Модифицированный метод Ньютона

Таким образом, описанная процедура эквивалентна нахождению корня уравнения d X)—0 модифицированным методом Ньютона, где производные заменены конечными разностями. Движение, согласно (5.94) и (5.896), про- [c.213]

После нахождения первого приближения величины б .с осуществляется итерационный расчет МГД-генератора (операторы 4—6) таким образом, чтобы значение с необходимой точностью соответствовало заданному значению за счет изменения величины давления перед каналом р- . Для этого используется метод Ньютона, модифицированный для условий наличия погрешности при вычислении рассматриваемой функции (оператор 6). Затем следует расчет сопла (оператор 7). Параметры перед соплом рассматриваются как характерные для камеры сгорания, и в соответствии с ними определяются ее геометрические размеры, тепловые потери и недостающий параметр окислителя. Такой расчет (операторы 8—13) производится итерационно, также с использованием модифицированного метода Ньютона (операторы 11, 13). После этого находится количество регенеративных подогревателей турбины, рассчитывается компрессор с его системой охлаждения (оператор И) ж делается проверка достаточности приближения по Gn. (оператор 15). Если приближение недостаточно, расчет повторяется вновь по уточненным параметрам, необходимым при вычислении Ga. - В случае выхода из цикла определяются температурные напоры в парогенераторе, позволяющие уточнить последовательность размещения в нем поверхностей нагрева рассчитывается мощность установки в цепом и ее к.п.д. (оператор 16). На этом расчет технологической схемы заканчивается. Таким образом, итерационный цикл вычисления Gn. является внешним. Как видно из рис. 5.4, в алгоритме имеются внутренние циклы при расчете МГД-генератора и камеры сгорания. Кроме того, большое количество внутренних циклов содержится почти в каждом из указанных обобщенных вычислительных операторов, но они опущены, чтобы не усложнять блок-схему. [c.124]

Иллюстрация рассмотренного итерационного процесса для одномерного случая приведена на рис. 3.11, а. Если на каждом шаге приближения не проводить корректировку матрицы IG ] (значит оставлять прежней матрицу жесткости конструкции), а лишь уточнять невязки )с т. то итерационный процесс будет соответствовать модифицированному методу Ньютона (рис. 3.11, б). На практике для решения нелинейных задач деформирования многослойных конструкций из композиционных материалов часто применяют пошаговое нагружение. В пределах шага по нагрузке уточнение выполняют модифицированным методом Ньютона. Матрица касательных модулей корректируется при изменении нагрузки. [c.108]

Модификация зтого процесса с использованием для итерационного уточнения модифицированного метода Ньютона использовалась также достаточно Широко [106, 98, 77, 78, 325, 105, 191, 167, 103] и др. В работах [482,483] проведено сравнение зтих модификаций. [c.186]

В работе [382] на примере вантовых систем проведено сравнение различных схем продолжения, в том числе явная схема Эйлера (метод последовательных нагружений), неявная схема типа последовательных приближений (метод упругих решений) и неявные схемы с использованием различных вариантов метода Ньютона. Показано, чго наиболее эффективна неявная схема с использованием модифицированного метода Ньютона. Для вантовых же систем показано преимущество последней схемы по сравнению с явной схемой типа модифицированного метода Эйлера и неявной схемой, использующей для итераций метод Ньютона — Рафсона. [c.195]

Модифицированный метод Ньютона — Рафсона [c.188]

Графическая иллюстрация применения итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона — Рафсона для задачи с одной степенью свободы приведена на рис. 6.3. [c.189]

Такой метод решения нелинейных задач называется шаговым методом Ньютона с промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона. Жесткость системы пересчитывается перед переходом к новой порции нагружения. В пределах итерационного процесса для нагрузки, соответствующей моменту т- -Дт, жесткость системы остается постоянной и соответствует характеристикам Ст. [c.38]

При решении задач, изложенных в данной книге, используется модифицированный метод Ньютона-Канторовича [33]. Связано это с тем, что при применении немодифицированного метода Ньютона-Канторовича на каждом шаге метода, кроме первого, возникает необходимость решения линеаризованной задачи с модулями упругости, зависящими от координат, а решение такой задачи аналитическими методами затруднительно. В качестве начального приближения выбирается [c.90]

Задача о расчете начальных деформаций Фод по заданным начальным напряжениям в силу однородности начальных деформаций сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, и решение ее модифицированным методом Ньютона-Канторовича является достаточно простым, поэтому нет необходимости его подробно рассматривать. В качестве начального приближения для Фод в соответствии с первым из соотношений [c.91]

Рассмотрим теперь задачу о расчете напряженно-деформированного состояния в окрестности отверстия, т.е. задачу о нахождении U2- При выборе начального приближения в виде (3.3.63) линеаризованная задача для (г + 1)-го приближения при применении модифицированного метода Ньютона-Канторовича может быть записана следующим образом [c.91]

Приведенные соотношения (вместе с соотношениями предыдущего параграфа, используемыми при решении линеаризованных задач) лежат в основе алгоритма решения краевых задач (3.3.1)-(3.3.10), (3.3.11)-(3.3.20), (3.3.21)-(3.3.30), (3.3.31)-(3.3.39) модифицированным методом Ньютона-Канторовича для случая, когда контур отверстия может быть конформно отображен на единичную окружность с помощью функции вида [c.95]

Способ образования последовательности х по формуле (V.4) называется модифицированным методом Ньютона-Канторовича. [c.237]

На каждом шаге модифицированного метода Ньютона-Канторовича сначала решается функциональное уравнение [c.237]

Рассмотрим теперь применение модифицированного метода Ньютона-Канторовича к решению задачи (V.10), (V.11), (V.14)-(V.16). В этом случае достаточно вычислить производную Фреше оператора (а следовательно, и производные составляющих его операторов Т> 5, (5, Q) только для начального приближения. Подставив в выражения (V.27)-(V.30) А = О, получим [c.242]

На А -м шаге модифицированного метода Ньютона-Канторовича для функционального уравнения J (u) = О в соответствии с (V.7) решается уравнение [c.243]

Алгоритм модифицированного метода Ньютона-Канторовича в данном случае может быть описан следующим образом. [c.245]

Под задачей линеаризованной упругости, как и ранее в тексте книги, понимается задача, которую требуется решить на каждом шаге метода последовательных приближений или модифицированного метода Ньютона-Канторовича при применении этих методов к задачам нелинейной упругости или задачам тео- [c.245]

Решение нелинейного уравнения (7.17) будет найдено численно методом последовательных приближений с использованием модифицированного метода Ньютона [104]. Алгоритм этого метода позволяет одновременно находить контактные напряжения и область контакта, когда известно перемещение штампа 5. Дискретизация уравнения осуществлялась с учетом симметрии области контакта, а узлы дискретизации в области S выбирались равномерно по осям координат. [c.251]

Более прост для реализации и анализа модифицированный метод Ньютона, при этом [c.407]

Применим данный результат к модифицированному методу Ньютона (5), (6). В этом случае для проверки сжатости оператора Р достаточно оценить его производную [c.408]

Итак, для методов, основанных на простых физических соображениях, имеется математическое обоснование ). Ясно, что при использовании модифицированного метода Ньютона — Канторовича потребуется большее число итераций, хотя в целом, как указывалось ранее, метод более экономичен, поскольку необходимо обращение только одной матрицы жесткости. Может оказаться, что оптимальный в экономическом отношении вариант получится при удачном сочетании обоих методов — постоянной и переменной жесткости. [c.402]

В этом случае, как было показано ранее, при каждой итерации приходится обращать различные матрицы. Можно также применять модифицированный метод Ньютона — Канторовича, вычисляя [c.433]

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА [c.471]

Отметим, что в соответствии с (17.56) на каждом шаге итерационного процесса нужно обращать матрицу Якоби У размера п X п. Этого можно избежать, применяя модифицированный метод Ньютона — Рафсона, в котором используется лишь матрица Якоби из первого шага. В этом методе вместо (17.56) применяется рекуррентная формула [c.313]

Ясно, что модифицированный метод Ньютона — Рафсона является частным случаем упомянутого в п. 17.2 метода хорд, соответствующим выбору Jo в качестве матрицы А из (17.21). Хотя необходимое для достижения требуемой точности число итераций при использовании модифицированного метода, как правило, гораздо больше, общий объем вычислений и затраты времени могут быть [c.313]

Такой метод решения нелинейнрлх у])авнений называется модифицированным методом Ньютона. Графическая иллюстрация его представлена на рис. 9.9. [c.288]

Для решения данной системы нелинейных алгебраических уравнений использовался модифицированный метод Ньютона, изложенный Н. П. Мысовских [170]. [c.192]

Будем решать уравнение (3.24) итеращюнным способом дополнительной нагрузки, что равносильно применению модифицированного метода Ньютона-Рафсона. При этом [c.96]

Будем считать, что в физических соотношениях (3.89), связывающих приращення напряжений и деформаций, матрица касательных модулей [Gtl, вычисленная для равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компоненты на итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации малыми, поэтому при использовании соотношений (3.89) не будем делать различия в матрицах [Gi] для двух указанных выше вариантов интегрирования. Эти варианты вычислений соответствуют записи принципа возможных перемещений в форме Лагранжа. Более подробно с вычислительными и теоретическими аспектами решения нелинейных задач можно ознакомиться в работе [59]. Такой метод решения нелинейных задач можно назвать шаговым с промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона. На рис. 3.7 условно показан процесс вычиааений. Здесь р vi и обозначают нагрузку и перемещения. Как видно из рисунка, жесткость системы на интервале нагружения (т, т + Ат) сохраняется постоянной. [c.100]

В работах [340, 273, 125, 175, 174, 105, 202, 203, 205, 103, 114, 116, 122, 124, 139, 403] для продолжения по параметру применен шаговый процесс с итерационным уточнением решения модифицированным методом Ньютона (модифицированный процесс Лаэя). Для решения промежуточных линейных краевых задач использован метод дискретной ортогсшаль-ной прогонки С.К. Годунова [88]. [c.187]

Схемы конечных разностей повышеннш точности применялись для решения задач нелинейного деформирования оболочек сло жной формы в работах [99, 100, 102, 21]. Процесс дискретного продолже ния решения здесь осуществлялся с итерационным уточнением по модифицированному методу Ньютона. Этот же алгоритм реализован в статьях [26-28, 31, 30, [c.188]

В статье [61] q)aвнивaют я различные формы метода продолжения решения явная схема метода Эйлера, схема типа предиктор-кОрректор, дискретное продолжение с использованием для итерационного уточнения решения, модифицированного метода Ньютона. На простом примере оценена их погрешность. [c.195]

В работе Као [429] явная схема продолжения типа Эйлера сравнивается с неявными, использующими для итерации метод Ньютона — Рафсона и модифицированный метод Ньютона, а также с явной схемой самокорректирующегося метода первого псфядка [515]. Показано, чго схема Эйлера дает при вдвое меньшем шаге по параметру ту же точность, что и самокорректирующийся метод. Сравнение проведено на примере пологой сферы и круговой пластины. [c.195]

Работа [160] посвящена обсуждению скорости сходимости различных неявных схем продолжения, использующих для оргаиизшош итераций на каждом шаге нагружения метод последовательных приближений, модифицированный метод Ньютона и метод Ньютона — Рафсона. Исследование скорости сходимости проведено на примерах сферического купола с отверстием, усеченного конуса, консольной плиты. Эти же Схемы обсуждаются и в [479]. [c.195]

Отметим, что большинство авторов отдает предпочтение явной схеме с периодической коррекпфовкой решения по модифицированному методу Ньютона Вопрос о длине шага по параметру между корректировками решает, как правило, на основе численных экспериментов. [c.196]

Недостатком итерационной процедуры стандартного метода Ньютона — Рафсона является то, что на всех итерациях при решении системы уравнений (6.9) надо формировать матрицу t+At (i-i) проводить ее факторизгщию. В модифицированном методе Ньютона — Рафсона [49, 62, 122] касательная матрица жесткости не пересчитывается на каждой итерации. Вместо этого в уравнениях вида (6.9) на каждой итерации используется одна и та же матрица К (т обозначает некоторый момент времени на предыдущих шагах, например т = t или г = 0). Недостатками итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона — Рафсона являются ее более медленная сходимость и более частая расходимость по сравнению с процедурой стандартного метода Ньютона — Рафсона. [c.188]

Как отмечено выше, стандартный метод Ньютона — Рафсона является мощным инструментом решения нелинейных задач, однако он трудоемок в применении, поскольку требует вычисления и триангуляризации касательной матрицы жесткости на каждой итерации. Модифицированный метод Ньютона — Рафсона существенно снижает число операций на одной итерации, однако при этом ухудшаются характеристики сходимости. Семейство квазиньютоновых методов [62] по характеристикам сходимости и числу операций на одной итерации занимает промежуточное положение между стандартным и модифицированным методами Ньютона — Рафсона. В квазиньютоновых методах на каждой итерации строится приближение к обращенной касательной матрице жесткости без вычисления ее в явном виде. [c.189]

При использовании модифицированного метода Ньютона — Раф-сона надо решать только первую систему в (7.16) и положить Ди( ) = и. Отметим, что для решения уравнений в (U, Л)-прост-ранстве в предлагаемом алгоритме BFGS квазиньютонов метод не применяется. [c.218]

Итак, если при решении задачи нелинейной упругости (V.10), (V.11), (V.14)-(V.16) модифицированным методом Ньютона-Канторовича в качестве начального приближения выбран нулевой вектор перемещений, то задача, которую требуется решить на каждом шаге метода, представляет собой задачу линеаризованной упругости для однородного изотропного материала с массовыми и поверхностными силами, которые определяются из предыдущего приближения. Эта задача значительно проще, чем та, которую требуется решить на каждом шаге немодифициро-ванного метода Ньютона-Канторовича, и в ряде случаев может быть решена аналитически. Например, если рассматриваются плоские задачи, для ее решения может быть применен метод Колосова-Мусхелишвили [65. [c.245]

Этот метод называется модифицированным методом Ньютона —Кац-торовича. — Прим. ред. [c.401]

Простая модификация метода Ньютона позволяет значительно сократить время счета, затрачиваемое на решение матричных уравнений. В модифицированном методе матрица Якоби вычисляется и факторизуется только через каждые т итераций. Значение т определяется в программе FIELDAY и уточняется по мере выполнения решения. Таким способом можно получить значительную экономию например, при проведении тестовых расчетов на шести задачах удалось сократить полное время счета почти вдвое. Фактически, экономия тем больше, чем больше размерность задачи, так как значительная доля времени тратится на решение матричных уравнений. Можно получить дополнительную экономию, используя модифицированный метод Ньютона в последовательности аналогичных задач, например для нестационарных или стационарных задач с одинаковыми граничными условиями. В этих условиях можно использовать матрицу Якоби с предыдущего [c.471]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...