Аппроксимация производных

Применяется несколько способов выражения производных через значения Vk. Вид разностных операторов удобно представлять графически в форме шаблонов. На рис, 4.4, а—г даны примеры шаблонов для одномерных, а на рис. 4.4, д, ж — для двумерных стационарных задач. Шаблон представляет собой часть сетки, включающую множество узлов Xft, значения переменных в которых используются при аппроксимации производных в заданном узле Х. Узлы X на рис. 4.4 показаны темными кружками, а узел X обведен дополнительной окружностью. В левой части рисунков указан аппроксимируемый дифференциальный оператор, а рядом с узлами сетки записаны значения коэф- [c.160]

Подстановка выбранных аппроксимаций производных в исходное уравнение (4.17) преобразует его в систему разностных уравнений [c.162]

Рассмотрим простейшие примеры. Обозначим ЛхН разностную аппроксимацию производной ди дх. Разностная аппроксимация может быть введена несколькими способами [c.270]

Разные аппроксимации производных позволяют конструировать разностные схемы с различными свойствами. Оценим погрешность разностной аппроксимации первой производной в точке Xi. Для этого разложим в ряд Тейлора функцию и в окрестности точки Х . Для правой разностной производной имеем [c.270]

Используя метод разностной аппроксимации производных применительно к уравнениям (3.33) — (3.36), получаем их разностную схему уравнение энергии [c.69]

Заметим, что для обеспечения высокого порядка аппроксимации производной необходимо, чтобы функция обладала достаточной гладкостью. [c.226]

В рассмотренных случаях порядок точности зависит от порядка аппроксимации производных и начальных условий. [c.231]

Заметим, что хотя в рассмотренных здесь простейших случаях порядок аппроксимации производных совпадает с порядком точности решения соответствующей разностной задачи, в общем случае это может быть не так. Ясно, что порядок точности разностной схемы не может превосходить порядка аппроксимации. Для того, чтобы точность решения разностной задачи совпала с порядком аппроксимации исходной задачи, необходимо требование устойчивости вычислительного алгоритма. [c.231]

Разностную аппроксимацию производных можно представить в виде [c.175]

Для каждого внутреннего узла воспользуемся разностной аппроксимацией производных согласно (14.11), в результате придем к разностному уравнению [c.180]

Далее будем употреблять термины — значение в среднем слое ((), значение в верхнем слое ((+ (о) и в нижнем (/ — /о). Для аппроксимации производных во внутренних точках используются центральные разностные производные (14.3) гл. I. Пере- [c.644]

Примеры аппроксимаций. Заменяя в дифференциальном уравнении частные производные теми или иными разностными отношениями, мы аппроксимируем его на некотором шаблоне. Это наиболее простой способ аппроксимации. Для описания точности аппроксимации отдельных производных естественно использовать введенное выше понятие погрешности аппроксимации по отношению к классу функций. Аппроксимация производных уже рассматривалась в 1.3. Там же были приведены главные члены погрешности аппроксимации. Односторонние двухточечные аппроксимации первой производной (1.22) имеют первый порядок точности, а симметричные (центральные) [c.77]

Приведем, наконец, для уравнения (3.1) неявную двухслойную схему (схему прямоугольник ). Ее шаблон изображен на рис. 3.2, д. Она основана на линейной интерполяции разностных аппроксимаций производных на центр шаблона [c.79]

Явные схемы. Рассмотрим схему первого порядка точности, в которой используются односторонние аппроксимации производных. Получим вначале условия на характеристиках в форме, отличной от (2.53). Умножим уравнение (2.3) на —и сложим с уравнением (2.5). Имеем [c.95]

Таким образом, обратная задача сводится к задаче Коши. Известно, что для эллиптических уравнений задача Коши в общем случае некорректна, т. е. небольшое изменение начальных данных может привести к значительному изменению решения. Представленная ниже разностная схема пригодна для решения некорректной задачи Коши в силу специальной аппроксимации производных и выбора шагов разностной схемы. [c.188]

Разностные аппроксимации производных по другим координатам выражаются через аналогичные соотношения. [c.114]

В работе [Л. 35] использовалась разностная аппроксимация производных как по I, так и по м в виде [c.101]

Для повышения точности аппроксимации производных по г следует выбирать меньший шаг сетки и переходить к сглаживающим интерполяционным формулам с разностями более высоких порядков (типа формул (45.1)). [c.328]

Рис. 2. Разностная аппроксимация производных четвертого порядка точности

Рассмотрим подробнее особенности разностной аппроксимации производных на примере одномерной схемы. На рис. 3.1 изображена некоторая непрерывная функция f х) и отмечены ее дискретные значения /i-а [c.76]

Зависимости (3.43) и (3.44) показывают, что первая производная в точке i может быть представлена по-разному — через значения функции в этой точке и последующей (правая разность) или в этой точке и предыдущей (левая разность). В том и другом случае точность аппроксимации производной пропорциональна первой степени шага А. [c.77]

При расчетах иногда необходимо иметь формулы для аппроксимации производных только вправо или только влево. Их получают аналогичным путем. Например, для правых разностей [c.78]

Граничные условия (3.59) в разностной форме можно записать, не используя законтурные точки. Сохраняя точность аппроксимации производной О (А ), рассмотрим первое соотношение (3.49 ). Для левого Края стержня граничное условие примет вид [c.80]

Точность аппроксимации производных здесь соответствует квадрату шагов Дл и Ау. [c.83]

Рис. 8.18. Схема, поясняющая аппроксимацию производных (8.97)

Аппроксимация производных. Так как дифференциальное уравнение содержит производные, можно получить дискретный аналог заменой производных подходящей аппроксимацией. Например, вторая производная в уравнении (2.1) может быть аппроксимирована в расчетной точке с индексом / согласно рис. 2.1 как [c.28]

Более устойчивыми при решении краевых задач эллиптического типа оказываются (см. [283 ]) конечно-разностные методы. Однако и их применение в задачах неклассической теории оболочек встречает затруднение удовлетворительная аппроксимация производных быстропеременных решений конечными разностями требует малого шага сетки, что приводит к системам алгебраических уравнений высокой размерности. Наконец, обращаясь к методам третьей группы, приведем выразительную характеристику, данную им авторами монографии [36, с. 255] ... успешное или неудачное применение указанного выше метода. .. сильно зависит от выбора координатных функций. Скорость сходимости и практическая осуществимость соответствующих численных расчетов обусловлены главным образом этим выбором . Данную точку зрения разделяют и авторы монографии [283, с. 255] Метод разложения иногда приводит к серьезным неудачам, а иногда к блестящим успехам. В будущем он может оказаться вполне эффективным . [c.110]

Особенностью этого метода является существенная зависимость вида получаемых алгебраических уравнений, а значит и метода вычисления на ЭВМ, т. е. алгоритма и программы, от способа аппроксимации производных конечными разностями (выбор порядка аппроксимации, величины и направления шагов, числа измерений, по которым проводятся вычисления). При этом в каждом случае требуется отдельно исследовать сходимость, аппроксимацию и устойчивость получаемых решений. [c.38]

Подставляя аппроксимацию производных центральными разностями в исходное уравнение в узлах сетки Х (г = О, 1, получаем систему линейных алгебраических уравнений, содержащую yV + 1 уравнение относительно 7V + 5 неизвестных гц [c.510]

Для аппроксимации условий сопряжения участков на отрезке О, 1] в узле Жп = 1 используем аппроксимацию производных с шагом назад, а на отрезке [1, 2] — с шагом вперед (см. табл. 16.1). [c.526]

При построении эпюр Qy и для различных узлов Xi применяем следующие аппроксимации производных (см. табл. 16.1) при г п — 1, п, п + 1 — центральные разности, при г G G п — 1, п — разности с шагом назад, а для узла ж +i — разности с шагом вперед. Создаем соответствующий программный модуль [c.529]

Аналогичный вид будет иметь дискретная форма принципа виртуальных скоростей, считая независимыми скорости 6(R)i, 6(T)i в узловых точках. Дивергентная аппроксимация производных (R,a)j, (T t,)j в ячейке с номером j выражается через значения скоростей в узлах этой ячейки по формулам, которые следуют из интегральной формулы Грина и теорем о среднем [c.80]

Общую массу элемента = [p°(l — ф)-Ь р ф] Fe, включая массу связующего и волокон, полагаем разнесенной пропорционально по четырем узлам элемента. Используя формулы скоростей деформаций (6.1.15) для плоского деформированного состояния, введем аппроксимации производных по у, z для выражения ве- [c.147]

Система (5.42) решаемся методом аналогичным изложенному в предыдущем параграфе. Для аппроксимации производных используют формулы (5.38) — (5.40), а на крайнем луче — формулу (5.41). Отличие состоит в том, что вектор Z содержит теперь четыре компоненты и в верхних граничных узлах лучей т) = onst используется не условие непротекания, а условие Гюгонио на ударной волне. Систему линейных уравнений решают методом прогонки. [c.144]

Разностную схему для определения разностного решения будем по-прежнему строить, заменяя в уравнении (3.1) и граничных условиях (3.2), (3.3) производные конечными разностями. Рассмотрим аппроксимацию производной по времени. В принципе для построения соотношений, аппроксимирующих временную производлую, в /-Й момент времени можно использовать значения температур в различные моменты времени Т , Ti ,. ... Однако на практике в подавляюще.м большинстве случаев используются только значения температуры в /-й и (/ 1 -и моменты времени. Такие схемы называются двухслойными (повремени). Значительно реже учитывают значение температуры в (/ — 2)-й момент времени и получают трехслойные схемы. Дальше мы будем рассматривать только двухслойные схемы. В этом случае производную по времени аппроксимируют разностью назад [c.79]

В связи с приведенными выше оценками (46.32) и (46.34) погрешности аппроксимации производных по г сходимость приближений заметно ухз дшается в сечениях, в которых углы а. или р и у [c.334]

В методе конечных разностей алгебраизация производных по пространственным координатам базируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями. При использовании метода нужно выбрать шаги сетки по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают множество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке. [c.115]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

Потребности вычислительной практики при решении двумерных задач математической физики, в частности, задач газовой динамики и теории упругости в сложных областях, требуют автоматизации расчета криволинейных разностных сеток. К таким сеткам в ряде случаев предъявляются специальные требования. Обычно желательно, чтобы расстояния между соседними узлами сетки несильно отличались между собой и углы в элементарной четырехугольной ячейке невырождались (т.е. не были близки к О и тг). Первое требование связано с точностью аппроксимации производных, входящих в соответствующие диффе ренциальные уравнения, и также как и второе, — с обусловленностью систем разностных уравнений, полученных после аппроксимации. В частности, для метода конечных элемен-тов применительно к задачам упругости [1] в оценку для числа обусловленности матрицы соответствующей системы линейных уравнений в знаменатель входит sin а, где а — минимальный угол между сторонами элементарной ячейки сетки. Кроме того, в ряде слу-чаев в зависимости от особенностей краевых условий на части границ области требуется иногда сгущать узлы. Последнее третье требование в сочетании с двумя первыми создает [c.494]

Для аппроксимации производной по времени используем схему Кранка-Николсона [c.114]

Это уравнение аналогично (5.19), полученному посредством использования схемы Кранка-Николсона. Таким образом, схема Кранка-Николсона есть реализация метода NDIM при линейной аппроксимации производной по времени. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...