Принцип конечных разностей

Принцип конечных разностей. Приближенное решение дифференциального уравнения в частных производных, как, например, уравнения Лапласа, может быть получено в числовом выражении путем принятия пространственного распределения или сетки значений в области и проверки, удовлетворяют ли принятые значения соответствующее уравнение и граничные условия. В случае, если эти значения не удовлетворяют уравнение, их корректируют. Для выполнения этих операций необходимо заменить бесконечно малые дифференциальные элементы элементами малыми, но конечными, а затем воспользоваться методами теории конечных разностей. Приближенное выражение можно получить для функции ф уравнения Лапласа, приняв значения ее величины в равномерно распределенных точках такими, как показано на рис. 40. Расстояние а принимается достаточно малым, чтобы изменение функции от точки к точке можно было считать линейным. Если Хо и г/о — координаты центральной точки, то в точках [c.131]

Метод сеток, как наиболее общий метод расчета, основанный на принципе конечных разностей, применительно к расчетам нагрева слитков под ковку разработал В. Н. Соколов [79]. [c.45]

Подставляя зависимости (5.164) — (5.165) в уравнения движения (в дифференциальной форме или в форме принципа возможных перемещений) и используя метод конечных разностей, метод ко- [c.249]

В книге дано систематическое изложение теории упругости, начиная с вывода основных соотношений и кончая некоторыми решениями, полученными в недавние годы. Подробно рассмотрены плоская задача, задачи кручения и концентрации напряжений, некоторые пространственные задачи, вариационные принципы и методы решения задач. Излагаются также задачи распространения волн в упругой среде. В авторском приложении к книге, которого не было в прежних изданиях, описан метод конечных разностей для решения плоской задачи, а в приложении, написанном переводчиком к русскому изданию, изложен метод ко. нечных элементов. [c.2]

Оба метода при использовании вариационного принципа и соответ-ствуюш,их разностных схем могут быть сведены к одним и тем же уравнениям [9] и одинаково пригодны для решения задач подобного типа. С точки зрения практической реализации на ЭВМ МКЭ целесообразно использовать для задач с контуром сложного очертания, для которых необходима сильно нерегулярная структура сетки получающуюся при этом систему линейных алгебраических уравнений практически можно решать только одним из прямых методов. Метод конечных разностей для подобных задач требует сгущения сетки, однако структура уравнений в этом методе упрощается, и даже частичное использование регулярной сетки позволяет сильно уменьшить количество различных коэффициентов уравнений систему уравнений при этом можно решать как прямым, так и итерационным методом. [c.103]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Основным библиографическим источником аналитических решений, функций Грина и т. д. для уравнения диффузии (называемого также уравнением теплопроводности) является известная книга Карслоу и Егера [1]. Существует также обширная литература по численным решениям, которая может быть классифицирована (безотносительно к использованному при этом методу решения МГЭ, МКЭ, метод конечных разностей и т. д.) по принципу, основанному на обращении с зависящим от времени членом, входящим в уравнение. [c.245]

В работе излагается метод определения динамических характеристик прямоугольных пластинок с вырезами. Метод основан на использовании вариационных принципов совместно с методом конечных разностей. Для выражения потенциальной энергии деформации подобластей, на которые разбивалась пластинка, была разработана теория пересекающихся сеток. Использование этой теории продемонстрировано на примерах, относящихся к внутренним и граничным узловым точкам. Были получены и экспериментально проверены собственные частоты колебаний и соответствующие им формы для прямоугольных пластинок с одним и двумя вырезами. [c.114]

В предлагаемой статье на основе вариационных принципов в сочетании с методом конечных разностей разработан метод определения динамических характеристик прямоугольных пластинок с вырезами. В этом методе для изучения движения пластинки используются выражения потенциальной и кинетической энергий свободных колебаний, основанные на гипотезах Кирхгофа и справедливые для тонких пластинок [c.114]

Развитие вычислительной техники открыло новые перспективы решения нелинейных проблем гидродинамики и, в частности, задач нелинейной теории конвективной устойчивости. Эти перспективы связаны с применением метода конечных разностей. Одно из достоинств этого метода состоит в том, что он, в принципе, не имеет ограничений по числу Рэлея и поэтому может быть с успехом применен для исследования. стационарных и нестационарных надкритических движений вдали от критической точки. Даже сравнительно грубые сетки, применяемые в настоящее время, позволяют продвинуться в расчетах до значений числа Рэлея, в десятки раз превосходящих критическое. Другое достоинство метода состоит в том, что с его помощью можно реализовать- интересные с принципиальной точки [c.159]

Назначение этого параграфа связано с анализом дискретных схем интегрирования уравнений движения (дискретных моделей). Вопросы, которые здесь обсуждаются, связаны с первую очередь с вопросами механики. При переходе к описанию уравнений движения в конечных разностях законы сохранения могут нарушаться. В связи с этим обсуждаются способы формирования численных схем, которые не приводят к нарушению законов сохранения. По существу речь идет о методах построения таких дискретных моделей, которые содержат в себе законы сохранения исходной непрерывной модели законы сохранения полной энергии, импульса, фазового объема и т. д. Необходимо заметить, что анализ этих вопросов имеет большое значение для механики. Это связано с тем, что предельные теоремы о равномерной сходимости ломаных Эйлера к решению дифференциальных уравнений движения имеют чисто теоретическое значение, так как при использовании ЭВМ этого предельного перехода не производится, а в качестве приближенного решения рассматривается соответствующая ломаная с достаточно малым, но не равным нулю шагом интегрирования И. Одним из возможных методов получения дискретных моделей служит вариационный принцип [c.290]

В оригинальном варианте [129] этот метод основывался на том простом факте, что в статическом случае поле выталкивается из любой области, занятой проводником. Заряды распределяются по поверхностям всех проводников таким образом, что все эти поверхности эквипотенциальны. Если потенциалы проводников (электродов) создаются извне, это эквивалентно созданию определенных распределений заряда на электродах. Можно считать, что эти заряды являются источниками электростатического распределения потенциала в пространстве, окружающем электроды, в том числе и потенциалов самих электродов. Если бы мы могли заменить потенциалы электродов этими поверхностными распределениями заряда на электродах, нетрудно было бы рассчитать потенциал в любой точке просто на основе принципа суперпозиции, не прибегая к использованию сложных расчетных сеток, как в методах конечных разностей или конечных элементов. Кроме того, мы сэкономили бы огромное количество машинного времени и машинной памяти, поскольку потенциал в заданной точке может быть точно вычислен без необходимости двигаться шаг за шагом от электродов к заданным точкам в ходе утомительной процедуры, накапливая ненужную информацию. Например, в случае аксиально-симметричных фокусирующих элементов нужно знать лишь распределение потенциала вдоль оси. Метод зарядовой плотности [c.163]

При выводе численного приближения к уравнению переноса очень полезен принцип, состоящий в том, что конечно-разностное уравнение для элемента фазового пространства должно удовлетворять закону сохранения нейтронов в этом элементе. Каждый член в уравнении должен представлять физическую компо енту, входящую в закон сохранения, такую, как поглощение в элементе или ток нейтронов через поверхность. Когда конечно-разностные уравнения составляются с учетом закона сохранения, то они всегда более наглядно интерпретируются и обычно более точны по сравнению со случаем, когда производные просто заменяются конечными разностями. Кроме того, в отсутствие такого принципа возможные конечно-разностные уравнения оказываются настолько многочисленными, что сделать хороший выбор иначе, чем методом проб и ошибок, очень трудно. Именно по этой причине уравнение переноса в разд. 1.3.2 выражено в дивергентной форме. [c.179]

Уравнение (9.1) или система уравнений (9.2) и (9.3) представляют точное описание изменения потока нейтронов с учетом запаздывающих нейтронов. В принципе эти уравнения можно решить прямыми конечно-разностными методами, т. е. заменяя производные конечными разностями. На практике указанным способом получены в диффузионном приближении решения ряда задач [c.370]

Таким образом, сферохроматическая аберрация определяется почти полностью разностью Ср — а , т. е. разностью сумм S, для двух цветов. В принципе вычисление этой разности не представляет трудностей, так как достаточно продифференцировать S, по показателям преломления и помножить каждую частную производную на конечную разность показателей Пр — Пс, чтобы получить с достаточной точностью искомое выражение. Однако даже в простейших случаях это выражение имеет настолько сложный вид, что до снх пор в литературе не опубликовано ни одной формулы для сферохроматической аберрации в общем случае. Автором такая формула была выведена для двухлинзовых склеенных бесконечно тонких объективов, исправленных в отношении хроматической аберрации. [c.198]

Теоретическую основу определения времен распространения волн в произвольно неоднородной среде составляют уравнение эйконала, принципы Гюйгенса и Ферма. Конкретные алгоритмы представлены численными решениями, которые можно сгруппировать в три класса трассирование лучей, интегрирование уравнения эйконала, и конструирование волновых фронтов. Вычислительный аппарат - как правило, метод конечных разностей, реже - методы конечных элементов или Рунге-Кутта. [c.23]

В других случаях эксплуатационники требуют замены сопла, так как считают необходимым использовать всю располагаемую разность давлений воды перед элеватором в его сопле. При наличии съемного короткого патрубка с фланцами перед элеватором смена его сопла обычно может быть выполнена за 1—2 ч и поэтому не может вызывать особенных затруднений при первоначальной и единичной наладке. Однако если такая замена сопл для соблюдения принципа использования всей располагаемой разности давлений в сопле элеватора должна проводиться ежегодно и притом в больших количествах, то, конечно, она становится весьма обременительной для эксплуатационного персонала. [c.272]

Конструкция называется статически неопределимой, если уравнений равновесия недостаточно для определения всех внутренних сил степень статической неопределимости равна разности между числом неизвестных внутренних сил н числом независимых уравнений равновесия конструкции. Согласно этой терминологии, конструкции можно в принципе рассматривать как многосвязные сплошные тела с бесконечной степенью статической неопределимости. Анализ подобных систем потребовал бы невероятно трудных вычислений. Однако экспериментальные данные н опыт проектирования показали справедливость упрощенного подхода к анализу конструкций, основанного на аппроксимации деформаций элементов конструкции системами с конечным числом степеней свободы. Иначе говоря, конструкции можно рассматривать как тела с конечной степенью статической неопределимости. [c.289]

Интерференционно-поляризационные фильтры [98 ] основаны на принципе интерференции конечного числа световых пучков с большими разностями хода и равными амплитудами. Они представляют собой по существу два последовательно установленных поляризационных интерферометра. Несмотря на узкую полосу пропускания (0,1—0,2 нм), фильтры интерференционно-поляризованного типа не нашли широкого применения из за сложности конструкции и трудностей эксплуатации. [c.67]

Систему уравнений для вывода критериальных зависимостей исследуемого класса дисперсных теплоносителей получим, используя предложенную выше модель гетерогенной элементарной ячейки. Этот подход, по-види-мому, связан с минимальными физическими погрешностями, что существенно для теории подобия. Возникающая при этом математическая некорректность вывода соответствующих дифференциальных уравнений связана с тем, что к рассматриваемому молю гетерогенной системы в силу конечности его размеров и дискретности его 1компонентов неприменимы точные математические методы. Мож но полагать, что для дисперсных систем в принципе невозможно получить полностью корректную (одновременно с физической и формально-математической точек зрения) систему дифференциальных уравнений пока не будут предложены соответствующие функции распределения, аналогичные функциям Максвелла и Больцмана для газа. Поэтому в дальнейшем воспользуемся приближенным методом конечных разностей, дополнительно учитывая следующее [c.33]

Принцип возможных перемещений, являясь одним из наиболее общих принципов механики, дал возможность развить на его основе приближенные методы, которые нашли самое широкое применение в расчетной практике. В частности, он является теоретической основой uinpoKo применяемого в строительной механике метода деформаций. На его основе удачно развиваются метод конечных элементов и метод конечных разностей, рассмотренные ниже. [c.192]

Разделы, касающиеся метода фотоупругости, двумерных задач в криволинейных координатах и температурных напряжений, расширены и выделены в отдельные новые главы, содержащие многие методы и решения, которых не было в прежнем издании. Добавлено приложение, относящееся к методу конечных разностей, в том числе к методу релаксации. Новые параграфы, включенные в другие главы, относятся к теории розетки датчиков деформаций, гравитационным напряжениям, принципу Сен-Венана, компонентам вращения, теореме взаимности, общим решениям, приближенному характеру решений при плоском напряженном состоянии, центру кручения и центру изгиба, концентрации напряжений при кручении вблизи закруглений, приближенному исследованию тонкостенных сечений (например, авиационных) при кручении и изгибе, а также к круговому цилиндру при действии пояскового давления. [c.14]

Разностную схему для определения разностного решения будем по-прежнему строить, заменяя в уравнении (3.1) и граничных условиях (3.2), (3.3) производные конечными разностями. Рассмотрим аппроксимацию производной по времени. В принципе для построения соотношений, аппроксимирующих временную производлую, в /-Й момент времени можно использовать значения температур в различные моменты времени Т , Ti ,. ... Однако на практике в подавляюще.м большинстве случаев используются только значения температуры в /-й и (/ 1 -и моменты времени. Такие схемы называются двухслойными (повремени). Значительно реже учитывают значение температуры в (/ — 2)-й момент времени и получают трехслойные схемы. Дальше мы будем рассматривать только двухслойные схемы. В этом случае производную по времени аппроксимируют разностью назад [c.79]

Хотя предложенный метод является приближенным для N < оо, в принципе погрешность можно сделать сколь угоднО малой при достаточно большом числе N и достаточно близких друг к другу значениях Хг. Это следует из свойства полноты системы интегрируемых с квадратом функций, в рядах Дирихле [87]. На практике, однако, точность обращения ограничивается гладкостью изображений по Лапласу. Ошибки за счет округления, неизбежные при любых численных представлениях, и погрешности при интерполяции, например при 1юлучении ассоциированного упругого решения методами конечных разностей или конечных элементов, определяют нижнюю границу погрешности для квадратичного отклонения [19, 84, 87]. Оказывается, что для принятых численных значений изображений Лапласа при сближении Хг квадратичная ошибка сначала уменьшается, а затем увеличивается. Этот рост отражает перемену знака возрастающих членов в функции Д/с(0- [c.146]

Строгое математическое исследование процесса динамического роста трещины в твердом теле можно осуществить лишь для простейших геометрий и простейших видов нагружения. ТакогО рода работы оказали решающее влияние на выявление основополагающих принципов в данной области. Однако уровень детализации, необходимый для разделения чисто геометрических эффектов и эффектов, обусловленных свойствами материала,, в опытах по распространению трещины или при попытке предсказать характер распространения трещины в данном материале 11едостижим при использовании строгих математических методов. Таким образом, особую важность приобретают исследования динамического роста трещины в материалах, осуще--ствляемые путем моделирования на ЭВМ, в том числе с применением вычислительных программ большого объема. Характер моделей, развитых к настоящему времени для исследования процессов разрушения, в значительной степени зависит от характера вычисляемых величин хорошо зарекомендовали себя дискретные системы, построенные при помощи методов конечных разностей, методов конечных элементов или моделирования атомно-молекулярной структуры материала. Ниже приведены иллюстрации применения таких систем. [c.119]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Метод конечных разностей П] — родоначальник первого подхода, и до последних пятнадцати лет, когда его стали заменять методами второго рода, он наиболее широко использовался. Методы конечных разностей привлекательны тем, что их в принципе можно приложить к любой системе дифференциальных уравнений, но, к несчастью, учет граничных условий задачи очень часто явля- [c.12]

В принципе эти методы могут быть применены к любой задаче, для которой дифференциальное уравнение или линейно, или линейно относительно приращений [44—49]. В задачах, сводящихся к эллиптическим дифференциальным уравнениям, решения получаются сразу, в то время как для параболических и гиперболических систем уравнений должны быть введены процессы продвижения во времени. Таким образом, охватывается очень широкий класс физических задач при помощи прямых или непрямых формулировок МГЭ могут быть решены, например, задачи об установившемся и неустановившемся потенциальных течениях, задачи статической и динамической теории упругости, упругопластичности, акустики и т. д. [8—49]. МГЭ может также быть использован в сочетании с другими численными методами [44], такими, как методы конечных элементов или конечных разностей, т. е. в смешанных формулировках. Соответствующие комбинированные решения почти неограниченно расширяют область применения методов, ибо МГЭ обладает четко выраженными преимуществами для областей больших размеров, в то время как методы конечных элементов являются удобным средством включения в такие системы объектов конечного размера или уточнения поведения решения в зонах быстрого изменения свойств. Более подробное сравнение особенностей этих методов будет дано в следующем параграфе. [c.16]

Броган, Форсберг и Смит [ 2], по всей видимости, первыми исследовали влияние выреза на собственные частоты и формы свободных колебаний однородных оболочек с круговыми шпангоутами на краях. Аналитическая часть их исследования базировалась на использовании двумерного конечно-разност-ного представления потенциальной и кинетической энергий оболочки. Применение принципа стационарности полной энергии приводило к алгебраической задаче на собственные значения. Несколько позднее метод Ритца был использован Малининым [3] для исследования свободных колебаний шарнирно опертых оболочек вращения, содержащих один или несколько неподкрепленных вырезов. [c.239]

Остановимся теперь на некоторых результатах нелинейного расчета конечно-амплитудных режимов. Как уже указывалось, в области F > F стационарный плоскопараллельный режим течения невозможен. Однако в этой области могут в принципе существовать другие режимы, приводящие к увеличению теплоотвода. Вопрос этот может быть решен лишь на основе полных нелинейных уравнений (28.2). Двумерное периодическое по z решение этих уравнений находилось численно методом конечных разностей в работе [24]. Расчеты проделаны для Рг = 1 (реагирующий газ). Фиксировались параметр Z = О и волновое число периодасческой структуры = 1,4 в районе минимума нейтральной кривой (критическое значение слабо зависит от параметров задачи). В численных экспериментах При некоторых значениях Gr и F задавалось малое начальное возмущение и наблюдалась его эволюция со временем. Таким путем удается получить предельные установившиеся режимы, разумеется, в тех случаях, когда они существуют. [c.191]

Естественным методом приближенного решения задач об управлении системами с распределенными параметрами является замена соответствующих функциональных уравнений подходящими конечномерными разностными схемами. В результате получается задача об оптимальном управлении аппроксимирующей системой, описываемой уравнениями в конечных разностях или системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие аппроксимирующие задачи, по крайней мере, если речь идет о линейных системах, оказываются эффективно разрешимыми, и тем самым доставляется возможность численного решения исходной проблемы. К сожалению, и здесь вопросы обоснования подобной конечноразностной аппроксимации исследованы еще недостаточно. Следует, наконец, отметить одно существенное обстоятельство, характерное для аппроксимации задач об управлении системами с распределенными параметрами и проявляющееся, в частности, уже в задачах об управлении системами с последействием. Пусть, например, речь идет об оптимальном программном управлении, обеспечивающем предельное быстродействие для бёсконечномерной системы при ограничении [[ м [<Л , и пусть эта система, аппроксимируется конечномерной системой, описываемой системой из п обыкновенных дифференциальных уравнений. В большинстве случаев для конечномерных систем условие максимума, фигурирующее в принципе максимума, не вырождается, т. е.- соответствующее выражение Н [ , X ), "ф, м] зависит фактически от и, и тем самым доставляется достаточная информация о значениях ( ). Вследствие этого невырожденного условия максимума оказывается, как правило, что эти значения лежат на границе области 7 ( гг [[<Л ), и их можно найти, зная вектор Ь). Далее, оказывается, однако, что если даже и устанавливается сходимость аппроксимирующих управлений м ( ) к оптимальному управлению и Ь) исходной системы при г -> оо, то в весьма широких случаях эта сходимость имеет достаточно нерегулярный характер и, в частности, аппроксимирующие оптимальные движения сходятся к оптимальному движению исходной системы подчас лишь как к скользящему режиму (хотя весьма нередки случаи, когда на деле этот предельный режим может осуществляться обыкновенным управлением и ( ), регуляризирую-щим, следовательно, данный скользящий режим). На языке принципа максимума это выражается в том, что соотношение, определяющее u (t) из условия максимума, при п оо вырождается (в пределе оно оказывается уже не зависящим от и) и его формальная запись для соответствующей исходной системы с распределенными параметрами имеет лишь относительное значение, поскольку оно не доставляет необходимую инфор- [c.241]

Изложенная здесь схема обоснования метода БГР в задачах нелинейной теории оболочек принадлежит автору [10, 11, 12, 13, 14, 21, 31]. Она допускает непосредственный перенос на другие прямые методы конечных элементов, конечных разностей, сплайн-аппроксимаций [42, 73, 88, 89, 92, 97]. Здесь важно, чтобы были выполнены два основных условия 1) аппарат аппроксимации должен позволять приблизить сколь угодно точно в норме соответствующего пространства любой элемент, если неограниченно растет число постоянных аппроксимации 2) уравнения для определения постоянных аппроксимации должны получаться на основе какого-либо вариационного принципа, например Лагранжа, Алумяэ. Именно такой путь получения уравнений для определения постоянных [c.255]

Примечание 36.3. Изложенные в данном параграфе схемы обоснования методов БГР в задачах глобальной устойчивости пологих оболочек обобщаются и на случаи, когда аппроксимация решений производится методами конечных разностей или конечных элементов. И здесь важно выполнение двух условий 1) аппарат аппроксимации должен обеспечить приближение любого элемента из Нх, если используются схемы Папковича, или любого элемента пз Htx (соответственно Нд ), если используются схемы X. М. Муштари (соответственно В. 3. Власова) 2) определение констант аппроксимации производится на основе какого-либо вариационного принципа Лагранжа или Алумяэ. [c.331]

Для проблемы 1 предположим сначала, что на каждом квадрате сетки только один узел (и одно связанное с ним неизвестное) это случай линейных элементов на правильных треугольниках, билинейных элементов на квадратах и сплайнов. Тогда КО = Р будет выглядеть точно как общепринятое разностное уравнение. Этот факт привел к бесчисленным дискуссиям о связи между конечными элементами и конечными разностями. Ясно, что не все разностные уравнения можно получить подходящим выбором элемента матрица К должна быть симметричной и положительно определенной, но даже при этих ограничениях соответствующий элемент может отсутствовать. С другой стороны, достаточно терпеливый читатель может пожелать рассматривать все уравнения метода конечных элементов (даже на неравномерной сетке с многими узловыми неизвестными) как конечноразностные уравнения. Мы приветствуем это намерение. Вообще система КО = Р дает новый тип объединенных разностных уравнений, который в принципе можно было изобрести без вариационного принципа в качестве посредника. Исторически, конечно, это почти никогда не случалось. Метод конечных элементов систематически приводит к специальному классу уравнений [пересечению всевозможных разностных уравнений со всевозможными уравнениями Ритца — Галёркина), удивительно удачному при вычислениях. [c.200]

Естественно спросить почему конечные элементы не используются также и по временной переменной Конечно, можно было бы попытаться применить их, но это не даст особого успеха. С математической точки зрения вполне разумно изучить дискретизацию в два этапа сначала исследовать ошибку метода конечных элементов и(х, i) —u (x, t], а затем ошибку в возникающую при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. По временной переменной геометрия области не вызывает трудностей, которые надо было бы преодолевать с помощью метода конечных элементов, и на самом деле непосредственное применение принципа Галёркина может связать все временные слои и уничтожить главное свойство распространения вперед по. времени. Мы не видим причин отказываться от этой дополнительной гибкости конечных разностей. [c.282]

Если коэффициенты в задаче зависят от времени (или нелинейные), то в строгой теории Галёркина матрицы М и К должны пересчитываться на каждом шаге. Весьма вероятно, что для получения матрицы жесткости, приближенно правильной, без пе-ресчитывания каждого интеграла, обязательно найдется возмущенный вариационный принцип, приводящий к некоторому гибридному методу конечных элементов и конечных разностей. В больших задачах точный процесс отыскания <3 + может оказаться слишком дорогим итерационный подход к построению приближения для Q + (возможно, исходящий из как из начального приближения) может быть более эффективным. Дуглас и Дюпон [Д8, ДИ] предложили для нелинейных задач несколько итерационных способов, позволяющих решать на каж-, дом временном щаге большую нелинейную систему. Их анализ [c.283]

Общее представление о сравнительной производительности методов дает работа (Leidenfrost et al., 1999), в которой авторы постарались снизить влияние посторонних факторов на скорость решения задачи. Выяснилось, что несмотря на общие теоретические основы и высокое, во всех случаях, качество программирования, основные параметры - точность, производительность и требуемая память - различаются в диапазоне почти двух порядков. Наиболее точным методом оказалось конструирование фронтов трассирование лучей дает примерно ту же точность, что и интегрирование уравнения эйконала. Самым быстрым оказалось интегрирование эйконала в полярных координатах конечными разностями в комбинации с методом Рунге-Кутта, самым медленным - трассирование лучей. Наибольших ресурсов памяти требует конструирование фронтов. В конечном счете, для точных расчетов в среде с сильными, но гладкими вариациями скорости и необходимостью обхода принципа Ферма рекомендуется метод конструирования фронтов а для сравнительно простых разрезов оптимальным оказывается интегрирование уравнения эйконала в полярных координатах конечными разностями в комбинации с методом Рунге-Кутта благодаря его непревзойденной вычислительной эффективности. [c.29]

По поводу изложенных результатов необходимо, однако, сделать еще следующее замечание. Диссипируемая в жидкости энергия разумеется, инвариантна относительно галилеевого преобразования системы отсчета. Производные от скорости этому требованию конечно удовлетворяют, но в сверхтекучей жидкости галилеевски инвариантна также и разность скоростей W = v,i — Vs. Поэтому и диссипативные потоки в сверхтекучей жидкости могут зависеть не только от градиентов термодинамических величин и скоростей, но и от самой w. Как уже было отмечено в 139, эта разность фактически должна рассматриваться как малая величина, и в этом смысле выражения (140,5—6) содержат в себе не все в принципе возможные члены, но лип1ь наибольшие из них ). [c.721]

Новые возможности для создания быстродействующих элементов ЭВМ открывают эффекты Джозефсона. Как отмечалось в предыдущем параграфе, если ток, проходящий через переход Джозефсона не превышает величины /о, вся система является сверхпроводящей и обладает нулевым сопротивлением. При превышении тока 1а или при действии на переход хотя бы слабого магнитного поля на переходе возникает разность потенциалов, что означает появление у перехода определенного сопротивления. На этом принципе могут быть построены туннельные джозефсоновские криотроны. Так как переход от нулевого сопротивления к конечному не связан с разрушением сверхпроводящего состояния материалов, то скорость переключения туннельных криотронов оказывается значительно более высокой, чем у обычных сверхпроводящих криотронов. В настоящее время построены туннельные криотроны с временами переключения яг 10- с и рассеиваемой мощностью, не превышающей 10- Вт. [c.207]

Ж. Лагранж первый ясно сформулировал принцип наименьшего действия (1760 г.). Среди всех движений, которые приводят систему материальных точек при постоянной полной энергии из определенного исходного положения в определенное конечное положение, действительное движение производит минимальное действие. Следовательно, возможные движения должны удовлетворять принципу сохранения энергии, зато они могут происходить в любое время. В соответствии с этой формулировкой путь одной материальной точки без приложенной движущей силы таков, что она с постоянной скоростью и в кратчайщее время достигнет цели. В качестве кривой пути получается линия кратчайшей длины, т. е. для свободной точки — прямая линия. К. Якоби и У. Гамильтон показали впоследствии, что принцип допускает и совершенно иные формулировки. Особую важность для будущего представляла формулировка, которую предложил Гамильтон. В ней сравниваемые возможные движения не должны обладать постоянной полной энергией, а вместо этого все должны протекать в одно и то же время. Но в таком случае действие, которое для действительного движения принимает минимальное значение, надо выражать не интегралом по времени от кинетической энергии, данным Мопертюи, а интегралом по времени от разности между кинетической и потенциальной энергиями. В применении к указанному выше примеру материальной точки, движущейся без воздействия движущих сил, принцип из всех возможных кривых дает в качестве траектории ту, на которой точка в определенное время с наименьшей скоростью достигает своей цели, следовательно, опять-таки наикратчайшую линию. [c.585]

Чтобы определить химическое сродство реакции, ее необходимо вести при постоянной температуре. В изотермических системах реакция идет в направлении уменьшения разности свободной энергии и прекращается тогда, когда свободная энергия достигает своего минимального значения. Отсюда и вытекает принцип Вант-Гоффа, заключающийся в том, что за меру химического сродства между веществами следует принять величину разности свободной энергии в начальном и конечном состоянии системы. Разность свободных энергий при Т = onst равна максимальной работе реакции. Поэтому можно утверждать, что мерой химического сродства между веществами является та максимальная работа, которую дает реакция при обратимом изотермическом процессе. Следовательно, проблема химического сродства сводится к расчету максимальных работ реакции. [c.152]

Общий принцип моделирования состоит в том, чтобы теоретическая модель или манекен имели те же динамические характеристики, что и тело человека. В принципе, с математической точки зрения задача определения конечного числа парамет ров модели по известным частотным характеристикам является переопределенной Для того чтобы наилучшим образом приблизить свойства модели к свойствам моде лируемого объекта, искомые параметры определяют из условия минимума ошибки За критерий ошибки принимают некоторый функционал от вектора разности К — К где У — вектор функций, характеризующий динамические свойства объекта, уста новленные из эксперимента У — вектор функций, описывающий динамические свойства модели. В качестве ошибки чаще используют классические критерии, среди которых можно выделить минимум среднеквадратическою отклонения [245]. В этом случае задачу ставят, например, следующим образом. Задан входной механический импеданс тела человека в виде графиков (или таблиц) модуля Z (ко) I и фазы Ф (со), полученных нэ эксперимента. Требуется построить динамическую модель тела человека в классе линейных механических систем с сосредоточенными параметрами. [c.394]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...