Кривая нейтральная

Обычно в плоскости волновое число — число Рейнольдса строят кривую нейтральной устойчивости, которая разделяет в этой плоскости области неустойчивости и устойчивости. (Вол- [c.297]

Поскольку возмущения возрастают с координатой х вниз по течению, а не со временем в заданной точке пространства, то при исследовании этого типа неустойчивости разумно поставить вопрос следующим образом. Предположим, что в заданном месте пространства на поток накладывается непрерывно действующее возмущение с определенной частотой со, и посмотрим, что будет происходить с этим возмущением при его сносе вниз по течению. Обращая функцию (и(к), мы найдем, какой волновой вектор k соответствует заданной (вещественной) частоте. Если Im/г < О, то множитель е - возрастает с увеличением х, т. е. возмущение усиливается. Кривая в плоскости а, R, определяемая уравнением Im/e o3, R)=0 (ее называют кривой нейтральной устойчивости или просто нейтральной кривой) дает границу устойчивости разделяя для каждого R области значений частоты возмущений, усиливающихся или затухающих вниз по течению. [c.149]

Рис. 7.2.2. Определение а и 2 при помощи кривой нейтральной устойчивости

Изложенный метод расчета можно использовать для расчета устойчивости ламинарного пограничного слоя при п <0,1, причем пределы его значений зависят от профиля скоростей. Для рассматриваемого параболического профиля при и 0,1 оказалось возможным получить только нижнюю ветвь кривой нейтральной устойчивости, поэтому нельзя определить критическое число Рейнольдса. По мере возрастания п (при п> 0) значения правой части уравнения (7.2.22) графически изображаются кривыми Е(а, с), которые не пересекают правую ветвь кривой F z). В результате область неустойчивости все более расширяется (рис. 7.2.3), а верхняя ветвь нейтральной кривой укорачивается. Это объясняется тем, что в основе ре- [c.459]

Поскольку кривая нейтральной устойчивости (/тс = 0) в а —R плоскости достигает максимума при R->oo, то для полной струи (антисимметричное решение) [c.113]

Характеристики невязкой устойчивости полной и полуограничен-ной струй приведены на рис. 1 и 2. Из полученных результатов нельзя объяснить наличие в плоскости а —R нижней ветви кривой нейтральной устойчивости, которая должна совпадать с осью а =0. [c.113]

Рис. 11-4, Кривые нейтральной устойчивости для ламинарного пограничного слоя при продольном обтекании плоской пластинки. По оси ординат отложена безразмерная частота (f —частота возмущений).

На рнс. 195, заимствованном из статьи Линя, дана кривая нейтральной устойчивости для случая движения между двумя неподвиж- [c.682]

На рис. 196, также взятом у Линя, мы даём кривую нейтральной устойчивости для случая Блазиуса (обтекание пластинки). Линь выбирает профиль II в виде [c.683]

Гейзенберга (1924), нашедшего, что указанное течение при больших числах Re (т. е. при наличии небольшой вязкости v) уже оказывается неустойчивым, сначала казался малоправдоподобным и вызывал сомнения. Однако после того как тщательные расчеты Линя (1945, 1955), основанные на использовании асимптотических разложений специального вида, подтвердили результат Гейзенберга и позволили найти формулу кривой нейтральных возмущений Im ky Re)=0, стало ясно, что сомнения эти не имеют оснований. [c.107]

Кроме того, следует,учитывать возможность возбуждения неустойчивости высших гармоник потока нейтронов, например первой гармоники (л = 1). Эта гармоника легко стабилизируется обратной связью по мощности при достаточно высоких потоках [ 10 нейтрон/ см сек) для рассматриваемого реактора]. Неустойчивость первой гармоники, так же как неустойчивость нулевой гармоники при низких потоках, может возникнуть вследствие выгорания ксенона-135. Высшие гармоники труднее сделать неустойчивыми, чем основную гармонику, т. е. при заданном мощностном коэффициенте реактивности для этого нужен больший поток нейтронов. Так, кривая нейтральной устойчивости первой гармоники л жит левее аналогичной кривой для основной гармоники на рис. 10.8 она нанесена пунктирной линией и соответствует частному случаю, когда о а /О) = 1500. Следует отметить, что, поскольку номер гармоники п входит в виде отношения лп/а в полученные выше уравнения, то пространственные осцилляции п-й гармоники легче получить при большом а, т. е. в больших реакторах. Для рассматриваемого реактора высшие гармоники с п > 2 труднее возбудить, чем первую гармонику. [c.441]

Па рис. 21 изображены кривые нейтральной устойчивости неустойчивых мод на плоскости кх, 7) и показаны величины инкрементов роста этих мод при кх = /12 = 1/2 (приведенные ниже расчеты проведены для этого случая). Па рис. 21а области неустойчивости каждой из указанных мод отвечает часть плоскости, расположенная выше соответствующей нейтральной кривой. Видно, что неустойчивыми могут быть моды с т 2, [c.584]

Рис. 21. Кривые нейтральной устойчивости различных мод — (а) и инкременты их роста для случая равных толщин слоев — (Ь).

Комплексная величина является собственным значением волнового числа в задаче о свободных колебаниях в пограничном слое вблизи верхней ветви кривой нейтральной устойчивости (С = 0), а выражения (3.4.24) в этом случае представляют собой две части дисперсионного соотношения. Условие Kf = О определяет частоту 2 = нейтральных собственных колебаний. Из (3.4.24) имеем [c.75]

Эти соотношения полезны при исследовании общего вида кривой нейтральной устойчивости. [c.45]

Фиг. 18. Кривые нейтральной устойчивости для двумерных возмущений в пограничном слое движущегося газа.

Фиг. 19. Кривые нейтральной устойчивости при числе Маха набегающего потока М1 = 1,6 и отношении температуры на стенке к температуре набегающего потока = 1,073.

Начало развития нелинейной теории регулярных волновых течений при гравитационном стекании пленки жидкости положено в работах [25, 26]. Было показано, что каждому волновому возмущению, не устойчивому согласно линейной теории, соответствует нелинейный волновой режим, который возникает в процессе развития. При фиксированном расходе амплитуда волны такого течения равна нулю на кривой нейтральной устойчивости, растет с увеличением длины волны, достигает максимума при некотором значении X = и затем убывает. Режим с максимальной амплитудой был назван оптимальным, так как для него пленка жидкости при заданном расходе имеет наименьшую среднюю толщину. [c.8]

Поправки К параметрам (1.33) определялись путем численного решения линейной системы 10-го порядка. Обычно хорошая точность получалась после трех—пяти итераций. Численный алгоритм, изложенный выше, был применен к расчету серии волновых режимов в области их существования на плоскости Re/Ga — показанной на рис. 1.2. Расчет проводился следующим образом [30—34]. Выбирали ряд значений Ga и для каждого постоянного значения Ga проводили расчеты при различных значениях п, начиная от кривой нейтральной устойчивости до значений п, лежащих несколько ниже линии максимального значения амплитуды. [c.15]

Рис. 3 24 Кривая нейтральной устойчивости, М

Рис. 3.26. Кривая нейтральной устойчивости, Ма = 1,5 (Гп =1,91).

Рис. 5.17. Кривые нейтральной устойчивости К - Г а = О первой азимутальной моды изобарической струи для толщин слоя = 0,3, 0,7, 1,2 1,6 1-4)

Рис. 5.19. Кривые нейтральной устойчивости К-Г а =0 для азимутальных мод п = 1, 2, 3, 5 (1 -4) при Мо = 5 и б = 0,3.

Рассматривая в каждый момент времени квазистационарное течение на линии растекания зависящим от времени только как от параметра, характеристики устойчивости, такие, как критическое число Рейнольдса Ке, кривые нейтральной устойчивости и инкременты нарастания неустойчивых возмущений, могут быть найдены с использованием линейной теории устойчивости [3-5] совершенно так же, как и в случае полностью стационарного невозмущенного пограничного слоя. При этом параметры устойчивости будут, естественно, являться функциями времени и для каждого момента времени значения Ке и скоростей нарастания возмущений будут определяться профилями основного пограничного слоя на линии растекания, которые в свою очередь являются функциями температуры поверхности или скорости отсоса в данный момент времени. [c.53]

На фиг. 1 представлены кривые нейтральной устойчивости для различных температур поверхности. Здесь и в дальнейшем температура поверхности отнесена к температуре набегающего потока Охлаждение поверхности (Т <Т = 1.03), как это было показано в [3, 4], ведет к стабилизации пограничного слоя и увеличению критического числа Рейнольдса потери устойчивости Ке и, напротив, нагрев поверхности приводит к уменьшению Ке и существенной дестабилизации течения, что может быть проиллюстрировано зависимостью Ке от температуры поверхности (фиг. 2, а). В случае зависимости температуры поверхности от времени характеристики устойчивости также оказываются функциями времени. В силу нелинейной зависимости параметров устойчивости от характеристик (профилей скорости и температуры) пограничного слоя на линии растекания можно ожидать, что для различных законов изменения температуры поверхности от времени будут получаться различные средние значения Ке и других параметров устойчивости, таких, например, как скорость нарастания возмущений. [c.55]

Решение (7.2.22) определится в точках, для которых F, = и Fi = = ,. В соответствии с этим построение кривой нейтральной устойчивости для заданного профиля скоростей и известного параметра вдува п будет следующим. Прежде всего задаемся некоторым параметром с = i- При этом значении с и различных волновых числах а с помощью (7.2.24) находим действительную и мнимую Ei части функции (а, с). На том же графике, где построена кривая F z), строим кривую i = onst по найденным значениям Е и Ei- Полученные две точки пересечения кривой с, = onst с графиком F(z) представляют собой решения уравнения (7.2.22) и являются исходными для построения нейтральной кривой. Каждой из этих точек соответствуют определенные значения с,, aj K 2 >, аУ), аУ), а также число Рейнольдса Re. [см. (7.2.18)]. Полученные точки Re)Pj и [аУ>, Re(2)] [c.456]

Далее, задавая новые значения параметра с,- и повторяя расчеты, получим кривую = onst, которая окажется касательной к кривой F z) (рис. 7.2.2). В этой точке заданной фазовой скорости соответствует только одно волновое число и, следовательно, одно значение числа Рейнольдса Re- . На кривой нейтральной устойчивости точка (а , Re ) представляет собой точку касания нейтральной кривой с прямой, параллельной оси ординат а. Поэтому число Re является минимальным критическим числом Рейнольдса. При О уравнение (7.2.22) не будет иметь решений. На плоскости нейтральной кривой это означает, что при числах Рейнольдса, меньших критического (R g <1 R j , R 5kp) возмущения любой дли ны волны (или а) затухают, т. е. движение абсолютно устойчиво. [c.456]

Тэйлоровский подход отличается от описанного только тем, что неизвестные функции, соответствующие f y) в уравнении (159), распространяются в виде бесконечных рядов, так что четыре из шести граничных условий (о том, что три компонента скорости исчезают на границах) удовлетворяются автоматически. Два оставшихся условия и рекуррентные формулы для коэффициентов одного из рядов получаются из дифференциальных уравнений при условии, что детерминант бесконечного порядка должен исчезать для нетривиального решения системы дифференциальных уравнений. Из уравнения этого детерминанта может быть получена кривая нейтральной устойчивости. Этот метод также относится к тем, где используется показательный фактор времени. [c.237]

В работе Толмина (1929) методом малых возмущений исследовалось течение в пограничном слое, которое он рассматривал как плоскопараллельное и имеющее профиль скорости, составленный из отрезков прямых и парабол при этом впервые удалось получить форму кривой нейтральных возмущений на плоскости ку Не), отделяющую область устойчивых возмущений от области неустойчивых возмущений. В дальнейшем Толмин (1930, 1947) и Шлихтинг (1933а, б 1935а) перенесли эти результаты также и на случай произвольных профилей скорости. В 1944—1945 гг. вся теория устойчивости плоскопараллельных течений была критически пересмотрена Линем (1945), пересчитавшим заново основные примеры и уточнившим численные результаты Толмина и Шлихтинга. Тем не менее из-за сложности применяемых при этом методов анализа асимптотического поведения решений уравнения [c.105]

Ниже рассматривается вопрос о генерации волн Толлмина-Шлихтинга вблизи верхней ветви кривой нейтральной устойчивости. Порядки частоты и характерной длины, естественно, отличаются от принятых в теории свободного взаимодействия, а именно полагается Г = 0(Re- °L ), со = 0(Re i/ L ). Обозначим а = Re- / o. Подвижную часть поверхности зададим уравнением [c.67]

В, работе Толмина (1929) методом малых возмущений исследовалось течение в пограничном слое, которое он рассматривал как плоскопараллельное и имеющее профиль скорости, составленный из отрезков прямых и парабол при этом впервые удалось получить форму кривой нейтральных возмущений на плоскости (й, Ее), отделяющую область устойчивых возмущений от неустойчивых возмущений. В дальнейшем Толмин (1930, 1947) и Шлихтинг (1933а, б 1935а) перенесли эти результаты также и на случай произвольных профилей скорости. В 1944—1945 гг. вся теория устойчивости плоскопараллельных потоков была критически пересмотрена Линем (1945), пересчитавшим заново основные примеры и уточнившим численные результаты Толмина и Шлихтинга. Тем не менее, сложность используемых при этом методов анализа асимптотического поведения решений уравнения (2.28) приводит к тому, что еще до сих пор полученные результаты в некоторых отношениях нельзя считать окончательными. Дело в том, что используемые асимптотические ряды обычно имеют особенность точке г,. в которой (7(2) —с — О, в то время как исходное уравнение регулярно в этой точке. Поэтому большой интерес представляет нахождение равномерно сходящихся асимптотических разложений, но построение таких разложений пока наталкивается на большие трудности (см., например. Линь и Бенни (1962)). [c.126]

Значительно более, удовлетворительным представляется положение в отношении плоского течения Пуазейля. Здесь, после того как тщательные расчеты Линя, основанные на асимптотических разложениях, специального типа, применимых при больших Re, подтвердили основной вывод Гейзенберга о неустойчивости этого течения и позволили найти форму кривой нейтральных возмущений с( , Re) =0, эти результаты были еще раз проверены Томасом (1953) с помощью численного решения соответствующей задачи на собственные значения, а затем частично также и Локком (1955), использовавшим усовершенствованную форму асимптотических разложений. Результаты всех этих расчетов оказались вполне удовлетворительно совпадающими друг с другом (см., например, рис. 14). В дальнейшем Шэнь (1954) рассчитал по методу Линя для этой задачи также и форму кривых 3m (fe, Re) = onst, определяющих совокупность возмущений с заданной быстротой возрастания. Форма нейтральной кривой 3>n (fe, Re) = О, где Re = UHilv, и — максимальная скорость невозмущенного течения, найденная Линем и Локком, показана на рис. 14. Критическое число Рейнольдса (отвечающее самой левой точке этой кривой) оказалось равным примерно 6000 по данным Локка и [c.127]

Для каждой пары действительных значений а и R существует собственное значение с, вообще говоря, комплексное. Если мнимая часть комплексной величины с положительна, то возмущение, согласно линейной теории, неустойчиво. Если Сг < О, то возмущение затухает. Если = О, то существуют незатух1Ющие колебания. Условие = О приводит к соотношению между а и R или к кривой в плоскости (а, R). Эту кривую обычно называют кривой нейтральной устойчивости, или, коротко, нейтральной кривой. [c.41]

На рис. 1.1, взятом из работы [26], изображена область существования регулярных волновых режимов. Эта область заключена между кривой нейтральной устойчивости I и линией /2=0. Для любой пары значений Оа и /2, взятой из этой области, возмущение, согласно линейной теории, неустойчиво. В нелинейной постановке ему соответстствует регулярное волновое течение. Линия 2 проходит через точки, в которых амплитуда волновых течений наибольшая [25, 26]. Используя рис. 1.1, можно пояснить основные допущения, которые были сделаны при выводе уравнения (1.15) и граничных условий (1.16), а именно предположение, что [c.12]

На рис. 5.17 приведен основной информативный результат для вязкой неустойчивости К - Г на начальном участке изобарической струи. Представлена наиболее характерная азимутальная мода и = 1 при Мо = 1,5. Кривые нейтральной устойчивости а = О даны для разных толщин слоя смешения, моделирущих прикорневую область, середину начального участка и переходную область. [c.139]

На фиг. 4, а приведены кривые нейтральной устойчивости, полученные при трех различных значениях температуры поверхности 7 , = 1, 1.6 и 1.8 (температура на внешней границе вязкого слоя для указанного числа Маха равна Г,, = 1.21), а также зависимость критического числа Рейнольдса потери устойчивости от температуры поверхности (фиг. 4, б). Отметим, что в соответствии с результатами [6] при сверхзвуковых скоростях и умеренных температурах поверхности, близких к температуре на внешней границе пограничного слоя Т возрастание температуры поверхности обычно сопровождается ростом Re, а также частичной или полной стабилизацией возмущений, соответствующих малым волновым числам а 0.1-0.4. В то же время появляется одна или несколько новых областей неустойчивости, которые при сверхзвуко- [c.58]

Рассмотрено течение между двумя пластинами жидкости, подчиняющейся реологическому уравнению состояния де Витта с производной Яумана. Аналитически установлено, что в случае стационарного куэттовского течения имеют место устойчивость и неустойчивость течения к плоским сдвиговым возмущениям при числах Вайсенберга соответственно меньше и больше единицы. Численно и аналитически исследована фаза разгона течения, проведено сопоставление со случаем жидкости Олдройда, построены кривые нейтральной устойчивости. Отмечена принципиальная роль рассмотренного типа возмущений в общей совокупности типов неустойчивости, способных действовать на жидкость в таком течении. [c.6]

Выполненные расчеты систематизированы путем построения кривых нейтральной устойчивости (фиг. 3). При этом число Рейнольдса, в соответствии с типичными параметрами конкретных жидкостей [4, 7], изменялось от 100 до 0.05 (при дальнейшем уменьшении возникали проблемы со сходимостью итерационного процесса в численном решении), шаг по изменению W составлял не более 0.005. Видно, что и увеличение Ке, и усиление темпа разгона течения уменьшают критическое значение IV, при котором наступает неустойчивость. Очевидно также, что каждая из кривых имеет пределом при стремлении Ке к нулю число, близкое к единице, - установленный предел устойчивости для стационарного куэттовского течения. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...