Теория малых деформаций

В теории малых деформаций, которые изучает теория упругости, линеаризированные уравнения (IV.97) — (IV. 101) известны под названием условий совместности Сен-Венана. [c.510]

Поставим задачу об определении напряженно-деформированного состояния цилиндрического стержня при кручении в рамках теории малых деформаций. Рассмотрим абсолютное или относительное равновесие вала, причем влияние переменной температуры и массовых сил учитывать не будем (в силу линейности задач теории упругости влияние этих факторов при необходимости можно учесть отдельно). Рассмотрим уравнения равновесия [c.356]

Предыдущие выводы и уравнение (9.4) справедливы как в рамках теории малых деформаций при наличии закона Гука, так и в рамках общей теории упругости с конечными деформациями и перемещениями из начального состояния. [c.390]

В случае произвольного пластического деформирования конечных тел в рамках теории малых деформаций при пропорциональном изменении внешних нагрузок пропорциональные пути нагружения для всех его малых частиц, вообще говоря, невозможны. [c.433]

Зная относительное удлинение поликристалла, легко определить компоненты тензора деформации. Согласно теории малых деформаций [8], соответствующие компоненты есть не что иное, как коэффициенты в выражении (25) при gi, gl, gl. Используя выражение (25), находим компоненты тензора деформации [c.252]

В. В. Новожилов обратил внимание на несовершенство терминологии теории деформации среды, согласно которой линейная теория называется теорией малых деформаций, а нелинейная — теорией конечных деформаций. На самом деле картина выглядит следующим образом. И в линейной и в нелинейной теориях, деформации конечные й обычно одного порядка в обеих теориях.. Разница состоит лишь в том, что в линейной теории пренебрегают влиянием поворотов на относительные линейные деформации и на сдвиги, а нелинейная теория учитывает это влияние. [c.492]

Если материал пластинки линейно высокоэластичный, то для расчета напряжений и деформаций можно использовать обычные формулы из теории упругости, подставив в них значения временного модуля упругости (считая, что материал изотропный). Ввиду небольших величин временного модуля упругости необходимо проверять величину стрелы прогиба, так как при большом прогибе в пластине образуются большие мембранные напряжения, которыми нельзя пренебрегать. Для этого можно воспользоваться теорией больших деформаций, но она дает слишком сложные выражения. Поэтому рекомендуется задавать такую высоту пластинки, чтобы стрела прогиба не превышала значений, при которых применима теория малых деформаций. В этом случае при расчете определяют высоту пластинки из формулы для максимального прогиба, величину которого принимают равной высоте пластинки. После этого проверяют нагрузку пластинки, добиваясь, чтобы максимальное напряжение было меньше допустимого. Если это условие не соблюдается, необходимо увеличить толщину пластинки. [c.116]

Уравнения геометрически нелинейной теории тонких оболочек служат основой для изучения деформирования, потери устойчивости и закритического поведения гибких тонкостенных конструкций. В отличие от классической линейной теории малых деформаций и перемещений нелинейная теория рассматривает нагружение оболочек, сопровождаемое конечными перемещениями и поворотами материальных элементов. [c.134]

Приближенные зависимости для кривизн, кручения, вектора конечного поворота и деформаций эквидистантного слоя в рамках теории малых деформаций приведены в разделах 9.4.3 и 9.4.4, посвященных прикладным нелинейным теориям оболочек. [c.138]

В этом параграфе мы ограничимся задачами теории малых деформаций (что не повлияет на общность излагаемых результатов). Особенности, вносимые в проблему конечными деформациями, будут рассмотрены в гл. 5 там же будут даны соответствующие ссылки на литературу. [c.64]

На какие простейшие составляющие можно условно разложить всякое механическое движение и какими величинами характеризуются эти составляющие по теории малых деформаций [c.84]

В заключение этого пункта отметим, что с помощью соотношений теории малых деформаций аналогичным образом формулируется г ин-цип минимума работы внутренних сил [c.191]

В дальнейшем в теории малых деформаций будем использовать, только лагранжевы координаты. [c.99]

Деформации среды для простоты считаются малыми всюду, за исключением некоторой области вблизи трещины, размер которой имеет порядок раскрытия трещины в ее конце. В теории малых деформаций последним размером можно пренебречь, а трещину можно считать математическим разрезом. (Последующее легко обобщить также на случай конечных деформаций, что, впрочем, вряд ли может иметь существенное значение для практики.) [c.8]

В рамках теории малых деформаций отклонения от закона Гука при достаточно больших деформациях, а также отличие начального трещиноподобного дефекта от математического разреза нулевой толщины приводят к перераспределению напряжений и деформаций в непосредственной окрестности контура трещины. Рассмотрим эти эффекты на простейших примерах. [c.110]

В случае разрезов нулевой толщины (как в данной задаче) собственное число % может быть найдено Р ] из физических соображений, на основании общих положений механики разрушения. В гл. V будет показано, что во всякой физически корректной модели упругого тела характерные напряжения и деформации на краю математического разреза (в рамках теории Малых деформаций) должны обращаться в бесконечность так, чтобы их произведение имело особенность вида 1/г. В предельных- случаях допускается ограниченность напряжений или деформаций идеально-пластическое тело (напряжения ограничены, деформации имеют порядок 0(1/г)), идеально-отвердеваю-щее тело (деформации ограничены, напряжения имеют порядок 0(1/0). [c.113]

Из уравнения (5.13) следует, в частности, что если уо конечно, то произведение напряжений и деформаций на контуре трещины в рамках теории малых деформаций должно иметь особенность типа 1/л [c.226]

До сих пор рассматривалась задача об определении уо(0 в рамках заданной реологической модели и теории малых деформаций, когда известен закон движения конца разреза I = l t). Фактически же стоит обратная (более сложная) задача определения закона развития трещины 1= l t). Наиболее естественный подход, к решению этой задачи состоит в следующем. [c.226]

Теперь допустим, что расчет соответствующих величин на основе решения краевой задачи в рамках заданной реологической модели и теории малых деформаций дал значения AQi и AUu [c.227]

Уравнения (5.51) вместе с уравнениями равновесия и кинематическими соотношениями между деформациями и смещениями теории малых деформаций составляют замкнутую систему уравнений. Можно показать, что эта система принадлежит к Эллиптическому типу, если выполняется условие / (/) > 0. [c.244]

Таким образом, согласно теории малых деформаций поток энергии в конец движущегося разреза в идеальной упруго-пластической среде равен нулю. На самом деле на расстояниях порядка А от конца трещины, где А — характерное раскрытие трещины в ее конце, деформации конечны, и теория малых деформаций не годится. Поэтому, строго говоря, предельный переход R- 0 в формулах (5.154) неправилен, так как трещину в ее конце нельзя считать математическим разрезом. Учитывая конечный размер А и формулу (4.109), оценим величину Г [c.276]

Запишем уравнения теории малых деформаций твердого тела в упругой области уравнения равновесия [c.442]

Теория изгиба тонких пластин Кирхгофа при отсутствии мембранных сил представляет собой естественное двумерное обобщение простой теории изгиба стержней Бернулли, изложенной в гл. 2. Обе теории основаны на предположении, что плоские сечения остаются плоскими в процессе изгиба и что смещения достаточно малы — это позволяет пренебрегать изменениями в геометрии и поэтому применять теорию малых деформаций. [c.312]

Вокруг линии дислокации возникает область упругого искажения решетки. Приведем без вывода напряжения, вызываемые краевой дислокацией. Расположим экстраплоскость дислокации параллельно оси у и предположим, что плоскость XZ совпадает с плоскостью сдвига, а вектор Бюргерса — с осью х (рис. 1.8). Тогда компоненты напряжений (в рамках теории малых деформаций и линейного закона Гука) в произвольной точке (х,у) можно записать в следующем виде [c.27]

В рамках теории малых деформаций [c.138]

Теперь должно быть ясно, что методы и теоремы, уже установленные для обычных задач, можно сразу же перенести на решения термоупругих задач. Например, теорема единстнеиности ( 96) обеспечивает нам, что в данном теле при данном поле температуры в условиях линейной теории малых деформаций возможно лишь одно решение для напряжений и деформации. Явление выпучивания, разумеется, этим условиям не отвечает. [c.461]

Примером безмоментных оболочек являются сосуды, изготовленные методом намотки. Расчет таких конструкций основан на нитяной модели материала, согласно которой внутреннее давление и силы, приложенные по краям оболочки, воспринимаются армирующими волокнами и вызывают в них только растягивающие напряжения. Такие конструкции и методы их расчета рассмотрены в работах Рида [67], Росато и Грове [6в], Шульца [75]. Современные методы расчета сосудов давления и корпусов двигателей изготовленных методом намотки [24, 42], учитывают изгиб оболочки, вызванный соответствующим характером нагружения, а также несимметрией распределения геометрических параметров или упругих свойств материала по толщине. Изгиб-ные напряжения, предсказываемые в этом случае теорией малых деформаций, могут оказаться значительными. Однако рассматриваемые оболочки обычно деформируются таким образом, что в процессе нагружения остаются безмоментными. На безмоментной теории, предусматривающей большие деформации системы, основан метод определения равновесных форм армированных оболочек. Обзор исследований, посвященных оптимизации безмоментных оболочек из композиционных материалов, приведен в работе Ву [901. [c.148]

Эталоном для оценки точности МНП может служить решение, получаемое на основе теории малых деформаций тонких стержней (теории Кирхгоффа — Клебша). [c.367]

Теория тонких стержней Кирхгоффа — Клебша. Изложенная в предыдущих резделах настоящего параграфа теория МНП ) позволяет решить линейную задачу деформации произвольного пространственного стержня и является дискретным механическим эквивалентом теории малых деформаций тонких стержней Кирхгоффа — Клебша ). [c.367]

Мы говорим здесь о больших деформациях, т. е. о компонентах градиента перемещений dufdx, dujdy н т. д. Прн этом не имеется в виду величина перемещений или деформаций сама по себе, перемещения не могут быть ни большими, ни малыми, деформации могут быть большими (по сравнению с единицей), вращения предполагаются большими (опять-таки по отношению к единице). В теории малых деформаций последние всегда <1. В то же время в литературе можно встретить ссылки на теорию больших деформации, что может иметь или не иметь смысла, и на теорию больших перемещений, что смысла не имеет. [c.332]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

С Другой стороны, принцип дополнительной виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума дополнительной энергии в случае, когда соотношения напряжения — деформации таковы, что существует функция дополнительной энергии и предполагается, что при вариации напряжений граничные условия в перемещениях остаются неизменными. Принцип минимума дополнительной энергии с помощью введения множителей Лагранжа приводит к принципу Хеллингера — Рейсснера, принципу минимума потенциальной энергии и т. д. Показано, что в рамках теории малых деформаций упругого тела эти два подхода к формулированию вариационных принципов являются взаимными и эквивалентными друг другу. [c.19]

Отличие знака в этом выражении от знака в (1.2.80) опять переносится в теорию малых деформаций из материального и пространственного представлений движшия в теории конечных деформаций. [c.40]

Известно, чго выбор множества осей координат является субъек-1ИВНЫМ фактором. Однако свобода ее выбора всегда связана с необходимостью решения поставленной задачи. В некоторых случаях в качестве независимых координат можно назначить компоненты тензора деформации или связанные с ним величины. В частности, в теории малых деформаций удобно применять шестимерное iqto mpoH meo А.А.Ильюшина, в котором параметры движения характеризуются средней деформацией ео (1.2.80) и пятью независимыми компонентами е девиатора De деформаций. С помощью замены [c.41]

Под действием нагрузки и сосредоточенных сил Р, подлежащих определению в ходе решения задачи, в кончике трещины будут возникать области пластических деформаций. Рассмотрим задачу о начальном развитии пластических деформащ1й в конце трещины. В соответствии со схемой Леонова-Панасюка-Дагдейла пластическая область будет представлять собой узкий слой на продолжении трещины, толщина которого равна нулю в рамках применяемой теории малых деформаций. [c.99]

Предположение о малости перемещения и поворотов влечет соблюдение малости удлинений и сдвигов. Однако обратное утверждение несправедливо. В то же время существует только общее рассуждение о критерии малости перемещений относительно линейного размера тела. Есть основание полагать, что для тел с микроструктурой необходимо сравнивать перемещения с размерами структурных элементов. Подчеркнем, что в основе классической теории малых деформаций лежит допущение о малости поворотов и перемещений. Если в основу положить малость удлинений и сдвигов по сравнению с единицей, то перемещения и повороты могут быть значительны. Эти преднолон ешш соответствуют линейной теории упругости, в которой реигаются задачи упругого равновесия, сильного изгиба стержней, оболочек и т, п, В этом случае тензор деформации имеет вид [c.100]

Предположим, что реологическая модель тела точна в области малых деформаций. Разности A(Q — Qi) и A U—t/j), очевидно, будут равны теплу, выделившемуся непосредственно абдизи новой поверхности трещины в слое толш,иной порядка величины раскрытия трещины в ее конце (в этом слое дефор мации конечны и решение на основе теории малых деформаций йе годится), плюс скрытая внутренняя энергия остаточных на-1фяжений в этом же слое. [c.227]

BepxtOHKofi структуры ki. Подчеркнем, что постоянные v, ц, ц<х> представляют собой коэффициенты Пуассона и модули сдвига на участках упругой диаграммы напряжения — деформации только при бесконечно малых и бесконечно больших деформациях (все это, разумеется, в рамках теории малых деформаций, поэтому на самом деле здесь речь идет о некоторых промежуточных асимптотиках). [c.246]

Уточним понятие сверхтонкой структуры. Распределение напряжений и деформаций непосредственно вблизи края трещины в материале, не являющемся линейно-упругим, будем называть сверхтонкой структурой конца трещины, если это распределение получено в рамках теории малых деформаций. Физически сверхтонкая структура конца трещины представляет собой, так же как и тонкая структура, некоторую промежуточную асимптотику а именно, она реализуется на расстояниях г от края трещины, удовлетворяющих условиям [c.248]

При помощи принципа микроскопа изучение сверхтонкой структуры фронта трещин нормального разрыва в такой среде в рамках теории малых деформаций сводится к следующей задаче требуется найти решение указанной системы уравнений во внешности движущегося полубес-конечного разреза вдоль у — О, x<.l t) в условиях плоской деформации для произвольной мо- [c.262]

Из энергетического анализа также вытекает, что теория малых деформаций идеальных упруго-пластических тел недостаточна для изучения роста трещин. По-вйдимому, трещина в таких средах не может расти за счет постепенных локальных разрывов в ее конце, а расширяется, как полость. Развитие трещин нормального разрыва в идеальных упруго-пластических средах можно объяснить только нелокальными разрывами,, выходящими за рамки сверхтонкой структуры. Изучения одной сверхтонкой структуры в данном случае недостаточно для формулировки критерия разрушения. [c.277]

Следует отметить, что некоторыми авторами были предложены ранее критерии локального разрушения сверхтонкой структуры. Наиболее известны критерии, предложенные Уэллсом и Мак-Клинтоком (см. 9 гл. IV). Как вытекает из предыдущего изложения, приложение этих критериев к идеальному упругопластическому телу в рамках теории малых деформаций в общем случае лишено физического смысла. [c.277]

Обозначим через 2vq раскрытие трещины в ее конце (вследствие конечности деформаций носик трещины будет не обрублен, как это следует из теории малых деформаций, а размыт). Пусть полость трещины заполнена жидкой или глзообразной средой, содержащей водород атомы водорода поступают в материал в основном через поверхность свежего металла вблизи точки О. Пластическая область не изображена на рис. 157, ее размеры значительно больше 2ио- На бесконечности тело подвергнуто стационарному растяжению, которое вполне описывается положительным коэффициентом интенсивности напряжений Кь [c.374]

Заметим также, что установленные сингулярности получены в рамках теории малых деформаций и не реализуются на практике. Они представляют собой лигиь следствие используемого математи- [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...