Смешанная формулировка

Здесь рассматривается решение в перемещениях. Существует разновидность метода конечных элементов, в которой в качестве основных неизвестных принимают силы взаимодействия между элементами [4 5] возможна также смешанная формулировка. [c.106]

Поскольку для описания модели деформирования используются как аппроксимации перемещений, так и независимые аппроксимации части компонентов тензора напряжений, то для вариационной постановки задачи следует воспользоваться смешанной формулировкой, соответствующей модифицированному принципу Рейсснера (см. раздел 1.2.2). Для нашего случая вариационными уравнениями будут [c.100]

Выражение (3) совпадает с вариационным функционалом применительно к задаче об изгибе пластины, в которой функция ф также должна быть непрерывной вместе с ее первыми производными. Тонг рассмотрел течение вязкой жидкости в канале, использовав вместо указанного подхода (с применением только функции тока) смешанную формулировку. Эта формулировка, развитая ранее для прямоугольных элементов при изгибе пластины, дает очень точные результаты. Описание упомянутой смешанной модели выходит за рамки данного примера, однако отметим, что аналогичные результаты могут быть получены при использовании для ф непрерывной функции второго порядка (см. 3.5 и 3.6). [c.247]

В данном случае множители Лагранжа представляют среднее значение внутренних сил на линиях, вдоль которых устраняются разрывы полей перемещений. Более того, глобальные уравнения имеют вид уравнений (7.19), которые представляют собой соотношения между силами и перемещениями в смешанной формулировке (см. уравнение (2.3)). Таким образом, смешанные формулировки [c.216]

Существующие формулировки трехмерных элементов почти всецело основываются на предполагаемых полях перемещений и принципе минимума потенциальной энергии. Формулировкам на базе дополнительной энергии и смешанным формулировкам еще предстоит продемонстрировать свои преимущества для задач данного класса. Так, в задачах трехмерной упругости, если функционал дополнительной энергии выражен в терминах функции напряжений, то нужно преодолеть трудности, обусловленные операциями с функциями, которые непрерывны вместе с частью своих производных при переходе через границу элемента. Поэтому в данной главе рассматриваются лишь формулировки, основанные на предполагаемых перемещениях. [c.305]

Смешанные формулировки в напряжениях и перемещениях [c.358]

Рис. 12.14. Сравнение численных результатов смешанные и гибридные треугольные элементы. / — смешанная формулировка [12.6], линейное да, постоянный М 2 — смешанная формулировка [ 2.45], квадратичное да, линейный /И 3—гибридная формулировка для предполагаемых полей напряжений [12.48], линейное

В главе 6 на конкретных примерах показаны возможные пути обобщения результатов для нелинейных уравнений и систем. Два первых параграфа посвящены изложению общих результатов по сходимости метода конечных элементов для нелинейных задач с операторами монотонного типа и решению двух типичных нелинейных задач, распространенных в приложениях, с помощью многосеточных итерационных алгоритмов. Решение плоской задачи упругости демонстрирует возможность обобщения построенных алгоритмов и их обоснования для эллиптических систем зфавнений. Среди многих известных методов дискретизации бигармонического уравнения рассмотрена смешанная формулировка метода конечных элементов, приводящая к системе двух уравнений Пуассона с зацепленными краевыми условиями. В итоге обобщенная формулировка содержит только первые производные и отпадает необходимость использования сложных базисных функций из класса С (И ). Смешанная формулировка использована также для дискретизации стационарных задач Стокса и Навье — Стокса. Здесь применялись комбинации простых конечных элементов — линейные для скоростей и постоянные для давления. [c.12]

В трех последних задачах матрицы получаемых алгебраических систем имеют знакопеременный спектр, что типично для смешанной формулировки метода конечных элементов. Но применение многосеточных итерационных алгоритмов остается таким же эффективным, как для положительно определенных матриц. [c.12]

В этом параграфе мы рассмотрим смешанную формулировку метода конечных элементов, включающую помимо неизвестного решения и завихренность Аи (см. п. 1.1.9). Эта формулировка позволяет обойти требование принадлежности приближенного решения классу С (П), свойственное исходной обобщенной формулировке. В итоге можно использовать обычные лагранжевы злементы класса (I2). [c.259]

Тогда смешанную формулировку можно записать в следующем виде найти (и,м)е Ь 2(12) X удовлетворяющие равенствам [c.259]

В сформулированных выше задачах для кусочно-гладких поверхностей и для смешанных задач формально получаемые решения могут оказаться не единственными, и поэтому в их формулировку включается условие ограниченности энергии деформирования, обеспечивающее единственность решения (об этом [c.247]

Остановимся теперь на некоторой разновидности смешанных (контактных) задач теории упругости. Как уже отмечалось, при их формулировке предполагается, что разбиение поверхности на участки, где выполняются разные краевые условия, заранее известно. Однако возможен и более общий случай. Вообще говоря, контактная задача (в физическом смысле) ставится как задача о воздействии жесткого тела на упругое. Как правило, начальный контакт происходит в одной точке и лишь при дальнейшем сближении контактирующих тел образуется площадка контакта, которая, вообще говоря, увеличивается в размерах. При этом, естественно, вводится имеющее физический смысл ограничение напряжения вдоль контура, ограничивающего [c.248]

Для стержневых систем вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно были уже установлены выше, а именно в 5.2. Там же упоминалось о возможности построения смешанных вариационных принципов, в формулировке которых участвуют как силы, так и перемещения. Способ доказательства был подобен тому, который изложен в 8.8. [c.260]

Анализ плоской деформации сводится к формулировке и решению ряда краевых задач (задача Коши, задача Римана, смешанная задача и др.). Для их решения разработаны эффективные аналитические, графические, численные, матрично-операторные и другие методы [10, 11, 13, 21, 26, 28, 46, 48]. [c.108]

Смешанный принцип стационарности (Е. Рейсснер, 1961). В формулировке принципа минимума потенциальной энергии рассматривается функционал над вектором и от последнего требуется, чтобы он принимал предписанное значение на той [c.159]

Рассмотрим формулировку и доказательство свойства смешанных центральных моментов случайных индикаторных функций /с(г) и /сР(г). [c.69]

НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ И ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ СМЕШАННОГО ТИПА [c.17]

Формулировку задачи статики с помощью принципа возможных перемещений, дополненного условиями связи деформаций с перемещениями (1.60), можно рассматривать как смешанную. Для линейно-упругого тела (1.60) принимает вид [c.20]

Таким образом, смешанную вариационную формулировку задачи статики можно представить в следующем виде. Требуется найти такую пару вектор-функций и и о, для которых при любых допустимых возможных перемещениях би и напряжениях бо выполняются вариационные уравнения [c.20]

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать ложную деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенности (A/i ) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную ложную энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию ложных деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости. [c.23]

При использовании вариационной формулировки задачи в смешанной форме (1.82), (1.83) появляется возможность коррекции ранга матрицы жесткости, и в ряде случаев удается добиться выполнения условия (1.84). Для этого в соответствии с размерностью аппроксимации перемещений (1.27) подбирают размерность независимой аппроксимации поля деформаций [c.24]

Пример разработки конечного элемента на основе смешанной вариационной формулировки дается в разделах 3.5, 4.4 5.5. [c.25]

Далее с помощью (1.101) исключим вектор-столбец производных У из вариационной формулировки (1.98), в результате получим новую смешанную постановку задачи [c.28]

Особое внимание уделено получению основных уравнений, соотношений и вариационных формулировок задач статики и термоупругости многослойных оболочек с использованием варианта теории, учитывающего деформации поперечных сдвигов. В качестве кинематических гипотез выступают предположения о несжимаемости стеики оболочки в поперечном направлении и линейном распределении по толщине многослойного пакета касательных перемещений. Распределения касательных поперечных напряжений выбираются в наиболее простом виде независимо от кинематических гипотез. Приведение трехмерной задачи теории упругости к двумерной осуществляется с использованием смешанной вариационной формулировки. Все преобразования выполнены с учетом переменности метрики по толщине оболочки. Показана идентичность полученных уравнений равновесия с интегральными уравнениями трехмерной теории упругости. [c.66]

Для получения матрицы жесткости конечного элемента и вектора приведенных узловых сил воспользуемся смешанной вариационной формулировкой задачи, аналогичной (1.82), (1.83). Тогда с учетом (3.95) для отдельного конечного элемента запишем [c.167]

ДЛЯ формулировки конкретной задачи. Они говорят о том, какие усилия или смещения приложены к границам тела. В зависимости от типа условий, заданных на границах, можно выделить несколько разных видов краевых задач. Краевая задача в напряжениях — это задача, в которой во всех точках границы заданы компоненты усилия ti, краевая задача в смещениях — это задача, в которой во всех точках границы заданы компоненты смещения щ. Задача, представляющая собой комбинацию этих двух основных краевых задач , называется смешанной краевой задачей. [c.30]

Краевые условия (4.1) — (4.2) позволяют одновременно охватить случаи первой и второй основных краевых задач, а также соответствующий условию Г =0 вариант основной смешанной задачи. При этих краевых условиях в случае непрямой формулировки используется одна из двух следующих формул представления перемещений [c.152]

Большое количество различных устройств, основанных на явлении пьезоэлектричества, можно найти, например, в книгах [22, 44, 45, 53]. Обратимся к формулировке смешанных задач электроупругости. [c.583]

Любой из приведенных в гл.1.4 функционалов может быть использован для построения конечно-элементных соотношений, т.е. для решения задач механики деформируемого тела с помощью метода конечных элементов. Используя принцип возможных перемещений (1.4.14), придем к построению МКЭ в варианте метода перемещений. Принцип возможных напряжений (1.4.50) приведет к МКЭ в варианте метода сил. При использовании смешанных вариационных принцицов (1.4.58), (1.4.61) получим смешанные формулировки МКЭ. Модифицированный принцип возможных перемещений (1.4.62), допускающий независимую аппроксимацию компонентов перемещений на границе и по объему каждого из конечных элементов, приводит к так назы,-ваемым гибридным формулировкам МКЭ. [c.63]

Имеется несколько разновидностей метода конечных элементов решение в перемещениях, в силах, смешанная формулировка, гибридный подход. Наибольшее распространение у нас в стране и за рубежом получил метод перемещений, поскольку он обладает целым рядом достоинств, среди которых можно отметить простоту, удобство реализации на ЭВМ, естественную приспособленность к анализу динамических проблем, Применительно к расчету пластин и оболочек, где создание эффективных конечных элементов в перемещениях дли Т У1Ьное время наталкивалось на серьезные трудности, были разработаны и успешно использовались конечные элементы так называемого гибридного типа. Однако в конце 70-х годов эти трудности удалось в значительной степени преодолеть, что позволяет избежать применения сложных гибридных элементов. [c.10]

В принципе эти методы могут быть применены к любой задаче, для которой дифференциальное уравнение или линейно, или линейно относительно приращений [44—49]. В задачах, сводящихся к эллиптическим дифференциальным уравнениям, решения получаются сразу, в то время как для параболических и гиперболических систем уравнений должны быть введены процессы продвижения во времени. Таким образом, охватывается очень широкий класс физических задач при помощи прямых или непрямых формулировок МГЭ могут быть решены, например, задачи об установившемся и неустановившемся потенциальных течениях, задачи статической и динамической теории упругости, упругопластичности, акустики и т. д. [8—49]. МГЭ может также быть использован в сочетании с другими численными методами [44], такими, как методы конечных элементов или конечных разностей, т. е. в смешанных формулировках. Соответствующие комбинированные решения почти неограниченно расширяют область применения методов, ибо МГЭ обладает четко выраженными преимуществами для областей больших размеров, в то время как методы конечных элементов являются удобным средством включения в такие системы объектов конечного размера или уточнения поведения решения в зонах быстрого изменения свойств. Более подробное сравнение особенностей этих методов будет дано в следующем параграфе. [c.16]

Рис. 12.7. Сравнение численных результатов четырехугольные конечно-элементные формулировки 1 — смешанная формулировка с линейными М я 1ю [12.22] 2 — двенадцатичленный полином (12,32) 3 — смешанная формулировка с квадратичными Миш [12.22] 4 — шестнадцатичленный полином [12.31] 5 — согласованные четырехугольные подобласти [12.14].

На рис. 12.14 приведены численные результаты для различных типов смешанных формулировок. Пн-формулировка, основанная на рассмотрении постоянных моментов и линейно изменяющихся перемещений, как уже было отмечено, приводит к результатам, идентичным тем, которые уже были представлены на рис. 12.9 для жесткостной формулировки с шестнчленным (квадратичным) полиномом. Смешанная формулировка, основанная на представлении более высокого порядка [12.45] (линейно изменяющиеся моменты, квадратичные перемещения), существенно повышает точность решения Заметим, однако, что в этом случае для каждого элемента требуется вдвое больше узлов (шесть, а не три). Этот факт не нашел отражения на горизонтальной оси рис. 12.14. Наконец, как видно из графика, гибридная формулировка в напряжениях [12.48] с полями, сравнимыми с используемыми в простейшей Пн-формулировке, приводит к решениям, лежащим по другую сторону от точного решения и намного более точным для заданного размера разбиения. Тем не менее приходится вновь предупредить, что при определении относительных преимуществ той или иной формулировки необходимо учитывать много других факторов. [c.376]

Другие рассмотренные задачи допускают смешанную формулировку, в которой речь идет о поиске седловой точки знаконеопределенного функщюнала [22,119]. [c.18]

Смешанная формулировка. Пусть 12 С R — выпуклый многоугольник с границей Г. Рассмотрим однородную задачу Дирихле для бигармонического уравнения [c.259]

Замечание 4.1. Для выбранных пространств смешанная формулировка не удовлетворяет условию Брецци. Позтому она может оказаться неустойчивой, что и происходит, если не вводить дополнительных предположений о регулярности решения и правой части, как это сделано в п. 1.1.9. Устойчивый вариант формулировки получается, когда, билинейная форма Ъ берется в виде [c.259]

Мы получили обобщенную (смешанную) формулировку стационарной задачи Стокса найти вектор-функцию и е 1/и функциюр е F, удовлетворяющие равенствам [c.266]

Нелинейный анализ однородных ортотропных пластин был, по-видимому, впервые проведен в работе Юсуффа [197]. Писхер и Донг [116] рассмотрели большие прогибы слоистых пластин из изотропных материалов, причем задачу решали в смешанной форме. Более общие формулировки были впоследствии предложены в работах Ставски [150,151 ], а также Уитни и Лейсса [185]. [c.189]

Кроме введенных выше тензоров деформадий можно рассмотреть еще ряд объективных тензоров деформаций, содержащих положительные, отрицательные, смешанные степени и натуральный логарифм тензоров кратностей удлинений U и V [3, 35, 36, 38, 46, 63, 74]. Формулировки уравнений механики с любым из этих тензоров теоретически эквивалентны. Предпочтительность использования того или иного тензора зависит в основном от определяющих соотношений материала тела, числа операций при определении компонент тензоров в численных расчетах и от степени нелинейности, учитываемой в формулировках уравнений. [c.40]

Особое внимание уделено смешанным вариационным формулировкам двух типов. Первая соответствует смешанному вариационному принципу Рейссиера, вторая — задачам на экстремум полной потенциальной энергии системы при наличии дополнительных условий в виде дифференциальных уравнений связи между перемещениями и их производными. Для одномерных задач предлагается вариационно-матричный способ вывода канонических систем разрешающих дифференциальных уравнений. Для двумерных задач рассматриваются вопросы реализации решений с использованием проекционных методов типа Рэлея—Ритца и конечных элементов с учетом специфики смешанной вариационной формулировки. [c.5]

При формулировке задач механики контактного взаимодействия трение (сопротивление относительному перемещению контактирующих точек) учитывается феноменологически заданием некоторого соотношения между нормальными р и тангенциальными г напряжениями, действующими в зоне контакта. Наиболее часто используется закон трения Амонтона вида г = р. Методы исследования плоских контактных задач с трением, основанные на сведении их к решению смешанных задач теории функций комплексного переменного, разработаны Н.И. Мусхели-швили [107], Л.А. Галиным [23], А.И. Каландия [74]. Эти методы нашли применение при решении задач для тел с различной макроформой. Контактные задачи с законом трения в форме Амонтона в пространственной постановке рассмотрены в работах [29, 86, 87, 106] и т.д. [c.134]

Получить аналитические решения для двухслойных покрытий при всем многообразии граничных условий и способов загружения не представляется возможным. Это обстоятельство обусловливает необходимость применения численных методов. Однако получение численных решений даже большого количества задач с конкретными граничными условиями и коэффициентами дифференциальных уравнений не всегда дает возможность установить степень влияния изменений совокупности исходных параметров на напряженно-деформированное состояние рассматриваемых конструкций. Поэтому в теоретических исследованиях зачастую применяется смешанный метод, заключаюш,ийся в поиске аналитических решений задач о нанряженно-деформированном состоянии конструкций для простых областей или упро-ш,енных схем, типа балочных, которые уточняются для более сложных условий численными методами. Такой подход требует строгой математической формулировки для упрош енных моделей. Построить математическую модель, учитываюш ую все особенности работы покрытия, в настояш,ий момент не представляется возможным, так как крайне затруднительно достаточно точно сформулировать модельные предпосылки для описания всего спектра природных и физических процессов, происходяш их в покрытиях при воздействии эксплуатационных нагрузок в различные периоды года. В связи с изложенным выше весь комплекс задач, связанных с определением параметров напряженно-деформированного состояния аэродромного покрытия, условно объединим в ряд независимых групп. [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...