Экспоненциальные операторы

Построим класс резольвентных операторов, порождаемых оператором Абеля. Будем называть их дробно-экспоненциальными операторами Эа(р) и определять следующим образом [c.581]

Нужно умножить соотношение (17.5.9) на/о > тогда Р ж Q обратятся в полиномы степени п от оператора Iq, частные двух полиномов следует разложить на простые дроби, каждая из которых расшифровывается как экспоненциальный оператор. Нри этом необходимо, чтобы корни каждого полинома были различны, действительны и в результате получалось /с.- > О и > 0. Заметим, что эти достаточные условия положительности работы не необходимы. Можно представить себе, что некоторые ki отрицательны и некоторые корни комплексны. Появляющиеся в последнем случае осциллирующие ядра в принципе допустимы, хотя при представлении с помощью реологических моделей обычного типа они появиться не могут. Но в принципе реологическая модель может быть и динамической, она может включать в себя, кроме упругих и вязких элементов, массы, могущие совершать колебания. Для описания свойств реальных материалов модели такого рода, насколько нам известно, не применялись. [c.592]

Применим последние формулы к произведению четырех экспоненциальных операторов, взяв [c.310]

Действие экспоненциального оператора ехр (А 5) можно выполнить в фурье-представлении, следуя формуле [c.50]

Здесь t время, р — вектор внешних нагрузок. Используя далее соотношения (22.4), (2.3), (2.6) — (2.8) и учитывая, что V , Ес, Eah к = i, 2,. .., т ) определяются через дробно-экспоненциальные операторы тина Эд — Работнова [169], найдем деформации и напряжения в элементах композиции [c.150]

В том случае, когда гамильтониан не зависит от времени, эти операторы совпадают с экспоненциальными операторами в формуле (1.2.68). [c.76]

Пусть АиВ — некоторые операторы ). Предполагая, что экспоненциальные операторы ехр(Л), ехр(Б), ехр А- -В) существуют, мы докажем, что [c.151]

Во многих случаях приходится иметь дело с экспоненциальными операторами вида ехр(Л +5Л), где 5А — малая операторная добавка к А. Из тождеств (2Б.1) и (2Б.2) следует, что в линейном приближении по 5Л [c.151]

В. Г. Громов (1967) показал, что для операторов с ядрами (6.4) справедлива та же алгебра, что и для 5-операторов. Тогда же он обобщил основные результаты алгебры экспоненциальных операторов на любые резольвентные операторы, изучил аналитические функции операторов и общий метод их расшифровки. [c.150]

Можно легко доказать эту формулу, продифференцировав её по времени. С этой целью напомним, что согласно приложению Б в общем случае дифференцирование экспоненциального оператора [c.75]

Отсюда видим, что оператор эволюции во времени является произведением экспоненциальных операторов. Но так как операторы не обязательно коммутируют, мы не можем просуммировать показатели экспонент. Это возможно только в том случае, когда гамильтонианы Н 1у) в разные моменты времени коммутируют. Только в этом случае [c.80]

I I) I I оказывается равным нулю, оно не имеет отношения к построению оператора плотности. Экспоненциальный оператор в (9.18) очень просто выражается через операторы сдвига, рассмотренные в разделе 3. Для этого определим оператор сдвига С для к-я моды [c.104]

Поскольку X и Но могут и не коммутировать, нельзя непосредственно дифференцировать это выражение по Р. Однако, используя постулированное в условиях задачи классическое поведение переменной X, можно заменить записанное выражение эквивалентным, дифференцирование которого не вызывает трудностей. Если предположить, что экспоненциальный оператор разложен по показателям экспоненты, то типичный член в разложении [c.518]

Решение. В соответствии с правилом дифференцирования экспоненциального оператора (см. задачу 32) имеем [c.419]

В качестве дополнения к этой задаче заметим, что основная формула термодинамической теории возмущений непосредственно связана с использованной выше процедурой распутывания экспоненциальных операторов. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. Имея в виду канонический вариант гиббсовской теории, когда в экспоненте стоит оператор Гамильтона Я, умноженный на -1/в, положим А = -Щ/в, В = -Н /в и обозначим Я (г) = . Нулевой гамильтониан Но — это, как правило, гамильтониан [c.421]

Задача 33. Для шпура от экспоненциального оператора ехр Л + ЯВ), где Л и В — самосопряженные операторы, в общем случае не коммутирующие друг с другом, доказать свойство выпуклости [c.784]

Перейдем к медленным координатам х, p - q, л. Пусть действие оператора М приводит к исключению экспоненциальных функций [c.298]

Из определения (2.2.57) функции F t, р) следует, что реакция стационарного объекта на входное экспоненциальное воздействие u t) = e определяется по формуле v t) = Ate = W p)eP , т. е. передаточная функция W p) представляет собой коэффициент, на который умножается экспоненциальное входное воздействие при его прохождении через объект. Этот факт можно считать следствием болей общего свойства передаточной функции, благодаря которому она является основным инструментом при исследовании стационарных линейных объектов и однородных линейных операторов. [c.70]

Соотношение (17.3.4) совершенно сходно по форме с (17.1.7), но, в отличие от него, представляет собою не символическое, а обычное алгебраическое равенство. В задачах наследственной теории упругости ряд авторов применяет технику преобразования Лапласа, здесь мы будем следовать другой системе изложения, а именно, примем за основу изложенную в 17.2 теорию резольвентных операторов. Однако преобразование Лапласа нам понадобится для выяснения асимптотических свойств введенных выше дробно-экспоненциальных функций. Вычислим сначала преобразования Лапласа функции /а. Вспоминая определение гамма-функции, находим [c.583]

Вольтерра доказал следующую теорему. Если степенной ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости, то операторный ряд, получающийся из него заменой переменной оператором с ограниченным ядром К, сходится всюду. Операторный ряд мы будем называть сходящимся, если ряд для его ядра сходится абсолютно. Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоремы, которое можно найти, например, в книге Работнова [И]. Заметим, что условие ограниченности ядра можно заменить условием ограниченности его итераций, начиная с некоторого номера. Поэтому теорема справедлива для слабо сингулярных ядер типа дробно-экспоненциальных. Будем называть ограниченными такие операторы, которые удовлетворяют условию [c.585]

Если один экспоненциальный член, фигурирующий в уравнении (17.6.2), недостаточно хорошо воспроизводит опытные данные, естественно попытаться добавить еще несколько экспоненциальных членов и выбрать оператор ползучести следующим образом [c.591]

В качестве примера исследуем случай, когда ядром интегрального оператора (39.6) является дробно-экспоненциальная функция [c.316]

Формально (24.6) удовлетворяет уравнению (23.3), однако не представляет решения, так как экспоненциальный оператор не может быть опеределен степенным рядом. Это обусловле- [c.153]

Поскольку сверхбыстрая релаксащм связана с наличием у оптической полосы ФК, в которое главный вклад обычно вносит линейное F -взаимо-действие, будем вьгаислять квантово-статистического среднее от произведения четьфсх экспоненциальных операторов с учетом только линейного F -взаимодействие. Это вычисление производится с помощью той же математической техники, которая использовалась при вычислении среднего от произведения двух экспоненциальных операторов (см. п. 10.3). [c.237]

Оператор exp(L( )) определен формулой (10.30) для случая одной фонон-ной моды, а его зависимость от времени — формулой (10.36). Метод вычисление среднего от произведения экспоненциальных операторов изложен в Приложении 11. Формула (А 11.10) дает результат вьлисления среднего [c.238]

Главное отличие состоит в том, что действие нелинейности учитывается в середине, а не на краю шага. Из-за симметричной формы экспоненциального оператора в уравнении (2.4.8) этот метод называют симметричным [42]. В интеграле в центральной экспоненте полезно включить зависимость от z нелинейного оператора N. Если шаг h достаточно мал, интеграл можно приближенно записать как exp(/iN) так же, как в уравнении (2.4.4). Наибольшее преиму-шество этой симметризованной формы уравнения (2.4.8) состоит в том, что ошибка в этом случае будет третьего порядка малости по Л, так как она будет определяться двойным коммутатором в уравнении (2.4.7). Это можно доказать, применив уравнение (2.4.7) дважды к уравнению (2.4.8). [c.51]

Экспоненциальный оператор в этом выражении имеет очень простой смысл. Отметим сначала, что операторы L), каждый из которых действует на переменные одной лишь /-й частицы, коммутируют между собой. Известно, что экспонента суммы коммутируюш их между собой операторов равна произведению экспонент отдельных членов. Тогда [c.145]

Физический смысл этого оператора мы поймем в следующих главах Как будет показано в разд. 18.3, оператор УЗ F совпадает с оператором Власова уравнения (11.7.5). Соответствующий ему экспоненциальный оператор V U t)V будем называть пропагато-ром Власова. . [c.196]

Принцип Вольтерра. При решении статических задач вязкоупругости основную роль играет принцип, сформулированный Вольтерра и основанный на том, что линейные операции дифференцирования и интегрирования по координатам и умножения на временной оператор Вольтерра коммутативны. Поэтому любое решение статической задачи классической теории упругости трансформируется в решение соответствующей задачи линейной вязкоупругости путем замены в окончательном результате упругих постоянных соответствующими операторами. Если в решении классической задачи упругие постоянные фигурируют в качестве множителя, представляющего собою их рациональную комбинацию, расшифровка рациональной фунгщии операторов сводится к последовательному решению интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Для экспоненциальных и дробно-экспоненциальных операторов эти вычисления производятся по стандартным правилам. Более сложное положение возникает тогда, когда в решении задачи теории упругости упругие константы не образуют рациональных комбинаций, а также если тип граничных условий в разных точках поверхности тела меняется. [c.151]

Свойства (1.5) — (1.7) были впервые установлены Ю. Н. Работновым [44] для дробно-экспоненциального оператора (см. 2), который находит широкое применение в теории вязкоупругости. Для этого же оператора М. И. Розовским [48, 50] получено обобщение свойств (1.5), (1.7), которое в работе В. Г, Громова [13] перенесено на операторы о бщего вида. [c.358]

Зевин А. А. О функциях дробно-экспоненциальных операторов теории наследственной упругости.— Прикл. мех. , И969, 5, вып. 11. [c.408]

Экспоненциальные операторы здесь просто осуществляют чередование знаков в соответствии с четностью полного числа заполнения собственных состояний т . В результате получаются обычные а нтикоммутаторы истинных операторов уничтожения и рождения фермионов С , [c.209]

Были проведены экспериментальные исследования по определению долговечности тонкой пластины из полиуретана Solitha-пе-113 со сквозной центральной прямолинейной трещиной (рис. 40.4). Деформирование описывается интегральным оператором с экспоненциальным ядром вида (40.11) и с реологическими характеристиками, приведенными в табл. 39.1. Длина трещины значительно меньше ширины пластины, и поэтому для вычислений можно брать коэффициент интенсивности напряжений для неограниченной пластины (3.15). [c.324]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...