Теория упругости упругие постоянные

Типичная слоистая структура представляет собой совокупность связанных слоев с различной ориентацией и определенной схемой чередования. Основной и успешно используемой при анализе слоистых композиционных материалов является система гипотез Кирхгоффа, основанная на предположении, что сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации. Таким образом, предполагается, что взаимный сдвиг между осями отсутствует. Математически описать упругие свойства слоистого материала с произвольной структурой можно с помощью методов теории армированных сред при известных свойствах каждого слоя. Для классической теории пластин упругие постоянные представлены в равенстве [c.68]

Время испытания с постоянной скоростью деформирования ограничено временем двойного пробега упругой волны по длине последней ступени стержня-волновода. Скорость деформирования за это время снижается вследствие снижения скорости движения бабы. Это снижение по одномерной теории распространения упругой волны в гладком стержне определяется из экспоненциальной зависимости для массовой скорости в прямой волне [81] [c.98]

В случае же колебаний вращающегося вала необходимо рассматривать уже не колебания его около положения статического равновесия, а поведение во времени малых возмущений установившегося движения вала — вращения его с постоянной угловой скоростью. Именно этой особенностью, делающей указанные выше упрощения не всегда оправданными, и отличается задача о критических скоростях роторов от других задач теории колебаний упругих систем. [c.43]

В методе дополнительных деформаций полагают, что деформация пластичности является дополнительной (типа анизотропной температурной деформации) ill, 56]. Основной в этом случае является обычная задача теории упругости с постоянными параметрами упругости, что существенно упрощает решение. Однако структура процесса последовательных приближений оказывается несколько слол<нее, чем в методе переменных параметров упругости. [c.131]

Если пренебречь вязкостью жидкости, то уравнение i-и формы колебаний с точностью до постоянных совпадает с соответствующим уравнением в теории колебаний упругих систем с конечным числом степеней свободы для твердых масс. Все результаты этой теории могут быть использованы без изменений при решении рассматриваемых задач (см. 1). [c.55]

В теории упругости выдающиеся результаты были получены при разработке общих методов интегрирования дифференциальных уравнений равновесия упругого тела, приближенных методов их решения и в исследовании многочисленных частных задач. Это было продолжением и расширением исследований русских механиков дореволюционного периода. Но сложились также новые школы и направления. Систематически велись исследования по плоской задаче теории упругости с помощью методов теории функций комплексного переменного, большая группа ученых работала по теории пластинок и оболочек, приобретавшей все большее значение для техники. Меньше внимания уделялось контактным задачам, но гг они стали постоянным предметом исследований. Впервые после трудов Остроградского значительные результаты были получены в теории распространения упругих волн, которая разрабатывалась в связи с запросами сейсмологии. К этому списку надо добавить исследование устойчивости упругих систем, теорию стержневых систем, графические методы. Тут мы находимся на стыке теории упругости п таких прикладных дисциплин, как строительная механика и сопротивление материалов. [c.291]

Рассмотрим кратко этот метод. Выражения напряжений через пластические деформации могут быть получены из аналогичных зависимостей теории упругости заменой постоянных упругих характеристик переменными. Так, согласно зависимости (11.14), через модуль продольной упругости можно выразить величину Е = Е I — о>), а через модуль сдвига — величину G = G (1 — ш). [c.229]

Уравнение (5) характеризует реологическое состояние среды, в которой при постоянной деформации напряжение релаксирует до нуля по экспоненциальному закону. Уравнение (6) описывает деформацию среды с последействием. В этой среде при мгновенном снятии напряжений деформация экспоненциально убывает до нуля. Уравнение (7) соответствует деформации сложной среды с релаксацией напряжения и последействием. Следует отметить, что в литературе деформацию упругого последействия часто называют эластической. Если она достигает очень высоких значений, ее общепринято именовать высокоэластической. Аналогично уравнениям (5)—(7) можно составить уравнение модели вязко-упругого тела с любым (конечным или бесконечным) набором времен релаксации и последействия. Естественным обобщением модельной теории вязко-упругой среды является интегральная теория вязко-упру-гости, в которой спектры времен релаксации и последействия могут быть как дискретными (тогда реологическое поведение тела можно описать соответствующей моделью), так и непрерывными. Изложение этой теории описано, например, в монографии Д. Бленда Теория линейной вязкоупругости (Издательство Мир , М. 1965). [c.16]

Обсуждаемая область знаний стала экспериментальной наукой в современном смысле этого слова вместе с исследованиям главной в XIX столетии фигуры в экспериментальной механике сплошных сред, Вертгейма, вклад которого на протяжении очень небольшого числа лет включил в себя первые обширные серии опытов о хорошо определенными металлами и бинарными сплавами первые исследования постоянных упругости как функций температуры, а так же параметров электрического и магнитного полей первое исследование постоянных упругости анизотропных тел первое экспериментальное исследование постоянных упругости различных видов стекла первое количественное исследование фотоупругости, которое привело к закону, связывающему напряжения и оптические свойства тел с двойным преломлением, позднее известному как закон Вертгейма , первое измерение сжимаемости тел, скоростей продольных волн в проволоке и скорости звука в столбе воды и обнаружение того экспериментального факта, что линейная теория упругости изотропных тел требует определения двух постоянных упругости вопреки почти общепринятой в то время привлекательной атомистической теории, использующей одну постоянную упругости. [c.535]

Дюамель занимался также теорией колебаний упругих тел. Свободные колебания струны и стержней постоянного поперечного сечения получили к тому времени уже достаточное освещение. Дюамель перешел к более сложным случаям. Он поставил, например, задачу о колебаниях струны с присоединенными к ней сосредоточенными массами и не только дал полное решение этой задачи, но и провел большое количество опытов, результаты которых хорошо согласовались с теорией ). Он дал общий метод исследования вынужденных колебаний упругих тел ). Применив принцип наложения, он показал, что перемещения, произведенные переменной силой, могут быть получены в виде некоторого интеграла (см. стр. 277). Этот метод был затем использован Сен-Вена- [c.294]

Элементарная теория распространения упругих волн вдоль цилиндрических стержней, описанная в начале этой главы, может быть распространена на стержни любого поперечного сечения, если только длина волны велика по сравнению с его поперечными размерами. Согласно этой теории, продольные волны распространяются с постоянной скоростью Со = (f/p) , а скорость крутильных волн должна зависеть от формы поперечного сечения, но для любой данной формы она постоянна. Изгибные же волны испытывают дисперсию фазовая скорость синусоидальных изгибных волн с длиной волны А равна 2т Л Со/Л, где К—радиус инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной оси стержня и лежащей в нейтральной поверхности [см. уравнение (3.26)]. Когда длины волн становятся сравнимыми с поперечными размерами стержня, написанное соотношение теряет силу и для исследования природы распространения надо использовать точные уравнения теории упругости. Точная теория для цилиндрических стержней была рассмотрена в предыдущих параграфах, но для стержней некругового поперечного сечения анализ становится чрезвычайно сложным, и лишь в немногих случаях были сделаны попытки найти решения. [c.74]

В дальнейшем всегда, если не оговаривается обратное, будем считать, что рассматриваемые упругие среды изотропны и однородны по отношению к упругим свойствам и обладают центром симметрии в моментной теории. Кроме того, постоянные, участвующие в рассматриваемых ниже формулах, предположим не зависящими от времени. [c.39]

Оказывается, что случай пластинки со свободными края-м и может быть приведен к той же граничной задаче, что вторая основная задача плоской теории упругости только постоянная х должна быть заменена некоторой другой постоянной, также большей единицы. Это было показано С, Г. Лехницким [3] и позднее, независимо от него, И. Н. Векуа [3]. [c.292]

В которых задача оказывается стационарной, Л. А. Галин выразил компоненты смещения через вторые производные некоторой функции, для которой после преобразования переменных получил линейное уравнение в частных производных четвертого порядка с постоянными коэффициентами, аналогичное тому, которое получается для функции напряжений в плоской задаче теории анизотропной упругости. Следуя С. Г. Лехницкому, Л. А. Галин составил общее решение упомянутого уравнения, которое приводит к следующим выражениям для напряжений и смещений [c.606]

А если положить показатель степени л = 1, так что а=ао8= 8, то все предыдущие формулы совпадут с хорошо известными формулами элементарной теории изгиба упругих балок, обладающих постоянным модулем упругости Е, [c.182]

Рассмотрим бесконечную горизонтальную пластинку из вязко-упругого материала постоянной толщины Н. Примем за плоскость X, у срединную плоскость пластинки, а положительную координату 2 и смещение т будем отсчитывать вниз. Пластинка слегка изогнута по цилиндрической поверхности, ордината которой хю, представляющая прогиб пластинки, зависит от координаты X и времени I, а также от внешних сил, состоящих из распределенной нагрузки р = Цх, 1 и контактного давления д = —кш, создаваемого основанием. К этому случаю одномерного изгиба пластинки можно применить развитую в гл. 9 теорию изгиба гибкой вязко-упругой балки, предполагая, что последняя изгибается под действием суммы некоторой распределенной нагрузки р и контактного давления д = —кт со стороны основания. Принимая во внимание уравнение (9.9), получаем дифференциальное уравнение для прогибов т такой балки [c.347]

Для бесконечной вязко-упругой пластинки постоянной толщины /г, покоящейся на основании, соответствующее уравнение получается заменой в уравнении (10.1) изгибной жесткости балки 1Е на модуль пластинки Л/, вводимый в теории изгиба плоских упругих пластинок ( 8.1, соотношение (8.4)) [c.347]

В соответствии с теорией линейной вязко-упругости эта постоянная должна быть заменена оператором [c.213]

Для тонких подкрепляющих колец или колец, имеющих в поперечном сечении фасонный профиль, был принят в качестве расчетного подкрепляющего кольца криволинейный тонкий упругий стержень постоянного или переменного сечения, упругое поведение которого описывается теорией малых деформаций тонких криволинейных стержней. [c.343]

Как известно, с помощью стержневых систем, состоящих из элементов, обладающих идеальными упруго-пластическими свойствами, может моделироваться поведение упрочняющихся материалов [3], [13]. В рассмотренной двухпараметрической системе элементы 2 и 5, один из которых деформировался пластически, а другой оставался упругим, имитировали работу материала с линейным упрочнением. Нетрудно заметить, что условие возникновения знакопеременного течения не связано с наличием упрочнения. Деформация за полуцикл остается постоянной, если при циклическом деформировании модуль упрочнения сохраняется неизменным. Этот вывод совпадает с результатами, полученными на основе теории малых упруго-пластических деформаций при простом (пропорциональном) нагружении [10]. [c.227]

В этом случае для количественной оценки пластических деформаций, в зависимости от действующих внешних нагрузок, предварительно необходимо установить закономерности снижения предела текучести при переменных нагрузках для простых однородных напряженных состояний (асимметричное растяжение — сжатие, асимметричное кручение, сочетания переменного и постоянного растяжения — сжатия и кручения на полых образцах). Затем, используя аппарат теории пластичности (теорию малых упруго-пластических деформаций, теорию течения), можно установить зависимости между внешними нагрузками и деформациями при рассматриваемых относительно сложных случаях (сочетание изгиба и кручения). Для статических условий совместное действие изгиба и кручения рассматривается в работах [6], [10], [15]. [c.371]

В случае анизотропного тела число независимых интегральных операторов теории наследственной упругости равно числу независимых упругих постоянных. [c.362]

В книге Ю. Н. Работнова [44] приведен метод, связанный с решением задач теории наследственной упругости, когда на тело достаточной протяженности действует нагрузка, движущаяся с постоянной скоростью и не меняющая своей конфигурации по отношению к системе координат, которая движется с той же скоростью. Полагалось, что скорость движения достаточно мала (по сравнению со скоростью распространения упругих волн), и поэтому силами инерции, происходящими от ускорений, пренебрегалось. Как конкретный пример применения предложенного метода рассмотрена задача о движущемся штампе по границе вязко- [c.403]

Если теплоизоляция отсутствует или же процессы не настолько медленны, чтобы все время существовало температурное равновесие с окружающей средой, часть механической энергии, превращающейся в тепло, будет рассеиваться. Совместное рассмотрение уравнений теории упругости с температурными членами и уравнений теплопроводности позволяет ставить так называемую связанную задачу термоупругости. Обнаруживаемые при этом эффекты незначительны и в эксперименте их трудно отличить от эффектов, связанных с внутренним трением. Поэтому исследование эффекта температуры в теории упругости почти всегда основывается на уравнениях Дюамеля — Пеймана (8.6.1), в которых модули упругости считаются постоянными п не зависящими от характера термодинамического процесса. [c.253]

Из (3,32) может быть определен равновесный радиус Го, если известны радиусы Г1, гг и постоянные упругости о, X и Развиваемая в таком направлении теория, базирующаяся на модели упругого изотропного включения, применялась к рассмотрению ряда вопросов, таких как влияние количества атомов растворенного элемента на энергию раствора, его постоянные упругости, среднюю постоянную решетки, отклонение от линейной концентрационной зависимости постоянной решетки (от правила Богарда) в сплавах замещения ). В этих случаях для п, Г2, а также постоянных упругости матрицы и включения принимались значения, соответствующие чистому растворителю и веществу, атомы которого являются точечными дефектами. [c.60]

Многие динамические теории континуума типа теории эффективных жесткостей весьма близки к теориям линейно упругих сред со сложной микроструктурой, развитым Миндли-ном [48]. Новые материальные константы, появляющиеся в таких теориях, в случае направленно армированных композитов определяются непосредственно в виде функций параметров, характеризующих расположение компонентов, и классических упругих постоянных компонентов. Вид такой зависимости в про-стейщей теории слоистой среды был указан в работе Геррмана и Ахенбаха 34]. [c.380]

Регулировать скорость рабочего движения с помощью встроенного интерполятора путем изменения частоты задающего генератора или изменения скорости протягивания ленты в системах с групповым (на несколько станков) интерполятором можно таким образом, что при обработке детали будет сохраняться постоянной нагрузка на инструмент. Такой метод автоматического регулирования режима резания разработан в ЭНИМСе. Основой метода служит разработанная проф. д-ром техн. наук Б. С. Балакщиным и его сотрудниками теория управления упругими перемещениями системы СПИД. [c.171]

Под внутренним трением материала понимается способность его рассеивать энергию механических колебаний. Из всех материалов только идеально упругие при постоянной температуре такой способностью не обладают. Всем без исключения реальным материалам присуще рассеяние энергии. Для их теоретического описания и исследования должна быть привлечена теория неупругих материалов. Эти теории соответствуют разнообразным фнзлчески.м процессам, протекающим в материале. [c.150]

Волновые процессы в упругих стержнях постоянного сечения при вертикальном ударе. Цилиндрический стержень (рис. 6.7.10) массой т и длиной /, имеющий на верхнем торце жесткое тело массой ГП2, а на нижнем - жесткое тело вращения массой т , летит со скоростью Уд и ударяется о деформируемое основание (полупространство). Введем две системы координат подвижную лгу, жестко связанную с телом Шх, и неподвижную Х1У1, связанную с преградой. Тогда уравнение продольных колебаний стержня (в рамках технической теории) будет иметь вид [c.412]

Линеаризованные физически нелинейные задачи для гладких и ребристых оболочек. Учет приобретенной анизотропии на примере линеарнзапни физически нелинейных задач теории малых упруго-пластических деформаций при использовании метода переменных параметров упругости рассмотрен в [П. 3]. В этом случае связь между компонентами усилий и деформаций для гладких и ребристых оболочек можно представить в форме (I 20) гл. 4 Д.ЧЯ неоднородных анизотропных оболочек. В этих уравнениях коэффициенты упругости являются функциями напряженно-деформированного состояния. Прн решении данной нелинейной задачи методом переменных параметров упругости физические соотношения на каждом шаге линеаризации сохраняют форму (1.20) с постоянными коэффициентами упругости. Часть коэффициентов в эти.х соотношениях обращается в нуль, а вид других зависит от интегральных физических характеристик сечения (например, [П. 6]). Уравнения равновесия и геометрические завнснмостн, естественно, остаются одинаковыми для теории малых упруго-пластических деформаций н линейной теории неоднородных анизотропных оболочек. [c.219]

В случае кручения Купфер определил постоянную упругости для круглого цилиндрического стержня как угол закручивания стержня единичной длины единичной силой, приложенной на единичном радиусе стержня. К сожалению, он обозначил эту величину символом fi, который к тому времени использовался многими упругистами для обозначения модуля упругости при сдвиге изотропного материала. Если мы обозначим эту величину, введенную Купфером, через то увидим, что она связана с модулем сдвига формулой а=л/(2[Хд.). Во всех случаях принималась теория одной упругой постоянной, так что коэффициент Пуассона был равен 1/4. Введенная Купфером величина б, полученная в опытах на кручение цилиндрических образцов, выражается следующим образом 6=1/(5fi .). [c.393]

Формулы (12) и (14) с этими коэфициентами поместил в свое время А. Феппль в третьем томе своего курса Технической механики ( Vor-lesungen... ), и с тех пор они в совершенно таком же виде, с тем же числом цифр после запятой, применяются в технике. Сам Герц в своих работах выразил эти величины через применявшиеся им всегда постоянные Кирхгофа /С и 0, и хотя пересчет с этих постоянных на постоянные Е к т, применяемые в технике, совсем прост, все же очевидно, что не каждый мог бы свободно сделать это, если бы он ознакомился с теорией сжатия упругих тел непосредственно по работам самого Герца. [c.229]

Задачам кручения стержня, трактуемым как нелинейные задачи теории упругости, посвящен ряд работ советских ученых. При этом обнаружен ряд эффектов, отсутствующих в линейной теории осевая деформация, постоянная для всех точек поперечного сечения, дополнительная плоская деформация, искажающая сечение, и др. см., например. Риз П. М., О некоторых вторичных явлениях при кручении круглого цилиндра. Труды ЦАГИ, вып. 408, 1939. В работе А. Ю. Ишлинского (И ш л и н с к и й А. Ю., О напряженнохм состоянии упругого цилиндра при больших углах круткп, Прикл. матем. и мех. VII, вып. 3 (1943), стр. 223—225) показано, что если прп кручении цилиндра его длина сохраняется неизменной, то он будет подвергаться в целом деформации растяжения.—Прим. ред. [c.399]

Принцип Вольтерра. При решении статических задач вязкоупругости основную роль играет принцип, сформулированный Вольтерра и основанный на том, что линейные операции дифференцирования и интегрирования по координатам и умножения на временной оператор Вольтерра коммутативны. Поэтому любое решение статической задачи классической теории упругости трансформируется в решение соответствующей задачи линейной вязкоупругости путем замены в окончательном результате упругих постоянных соответствующими операторами. Если в решении классической задачи упругие постоянные фигурируют в качестве множителя, представляющего собою их рациональную комбинацию, расшифровка рациональной фунгщии операторов сводится к последовательному решению интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Для экспоненциальных и дробно-экспоненциальных операторов эти вычисления производятся по стандартным правилам. Более сложное положение возникает тогда, когда в решении задачи теории упругости упругие константы не образуют рациональных комбинаций, а также если тип граничных условий в разных точках поверхности тела меняется. [c.151]

От рассмотренной модели цепочки с изолированными точечными массами можно перейхи к непрерывному постоянному распределению масс, т. е. к модели нити. В такой теории континуума упругие силы следует заменить напряжениями, действующими в противоположных направлениях при относительном сдвиге элемента объема нити. [c.121]

Д.11Я анализа равновесного напряженного состояния применялся упругий потенциал Муни — Ривлина [см. формулу (3.1.5)] и использовалась изложенная в гл. I и При-ложении I теория нелинейной упругости [6, 7]. Для определения упругих постоянных и a испытанных резин применялся метод Ривлина — Саундерса [289] [линейная зависимость //2 (а — 1/а ) от 1/а из соотношения (3.1.23, б) для одноосного равновесного растяжения дает при экстраполяции прямой к 1/а О значение С , а по ее наклону определяется значение С ]. Таким образом, для сложнонапряженного состояния находились максимальные растягивающие (разрушающие) истинные напряжения в вершине надреза в момент начала его роста. Несмотря на то что это были равновесные, т. е. минимальные для данных внешних условий (температура, среда) характеристики растягивающих напряжений и деформаций, они оказались заметно выше неравновесных разрывных напряжений и деформаций. [c.203]

В работе [1] исследовано упруго-пластическое состояние шайбы постоянной толщины, нагруженной внутренним и внешним давлениями. При этом предполагалось, что материал ш.айбы несжимаем, а диаграмма растяжения имеет степенное упрочнение. Для решения задачи использовалась теория малых упруго-пластических деформаций. [c.219]

Приложения этих соотношений представлены в 4—6. В 4 рассмотрено наложение малой деформации на гидростатически напряженное упругое тело показано, что его уравнения равновесия приводимы к виду уравнений линейной теории, если определить постоянные Ляме формулами (4.4), (4.10). Задача [c.504]

Теория устойчивости упругих систем, как она изложена на отдельных примерах в 264, 265, может быть поставлена в связь с теорией Пуанкаре, относящейся к точкам разветвлений последовательностей форм равновесия (equilibrium of bifur aron) ). Форма стержня определяется удлинением г на нагруженном конце и величиной угла а эти величины зависят от нагрузки длины I и жесткости при изгибе В, которые рассматриваются как постоянные величины. Мы можем рассматривать и а как координаты некоторой точки, к которой отнесем соответствующее положение равновесия. Когда R меняется, точка с координатами (г, а) описывает кривую. Если R меньше, чем критическое значение нагрузки, то а равно нулю, и состояния равновесия, определяемые значением г, устойчивы. Когда R превосходит критическое значение, то состояние равновесия может еще определяться значением а==0, но при этом существует еще одно возможное состояние равновесия, когда а не равно нулю определяющие это состояние величины а и будут функциями R. При изменяющемся значении R различные состояния равновесия изображаются точками некоторой кривой. Эта кривая исходит из той точки прямой а = 0, которая изображает удлинение или, вернее, укорочение, под действием критической нагрузки. Пуанкаре назвал точки такого рода точками разветвления. Он показал, что вообще в таких точках имеет место изменение устойчивости. Для данного примера это означает следующее те состояния, которые определяются точками на прямой а = О и для которых удлинение вызвано нагрузками, превышающими критические, будут неустойчивыми устойчивые состояния начинаются в точке разветвления и изображаются точками кривой, для которой а ф 0. [c.427]

Как известно, для определенного материала при определенной температуре испытания отношение поперечной деформации к продольной при одноосном растяжении в пределах упругости является постоянной величиной. Абсолютную величину этого отношения на-II,тают коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона. Теория малых упруго-пластических деформаций позво- ияот установить эту величину и за пределами упругости. Будем на- ,1вать ее также коэффициентом поперечной деформации и обозна-чап. д.. [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...