состоит в наличии дополнительного существенно нелинейного краевого условия, описывающего взаимовлияние движущегося объекта и колебаний упругой направляющей. Физический смысл последнего условия состоит в том, что при взаимодействии распределенной системы с движущимся со средоточенным объектом возникают силы вибрационного давления. На существование таких сил впервые обратили внимание еще Рэлей (1902 г.) и Е.Л.Николаи (1912-1925 гг.), изучавшие колебания струны с движущимся вдоль нее кольцом. Предложенный подход позволил по-новому взглянуть на проблемы динамики упругих систем, несущих подвижные нагрузки, и вскрыть новые, ранее не учитываемые явления. [c.9]

При изложении вариационных принципов классической механики главное внимание было направлено на показ широты и общности принципа Гамильтона и его приложений к различным фундаментальным задачам динамики. В частности, без доказательств я рассказывал о плодотворных и эвристичных приложениях вариационных принципов в аэромеханике, газовой динамике и теории упругости. [c.206]

Сплочению коллектива кафедры способствовали научные исследования, которые велись по достаточно целеустремленной и продуманной программе. Стержнем этой программы были работы по вариационным методам решения задач ракетодинамики и развитию общей теории движения тел переменной массы. По-моему, весь коллектив кафедры отлично понимал, что в середине XX в. центр тяжести исследований динамических процессов сместился к нелинейным проблемам, а для корректного аналитического исследования нелинейных проблем наиболее обещ,ающими и плодотворными являются вариационные методы (классические и новые), а также модифицированный и развитый метод Ньютона — Чаплыгина. Это общее для коллектива понимание линии развития науки делало научные заседания кафедры весьма содержательными, а обсуждение докладов и сообщений почти всегда способствовало углублению и внедрению в самую суть рассматриваемой проблемы. [c.227]

Этот результат Хедлюнда и Хопфа будет исходным пунктом последующего изложения. Рассмотрим классическую вариационную задачу движения консервативной системы п степеней свободы (т. е. будем предполагать независимость сил от скоростей). Тогда, как известно, вариационная задача может быть сведена к вариационной задаче, имеющей вид [c.185]

Отличие вариационных постановок задач первого типа от классических (не контактных) заключается в необходимости удовлетворения дополнительным ограничениям на допустимые функции, имеющим форму неравенств. Известное условие положительной определенности потенциальной энергии деформации обеспечивает и здесь единственность решения и его существование. В частности, если вариационная задача есть задача минимизации полной энергии системы контактирующих линейно упругих тел, то ограничение — неравенство, отражающее физическое требование непроникания, выделяет из множества допустимых к сравнению функций выпуклое подмножество как хорошо известно, задача минимизации положительно определенного (выпуклого) функционала при некоторых дополнительных ограничениях на гладкость границы области имеет решение и это решение только одно. [c.93]

Монография посвящена сравнительно новому направлению вычислительной гидродинамики. Дискретные модели несжимаемой жидкости представляют собой конечномерные математические модели, получаемые непосредственно из вариационных принципов классической механики, и предназначенные для численного моделирования движения несжимаемого континуума. Книга, в сущности, демонстрирует некоторый новый подход, в котором с единых позиций строятся эффективные численные методы для различных классов задач динамики несжимаемой жидкости со свободной границей. Приводятся примеры расчетов от простейших задач для длинных волн и солитонов, до трехмерных течений со свободной границей. Построенные методы позволили численно смоделировать некоторые нетривиальные гидродинамические эффекты, среди которых — маховское отражение уединенных волн и удержание шара вертикальной струей жидкости. Для физиков, математиков, механиков, включая аснирантов и студентов университетов. [c.1]

В динамике космического полета иногда рассматриваются вариационные задачи, использующие лишь классические уравнения движения, в которых не участвуют управляющие функции. Для решения задач такого рода могут найти применение вариационные задачи Лагранжа, Майера, изопериметрическая задача, задача Больца. [c.698]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

Публикации в Мемуарах Парижской академии за 1706, 1718 гг. Работа 1706 г. ( Решение задачи. .. об изопериметрических ) посвягцена решению задачи (1697) Я. Бернулли и является примером классической постановки вариационной задачи. Родился 27 июля 1667 г., умер 1 января 1748 г. [c.157]

В 1947 г. Фридрихе опубликовал важную работу [10], касающуюся г-мериых задач теории упругости. Ои дал первое удовлетворительное доказательство второго иеравеиства Кориа (доказательство первого неравенства почти трнвнальио), а т кже новые доказательства существования решения для первой и второй граничных задач классической теории упругости и для связанных с ними задач иа собственные значения. Его метод основан на вариационном подходе [таким же методом Фридрихе в 1928 г. доказал теорему существования для случая заделанной пластинки (см. [9])] используя технику усреднения, он доказал также внутреннюю регулярность решений. [c.146]

Создателем классического прямого метода обычно считают швейцарского математика В. Ритца (1878—1909). Если требуется решить вариационную задачу [c.49]

Описанный метод Ритца применяется только к задачам классического вариационного типа, в которых минимизируется выпуклый функционал. Соответствующее дифференциальное уравнение Эйлера самосопряжено и эллиптично. Однако, хорошо [c.140]

Наиомиим, наконец, что, даже хотя соответствие между двумя формулировками может быть формальным, при соответствующих предположениях на гладкость данных можно доказать, что решение произвольной из рассмотренных здесь вариационных задач есть также решение в классическом смысле соответствующей краевой задачи. [c.41]

Наиболее распространенный подход к исследованию задач оптимального управления, содержащих малые параметры, состоит в применении методов асимптотического разложения решений возмущенных дифференциальных уравнений к краевой задаче принципа максимума (см., например, [11, 36, 72, 77, 82, 97, 98, 127, 129]). Такая методика позволяет строить асимптотику решения задач с открытой областью управления и гладкими управляющими воздействиями, т. е, задач классического вариационного типа. В задачах современной теории оптимального управления, имеющих прямые ограничения на значения управляющих воздействий в виде замкнутых неравенств, реализация указанного подхода встречает серьезные трудности, поскольку динамические уравнения краевой задачи принципа максимума не обладают необходимой для применения асимптотических методов гл остью. Наверное, поэтому в данном случае исследования, в основном, сводились лишь к выяснению вопроса о предельной задаче, к решению которой в той или иной топологии сходится решение возмущенной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Что касается построения асимптотики решения в задачах с замкнутыми множествами допустимых значений управляющих воздействий, то имеющиеся здесь результаты еще далеки от того уровня, который мог бы удовлетворить запросы практики. В первую очередь, это относится к нелинейным сингулярно возмущенным задачам, для которых вопрос о построении асимптотических приближений к оптимальным управлениям за редкими исключениями остается открытым. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...