Ошибки метода конечных элементов

ОШИБКИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.169]

Поверхность тела представляется при помощи четырехугольных и треугольных элементов с квадратичным изменением формы и линейным, квадратичным или кубическим изменением перемещения и вектора напряжений относительно внутренней системы координат. Тело разбивается на подобласти производится дискретизация интегрального уравнения для каждой подобласти, и получается система уравнений ленточного типа. Для вычисления интегралов используется квадратурная формула Гаусса, число узлов в которой выбирается на основании верхней оценки для ошибки, определенной по значениям производных от подынтегральных выражений. Масштаб коэффициентов в уравнениях выбирается таким образом, чтобы получить устойчивую при счете систему, разрешимую методом исключения без итерации остатков. Поблочное решение уравнений позволяет рассматривать большие задачи. В программе используется большое число процедур, осуществляющих контроль и автоматическое формирование данных. Результаты решения задачи о фланце трубопровода и характеристики выполнения программы сравниваются с результатами, полученными методом конечных элементов, и экспериментальными результатами. [c.111]

На рис. 77, а представлена одна из конструкций несущих платформ. Основными конструктивными элементами платформы являются пол, усиленный продольными ребрами замкнутого сечения, боковые борта, имеющие наклонный участок при переходе к полу, обвязки переднего борта, обвязки боковых бортов и задняя обвязка. Все обвязки имеют замкнутое сечение. Таким образом, платформа представляет собой пространственную тонкостенную конструкцию, которая эквивалентна открытой призматической (складчатой) системе. Расчет такой конструкции можно вести методом конечных элементов (МКЭ) с использованием балочного и оболочечного элементов. Для расчета автомобильных конструкций в настоящее время наиболее часто используют плоский треугольный симплекс-элемент. Например, таким элементом можно моделировать борта платформы. Однако функция, характеризующая перемещения в плоскости такого элемента, представляет собой полином первой степени, поэтому распределение деформаций и напряжений по стороне элемента постоянно, в то время как при закручивании открытых призматических (складчатых) систем каждая складка-пласти-на работает на изгиб в своей плоскости, что приводит к неравномерному распределению деформаций по ширине пластины. На рис. 77, б приведено характерное распределение деформаций по контуру призматической оболочки при кручении, соответствующее эпюре секториальных координат. По ширине наклонной пластины происходит резкое изменение продольных деформаций. Если этот участок моделировать треугольным элементом, то распределение деформаций будет равномерным, что приведет к большим ошибкам [c.135]

Существует, однако, гораздо более существенный недостаток, в равной степени ограничивающий возможности обоих методов они эффективны только для закрытых систем. В разд. 3.3.2 отмечалось, что наиболее серьезные проблемы в методе конечных разностей возникают при попытке вычислить распределение поля в открытой системе. К сожалению, это справедливо и для метода конечных элементов. Если фокусирующий или отклоняющий элемент не окружен экраном, в вычислениях появляются большие ошибки. Действительно, оба метода требуют введения граничных условий всюду вокруг интересующей области. Для открытой системы приходится вводить некоторую функцию потенциала вдоль открытых границ. Если, например, положить потенциал нулевым на открытой границе, то условие, справедливое на бесконечности, перемещается ближе к самой системе. Это может внести очень серьезные ошибки. Мы уже обсуждали в разд. 3.1.2.2 ограничения, свойственные другим способам введения граничного потенциала. Всегда можно, конечно, предположить наличие эквипотенциального экрана вокруг системы, но такое дополнение неизбежно исказит поле открытой системы. Поэтому предположения такого рода ведут к существенным отличиям формулировки задачи от первоначальной. [c.162]

Вся важная информация об элементе должна быть выведена на печать где-либо внутри указанного цикла. Вывод исходных данных на печать позволяет убедиться, что эти данные правильно от-перфорированы и введены в нужном порядке. Неверная исходная информация об элементе главный источник ошибки в программах, реализующих метод конечных элементов. [c.118]

Для любого элемента Т обозначим через /С[г1 пространство, определяемое теми пробными функциями, которые отличны от нуля на Т. Другими словами, /С[г] есть сужение пространства пробных функций относительно элемента Т. Обозначим через /С[о] пространство таких функций u(p), для которых u(x)e/ [r]. Это пространство /С[о1 имеет особо важное значение при анализе методов конечных элементов. Порядок метода определяется максимальной степенью полинома (по р), для которого ошибка аппроксимации функцией из /С[о] равна нулю. В общем случае эта степень совпадает с таким максимальным к, для которого Я сг /С[о]. [c.122]

В добавление к, обычным ошибкам округления и аппроксимации, связанным с какой-либо вычислительной процедурой, есть и ошибки, связанные с самим методом конечных элементов [4—6]. К ним относятся . [c.169]

Из предыдущего может показаться, что все типы элементов, для которых гарантируется сходимость, одинаково полезны, ио это далеко ие так. Нельзя игнорировать того, что на практике очень важна точность. Если. результаты при конечном размере элемента, диктуемом экономией вычислений, дают большую погрешность, то наличие элемента, который дает сходимость результата к точному решению по мере стремления размера элемента к нулю, является слабым утешением. Как можно иа практике определить точность вычисленного решения Ответ таков в общем случае никак. Одним из двух способов, однако, часто можно получить достаточный показатель точности. Первый состоит в том, что с помощью таких же элементов решается аналогичная задача с известным аналитическим решением. Определенная таким образом ошибка может быть использована для оценки ошибки в рассматриваемой задаче. Второй метод требует того, чтобы тип сходимости был предварительно определен для конкретной формулировки метода конечных элементов и для конкретной задачи. Если известно, что сходимость улучшается монотонно ) по мере уменьшения размеров сетки, то можно решить задачу несколько раз с последовательно уменьшаемыми элементами и для получения оценки сходимости решения экстраполировать результаты. [c.175]

Следствие. Ошибка е — и — и метода конечных элементов удовлетворяет неравенствам [c.62]

В примере, который мы рассматриваем сейчас, ошибка по перемещению действительно составляет O(h ). Одно из возможных доказательств —забыть о вариационном происхождении уравнений KQ = F метода конечных элементов и вычислить из них ошибку отсечения как из разностных уравнений (на границе х = п это уже сделано). Применяя принцип максимума, мь1 действительно получаем поточечную оценку e (x) I = О (/г ), которая оптимальна. Но этот подход не полностью удовлетворителен, так как распространение его на нерегулярные конечные элементы в задачах с двумя переменными вызывает огромные трудности. Поэтому важно найти соображения, позволяющие установить вариационно скорость сходимости ошибки по перемещению е Последующий прием приводит к успеху пусть г — решение исходной вариационной задачи на Же, в которой ошибка = z=u — u выбрана в качестве правой части. Приравняем нулю первую вариацию [c.64]

Теорема 1.6. Ошибка и — й в решении по методу конечных элементов, возникающая при замене функции f ее линейным интерполянтом fj, удовлетворяет неравенству [c.66]

Эти результаты по аппроксимации приводят к ожидаемым скоростям сходимости метода конечных элементов при условии, что производная W обладает конечной энергией наклоны аппроксимируются с ошибкой 0(/г - ), энергия деформации с ошибкой и перемещение и — u с ошибкой О (/г ). Так [c.79]

Г , в простейшем случае Г кусочно линейна О заменяется многоугольником О . Такой многоугольник можно разрезать на треугольники и применять далее метод конечных элементов без учета полосы Q — Q между сходной границей Г и многоугольником. Следовательно, мы как будто вдвигаем исходную дифференциальную задачу в О . В разд. 4.4 исследуется влияние этого изменения области. Кратко это влияние таково ошибка т-й производной у границы равна О (Л), но быстро убывает внутри области. Это приграничный эффект, средняя ошибка равна Так как энергия деформации зависит от [c.131]

В этот краткий обзор теории необходимо включить также задачи на собственные значения и задачи с начальными условиями. Метод конечных элементов успешно применяется непосредственно к обеим задачам. Для самосопряженных задач на собственные значения классический прием — вычисление оценок сверху при минимизации отношения Рэлея на подпространстве он приводит к дискретной задаче на собственные значения КО = ХМЯ, где К и М — уже встречавшиеся матрицы жесткости и массы, В гл. 6 излагается эта дискретная формулировка и оцениваются ошибки в собственных векторах и функциях, зависящие от теории приближений они возникают из-за замены [c.138]

Мы хотим предложить объяснение этого чуда, основанное на нашем наблюдении, что обычное измерение числа обусловленности для этих матриц неестественно. В вычислительных целях мы будем рассматривать эти матрицы как преобразования евклидова пространства (дискретного Ж°) в себя и потому возьмем одну и ту же норму для невязки уравнения и для результирующей ошибки в решении. Это целиком противоположно тому, что делается в дифференциальной задаче, или тому, что происходит при оценке ошибки дискретизации / измеряется в норме пространства Л1 и ее ошибка — в ш и ее ошибка — в Ж. (В вариационной задаче соответственно и Ж .) В самом деле, оператор I = с каким-либо обычным краевым условием вполне обусловлен как преобразование из Ж в Ж°. Ограниченность операторов I и была существенным моментом в разд. 1.2. Можно показать, что это верно и для разностного оператора б , а также для любого приемлемого аналога в методе конечных элементов, если только эти естественные нормы сохраняются. Следовательно, должен быть алгоритм решения уравнения КО, = Р, отражающий это свойство, и тогда чудо развеялось бы ошибки в Л1 и ш соответствовали бы их положению. [c.147]

Обращаем внимание (и снова будем это делать), что нули функции —1/3 являются специфическими точками. Поскольку это нули полинома Лежандра, они участвуют в гауссовых квадратурах на интервале [//г, ( + 1) ] они переходят в ( + 1/2 1/л/з)/г. Для целей метода конечных элементов они специфичны еще и по другой причине в этих точках наилучшее приближение для квадратичной функции равно нулю, а, Ф абсолютно точна. (Известно, что в методе коллокации это так см.. разд. 2.3.) Будем называть их точками перемеи ения. Есть также точки напряжения, открытые Барлоу, которые еще важнее. Это точки, где производные от функции ошибки равны нулю (точка X = 0 в нашем простом примере) в разд. 3.4 мы покажем, что ошибки напряжений в этих точках меньше на добавочную степень Н. [c.179]

Предыдущая теорема распространяется на любой конечный элемент на п-мерной равномерной сетке и даже на любой пример абстрактного метода конечных элементов. Для п переменных существует несколько производных порядка = р , возможно, связанных с разными постоянными в ошибках аппроксимации. В самом деле, если л Р оказывается в 8 , то соответствующая постоянная равна нулю. Локально можно считать функцию и разложенной в ряд Тейлора вплоть до члена степени к. Члены степени к—1 точно воспроизводятся пробным подпространством, и аппроксимация асимптотически зависит лишь от производных О и порядка к. Это обобщение теоремы 3.4 можно сформулировать, употребляя матрицы Кв вместо числовых постоянных Са. [c.179]

Эти подсчеты подтверждаются численными экспериментами, описываемыми в технической литературе, которая отдает предпочтение конфигурации б. Для элементов более высокого порядка на ЭВМ смогли вычислить постоянные решая методом конечных элементов задачу, истинным решением которой было и = а Р. Одновременно вычисляются главные члены в ошибке усечения ряда Тейлора для конечно-разностной схемы, возникающей на равномерной сетке (см. разд. 1.3 и 3.4). [c.181]

Предположим, наконец, что найдется М неизвестных, связанных с каждым квадратом сетки, так что уравнение метода конечных элементов (Q = Е становится объединенной системой М разностных уравнений. Неизвестными могут быть значения функции в различных узлах или значения функции и производных в кратном узле. Это не вносит сложностей, если ошибка оценивается из вариационных соображений (теорема 3.7) результат зависит только от порядка аппроксимации, достигаемого подпространством 5 , и любой дополнительный факт о подпространстве к делу не относится. Тем не менее при М > I аспект разностного уравнения становится намного тоньше. [c.201]

Влияние на вычисляемые собственные значения других при- ближений — изменение области или коэффициентов, численные квадратуры, несогласованность элементов — сравнимо в методе конечных элементов с влиянием этих возмущений на энергию в стационарных задачах. Предупреждаем лишь, что при замене области Q многоугольником Q ошибка в энергии должна измеряться на Q. Поэтому ее порядок уже не O(li ), как было установлено в разд. 4.4 на многоугольнике если все пробные функции равны нулю на Q —то энергия по этой области полностью теряется соответствующее возмущение, пропорциональное площади этой подобласти, есть 0(h ). [c.269]

Вычислим сначала скорость сходимости метода конечных элементов, не применяя специальные приемы — сгущение сетки и использование сингулярных функций. Оценить ошибку по энергии деформации не трудно. Как всегда, —ближайшая к и пробная функция, и, если u -Ж , эта ошибка имеет порядок Однако в общем случае и принадлежит всего лишь неко- [c.307]

Поскольку ошибки приближения методом конечных элементов без сингулярных функций довольно быстро растут при приближении к точке Р, выбор lh = 0 h) так же хорош, как и любой другой. Эти ошибки представлены на рис. 8.6. Выводы здесь те же, что и в предыдущих экспериментах, но только теперь из-за дополнительной ошибки, возникающей в разностном отношении, метод сгущения сетки становится даже менее конкурентоспособным. [c.316]

Естественно спросить почему конечные элементы не используются также и по временной переменной Конечно, можно было бы попытаться применить их, но это не даст особого успеха. С математической точки зрения вполне разумно изучить дискретизацию в два этапа сначала исследовать ошибку метода конечных элементов и(х, i) —u (x, t], а затем ошибку в возникающую при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. По временной переменной геометрия области не вызывает трудностей, которые надо было бы преодолевать с помощью метода конечных элементов, и на самом деле непосредственное применение принципа Галёркина может связать все временные слои и уничтожить главное свойство распространения вперед по. времени. Мы не видим причин отказываться от этой дополнительной гибкости конечных разностей. [c.282]

Как только что отмечалось, при анализе можно добиться доста точной математической строгости. Однако ввиду использовании метода конечных элементов для решения задач с математичесЫ сингулярным полем напряжений требуется тщательное исследова- ние точности результатов вычислений. Поскольку поставленная ав тором цель заключается в описании физического характера задачи вопрос о точности результатов считается неосновным. В остал1г ном сам метод конечных элементов и метод смыкания трещинИ для расчета скорости высвобождения энергии деформирования не влекут за собой серьезной концептуальной ошибки при использова- НИИ в задачах механики разрушения. [c.126]

Сопоставление результатов, полученных для основной формы колебаний по методу Рэлея и методу конечных элементов, показывает достаточно хорошую точность проведенных вычислений максимальная ошибка при этом для квадратных вырезов была порядка 11%, а для прямоугольных вырезов 12 %. При использовании в вычислениях уточненного выражения для функции, аппроксимирующей перемещения плартинки, максимальная погрешность снизилась до 5%. Как уже упоминалось, результаты, полученные при помощи метода конечных элементов, показывают, что пятая и более высокие формы колебаний пластинок сложны по своей природе, особенно у пластинок с размерами вырезов более 0,4 а, Вследствие этого не делалось попыток апределять высшие формы колебаний при помощи метода Рэлея, [c.154]

Наиболее важная часть главы — разд. 3.3. Здесь были изложены численные методы определения полей. Мы начали с обсуждения проблемы точности. Было объяснено что представляют собой ошибки округления, аппроксимации и внутренне присущие ошибки. Мы подробно рассмотрели три основных метода численных расчетов полей. Выражение (3.324) —это девятиточечная формула метода конечных разностей в случае аксиально-симметричных распределений потенциала. Метод конечных элементов основывается на вариационных уравнениях [c.178]

Простейший метод проверки данных — записать их в в.иде описка и сравнить с исходной схемой, чтобы убедиться, что размеры элементов и номера узлов записаны правильно. Кроме этого, всегда необходимо проверять правильность расположения чисел в столбцах, потому что сдвиг в столбце. может привести к ошибочному ответу. Такая процедура проверки данных все же наименее желательна, так как человек, составляющий список, легко может ошибиться. В качестве про межуточного шага можно использовать программу, которая содержит те же операторы ввода и записи исходных данных, что и программа, реали зующая метод конечных элементов, но ко торая не выполняет никаких вычислений. Программа такого типа позволит вводить данные в ЭВМ, которая будет считывать и записывать данные. Любые неверно составленные столбцы чисел будут обнаружены при напечатании. Программа будет также обнаруживать ошибки в расположении пер- [c.121]

В шести предыдущих главах при обсуждении различных областей применения метода конечных элементов использовались симплекс-элементы. Другой подход к прикладным задачам состоит в применении элементов высокого порядка, т. е. комплекс- или мультиплекс-элементов. Напомним, что число узлов в таких элементах превышает размерность решаемой задачи более чем на единицу. При таком подходе для достижения заданной степени точности решения требуется меньшее количество элементов, что приводит к сокращению числа перфокарт с исходными данными об элементах а это в свою очередь уменьшает вероятность ошибки при обработке данных. Применение элементов высокого порядка не всегда, однако, ведет к сокращению полного времени счета на ЭВМ. Для составления матриц элемента необходимо использовать методы численного интегрирования, которые требуют выполнения большого числа арифметических операций и, следовательно, увеличивают полное время счета, затрачиваемое на обработку одного элемента. Однако эти дополнительные затраты машинного времени компенсируются, вероятно, экономией времени в процессе обработки исходных данных. [c.242]

Однако решения методом конечных элементов для сплошных конструкций, таких, как тонкая пластина, изображенная на рис. 2.4 (е), пространственное деформируемое тело, изгибаемая пластина и оболочка, не являются точными. Для иллюстрации этого утверждения предположим, что треугольные элементы, изображенные на рис. 2.4 (ё), построены в предположении, что для поля перемещений вдоль сторон элемента имеет место квадратичный закон распределения. На рис. 2.5(а) изображено деформированное состояние двух выбранных элементов. Если соединить элементы, как указано выше, то, вообще говоря, будет нарушена непрерывность перемещений вдоль линии, соединяющей два элемента (см. рис. 2.5 (Ь)). Соединения в вершинах элементов обеспечивают непрерывность только в этих точках. Квадратичная функция однозначно определяется по трем точкам, а так как только две концевые точки соприкасающихся сторон участвуют в определении формы смещений вдоль ребра, перемещения краев элементов будут различаться, за исключением некоторых частных случаев. Если псполь-зовать большее количество элементов, как указано на рис. 2.5(с), то различие в смещениях на сторонах соседних элементов станет меньше и вызванная указанным обстоятельством погрешность решения также уменьшится. Эта ошибка конечна для любого конечного числа элементов, поэтому решение является приближенным. [c.43]

Основная задача состоит в исследовании точности, с которой кусочно полиномиальные функции могут аппроксимировать неизвестное решение и. Другими словами, надо определить, насколько хороши конечные элементы, построенные на основе вычислительной простоты, и дадут ли они хорошую аппроксимацию. Интуитивно ясно, что всякую достаточно хорошую функцию и можно с произвольной точностью приблизить кусочно линейными функциями. Математическая задача состоит в получении максимально точной оценки ошибки и определении скорости убывания ошибки при возрастании количества элементов )азбиения (или степени полинома внутри каждого элемента). Разумеется, метод конечных элементов можно применять, не доказывая математические теоремы так делали в течение более десяти лет. Однако мы считаем, что полезно, особенно для дальнейшего развития метода, понять и обобщить все, что уже сделано. [c.12]

В практических задачах времт тоже должно быть дискретизировано, что предполагает применение метода конечных разностей. Например, схема- Кранка — Николсона симметрична относительно п+1/2 при вычислении uf tn+ ) через и потому имеет точность порядка At . Таким образом, окончательно вычисленное приближение содержит эту ошибку, как и ошибку метода Галёркина, вызванную дискретизацией по х. Последнюю из них мы проанализируем подробно и покажем, что при к 2т ее оптимальный порядок для 5-й производной тоже р -вен Этот результат применяется к уравнениям параболического типа, например к уравнению теплопроводности Ь — эллиптический оператор того же типа, что и в стационарных задачах. В случае гиперболических уравнений, не содержащих диссипативных членов, возможности метода конечных элементов несколько меньше трудности в сравнении с явными разностными методами- могут оказаться слишком большими. Тем не менее даже в этом случае достигнуты значительные результаты исследование границ можно проводить почти автоматически в гл. 7 включен набросок теории метода конечных элементов для гиперболического случая. [c.139]

Множитель Лагранжа пробегает все допустимые функции, определенные на Г, а в истинной стационарной точке он связан с решением равенством % = dujdn ). Ошибку в стационарной точке ( K ) на подпространстве метода конечных элементов легко оценить [Б6]. [c.160]

В этом разделе мы применим предыдущие теоремы об аппроксимации для достижения главной цели всей нашей теории нахождение оценки ошибки и — Ф метода конечных элементов. Функция и служит решением п-мерной эллиптической краевой задачи порядка 2т, а Ф — ее приближением Ритца, вычисленным в пространстве метода конечных элементов На равномерной сетке уравненря метода конечных элементов KQ = F становятся системой разностных уравнений, и мы находим одновременно порядок точности этих разностных уравнений. [c.195]

Короче говоря, проблема состоит в том, что не все ошибки отсечения в разностных уравнениях имеют ожидаемый порядок. Поэтому не так просто оценить эти ошибки, а затем, применяя устойчивость для обращения матрицы К, превратить их в оценки ошибки и — и . Дело в том, что задается специальной комбинацией пробных функций и, если другие комбинации почти не вносят вклад в задачу аппроксимации, их вклад в ы также оказывается малым. Напомним, что в абстрактном методе функции Фь. .., Фт порождают аппроксимацию порядка к тогда и только тогда, когда можно построить из них отдельную функцию 1 ), обладающею свойством (5), требуемым в теореме 3.2, т. е. функцию, которая сама подходит для аппроксимации. Можно считать пространство 5 порожденным этой суперфункцией ф и М—1 более или менее бесполезными функциями. Образуя соответствующую комбинацию разностных уравнений КО == Е, перепишем нашу систему метода конечных элементов в виде совокупности разностных уравнений специальной формы одно уравнение системы — точный аналог исходного дифференциального уравнения, остальные М — I уравнений (связанные с функ- [c.201]

Приведенный список содержит также ряд численно интегрируемых элементов, но мы предпочитаем не рассматривать-численное интегрирование как производящее несогласованные элементы. Влияние такого интегрирования на самом деле состоит в замене истинного ф ункционала /(и) новым, но разность между ними не содержит граничных интегралов. Поэтому численное интегрирование и ошибку, которую оно вносит в аппроксимацию Ф метода конечных элементов, мы изучим отдельно. [c.213]

Одновременно с приближением допустимых функций из Же кусочно полиномиальными в методе конечных элементов производятся и другие приближения, совершенно отличные от первых. Прежде всего можно менять саму область й заменяется на близкий многоугольник 2 или, в изопараметрическом методе, на область с кусочно полиномиальной границей. Любое другое приближение произвольной области вызвало бы большие труд- ности. Далее, сами краевые условия служат объектом аппроксимации. Если в задаче указано, что и — д х,у) на Г или и + а = Ь х, у), то эти функции и 6 почти неизбежно интерполируются в узлах на границе Г (или на ее приближении). Мы хотим оценить ошибку этих приближений. [c.226]

Производные от отображения равны 0(h) около границы. Внутри они фактически равны нулю из-за множителя Заметим, что площади -обоих кругов одинаковы если бы один из них был вписан в другой, то появился бы дополнительный член гН , производные от которого не исчезают, но всюду в области 1меют меньший порядок Н . В терминах принципа Сен-Венана усреднение по локальным осцилляциям отлично от нуля и распространяется далее. Более того, если вместо волн os Q/h у круга были бы зубцы os0/i , то конформное отображение обладало бы слабыми особенностями в местах стыка. Однако при аппроксимации методом конечных элементов эти особенности смазываются и средняя ошибка в производных имеет порядок h у границы и внутри. [c.231]

Теорема 7.1. Пусть 8 — пространство метода конечных элементов степени к—1. Тогда ошибка аппроксимации по методу Галёркина удовлетворяет неравенствам [c.290]

На рисунках приводятся (возросшие) ошибки для пространств метода конечных элементов без сингулярных, функций. На этих графиках интересно отметить три момента. Во-первых, естественно, улучшение, достигаемое с сингулярными функциями (например, в R при h — 1/4 относительная ошибка без сингулярных функций равна примерно 40%, и она падает до 0,1% при добавлении их). Во-вторых, при отсутствии сингулярных функций поточечные ошибки максимальны вблизи Р. В частности, эти ошибки имеют порядок 0 h i ) вблизи Р и 0(h) в остальных точках ). В-третьих, обычные эрмитовы кубические элементы оказываются хуже, чем простейшие линейные элементы. Кубические элементы слишком гладки, чтобы справиться с особенностью. [c.316]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...