Начальные напряжения в нелинейных задачах

Задача о расчете начальных деформаций Фод по заданным начальным напряжениям в силу однородности начальных деформаций сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, и решение ее модифицированным методом Ньютона-Канторовича является достаточно простым, поэтому нет необходимости его подробно рассматривать. В качестве начального приближения для Фод в соответствии с первым из соотношений [c.91]

Помимо того что исследования хаотических колебаний приносят с собой новые идеи, они важны для инженерных исследований еще по нескольким причинам. Во-первых, хаос или шум в механических системах затрудняет предсказание времени работоспособности или анализ старения материала, поскольку оказывается неизвестной точная зависимость напряжений в твердых материалах от времени. Во-вторых, осознав, что простые нелинейности способны привести к хаотическим режимам, мы сталкиваемся с вопросами о предсказуемости в классической физике и о ценности численного моделирования нелинейных систем. Обычно полагают, что чем больше и мощнее станут суперкомпьютеры, тем точнее можно будет предсказывать поведение систем. Однако в нелинейных задачах с хаотической динамикой поведение системы чувствительно к начальным условиям и точный расчет будущего поведения может оказаться невозможным даже в случае периодического движения. [c.7]

Решение такой нелинейной задачи строится по методу последовательных приближений. В начальном приближении принимаются равными Е, л и из решения задачи линейной теории упругости находятся е ° у%,. . е, . Из зависимости Ф (е ) находится величина а затем < >, G . Далее решается задача линейной неоднородной теории упругости. По найденным из нее компонентам деформированного состояния определяются ei, ali Е ( Как и в рассмотренном примере для одноосного напряженного состояния, процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока значения компонент тензоров напряжений или деформаций в двух соседних приближениях не будут отличаться друг от друга на величину, меньшую величины допустимой погрешности. [c.316]

Далее (в разд. 7.4) рассмотрены конкретные результаты, которые позволяют установить связь между изменениями режима отверждения и усадочными напряжениями, а также последующее влияние этих напряжений на поведение материала. Рассмотрены начальная текучесть и степень нелинейности композита после достижения предела текучести. Приведенные результаты основаны на расчетных оценках усадочных напряжений и нелинейного поведения слоистого композита. Для этого использованы обычные методы анализа слоистых сред и решение методом конечных элементов задач микромеханики. Последний метод обеспечил получение необходимых для слоистого анализа количественных данных [c.252]

Рассмотрим получение вариационно-матричным способом канонической системы дифференциальных уравнений для решения задач устойчивости н колебаний. При получении разрешающих уравнений будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но не деформирована. Исходное напряженное состояние определяется решением- задачи статики в линейной постановке. При составлении уравнений движения в окрестности исходного состояния будем учитывать начальное напряженное состояние. В деформационных соотношениях кроме линейных составляющих будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач рассмотрим только осесимметричное начальное напряженное состояние. Будем считать, что действующие на конструкцию внешние нагрузки при движении системы не изменяются ни по величине, ни по направлению. В целом систему, включая внешние нагрузки и условия связи, будем считать консервативной. Исследование движения системы относительно начального состояния проведем без учета демпфирующих свойств. [c.156]

Подводя итог сказанному, отметим, что к настоящему времени нет удовлетворительного решения задачи устойчивости при кручении. Эксперименты не подтверждают как линейную, так и нелинейную теорию. Отклонение от линейной теории составляет примерно 35%. Вероятно, как и в случае внешнего давления, следует ожидать более точных решений нелинейной задачи с учетом начальных несовершенств и более аккуратных экспериментов. В практических расчетах с начальными неправильностями порядка их толщины следует ориентироваться на величину верхнего критического напряжения, корректируя его данными рис. 9.6. При больших начальных неправильностях величину критических напряжений следует снижать примерно в 1,3 раза. [c.165]

Следует отметить, что задачи устойчивости оболочек при неосесимметричном нагружении находятся в первой стадии изучения. Мало теоретических результатов, еще меньше экспериментов. Имеющиеся результаты недостаточно обоснованы и проанализированы. Вероятно, при решении задач с сильной изменяемостью неосесимметричного напряженного состояния придется обратиться к решению нелинейных задач. Это касается и задач устойчивости оболочек с неосесимметричными начальными прогибами. [c.236]

В литературе, посвященной методу конечных элементов, для решения физически нелинейных задач упоминается метод начальных деформаций и начальных напряжений [47]. Эти методы аналогичны методу дополнительных деформаций во всех случаях в каждой итерации определяют дополнительный вектор правой части, а матрица жесткости ансамбля остается неизменной. [c.170]

При получении разрешающих уравнений будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но не деформирована. Исходное напряженное состояние определяется решением задачи статики в линейной постановке. При составлении уравнений движения в окрестности исходного состояния будем учитывать начальное напряженное состояние. В деформационных соотношениях кроме линейных составляющих будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач рассмотрим только осесимметричное начальное напряженное состояние. Будем считать, что действующие на конструкцию внешние нагрузки при движении системы не изменяются ни по величине, ни по направлению. В целом систему, включая внешние нагрузки, поведение материала и условия связи, будем считать консервативной. [c.230]

Теория прочности предполагает задание модели и критерия (или критериев) начала зарождения трещины, ее роста ). Причем в качестве критерия используются величина или комбинации величин, измеряемых экспериментально. В критерий могут входить и параметры концентратора напряжений, например его характерный размер, которые сравниваются с соответствующими им расчетными. Если задача рассматривается в рамках механики деформируемого твердого тела, то момент начала роста имеющейся в теле трещины определяется превышением соответствующей критериальной величины. Поэтому необходимо знать в числе других граничных условий и форму граничной поверхности трещины либо в ненагруженном состоянии тела (в терминах нелинейной теории упругости — начальном), либо в момент выполнения критерия — конечном. Это необходимо для определения напряженно-деформируемого состояния тела, параметры которого входят в расчетную часть критерия. [c.257]

Задача решается в следующей постановке (которая является частным случаем постановки, приведенной в п. 4.7, и может быть пропущена при чтении). Пусть в нелинейно-упругом бесконечно протяженном теле, находящемся в начальном (ненапряженном) состоянии, под воздействием внешних нагрузок возникли большие статические деформации. Тело перешло в первое промежуточное состояние. Далее в этом теле мысленно намечается замкнутая поверхность (будущая граница включения). Внутри части тела, ограниченной этой поверхностью, скачкообразно меняются механические свойства материала, предполагается, что это не приводит к динамическим эффектам. В результате внутри образовавшегося включения и в оставшейся части тела возникают большие деформации и напряжения, которые накладываются на большие начальные деформации и напряжения, уже имеющиеся в теле. Тело переходит в конечное состояние. [c.333]

Рассмотрим проблемы, возникающие при применении МКЭ, более подробно на примере задач о последовательном образовании в нелинейно-упругом теле нескольких отверстий, форма каждого из которых задана в момент образования. Пусть задача решается в координатах начального состояния и уже рассчитаны напряжения и деформации в теле после образования первых к отверстий, т.е. в (А + 1)-м состоянии. В этом состоянии задана форма следующего к + 1)-го отверстия. Тогда для дальнейшего решения задачи потребуется определить, какой была бы форма границы этого отверстия в координатах начального [c.46]

Результаты решения данной задачи для случая кругового отверстия радиуса R при аг = 0.001, Т2/Т1 = 2 рассмотрены на рис. 5.80-5.83. Расчеты выполнены для плоского напряженного состояния при одноосном начальном растяжении (сгод) = О, ( j o,i)22// o = 0.1. Напомним, что результаты решения аналогичной задачи при тех же значениях параметров для случая, когда форма отверстия задана в момент образования, рассмотрены на рис. 5.68-5.70 (стр. 204-205). На рис. 5.80 показана форма контура отверстия в различные моменты времени при решении задачи в линейной и нелинейной постановке. Сплошная тонкая линия соответствует форме контура в момент образования отверстия, сплошная жирная линия соответствует заранее заданной форме, которую принимает отверстие в момент времени Т2-Из рисунка видно существенное влияние нелинейных эффектов на форму контура. В частности, в нелинейном решении смещение точки контура, лежащей на оси ж, значительно меньше. [c.210]

На рис. 5.84, 5.85 приведены результаты решения аналогичной задачи для эллиптического отверстия с отношением полуосей а/Ь = 5 при аг = 0.001, Т2/Т1 = 2. Расчеты выполнены для случая плоской деформации при одноосном начальном нагружении (сгод) = О, (сгод)22// о = 0.01, к контуру отверстия в момент его образования прикладывается давление = 0.02/io- На рис. 5.84, а показана форма контура в различные моменты времени при решении задачи в нелинейной постановке. Сплошная тонкая линия соответствует форме контура в момент образования отверстия, сплошная жирная линия соответствует заранее заданной форме, которую принимает отверстие в момент времени Т2- На рис. 5.84, б приведены эпюры полных истинных напряжений на контуре отверстия в момент времени Т2 при решении задачи в линейной и нелинейной постановке, а на рис. 5.85 показано распределение напряжений вдоль оси х вблизи вершины эллипса в различные моменты времени. Более тонкая линия на рис. 5.85 соответствует решению задачи в линейной постановке (в этом случае напряжения не меняются со временем после образования отверстия). Как видно из рисунков 5.84, 5.85, поправка от учета нелинейных эффектов по напряжениям в вершине эллипса превышает 30 %. [c.212]

Рассмотрим применение метода Ньютона-Канторовича к решению задач о концентрации напряжений около отверстий в нелинейно-упругом теле (постановка этих задач приведена в 1.5). Для краткости изложения ограничимся постановкой задачи в координатах начального состояния для материала, механические свойства которого описываются определяющими соотношениями (1.4.5) для потенциала Мурнагана в базисе начального состояния. Будем считать, что константы (7з, С4 и С5 в соотношениях (1.4.5) равны нулю, массовые силы отсутствуют и контуры отверстий свободны от напряжений, а на бесконечности заданы истинные напряжения сг . [c.239]

Ниже рассмотрена задача С4 о внедрении симметрично расположенных штампов в торцы кругового цилиндра при наличии в цилиндре однородного поля начальных напряжений [294, 295]. Используется модель нелинейно-упругого изотропного несжимаемого материала (см. рис. 2.6 на стр. 79). [c.79]

Краевая задача нелинейной теории упругости в эйлеровой системе координат, связанной с некоторым начальным напряженным состоянием, описывается уравнениями движения [c.30]

Другим, не менее эффективным подходом для исследования статических контактных задач для предварительно напряженных тел оказался подход, основанный на использовании асимптотических методов решения интегральных уравнений. В рамках этого подхода удалось исследовать контактные задачи для физически или геометрически нелинейных материалов, для сложных видов напряженных состояний, обусловленных наложением полей однородных начальных напряжений и силы тяжести. [c.236]

Общая постановка плоских контактных задач для полупространства и слоя, подверженных одновременному воздействию сил тяжести и однородных, ориентированных вдоль границы, начальных напряжений дана в работе В. М. Александрова и Н. X. Арутюняна [1]. Предполагалось, что материал среды является несжимаемым и описывается либо уравнениями физически нелинейной (геометрически линейной) теории установившейся ползучести, либо уравнениями геометрически нелинейной (физически линейной) теории упругости. В предположении, что силы трения в области контакта отсутствуют, изучена проблема эллиптичности линеаризованных уравнений (внутренней устойчивости среды), исследованы явления поверхностной неустойчивости среды. В качестве иллюстрации проведен анализ влияния механических свойств и начального напряженного состояния среды на контактную жесткость. Для потенциала Муни обнаружены значения начальных напряжений, при которых упругий континуум начинает работать как основание Винклера. [c.236]

Плоские и осесимметричные контактные задачи для физически нелинейного (линейного геометрически) и геометрически нелинейного (гармонического типа) материала исследовались И. В. Воротынцевой [13] совместно с В. М. Александровым [3] и с Е. В. Коваленко [14]. С помощью соответствующих интегральных преобразований задачи сведены к решению интегральных уравнений с нерегулярными разностными ядрами. Структура этих уравнений совпадает со структурой соответствующих уравнений классической теории упругости, а свойства символов их ядер позволяют использовать для решения асимптотические методы больших и малых Л , развитые в работах В. М. Александрова. Влияние нелинейных свойств среды и начальных напряжений на контактную жесткость, функцию распределения контактных напряжений и величину вдавливающей силы в плоском случае исследовано в [13], в осесимметричном случае — в [3,14]. В работах установлено, что начальные напряжения не влияют на порядок особенности на краях штампа, но влияют на проникающую составляющую решения как в области контакта, так и вне ее. Исследованы условия потери внутренней устойчивости среды в зависимости от начальных напряжений. Для ряда конкретных нелинейно-упругих сред построены области эллиптичности линеаризованных уравнений, при переходе через границу которых происходит либо потеря поверхностной устойчивости, либо потеря поверхностной деформируемости, связанные с потерей эллиптичности. В работе установлено, что при стыковке решений, полученных методами больших и малых Л , значение относительной толщины Л, на которой стыкуются эти методы, существенно зависит от параметров начального напряженного состояния среды. [c.237]

Из-за конечной величины начального напряжения равновесие такой жидкости относительно малых возмущений оказывается устойчивым при всех числах Рэлея. Рассмотрение плоскопараллельных стационарных движений приводит к нелинейной краевой задаче, которая решена точно для случая нечетного течения, соответствующего основному уровню неустойчивости относительно плоских возмущений. Решение этой задачи определяет амплитуду скорости в зависимости от числа Рэлея и безразмерного параметра пластичности. Это решение существует при значениях числа Рэлея Я > (напомним, что К = я есть нижний уровень неустойчивости для случая обычной ньютоновской жидкости см. 12). Как показывает анализ, это решение оказывается неустойчивым относительно малых возмущений ( сед-ловой режим). Амплитуда скорости Vo является пороговой возмущения равновесия с амплитудой, меньшей Уо, затухают, а с амплитудой, большей Уо, неограниченно нарастают. [c.388]

Для первого случая ориентации КМ неучет нелинейных свойств органопластика при заданном уровне нагрузки ведет к завышению максимального (г = го г = 0° 3 = 0,5) напряжения (Т на 16,8 %. Увеличение жесткости КМ вдоль оси цилиндра Ехх > Еуу) ведет к следуюш им изменениям по сравнению со случаем Ехх < Еуу). В линейной постановке задач максимальное напряжение <т уменьшается на 15,1 %, а в нелинейной на 23,1 %, т. е. ортотропия данного КМ в нелинейной постановке проявляется в большей степени, чем в линейной. Распределение окружных напряжений вдоль контура отверстия выравнивается, в нелинейной постановке это проявляется еш е в большей степени. Влияние нелинейных свойств КМ на напряженное состояние оболочки увеличивается. Например, при Е = 0,659 учет физической нелинейности уменьшает максимальные напряжения сг на 14,4% (с 1750 МПа до 1498 МПа), а при Е = 1,518 — на 22,5 % (с 1485 МПа до 1151 МПа), при этом больший эффект отвечает меньшему начальному напряжению. [c.536]

Можно, далее, показать, что в случае линейно упругой модели даже при наличии начальных напряжений и деформаций, вызванных весомостью, нелинейной зависимости 5 от а получить нельзя. В самом деле, для такой модели среды в силу линейности задачи в целом задача определения напряжений, деформаций и т. д., вызванных внешней нагрузкой, полностью отделяется от соответствующей задачи, связанной с весомостью среды. Таким образом, задача определения дополнительной осадки грунта под штампом, вызванной нагрузкой (только об этой осадке и идет речь), ничем не отличается от этой же задачи для невесомой среды. Вывод сводится к тому, что только в рамках нелинейной модели возможна взаимная игра начальных полей напряжений и деформаций, обусловленных весомостью, с полями, индуцированными внешней нагрузкой, и объяснение эффекта затухания роста осадки с ростом размера штампа должно быть связано именно с этим обстоятельством. [c.208]

Форма недеформированной оболочки обычно более или менее отличается от той идеальной формы, к которой стремились при ее изготовлении. Учет несовершенства оболочки, начальных неправильностей при решении задачи может изменить характер работы оболочки и в ряде случаев приблизить результаты расчетов к экспериментальным. В этом параграфе приводятся нелинейные уравнения пологих трехслойных оболочек с учетом начального прогиба -и при отсутствии начальных напряжений. [c.69]

Следовательно, изгибная жесткость многослойной конструкции при наличии контактного давления между слоями, вызванного предварительным напряжением или же внутренним давлением, имеет кусочно-линейный характер. Задачи расчета пространственного упругого напряженно-деформированного состояния многослойных конструкций являются нелинейными. Колебания многослойной конструкции при наличии контактного давления между слоями, вызванного предварительным напряжением или внутренним давлением, нелинейные. Затухание от начальной амплитуды до амплитуды, соответствующей точке перехода, происходит в течение полупериода — периода, что необходимо учитывать при определении различных импульсных нагрузок. Получены аналитические формулы для определения частоты собственных колебаний многослойного кольца дающие удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными. [c.364]

Так как в общем случае помимо неоднозначности и нелинейности связи между о,-/ и в / заранее не известны границы областей тела, в которых материал перешел в неупругое состояние, для решения задачи термопластичности приходится использовать последовательные приближения. При этом целесообразно задаваться ожидаемым распределением (М) и решать линейную задачу термоупругости относительно перемещений Uj М), далее определять по (7.1) и (7.2) полные деформации Sij. (М) и напряжения a,j (А1), а затем по соотношениям теории тер МО пластичности уточнять распределение elf (М) и снова повторять описанную процедуру. Такой подход по существу не отличается от рассмотренного в 6.4 варианта метода дополнительных (или начальных) деформаций. Его удобно применять для определения параметров напряженно-деформированного состояния конструкции при постоянных нагрузках и распределении температуры Т М) или же при их монотонном изменении во времени, когда можно выделить в программе нагружения конструкции укрупненные этапы, в пределах которых следует ожидать монотонного изменения напряжений и деформаций во всех точках рассматриваемого тела [48 ]. [c.258]

При решении краевых задач используются несколько различающиеся модели разупрочняющихся сред, в частности, допускается кусочно линейная (с линейным разупрочнением) связь между девиаторными составляющими напряжений и деформаций, а объемное растяжение считается упругим [96]. Принимается нелинейный пластический закон скольжения в области контакта упругих частиц, включающий стадию разупрочнения от сдвига и участок остаточной прочности [147]. Считается приемлемой для решения задач горной геомеханики кусочно линейная аппроксимация диаграмм, полученных при одноосном сжатии и различных боковых давлениях, с учетом разрыхления материала и остаточной прочности после разупрочнения [198, 276]. Используется модель, учитывающая смену механизмов повреждения разупрочнение с отрицательным мгновенным значением модуля сдвига и начальным положительным модулем объемного сжатия при отрицательной объемной деформации и разупрочнение с отрицательным модулем Юнга и начальным коэффициентом Пуассона при положительном значении объемной деформации [255]. [c.191]

Пусть в начальный момент времени (т=0) рассматриваемый объект имел исходную недеформированную конфигурацию. Проследим за изменением этой конфигурации в процессе на--гружения. Будем считать, что для момента времени т нам известно равновесное напряженно-деформированное состояние системы, а на интервале времени (т,т+Ат) известны значения приращений внешних нагрузок. Истинные приращения перемещений, которые требуется определить, обозначим Аи. Поскольку задача нелинейная, то перемещения Аи определяются не за один шаг, а требуют для их вычисления итерационного процесса. Такой итерационный процесс можно организовать с использованием линеаризации формулировки принципа возможных перемещений, записанного для равновесного положения тела в момент времени т- -Ат. [c.35]

В монографии представлены результаты теоретических и численных исследований, выполненных авторами в области механики и вычислительной математики слоистых тонкостенных анизотропных оболочек, а также неклассическая математическая модель нелинейного деформирования тонкостенных слоистых упругих композитных пластин и оболочек, отражающая специфику их механического поведения в широкой области изменения нагрузок, геометрических и механических параметров, структур армирования. Предложен и реализован эффективный метод численного решения краевых задач неклассической теории многослойных оболочек, основанный на идеях инвариантного погружения. Получены решения задач начального разрушения, устойчивости, свободных колебаний слоистых конструкций распространенных форм — прямоугольных и круговых пластин, цилиндрических панелей, цилиндрических и конических оболочек. Дана оценка влияния на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости таких факторов, как поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали, моментность основного равновесного состояния, докритические деформации. Проведены систематические сравнения полученных решений с решениями, найденными при использовании некоторых других известных в литературе неклассических моделей, в том числе и в трехмерной постановке. [c.2]

Детальное описание современных методов анализа разрушения слоистых композитов не является целью главы. Скорее в ней сделана попытка показать некоторые задачи, к решению которых неприменимы стандартные подходы, и обсудить области применения предложенных макроподходов и возникающие ограничения. В частности, в разд. 3.2 рассмотрены способы учета нелинейности поведения и начальных напряжений при оценке несущей способности слоистых композитов без концентраторов напряжений влиянию концентраторов посвящен разд. 3.3. [c.105]

В последнее время при решении нелинейных задач применяются методы начальных напряжений и методы начальных деформаций. Суш,ественное достоинство этих методов состоит в том, что они сходятся для любой зависимости между напряжениями и деформациями. Алгоритмы этих методов достаточно сложны, и поэтому здесь мы их рассматривать не будем. Их описание можно найти в специальной литературе, а программная реализация осуществлена в комплексах ГЕМЫВ-80, ПРОЧНОСТЬ-75 и др. [c.68]

Особенности МКЭ в физически нелинейных задачах рассмотрены в гл. 2.3. Поскольку в неустановившейся ползучести изменение деформаций состоит из приращений упругих деформаций и приращений деформаций ползучести, то наиболее оправданным является использование в каждый момент времени метода начальных деформаций, определяемых напряжениями в каждом конечном элементе. В результате решения задачи теории ушругости с начальными деформациями определяют напряженно-деформированное состояние в конце рассматриваемого интервала времени, после чего осуществ-ляется следующий шаг по времени. [c.125]

Рассмотрим данную задачу для плоского случая в рамках теории многократного наложения больших деформаций [120]. Укрупненная постановка задачи приведена в п. 4.4.5. Повторим ее здесь еш,е раз. Пусть в нелинейно-упругом теле, находяш,емся в начальном состоянии, под воздействием внешних усилий возникли большие плоские статические деформации и напряжения. Тело перешло в первое промежуточное состояние. Далее в этом теле мысленно намечается замкнутая поверхность, и часть тела, ограниченная этой поверхностью, удаляется, а ее действие на оставшуюся часть заменяется по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по этой поверхности. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, квазистатически (например, изотермически) уменьшаются до нуля. Это вызывает возникновение больших (по крайней мере, в окрестности граничной поверхности) деформаций и напряжений, которые накладываются на большие уже имеюш,иеся в теле (начальные) деформации и напряжения. Тело перешло в конечное состояние. Естественно, изменилась и форма образованной граничной поверхности (форма контура повре- [c.323]

Хотя рассмотренные выше задачи о прочности эластомеров, изменении их свойств в процессе нагружения полностью описываются с помощью аппарата теории многократного наложения больших деформаций, решать конкретные задачи данного типа крайне сложно. Одним из подходов может быть следующий. Считать, что микровключения (области, в которых изменились свойства материала) возникают мгновенно, но их возникновение не вызывает динамических эффектов 116, 120]. Считать, что раскрытие (возникновение) микропор также происходит мгновенно в смысле [120, 127]. Тогда постановка задачи может быть следующая. Пусть в нелинейно-упругом теле, находящемся в начальном состоянии, под воздействием внешних нагрузок возникли большие деформации и напряжения. Тело перешло в первое промежуточное состояние. Далее в этом теле мысленно намечается, по принятому исследователем предположению, несколько замкнутых поверхностей (будущие границы включений). Внутри частей тела, ограниченных этими поверхностями, скачкообразно меняются механические свойства материала. В результате внутри образовавшихся включений и в некоторой их окрестности возникают большие деформации, которые накладываются на большие начальные деформации, уже имеющиеся в теле. Тело переходит во второе промежуточное состояние. Изменяется и форма граничной поверхности включения. Причем форму включений можно либо наметить в первом промежуточном состоянии, либо считать заданной во втором промежуточном состоянии (это две разные задачи). Затем данная процедура может повториться при образовании новой группы включений. [c.330]

Решается в координатах первого промежуточного состояния задача о начальном нагружении тела (о переходе из начального в первое промежуточное состояние). При этом, в частности, определяется аффинор начальных деформаций Фод по заданным начальным напряжениям сгдд. В силу однородности начальных деформаций эта задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. [c.95]

При исследовании ползучести тонких оболочек и решении вопросов устойчивости может иметь значение учет нелинейных слагаемых (квадратов углов поворота) в выражениях для деформаций. Одна из первых работ в этом направлении была выполнена А. С. Вольмиром и П., Г. Зыкиным [31, 32]. Здесь рассматривалась квадратная цилиндрическая панель с начальным прогибом при продольном сжатии. Для решения задачи о прощелкивании панели в условиях ползучести используется. приближенное решение нелинейной упругой задачи панели с начальным прогибом. В процессе ползучести этот начальный прогиб растет и рассчитывается с помощью некоторого приближенного приема, не учитывающего перераспределения напряжений в процессе ползучести. За счет переменного начального прогиба меняется значение верхней критической нагрузки, определяемой уравнениям-и упругой задачи, соответствующее ее прощелкиванию. Когда ве-,личина прогиба достигает значения, при котором соответствующая верхняя критическая нагрузка для упругой панели станет равной действующей нагрузке, произойдет прощелки-вание панели. Существенным результатом этой работы явилось определение критического времени, по истечении которого оболочка скачком перейдет в новое состояние. Учет перераспределения напряжений в процессе ползучести в этой схеме при использовании, как и в [32], теории старения проводился в работе [79]. Аналогичные задачи для сжатой цилин- дрической панели при нелинейной ползучести рассматривались в [60, 95]. [c.272]

Относительно простые уравнения, учитывающие геометрическую нелинейность задачи, получаются, если ввести допущение о том, что в процессе ползучести оболочки при возмущенном движении, обусловленном некоторыми отклонениями от идеальной формы, напряжения и деформации в ней мало отличаются от напряжений и деформаций основного безмо-ментйого состояния. Введение этого допущения позволяет привести задачу об определении прогибов и напряжений пологой оболочки в условиях ползучести к системе из двух нелинейных интегродифференциальных уравнений относительно прогиба и функции напряжений, зависящих от координат на срединной поверхности и времени [87], Эти уравнения отличаются от уравнений, которые были получены ранее [83, 77] при исследовании условных критериев устойчивости, только слагаемыми, учитывающими геометрическую нелинейность. Сведение задачи к системе из двух уравнений позволяет использовать для решения задач ползучести оболочек эффективный прием, аналогичный тому приему, который был предложен Карманом и Тзяном при решении нелинейных задач для упругих оболочек. Прием состоит в разыскании функции прогибов в виде ft (О Щ (х, у), где Wi x, у) — задаваемые функции координат. Вид функции напряжений устанавливается с помощью уравнения совместности. Второе уравнение интегрируется по координатам приближенно в смысле Бубнова — Галеркина. Задача сводится к системе нелиь ей-ных интегральных уравнений относительно функций интегрирование которых при заданных начальных условиях [c.273]

В настоящей главе приводится краткая сводка основных положений, понятий и терминов из нелинейной теории упругости, которые необходимы при проведении по еле довательной линеаризации определяющих соотношений динамики предварительно напряженных тел в окрестности их некоторого начального напряженного состояния, а также для цельности и прозрачности изложения линеаризованной теории динамических контактных задач для предварительно напряженных сред. Сведения носят справочный характер и не претендуют на полноту и по с л е д овате льно сть. [c.10]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

При установлении соотношений между напряжениями и деформациями для таких полухрупких материалов, каким является серый чугун, в случае произвольного напряженного состояния часто прибегают к линейной аппроксимации кривой деформирования [6]. С другой стороны, явно выраженное отклонение от закона Гука дает основание решать задачу при сравнительно малых деформациях в нелинейно-упругой постановке [187 ]. Оба этих подхода исключают из комплекса физических процессов, протекающих в материале под действием приложенных напряжений, наличие пластических деформаций, которые в сером чугуне, по данным работ [441, 476], соизмеримы с упругими уже в начальной стадии деформирования. Поэтому зависимости между напряжениями и деформациями для рассматриваемого упруго-дластического тела можно искать в форме, аналогичной соответ- [c.332]

Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкрет71ых задач методом сшивания (припаговыванип). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографин [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с 2-образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую. [c.93]

Задание закона состояния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуе- мое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача определения формы и размеров упругого тела в конечном состоянии отодвигается на второй план—их находят после того, как задача решена в предполон<ении неизменности начальной формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состояние приходится разыскивать в 1/-объеме — в теле с неизвестной наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что при решении задач нелинейной теории упругости методом последовательных приближений, например в форме ряда по степеням параметра ма.пости, характеризующего малость градиента вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной форме его границы. [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...