Область эллиптичности

Следует иметь в виду, что х и р зависят от параметров состояния. Поэтому даже если в начальный момент условие гиперболичности выполняется во всем теле, то с течением времени в силу неравномерности деформации в теле могут появляться области эллиптичности. [c.54]

Плоские и осесимметричные контактные задачи для физически нелинейного (линейного геометрически) и геометрически нелинейного (гармонического типа) материала исследовались И. В. Воротынцевой [13] совместно с В. М. Александровым [3] и с Е. В. Коваленко [14]. С помощью соответствующих интегральных преобразований задачи сведены к решению интегральных уравнений с нерегулярными разностными ядрами. Структура этих уравнений совпадает со структурой соответствующих уравнений классической теории упругости, а свойства символов их ядер позволяют использовать для решения асимптотические методы больших и малых Л , развитые в работах В. М. Александрова. Влияние нелинейных свойств среды и начальных напряжений на контактную жесткость, функцию распределения контактных напряжений и величину вдавливающей силы в плоском случае исследовано в [13], в осесимметричном случае — в [3,14]. В работах установлено, что начальные напряжения не влияют на порядок особенности на краях штампа, но влияют на проникающую составляющую решения как в области контакта, так и вне ее. Исследованы условия потери внутренней устойчивости среды в зависимости от начальных напряжений. Для ряда конкретных нелинейно-упругих сред построены области эллиптичности линеаризованных уравнений, при переходе через границу которых происходит либо потеря поверхностной устойчивости, либо потеря поверхностной деформируемости, связанные с потерей эллиптичности. В работе установлено, что при стыковке решений, полученных методами больших и малых Л , значение относительной толщины Л, на которой стыкуются эти методы, существенно зависит от параметров начального напряженного состояния среды. [c.237]

Для простоты рассмотрим отдельно случаи, когда точка разрыва находится на линии вырождения и когда она находится в области эллиптичности. [c.92]

Пусть теперь точка разрыва находится в области эллиптичности. Возьмем в качестве II/е первое фундаментальное решение уравнения Трикоми Г93 [c.93]

Если решение существует, то D содержит минимальную область влияния смешанного до- и сверхзвукового течения, но не совпадает с ней, за исключением случая прямой звуковой линии (М-область состоит из области эллиптичности и прилегающих областей гиперболичности, покрываемых характеристиками обоих семейств, выпущенными из линий вырождения). [c.112]

Число итераций, необходимое для получения решения с заданной точностью, определяется, в основном, скоростью сходимости в области эллиптичности. Последняя, в свою очередь, зависит от значения параметра релаксации оо для этой области, которое при численном решении задачи выбирается экспериментальным путем. [c.127]

Предлагавшиеся сначала обратные методы (например, [144]), в которых тело отыскивалось по заданной ударной волне, в силу некорректности задачи Коши в области эллиптичности оказались не очень удачными, что даже породило в отношении этой задачи некоторый пессимизм. Поэтому весьма неожиданным оказалось решение (его подробное описание дано в [49]), полученное О. М. Белоцерковским [7, 8, 9, 10, 11,14,15,16] методом интегральных соотношений, предложенным в общем виде А. А. Дородницыным на Ш Всесоюзном математическом съезде в 1956 г. [c.220]

Указанные граничные условия определяют для уравнения Чаплыгина задачу Франкля, обобщенную в том смысле, что на части границы в области эллиптичности задано условие косой производной . Обобщенная задача Трикоми изучалась впервые Ф.И. Франклем, доказавшим теорему единственности обтекания конечного клина с отошедшей ударной волной [104 [c.293]

Оно является простейшим стандартным уравнением смешанного типа. Для уравнения (27) областью эллиптичности (дозвуковые течения) является полуплоскость ы < О, а областью гиперболичности (сверхзвуковые течения) — полуплоскость м > 0. При этом линия вырождения типа есть ось и = О, изображающая звуковую линию. Соответствие с физическими переменными осуществляется путем восстановления штрихов и обращения к формулам (22) и (24). [c.298]

Области эллиптичности. Однородный вещественный многочлен называется эллиптическим, если он положителен вне нуля (тогда он является символом эллиптического оператора). Степень эллиптического многочлена четна. [c.135]

Областью эллиптичности семейства однородных многочленов называется множество значений параметров, которым отвечают эллиптические многочлены. [c.136]

Теорема. Особенности границы области эллиптичности типичных семейств многочленов стабилизируются при росте четной степени й (перестают зависеть от й, с точностью до диффеоморфизма, если ( о(/,/тг)). [c.136]

Теорема. Стабильные особенности границы области эллиптичности типичных /-параметрических семейств многочленов от т переменных стабилизируются с ростом числа переменных т (перестают зависеть от т, с точностью до диффеоморфизмов, если т т )). [c.136]

Теорема. Граница области эллиптичности типичного /-параметрического семейства многочленов в окрестности стабильной особенности диффеоморфна графику функции минимума типичного /—1-параметрического семейства функций. [c.137]

Теорема. При / 7 стабильные особенности границы области эллиптичности /-параметрического семейства многочленов диффеоморфны особенностям графиков функций минимума типичных семейств многочленов от одной переменной. [c.137]

Области эллиптичности во всех случаях расположены углами наружу, так что и здесь выполняется принцип хрупкости хорошего (хорошим здесь оказывается эллиптичность). [c.138]

Теоремы стабилизации. При фиксированном числе параметров набор особенностей областей гиперболичности типичных семейств стабилизируется с ростом степени и размерности, подобно тому, как это имеет место для областей эллиптичности ( 2). [c.139]

Нетрудно видеть, что в области гиперболичности а < в параболических точках о = Г ах> в области эллиптичности [c.233]

Длина волны стенки равна 2л/1,8 3,5,, так что группа волн фактически включает семь гребней — по три с каждой стороны от центрального максимума. Максимальный наклон мал, однако, обращаясь к рис. 1, видим, что область в пространстве волновых чисел, занятая начальными данными для этого значения 5, изображается линией ЕР, а конец Р этой линии, соответствующий максимальной амплитуде стенки, близок к границе области эллиптичности. Это обстоятельство, по-видимому, свидетельствует о том, что стенка умеренной амплитуды может генерировать очень большие волны оно является следствием предположения о больших значениях чисел Фруда. [c.211]

В самом деле, легко видеть, что скачок начинается и развивается приблизительно вдоль той линии групповой скорости, даваемой линейной теорией, которая проходит через точку, обозначенную на рис. 4 буквой Р, где впервые амплитуда колебаний стенки становится существенной. Более того, исследование численных результатов обнаруживает, что ниже этой линии волновые числа более глубоко уходят в область эллиптичности, чем выше нее, так что амплитуда волн здесь соответственно больше. В результате у внешних частей линий волновых гребней появляется тенденция к отставанию из-за меньшей фазовой скорости. Это ясно видно из рисунка, причем особенно заметно уже после развития скачка. [c.213]

Отметим весьма наглядное проявление эллиптичности задачи при ее решении в естественных координатах любое изменение в начальных данных влияет в принципе во всей области как изменение сети координат через их кривизны, исправляемые при последовательных приближениях. [c.317]

Применительно к расчету вантовых систем на основе непрерывной модели уравнения в приращениях и интегриров е задачи Коши по параметру в форме последовательных нагружений (простой метод Эйлера) использовались в работах [247, 230]. М.Н. Скуратовский [309, 310] показал, что в областа эллиптичноста уравнений вантовой сета (тл. когда все усилия в сета растягивающие) ломаная Эйлера сходится к интегральной кривой задачи Коши при уменьшении шага последовательных нагружений. Метод продолжения решения в форме Давиденко применен в работах [440,274,275] к расчету вантовоч тержневых систем. [c.186]

Применение метода характеристик в гиперболическом случае позволяет полностью решить ряд задач о движении поршней, когда в области, примыкающей к линии пересечения I плоскостей Pi и Р2, возникает зона вакуума. Однако в общем случае при небольших скоростях Vi и V2 (сравнительно со скоростью звука в невозмущенном газе) зона вакуума может и не возникнуть. Тогда в окрестности линии I появляется, вообще говоря, линия параболичности уравнения двойных волн и за ней область эллиптичности этого уравнения. В данной статье приводим расчеты лишь в областях гиперболичности рассматриваемого уравнения. [c.100]

На рис. 9 в увеличенном масштабе изображена в плоскости годографа область O G L G и линия параболичности G H G . Краевую задачу для уравнения (2.2) необходимо решать в области O G H G[, Область эллиптично сти уравнения (2.2) в плоскости U2, как показывают расчеты, оказывается очень малой. [c.108]

В [1] было сказано, что при малых скоростях Vi и V2, когда реализуется безотрывный режим течения, в плоскости годографа при решении уравнения двойных волн (1.2) появляется линия параболичности, а за ней область эллиптичности этого уравнения, занимающая некоторую небольшую окрестность точки [c.125]

Решение жестко-пластических задач, если оно оказывается возможным без рассмотрения области эллиптичности, реализуется, в общем, теми же приемами, что и в случае плоской деформации, хотя технически и несколько сложнее. Многочисленные конкретные задачи изучены в работах В. В. Соколовского (1950), Р. Хилла, А. П. Грина, Г. Форда и Дж. Лианиса. [c.106]

Затем рассматривается последовательность решений задач Дирихле, определенных в подобластях Сь С О, полученных из С отсечением окрестности линии вырождения 1 — Л /г и /г-окрестности точки разрыва в области эллиптичности граничное значение для фн определяется значением на дСь функции /(Л,/5). [c.92]

Последовательность решений фн равномерно ограничена (в силу принципа максимума) и равностепенно непрерывна при /г < /го в каждой подобласти Сьо последнее следует из интегрального представления фь с помощью функции Грина в Сьо- Поэтому в силу теоремы Арцела последовательность фн при /г О сходится к непрерывной функции (всюду кроме отрезка линии вырождения и точки разрыва в области эллиптичности), ограниченной в замкнутой С, которая, в силу интегрального представления, дважды непрерывно дифференцируема в С, следовательно, является регулярным решением дифференциального уравнения, принимающим заданные граничные значения всюду, кроме точек разрыва граничной функции и отрезка линии вырождения. Если граница области содержит этот отрезок (как, например, показано на рис. 3.13), то непрерывность ф в точках непрерывности ф дс на этом отрезке доказывается, как и в [92], с помощью барьера (который существует в точках звуковой линии как для уравнения Чаплыгина, так и для уравнения Трикоми — и вообще для всех линейных эллиптических уравнений трикомиевского типа вырождения (1.32)). [c.92]

Вопрос о постановке корректной задачи в М-области относится к компетенции теории нелинейных уравнений смешанного типа. Наиболее существенным образом нелинейность уравнений проявляется вблизи звуковой линии — линии изменения типа уравнения. Действительно, если предположить, что коэффициенты квазилинейного уравнения, которые на самом деле зависят от решения краевой задачи, известны, то полученное таким образом линейное уравнение может быть приведено к одной из канонических форм. Тип канонической формы и определяет характер вырождения уравнения вблизи звуковой линии, который проявляется наиболее существенным образом в вопросе о правильной постановке основных краевых задач. Так, теорема М. В. Келдыша (см. гл. 1, 18) в зависимости от типа канонической формы устанавливает корректность либо задачи Дирихле, либо задачи Е в области эллиптичности, примыкающей к линии вырождения. [c.223]

В связи с тем, что в (1.32) ш = 1, 6(0) = О, то по теореме М. В. Келдыша, в области эллиптичности уравнения, граница которой содержит конечный отрезок линии вырождения, корректна задача Дирихле. Решения этой задачи при непрерывном граничном условии для функции тока ф описывают класс дозвуковых течений с криволинейной звуковой линией. Этот случай вырождения типа уравнения естественно называть общим, в отличие [c.223]

В качестве составных задач, на основе которых компонуется описание течения в М-области, можно, например, рассматривать задачу Дирихле в области эллиптичности и задачу Коши-Гурса в области гиперболичности (как краевые условия в ней задаются значения искомой функции ф на звуковой линии и на характеристике). Тогда построение решения в М-области будет состоять в подборе распределения искомой функции ф на звуковой линии, исходя из условия непрерывности ее нормальной производной. Отсюда следует, что произвольное граничное условие нельзя задавать на всей границе М-области — от него должна быть освобождена одна из двух характеристик, ограничивающих каждый характеристический треугольник, примыкающий к звуковой линии. [c.224]

Таким образом, при Лоо 1 рассматриваемая задача Франкля переходит в задачу Дирихле для прямоугольника, расположенного в области эллиптичности, одна из сторон которого лежит на звуковой линии (рис. 10.3). [c.294]

Сообщаемые ниже теоремы об особенностях границ областей эллиптичности в пространствах параметров типичных семейств однородных многочленов доказаны В. И. Матовым [74], [76], [78]. Особенностн оказываются такими же, как у графиков и у поверхностей уровня функций минимума типичных семейств функций. [c.135]

Область эллиптичности /-параметрического семейства многочленов степени <1 от т переменных является прообразом (при естественном отображении пространства параметров в пространство многочленов) области всех эллиптических многочленов степени й от т переменных. Граница последней (выпуклой) области естественно стратифицирована. Исследование особенностей границы области эллиптичности для типичных семейств есть, в сущности, исследование стратов этой стратификации (коразмерности не выше / в пространстве многочленов, если семейство /-параметрическое), [c.136]

Теорема. Область эллиптичности семейства многочленов-является прообразом множества положительности функции ми-нимума семейства их ограничений на единичную сферу. Об-ратно, всякая особенность множества положительности функции минимума типичного /-параметрического семейства функций диффеоморфна стабильной особенности замыкания множества эллиптичности типичного /-параметрического семейства многочленов. [c.137]

Область эллиптичности соответствует подграфику функции минимума. [c.137]

Матов В. И. Области эллиптичности общих семейств однородных многочленов и ф гнкцви экстремума // Функц. анализ и его прил.— 1985.— [c.243]

НОА зависит от частоты и достигает макс, значений (резонанс) вблизи линейной и нелинейной полос поглощения. В резонансной области частот (длин волн К) оказывается существенным круговой дихроизм, зависящий от интенсивности света и приводящий к само-индуциров. эллиптичности первоначально линейно поляризов. волны. Значения уд. константы НОА, обусловленной электронными механизмами нелинейности, изменяются в большом диапазоне, напр. для ЫЮя С град-см Вт (А, 0,5 мкм), для ОаАя -—10 град-см-Вт (А 0,9 мкм). [c.305]

Физ. проблема совр. Э. заключается в уточнении связи параметров поляризации со свойствами среды. Формулы Френеля получены из граничных условий на геом. плоскости, разделяющей однородные сплошные среды, и поэтому являются первым приближением. Микроскопич. расчёты показывают, что отражённая волна формируется в неск. приповерхностных молекулярных слоях и содержит информацию именно о них связь с параметрами вещества в объёме должна устанавливаться теоретически (см. Поверхность). Так. при отражении от поверхности металла необходимо иметь в виду, что здесь имеется два физически выделенных поверхностных слоя один обусловлен шириной потенциального барьера и областью пробега отражённых от него электронов, а другой—текстурой, возникшей при обработке поверхности. Второй может быть устранён спец. приёмами, напр, ионной бомбардировкой, электрополировкой и др. связь свойств первого со свойствами в толще определяется уже теоретич. соображениями. Из формул Френеля следует, что линейно поляризованный свет, отражаясь от поверхности прозрачной среды, остаётся линейно поляризованным, однако сам факт дискретности структуры среды влечёт за собой возникновение нек-рой, очень небольпюй (Л/а 0" ), эллиптичности, Теоретически и экспериментально [3] было показано, что на [c.609]

Существование и единственность решения задачи для нелинейных уравнений осесимметричного движения газа в турбомашине в общем виде не доказаны. Однако можно высказать некоторые соображения в пользу положительного решения этого вопроса. Прежде всего существование решения очевидно из физических соображений даже для самой обшей (трехмерной) постановки. Единственность решения линеаризованных (в отношении производных) уравнений очевидна, так как они сводятся к квазилинейному эллиптическому уравнению типа уравнения Пуассона. Нелинейность уравнений существенно связана с множителем р в уравнении неразрывности, а также с производными от р (т. е. с и 7 ) в уравнении вихрей. Для частного случая линейных уравнений с р = onst up — onst, который отвечает течению несжимаемой жидкости только через неподвижные решетки (ш = 0), существование и единственность решения следуют из тех же свойств, доказанных для более общей задачи трехмерного движения. Нелинейность, зависящая от производных от р, вообше очень слабая. Она связана со смещением линий тока (вдоль которых р постоянно или является известной функцией). В предположении непрерывной зависимости формы линий тока от значений р у задаваемых в виде гладкой функции поперек входного сечения, а также от величины угловой скорости ш (такая зависимость, безусловно, должна быть непрерывной в силу эллиптичности уравнений с гладкими коэффициентами) можно определенно утверждать единственность решения нелинейных уравнений, по крайней мере, для достаточно малых областей А или для достаточно малых [c.303]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...