Квадратура численная

Хотя проблема трех тел до сих пор практически в общем виде не решена, можно попытаться исследовать орбиты трех или большего числа тел, притягивающихся по закону Ньютона на ограниченных интервалах времени. Как массы, так и начальные условия могут быть таковы, что можно вычислить сколь угодно точно значения элементов, например, при помощи так называемых механических квадратур (численного интегрирования). Если, в част- [c.252]

Как правило, интегральные уравнения решают численно методом последовательных приближений или методом механических квадратур [231]. Ясно, что в любом случае требуется численно вычислять сингулярные интегралы. Существуют два основных подхода к решению этого вопроса. [c.97]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем и находят важные технические приложения. Однако современное развитие инженерной практики требует решения и более сложных задач, в которых приходится учитывать все члены уравнений Навье—Стокса, что не позволяет их решить в квадратурах. Широкие возможности открывает использование ЭВМ и применение численных методов решения. Последние основаны на замене (аппроксимации) дифференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно применены к различным гидродинамическим задачам несколько численных методов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и лагранжевы переменные. [c.318]

При суммировании в глобальный вектор F на й-е место попадет сумма р. + а. +1. Задача вычисления интегралов типа (13.15) не содержит принципиальных трудностей, так как погрешность интерполяции функции х) на отрезках может быть согласована с погрешностью метода, и численных квадратур можно избежать даже для функций f(x) сложного вида. Перейдем к преобразованию квадратичной формы (13.13). Полученную сумму, не очень удобную для записи, перепишем в другом виде. Аппроксимируемый функционал является квадратичным и поэтому для функций и " должен иметь квадратичное представление относительно компонент вектора q = [q, 72, , дм- ) [c.165]

Теперь выражения Л(Х) и D X) нужно внести в (10.11.3) и вычислить интеграл (10.11.1) или вторые производные от него по xi, Х2, т. о. напряжения. Фактическое нахождение величин напряжений требует выполнения численных квадратур. [c.358]

При любом задании функции s v) квадратуры могут быть выполнены хотя бы численно. Таким образом, формулы (18.9.2) — [c.635]

При неустановившемся движении жидкости в трубопроводе могут быть поставлены те же задачи на его расчет, что и при установившемся, однако чаще всего на практике приходится решать задачи первого или второго типа. Для простого трубопровода задача расчета сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению, как правило, не сводящемуся к квадратурам или системе из двух уравнений. Для численного решения этой задачи можно воспользоваться известными из курса математики методами Эйлера или Рун-ге — Кутта. Последний метод обычно реализуется в математическом обеспечении машины в качестве стандартной программы. При проведении гидравлических расчетов трубопроводов на ЭВМ, особенно для неустановившихся течений жидкости, расчетное уравнение целесообразно привести к безразмерному виду, чтобы основные слагаемые имели порядок величины, равный единице. При таком подходе существенно уменьшается вероятность получения в процессе вычислений машинного нуля или переполнения. [c.138]

Написанное равенство является нелинейным дифференциальным уравнением, вследствие чего оно не поддается решению в квадратурах. Его можно решить по малым участкам ф/ ф численным или графическим методами. Рассмотрим графическое решение, аналогичное рассмотренному в предыдущем параграфе. [c.242]

Приведение к квадратурам. В 288 мы ввели в рассмотрение точку д, координаты которой в подвижной системе 03г имели численные значения х = оу , у = г = 0. Представим себе теперь в плоскости равных моментов ещё Две точки точку Л/ с координатами X, У и точку V с координатами А", У (фиг. 148). Координаты X, У пусть имеют прежние значения (50.22), а X, Y пусть следующим образом связаны с движением точки ц [c.573]

При некоторых частных предположениях о характеристиках двигателя Afj и рабочей машины и законе изменения передаточного отношения в работах [95—103] были поставлены и решены различные задачи динамического анализа и синтеза механических систем с вариаторами. В общем же нелинейном случае уравнения движения (8.1) и (8.2) не интегрируются в квадратурах и решение подобных задач сопряжено с большими трудностями. В этой связи приходится прибегать к численным, графическим, графоаналитическим или иным качественным методам исследования. [c.268]

В одних случаях интегрирования в формуле (1. 24) выполняются достаточно просто, в других же — сложно. Если квадратуры невозможны, то следует прибегнуть к тому или иному методу численного или графического интегрирования. [c.15]

При рассматривании написанных равенств замечаем, что уравнения (А) и (В) решаются в квадратурах, так как переменные в них разделяются. Однако решения в конечном виде получаются громоздкими, вследствие чего в этом случае удобнее применять или численные или графические методы. [c.93]

Ряд (7-68) для определения резольвенты при выполнении ои(ре-деленных условий является сходящимся. Несомненным достоинством метода итераций является общность представления решения в виде (7-67). При этом все трудностя решения сводятся к отысканию резольвенты Т°(М, Р), после чего решение получается простым интегрированием (7-67) для любого произвольного задания известной по условию функции Е°сой(Р) по области F°. Однако существенным неудобством метода итераций является необходимость последовательного вычисления квадратур К°т(М, Р) в (7-68) для нахождения резольвенты. Обычно эти квадратуры точно не определяются, в связи с чем приходится прибегать к численному интегрированию. [c.216]

Второй (резольвентный) подход в методах алгебраического приближения основан на резольвентном представлении решения исходного интегрального уравнения теплообмена излучением. На основании известного из математики итерационного метода решение интегрального уравнения можно представить в виде квадратуры, в которой под знак интеграла входят резольвента и известная по условию функция. При этом в свою очередь резольвента от ядра исходного интегрального уравнения удовлетворяет новому интегральному уравнению, в котором фигурируют только оптико-геометрические параметры излучающей системы. Излучающая система аналогично классическому подходу разбивается на зоны, в пределах каждой из которых радиационные характеристики и заданные плотности излучения принимаются постоянными. С учетом такого зонального деления интегральное уравнение для резольвенты аппроксимируется система ми линейных алгебраических уравнений, решаемых численно или аналитически. [c.222]

Следует подчеркнуть, что классическое решение дифференциальных уравнений равновесия стержня или. нити (представление решения в квадратурах), как правило, практически мало полезно, так как все равно получение числовых результатов требует применения численных методов для выражений анализа решений. Это может быть гораздо сложнее, чем численное решение исходных уравнений. [c.47]

Эти уравнения в квадратурах не интегрируются. Они просто решаются численным интегрированием. Приведем некоторые результаты расчетов. [c.75]

Пояснения. Квадратуры (7-12) и (7-13) вычисляются аналитическим или численным способом, если Pg и Рт можно выразить как функции Pg и Рь, а Рт — еще и как функцию Рр. Значения Pg и Рр связаны уравнением (7-7). Кроме того, в предыдущих главах книги был развит метод отыскания условий на поверхности раздела фаз. Следовательно, этих сведений может оказаться вполне достаточно для установления упомянутых функциональных связей. Примеры будут даны в последующем. [c.285]

Интеграл (17.11) может вычисляться по любой приближенной формуле численных квадратур. В частности, в работе [69] использовалась формула трапеций с 15 ординатами. Автором применялась формула П. Л. Чебышева [c.149]

Уравнение Абеля в квадратурах не интегрируется для его решения должны применяться численные методы. В практических расчетах успешно использовался метод Рунге—Кутта. Число участков, на которые при этом надо делить интервал из.менения п, зависит от потребностей точности расчетов и относительной длины лопаток [c.314]

Выполнение квадратуры справа зависит от численного значения величины п. Общий характер кривой скорости и показан на рис. 254. Левая и правая [c.646]

СЛОЙ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ, ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЫ С ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТЕМПЕРАТУРЫ. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ГАУССОВОЙ КВАДРАТУРЫ [c.450]

В настоящем разделе будет рассмотрен численный метод решения уравнения переноса излучения с помощью гауссовой квадратуры, а также способ определения.плотности потока результирующего излучения в плоском слое поглощающей, излучающей и анизотропно рассеивающей серой среды с заданным распределением температуры Т х), заключенной между двумя диффузно отражающими и диффузно излучающими непрозрачными серыми границами. Геометрия задачи и система координат такие же, как на фиг. 11.5. Граничные поверхности т = 0 и т = то поддерживаются при постоянных температурах Ti и Гг и имеют соответственно степени черноты ei и eg и отражательные способности pi и р2. Математически рассматриваемая задача описывается уравнением [c.450]

Для большинства законов распределения вычисление интеграла в квадратурах затруднительно, и для нахождения искомых значений следует пользоваться методами численного интегрирования на ЭЦВМ. [c.379]

Согласно принятым обозначениям, 3= ас ЕБ, где а определяется по формуле (37). Параметр р—величина не безразмерная, что необходимо учитывать при расчетах. Это уравнение не интегрируемо в квадратурах. Численное решение его было получено на электронно-вычислительной машине для следуюгцих конкретных условий , =20 000 кГ 1мм 2=6000 кГ1мм Я=Ъ мм, =51 мм . Расчет проводился при следующих значениях амплитуды колебаний 5,2, 10,4, 15,6, 20,8 и 26 мк. Для удобства расчетов вначале задавались определенные значения параметра О в интервале от О до тс/2. При этих условиях была найдена численная зависимость силы, действующей на конце стержня, от времени (рис. 21). Далее, согласно формуле (31), определялась сила прижима соответствующая данному 6 и При тех же условиях находилась величина максимума силы Исключая параметр О, путем соответствующего сопоставления значений и Р получим интересующую нас зависимость максимума силы от силы прижима и амплитуды колебаний. Аппроксимация этой зависимости степенной функцией дает [c.38]

Решение обратных задач, связанное с интегрированием системы дифференциальных уравнений (1 ), представляет подчас значительные трудности и часто не может быть выполнено в квадратурах. (Тогда приходится систему (1 ) решать численно, применять иные методы приближенного инте1 рировапия, либо пользоваться вычислительными машинами.) [c.28]

Формулы (44) и (47) решают ноставленпую задачу в предположении, что известно решение (42) дифференциального уравнения (40) это уравнение приводится к квадратурам лишь при некоторых частных предположениях о виде функции f(v), например, в следующих случаях f(v) = av, f(v) = bv , f(v) = = ао + (Ньютон, Эйлер), f(o) = u" (И. Бернулли), f(o) = = а + йо" (Даламбер) и др. Во внешней баллистике уравнение (40) обычно интегрируют численными методами. [c.48]

Полученная система дифс[5еренциальных уравнений (14-22) и (14-24) и должна дать аналитическое решение задачи о колебаниях масс воды в системе туннель — уравнительный резервуар. Однако после исключения из них скорости V мы придем к дифференциальному уравнению второго порядка относительно у, которое в общем случае не решается в квадратурах. Поэтому относящиеся сюда задачи решаются приближенно графическим или численным (в конечных разностях) методом. [c.146]

Очевидно, что численная реализация уравнения Мусхелиш-вили затруднительна из-за того, что уравнение расположено на спектре. В частности, при решении методом механических квадратур получаются вырожденные системы. В [45] отмечается, что при той или иной реализации целесообразно сохранять добавки (кб) или (3.10). Из-за погрешности квадратурных формул эти добавки не будут, вообще говоря, обращаться в нуль, и поэтому они внесут некоторую (малую) погрешность. Однако при этом полностью устраняются указанные выше затруднения вычислительного порядка. [c.382]

Уравнения (5.6) также являются сингулярными уравнениями с разрывными ядрами и разрывным коэффициентом при внеинтегральном члене. Исследования условий разрешимости уравнений класса (5.6) также отсутствуют. Однако, безусловно, является полезной разработка эффективных численных методов решения уравнений (5.2), (5.5), (5.6) ). Например, не составляет труда реализация в той или иной форме метода механических квадратур. Для вычисления сингулярных интегралов, входящих в уравнения (5.2), (5.5) и (5.6), можно использовать регулярное представление (3.2) в его модифицированной форме. Если же осуществить полигонализацию поверхности, то можно воспользоваться кубатурными формулами [88, 206]. [c.597]

Таким образом, рассматриваемую задачу нам удалось решить в квадратурах. Получить результат в конечном виде можно только численным способом при конкрентных. данных. [c.315]

После такого преобразования интегралы заменяются конечнь1ми суммами по одной из известных формул численного интегрирования, а сами уравнения — системами алгебраических уравнений относительно значений искомой функции в узлах принятой численной квадратуры. [c.266]

При силах, зависящих от скоростей и времени, уравнения (94) или (97) служат исходными для нахождения закона движения машины под действием заданных сил. Ввиду того что при указанной характеристике сил эти уравнения являются, как правило, неинте-грируемыми (т. е. нерешаемыми в квадратурах), их решение приходится проводить методами численного интегрирования [1 и 24]. [c.252]

При заданных начальных и граничных условиях решение в квадратурах системы уравнений (15) и (16) не оказалось возможным и было произведено методом численного интегрирования. Результаты решения представлены на рис. 2 и 3, где показаны кривые изменения средней влажности 2(,р и температуры газа на выходе из слоя 0 в зависимости от величины комплексов и Пд. Очевидно, что наличие таких кривых позволит произвести полный расчет сушки в сушилах, рабо-таюш,их по соответствующим схемам, и выяснить ряд общих закономерностей в ходе процесса сушки. [c.318]

В качестве численного примера для плоскопараллельной геометрии приведем решение одногрупповой гетерогенной задачи 1 (рис. 2) с поглощающей (зона 3) и диффузионной (зона 4) областями и изотропными внутренними источниками F в зонах 2 и 4 [4]. Расчеты проводили с фиксированной квадратурой Sg и различными пространственными сетками (Aj = 3 3/2 3/4 3/8). Оценивали погрешности [c.266]

В качестве следующего примера приведем данные численного эксперимента по сравнению точности AWDD-, LD-, LM- и AWLM—WLD-схш для задачи 2 в (х, у)-геометрии, взятой из [5]. На рис. 3 Fi, F2 — внутренние изотропные источники, рассеяние отсутствует. Задача 2 решалась с квадратурой S2 на сетке / = At/ = 2 "), п = 1,. .., 4 при oi=4, аг = 2, fi=0, р2=. В качестве точного принято решение, полученное на сетке /5 LyW-методом. В табл. 3 приведены относительные погрешности и bsum в расчете интегрального потока и [c.267]

Это интегральное уравнение для неизвестного распределения размеров капель / (D) представляет собой уравнение Вольтерра первого рода. Даже при известном аналитическом выражении для функции скорости счета (вместо таблицы числовых значений) аналитическое решение уравнения (13) отсутствует. Поэтому использовались численные методы. Кунц [22], Скарбороу [23] и другие разработали метод численного определения функции / D). По существу эти методы состоят в замене определенного интеграла формулами для квадратуры и определении значений неизвестной функции в каждой точке путем разбиения определенного интеграла с использованием стандартных методов решения систем уравнений. [c.178]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Решение системы уравнений движения, удовлетворяющее граничным условиям (2,14)-(2,16), выпо.таено численным методом интегральных соотношений [90] в его гиперболическом варианте [91], Применялась дивергентная форма записи в переменных z,l,z = /w l), где г = 0 образ сильного разрыва, = w l) непротекаемая стенка. Аппроксимирующая система дифференциальных уравнений получена разбиением интервала ге[0,1] на пять полос и при.менением интерполяционных квадратур типа Ньютона-Котеса, Итоговая система обыкновенных дифференциальных урав- [c.47]

Интегралы в выражениях для скоростей фаз смеси не сводятся к простым видам, поэтому приходится прибегать к численному интегрированию. В частном случае для течения смеси с газосодержа-нием фа = 0,5 (01 = —0о = —л/2) квадратуры выражений (94) выполняются точно. В этом случае sin 62 = 1, tg 02 = О, sh[m(n—262)1 = О и, следовательно, для жидкой фазы [c.46]

Факсен не дает общего выражения для постоянной С через одну квадратуру. Он применяет эти формулы для случая h = 1/2, что соответствует Z = (1/2) L и 6 = (3/2) L, так что расстояние от частицы до одной стенки втрое больше, чем до другой, т. е. Ь = 3L Он также дает численное значение С для этого случая. Кроме того, он проводит приближение дальше путем дополнительного отражения поля, развивающегося на сфере, на две параллельные стенки, получая таким образом два дополнительных поправочных члена в формуле для сопротивления. [c.375]

Интегралы Д, /3, /3 в квадратурах не вычисляются, но если на интервале интегртрования [О, в] функция (Ь - Х ) О, то эти интегралы легко могут быть получены численным интегрированием. Заметим, что обращение функции (Ь - Х ) в нуль при = л, как нетрудно видеть из рис. 5Л2, соответствует вырождению трапециевидной пластины в треугольную. [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...