Уравнения конечно-разностные

Производные в дифференциальных уравнениях аппроксимируются приближенными алгебраическими формулами. Эти формулы называются конечно-разностными и неизвестными в них являются значения функций в узлах. Замена производных в дифференциальном уравнении конечно-разностными формулами приводит к системе линейных алгебраических уравнений. [c.477]

Весьма универсальный прием нахождения численных решений состоит в замене дифференциальных уравнений конечно-разностными, что сводит задачу к решению системы алгебраических уравнений. Этот прием к задачам [c.253]

Уравнения характеристик (60) и условия совместности (62)— (64) нельзя разрешить в конечном виде, поэтому их будем интегрировать численно. При этом, как для изотермического движения газа, используем метод, основанный на замене дифференциальных уравнений конечно-разностными. Применительно к системе трех уравнений для функций, зависящих от двух переменных, этот метод реализуется следующим образом. [c.139]

Рис. 11.4. Блок-схема решения уравнений конечно-разностным методом

Вообще говоря, выбор между вариантами замены дифференциальных уравнений конечно-разностными зависимостями (с последующим решением системы линейных алгебраических уравнений) и замены производных в функционалах конечными разностями с применением затем методов поиска экстремума весьма зависит от того, на каких ЭЦВМ предполагается реализовать счет и какие отлаженные подпрограммы для решения систем линейных алгебраических уравнений и поиска экстремума имеются, каковы быстродействие и объем оперативной и внешней памяти машины. Здесь специфические вопросы решения линейных алгебраических систем и поиска экстремума не рассматриваются, хотя многие из этих методов имеют свои особенности из-за специфики, которую накладывает несжимаемость. Ограничимся приведением примеров, в которых применены отработанные алгоритмы. [c.196]

Получить теоретическую оценку величины М в данном случае очень трудно. На практике можно воспользоваться принципом Рунге [10], который заключается в следующем. Пусть погрешность приближенного решения Ху, вызванная аппроксимацией дифференциальных уравнений конечно-разностными, имеет вид [c.193]

Использование уравнений движения в строго консервативной форме позволяет построить консервативные разностные схемы, т. е. такие, для которых выполняются интегральные законы сохранения, справедливые для исходных уравнений. При этом важно, чтобы выполнялись законы сохранения не только полной энергии, но и дополнительные балансы по отдельным видам энергии [7]. Если уравнения движения в дифференциальной форме преобразовать таким образом, что искомыми переменными становятся консервативные величины р, ри р , то применение к этим уравнениям конечно-разностных схем, обладающих свойствами консервативности, обеспечивает в разностной форме сохранение массы, количества движения и энергии. [c.77]

Как следует из схемы, представленной на рис. В.1, информация о НДС является ключевой для анализа прочности и долговечности элементов конструкций. Поэтому правильность оценки работоспособности той или иной конструкции в первую очередь зависит от полноты информации о ее НДС. Аналитические методы позволяют определить НДС в основном только для тел простой формы и с несложным характером нагружения. При этом реологические уравнения деформирования материала используются в упрощенном виде [124, 195, 229]. Анализ НДС реальных конструкций со сложной геометрической формой, механической разнородностью, нагружаемых по сложному термо-силовому закону, возможен только при использовании численных методов, ориентированных на современные ЭВМ. Наибольшее распространение по решению задач о НДС элементов конструкций получили следующие численные методы метод конечных разностей (МКР) [136, 138], метод граничных элементов (МГЭ) [14, 297, 406, 407] и МКЭ [32, 34, 39, 55, 142, 154, 159, 160, 186, 187, 245]. МКР позволяет анализировать НДС конструкции при сложных нагружениях. Трудности применения МКР возникают при составлении конечно-разностных соотношений в многосвязных областях при произвольном расположении аппроксимирующих узлов. Поэтому для расчета НДС в конструкциях со сложной геометрией МКР малоприменим. В отличие от МКР МГЭ позволяет проводить анализ НДС в телах сложной формы, но, к сожалению, возможности МГЭ ограничиваются простой реологией деформирования материала (в основном упругостью) [14]. При решении МГЭ упругопластических задач вычисления становятся очень громоздкими и преимущество метода — снижение мерности задачи на единицу, — практически полностью нивелируется [14]. МКЭ лишен недостатков, присущих МКР и МГЭ он универсален по отношению к геометрии исследуемой области и реологии деформирования материала. Поэтому при создании универсальных методов расчета НДС, не ориентированных на конкретный класс конструкций или вид нагружения, МКЭ обладает несомненным преимуществом по отношению как к аналитическим, так и к альтернативным численным методам. [c.11]

При использовании явных конечно-разностных схем уравнения (5.5.41) переходят в алгебраические [c.277]

Точное аналитическое решение уравнения (6. 7. 19) может быть получено только для дискретного набора значений параметра W. Поэтому, для того чтобы не сужать область возможных значений W, решение этого уравнения проводится при помощи приближенного метода конечно-разностных схем [98]. Этот метод сводится к тому, что производная по каждой переменной заменяется разностью. Результаты численного решения уравнения (6. 7. 19) затем используются при определении профиля концентрации целевого компонента Ф (6. 7. 14). [c.274]

Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов. Вычисления в силу уравнений (10) —(12) будем проводить на ЭВМ с программированием на языке ФОРТРАН. Конечно-разностная схема Эйлера для уравнений (10), (11) приводит к следующим уравнениям, [c.33]

Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов. Систему уравнений (14), (17), (18) интегрируем с помощью ЭВМ на интервале времени т=1,37 с, используя конечно-разностную схему Эйлера. Шаг интегрирования приме.м равным шагу печати Д/ = 0,057 с. [c.51]

Систему уравнений (24) решаем на ЭВМ с программированием на ФОРТРАНе. Для интегрирования используем конечно-разностную схему Эйлера. В качестве интервала интегрирования выберем наибольшую из величин в (23). Тогда т=7 п = 2,11 с. За шаг интегрирования примем = г/240 0,009 с. Шаг печати равен 10Д — = 0,09 с. [c.67]

Один из возможных вариантов программы, в котором уравнения (4J, (5) интегрируются по конечно-разностной схеме Эйлера, приведен в рассмотренном ниже примере. [c.82]

Для интегрирования уравнений (18), (19) применим конечно-разностную схему Эйлера с шагом интегрирования, равным шагу печати Д/=0,07 с. Программа счета представлена на рис. 57. [c.86]

Один из возможных вариантов программы с использованием конечно-разностной схемы Эйлера приведен в рассмотренном ниже примере. Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется интегрировать уравнения (2) методом Рунге — Кутта, используя стандартные подпрограммы. [c.105]

В дискретном методе (глава X), предложенном Л. П. Винокуровым, искомые функции (перемещения, напряжения) представляют в дискретной конечно-разностной форме для всех переменных, кроме одной, в отношении которой функции определяют в аналитической форме из системы дифференциальных уравнений. Рассматриваемый метод дает возможность дифференциальные уравнения в частных производных заменить системой обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющей форму общего решения, при которой можно удовлетворить различным краевым условиям. [c.15]

Выражения для конечно-разностных производных [1] уравнения (5.37) для последнего случая остаются только по переменной х. Для двухмерной задачи дискретный метод по своей сущности совпадает с методом прямых [141,. [c.352]

Имея выражения коэффициентов С , d , в , легко с помощью полиномов (10.4) найти конечно-разностные производные по переменным X, у для ребра т, где х = 0, у = 0 1], уравнения (5.37), и в аналитической форме по переменной z, функциями которой являются перемещения [c.354]

Система уравнений (1.6.7) интегрировалась численно конечно-разностным методом (72). [c.46]

Пластину покрываем квадратной сеткой с шагом Д. Для каждого внутреннего узла сетки с использованием оператора (см. рис. 8.5) составляем конечно-разностный аналог бигармонического уравнения в виде равенств [c.235]

Записав вторые производные с помощью операторов, показанных на рис. 8.4 и 8.6, приведем уравнения (8.20) к конечно-разностной форме для узла к (рис. 8.15) [c.240]

Но вместо построения конечно-разностного оператора непосредственно для этого дифференциального уравнения, составим функционал потенциальной энергии Э балки, выраженный через прогибы V (см. 3.2) [c.248]

С помощью описанной процедуры в современных программных комплексах строятся конечно-разностные уравнения для решения задач расчета тонкостенных конструкций. Применение непрямоугольных сеток позволяет рассчитывать пластинчатые и оболочечные конструкции сложных очертаний, с вырезами, подкреплениями и т. п. [c.249]

При численном интегрировании (4.10) на выбор значения помимо обеспечения необходимой точности расчета температуры тела оказывают влияние и другие соображения. При увеличении At погрешности, вызванные аппроксимацией дифференциального уравнения конечно-разностным уравнением, могут возрасти настолько, что результаты расчета потеряют физический смысл. Например, при использовании (4.23) физический смысл еще сохраняется, если значение в конце интервала сравняется со значением равновесной температуры Tv —i в начале лнтервала, определяемым из равенства qv-i =0. Тогда при — Т - из (4.23) получим предельно допустимый интервал времени [c.159]

Таким образом, дискретная теория устойчивости Р. Шепери и Д. Скала и предлагаемая в данной работе различаются не только содержанием коэффициентов жесткости в законе упругости, но и формой уравнений. Конечно-разностному уравнению (1.15) соответствует дифференциальное М" -(- к М = 0. [c.223]

В большинстве зариантов численные значения величин могут быть выбраны из следующих значений Ai — длительность импульса, Б большинстве вариантов принималась равной 10 или 10" с. Дальнейшее сокращение длительности представляет принципиальные трудности для решения из-за необходимости сокращения шагов по времени. Как было установлено при исследовании устойчивости различных аппроксимаций дифференциальных уравнений конечно-разностными методами, решение систем уравнений с длительностями, меньшими 10 , в настоящее время представляет значительные трудности из-за недостаточности объема памяти существующих ЭВМ. [c.187]

Математическая реализация тепловой модели (система уравнений, конечно-разностное представление и т. д.) называется Л1ате-матической моделью (III). Основное требование к тепловой модели может быть кратко сформулировано следующим образом [c.27]

В результате замены исходных дифференциальных уравнений конечно-разностными соотношениями типа (IIL49), (III.50) получим алгебраические выражения, явным образом определяющие х , у . Упругопластические свойства металла учитываются по теории течения. Анализ влияния моментности, других факторов на формоизменение пластин приведен в [66]. Показано, что при прогибах, превышающих 2—8 толщин, движение пластины определяется в основном мембранными и инерционными силами влиянием других факторов при этом можно пренебречь. Результаты расчетов, выполненных при таких предположениях, хорошо согласуются с данными экспериментов [67]. [c.80]

Генри и Мурти [226] использовали два альтернативных метода. В первом методе (метод собственных значений) уравнения в частных производных заменяются системой уравнений, конечно-разностных по одной переменной и дифференциальных по другой, т. е. дискретных по пространству, но непрерывным по [c.176]

Численный эксперимент на основе конечно-разностных методов интегрирования уравнений движения, а также методов сращиваемых асимптотических разложений полей скоростей [61], температур и концентраций [17] около частицы и вдали от нее позволяет обобщитьТприведенные формулы (см. [6]) на случаи конечных чисел Рейнольдса Re и чисел Пекле Pei и Pei [c.263]

Нормализованные уравнения приводятся к форме Коши и интегрируются тем или иным численным методом на интервале безразмерного вре.мени ti = (ot. Один из возможных вариантов программы, использующий конечно-разностную схему Эйлера с шагом, равным шагу печати Д< =Т /24, приведен в рассмотренном ниже примере. Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется интегрировать уравнения методом Рунге — Кутта, используя стандартные подпрограммы. [c.71]

Один из возможных вариантов программы, в котором уравнение (7) интегрируется по конечно-разностной схеме Эйлера, приведен ниже в примере. Студентам, имеющим навыки программи- [c.116]

Вместе с тем понято, что разные задачи и даже этапы проектирования (например, моделирование испытаний в сравнении с анализом выполнимости ТЗ) требуют разного уровня адекватности модели объекта, а следовательно, и ее изменения. Следствием указанного является требование адаптируемости модели - ее способности принимать ту конфигурацию, которая необходима для конкретного применения. Соответственно должна быть предусмотрена и возможность использования моделей разного уровня. Например, при описании электрюмеханическо-го преобразования энергии предусматривается переход от уравнений обобщенного ЭМУ к схеме замещения, соответствующей конкретному его типу, а в дальнейшем и к модели в терминах первичных параметров (геометрические размеры, обмоточные данные, свойства материалов и пр.) (рис. 1.4). Аналогично при применении конечно-разностной [c.99]

Математические модели на базе конечно-разностной аппроксимации исходных уравнений предусматривают замену процессов в непрерывной среде дискретной моделью, которая дает достаточно подробную и отвечающую практическим требованиям картину распределения поля внутри тела в функции координат и времени. Применение данного численного метода позволяет свести оператор Лапласа У к оператору конечных разностей, а исходные уравнения - к совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных для каждого злементарного объема выделенного в каждом г-м теле [5]. [c.121]

При методе конечных разностей ([5], гл. XXVIII) заданную систему с помощью сеток разделяют на отдельные элементы, составляют конечно-разностные уравнения и определяют значение искомой функции (перемещения, функции напряжений и т. д.) в узлах сетки. [c.15]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

В численных конечно-разностных методах дифференциальная задача заменяется или, как говорят, аппроксимируется системой разностных уравнений. Совокупность разностных уравнений и краевых условий, записанных в разностной форме, называется разностной схемой ). Методы решения системы разностных уравнений, возникаюхцей при записи разностных операторов для всех точек сетки, представляют самостоятельную проблему. [c.268]

В гл. 3 было показано, что задачи теории упругости допускают как дифференциальную формулировку, так и вариационную об отыскании таких функций, которые сообщают некоторому функционалу Э стационарное значение, когда вариация ЬЭ = 0. В связи с применением ЭВМ в решении сложных задач прикладной теории упругости в последние два-три десятилетия было установлено, что конечно-разностные аппроксимации во многих случаях предпочтительнее сочетать именно с вариационной постановкой задачи. Это позволяет удобно алгоритмизировать все этапы расчета, избежать вывода дифференциальных уравнений в сложных случаях, упрощает формула ровку граничных условий [1,5]. [c.247]

MoHtHO убедиться в том, что (8.32) представляет конечно-разностный аналог для г-го узла сетки с равномерным шагом Д дифференциального оператора (8.26). В частности, при EJ = onst (8.32) превращается в уравнение (а) (см. 8.2), если в нем yiv записать с помощью оператора (8.6) [c.249]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...