Эйконал интегрирование

Очевидно, что линейный интеграл в левой части (6. 19) не зависит от формы пути интегрирования от А к В и равен разности значений эйконала в этих точках. Полученное соотношение называют интегральным инвариантом Лагранжа. [c.275]

Этот интеграл равен разности значений эйконала в точках А к В и, следовательно, не зависит от пути интегрирования (интегральный инвариант Лагранжа. [c.333]

Здесь 5(то) — значение эйконала при т = то интегрирование ведется вдоль геометрооптического луча. Заметим, что в геометрической оптике физическое значение имеет лишь разность эйконалов 5 — 5(то), а не величина 5. [c.221]

Рис. 2.1. Сетка точек, используемая для интегрирования уравнения эйконала методом конечных разностей.

Здесь 5 (Хо) - значение эйконала при т - Хд интегрирование ведется вдоль геометрооптического луча. Заметим, что в геометрической оптике [c.37]

Формула (26.25) позволяет интерпретировать флюктуации эйконала ф в данной точке х как результат наложения на падающую волну рассеянных волн, приходящих в точку д от различных участков объема V. Для точек дс. лежащих вне объема V на больших (по сравнению с линейными размерами этого объема) расстояниях от V, интеграл (26.25) может быть упрощен вполне аналогично тому, как выше при условиях (26.13) был упрощен интеграл (26.12). Далее мы будем подробно рассматривать флюктуации амплитуды и фазы волны во внутренних точках д объема V. в которых такое упрощение незаконно. Однако, в таких точках интеграл (26.25) все же можно несколько упростить, воспользовавшись тем, что при условии (26.19) рассеянием волн на большие углы можно пренебречь, и при вычислении интеграла (26.25) достаточно учитывать вклад в ф (д ) лишь от волн, рассеянных на углы, не превосходящие 6 = Я/ турб 1-Иначе говоря, интегрирование в (26.25) можно распространять не на весь объем V, а лишь на его часть, лежащую внутри конуса К (д ) с вершиной в точке д . осью, направленной навстречу падающей волне, и углом раствора 0. [c.555]

Мы дадим доказательство этого утверждения ), основанное на интегрировании уравнения эйконала в эллиптической системе координат. (Заметим, что используемая при этом методика играет большую роль при исследовании уравнения для седловых точек, соответствующих падающей и отраженной волнам, в задаче дифракции на эллипсе.) [c.86]

Эйконал, соответствующий замыкающейся конгруэнции лучей (4.6), как функция точки на Т находится интегрированием дифференциальной формы (4. 2) и полного дифференциала dQ (см. формулу (4.3)). [c.281]

Здесь n = k(r)jko— показатель преломления, формула (16.2) называется уравнением эйконала, (16.3) и (16.4) - уравнениями переноса нулевого и последующих приближений. Обозначим у 7ф. Тогда уравнение эйконала можно записать в виде Н(, г) О (например, Н v - п или Н = = )a vln)). Функцию Я(у, г) т-зы акп гамильтонианом. Уравнение (16.2) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, относящееся к классу уравнений Гамильтона - Якоби [1621, решение которых сводится к интегрированию системы обыкновенных диф ференциальных уравнений [c.353]

Теоретическую основу определения времен распространения волн в произвольно неоднородной среде составляют уравнение эйконала, принципы Гюйгенса и Ферма. Конкретные алгоритмы представлены численными решениями, которые можно сгруппировать в три класса трассирование лучей, интегрирование уравнения эйконала, и конструирование волновых фронтов. Вычислительный аппарат - как правило, метод конечных разностей, реже - методы конечных элементов или Рунге-Кутта. [c.23]

Способы интегрирования уравнения эйконала успешно определяют времена в зонах тени и отличаются высокой [c.28]

В случае однородной среды интегрирование уравнения (2.3.10) дает ф(г) = к-г, где к = 2тги/Х. Вывод уравнения (2.3.10) мы предлагаем читателю провести самостоятельно в качестве упражнения (задача 2.5). Уравнение (2.3.10) называется в геометрической оптике уравнением эйконала. Поверхности постоянной величины ф, определяемые этим уравнением, представляют собой поверхности постоянной оптической фазы, или волновые фронты. Световые лучи определяются как траектории, ортогональные волновым фронтам ф т) = onst, и, следовательно, описываются также уравнением [c.41]

Ход доказательств в волновом варианте теории в общих чертах сводится к следующему. Для того чтобы определить значение, которое принимает волновая функция восстановленного излучения на поверхности изофазного слоя, в выражении (1) эйконал восстанавливающей волны L, в соответствии с уравнением (4) заменяется эйконалом объектной волны Lq, просуммированным с некоторой величиной Р, постоянной для всех точек данного изофазного слоя. При этом волна переходит в волну и, следовательно, одиночный изофазный слой уже способен восстановить объектную волну. Суммарное действие объема голограммы учитывается интегрированием по всем изофазным слоям в пределах изменений параметра Р, соответствующих изофазным поверхностям, проходящим через крайние точки объема голограммы (Р, и Рг на рис. 2,а). Нетрудно показать, что результатом такого интегрирования является зависимость в виде б-функции от длины восстанавливающей волны. Иными словами, интенсивность восстановленного голограммой излучения отличается от нуля только в том случае, когда длина волны этого излучения близка к длине волны излучения, используемого при записи голограммы. Таким [c.695]

При V = onst, т. е. в однородной среде, уравнение (12.44) превращается в уравнение d r/ds = 0. В результате интегрирования последнего получаем для г уравнение прямой линии г = as - - Ь, что очевидно, так как в однородной среде лучи прямолинейны. В общем случае, когда V = п(г), уравнение (12.44) вместе с граничными условиями, задающими направление луча при г = Гр, позволяет найти траекторию луча r(s). Когда траектория луча найдена, эйконал (или фаза) может быть определен из уравнения d /ds = п в виде криволинейного интеграла вдоль траектории луча в следующем виде [c.252]

L, 0) и находящуюся на тон же поверхности 6 — onst, то разность эйконалов в них будет порядка бр . Если же интегрирование производить не вдоль истинных лучей, а, например, вдоль прямых линий, проходящих через эти точки, как это делается в методе возмущеиий, то разность эйконалов будет порядка 6р. Таким образом, для истинного луча поперечное изменение эйконала меньше, чем для произвольно выбранной линии, а поэтому и амплитудные флуктуации, определяемые поперечными изменениями эйконала, меньше, чем при расчете по методу возмущений. [c.514]

Т.е. распределение сгз, если поле п известно, может быть найдено интегрированием уравнения эйконала. Здесь но-нрежнему к, — нормальная кривизна линий, расположенных па слое поля п и касаюгцихся поля главных нормалей векторных лпнпй поля п, / 2 — нормальная кривизна линий, расположенных на слое ноля п и касаюгцихся ноля бинормалей векторных линий ноля п. [c.45]

Пути совершенствования методов конечно-разностного интегрирования уравнения эйконала намечены в работе Van Trier and Symes (1991). Для повышения устойчивости вычислений ими предложено использовать конечно-разностную аппроксимацию, учитывающую так называемый закон сохранения при имитации движения вязкой жидкости. Смысл этого приема аналогичен регуляризации по Тихонову в областях резкого (разрывного изменения градиента времени ищется не точное (подчас неустойчивое), а усредненное и потому устойчивое решение путем включения регулируемой вязкости , которая сглаживает разрывы градиента. Выражение закон сохранения пришло из флюидодинамики и описывает поведение поля времен в окрестностях каустик пс аналогии с законом нетурбулентного движения вязкой жидкости в окрестностях стоков. [c.25]

Общее представление о сравнительной производительности методов дает работа (Leidenfrost et al., 1999), в которой авторы постарались снизить влияние посторонних факторов на скорость решения задачи. Выяснилось, что несмотря на общие теоретические основы и высокое, во всех случаях, качество программирования, основные параметры - точность, производительность и требуемая память - различаются в диапазоне почти двух порядков. Наиболее точным методом оказалось конструирование фронтов трассирование лучей дает примерно ту же точность, что и интегрирование уравнения эйконала. Самым быстрым оказалось интегрирование эйконала в полярных координатах конечными разностями в комбинации с методом Рунге-Кутта, самым медленным - трассирование лучей. Наибольших ресурсов памяти требует конструирование фронтов. В конечном счете, для точных расчетов в среде с сильными, но гладкими вариациями скорости и необходимостью обхода принципа Ферма рекомендуется метод конструирования фронтов а для сравнительно простых разрезов оптимальным оказывается интегрирование уравнения эйконала в полярных координатах конечными разностями в комбинации с методом Рунге-Кутта благодаря его непревзойденной вычислительной эффективности. [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...