Пластинка вязко-упругая

Предположим сначала для общности, что материал пластинки вязко-упругий. Тогда, принимая во внимание уравнение [c.394]

Функция W должна, кроме того, удовлетворять граничным условиям на кромках пластины. Если в упругой пластине краевые условия не зависят от модуля упругости, то решение задачи для вязко-упругой пластины с помощью принципа Вольтерры легко может быть найдено из решения для упругой пластины. Ограничимся рассмотрением пластинки, кромки которой жестко защемлены либо свободно (шарнирно) оперты. [c.361]

Если же пластинка состоит из вязко-упругого материала и опирается на твердое упругое основание д = кг2)) или плавает на поверхности жидкого основания ( = Ув), то мы должны в левой части уравнения (8.47) поставить точки над ау, а в правой части (8.47) записать ) [c.322]

Математическое изучение этих интересных явлений медленного деформирования наружных слоев земной коры, вызванного изменениями ледниковой нагрузки, приводит к теории изгиба вязко-упругих пластинок, которая пока еще развита очень слабо. Мы надеемся, что в данной главе, возможно, будет пролит некоторый свет на эту и связанные с ней задачи, которые могут возникать в инженерной практике в отношении фундаментов на упругом грунте. С этой целью будут рассмотрены простейшие примеры такого типа, а именно примеры деформации слабо изгибаемой по цилиндрической поверхности бесконечной пластинки постоянной толщины из вязко-упругого материала, прогибы W которой зависят только от координаты х и времени t. Здесь предполагается, что эта пластинка нагружена внешними силами и в изогнутом виде покоится на несколько более плотной подстилающей среде, подобной жидкости. [c.346]

Вязко-упругая пластинка, покоящаяся на основании. [c.347]

Рассмотрим бесконечную горизонтальную пластинку из вязко-упругого материала постоянной толщины Н. Примем за плоскость X, у срединную плоскость пластинки, а положительную координату 2 и смещение т будем отсчитывать вниз. Пластинка слегка изогнута по цилиндрической поверхности, ордината которой хю, представляющая прогиб пластинки, зависит от координаты X и времени I, а также от внешних сил, состоящих из распределенной нагрузки р = Цх, 1 и контактного давления д = —кш, создаваемого основанием. К этому случаю одномерного изгиба пластинки можно применить развитую в гл. 9 теорию изгиба гибкой вязко-упругой балки, предполагая, что последняя изгибается под действием суммы некоторой распределенной нагрузки р и контактного давления д = —кт со стороны основания. Принимая во внимание уравнение (9.9), получаем дифференциальное уравнение для прогибов т такой балки [c.347]

Для бесконечной вязко-упругой пластинки постоянной толщины /г, покоящейся на основании, соответствующее уравнение получается заменой в уравнении (10.1) изгибной жесткости балки 1Е на модуль пластинки Л/, вводимый в теории изгиба плоских упругих пластинок ( 8.1, соотношение (8.4)) [c.347]

Бесконечная вязко-упругая пластинка, изгибаемая сосредоточенной силой. А. Прогиб изменяется со временем экспоненциально. Пусть р = 0, т. е. никакой внещней распределенной нагрузки к пластинке не приложено. Тогда прогибы определяются уравнением (10.3), в котором полагается р = 0. [c.350]

Кроме того, ширина / основной впадины кривой прогиба, отвечающей сосредоточенной силе, приложенной к вязко-упругой пластинке, при нагружении (когда Р > I) меньше, а при разгружении (когда 0<р<1) больше длины /о упругого стержня, обладающего теми же значениями к и N. Упругая часть ш прогиба т вычисляется из уравнения (9.13) [c.353]

Профиль, изображенный в нижней части рис. 10.3, согласно уравнению (10.38), характеризует временное равновесие между направленными вверх и вниз давлениями q=—kw. Это всего лишь промежуточная форма деформированного слоя земли, так как эти давления продолжают действовать и под их действием с течением времени все волны будут постепенно сглаживаться вплоть до превращения в горизонтальную поверхность. В том, что выталкивающее давление q=—kw под поднятыми частями слоя принимает положительные значения (отвечает растягивающим напряжениям), нет ничего противоречивого, так как есть еще гидростатическое давление, создаваемое весом всех пластов, образующих рассматриваемый вязко-упругий слой,-которое, как не относящееся к изгибной деформации, нет нужды рассматривать, но существование которого препятствует тому, чтобы контактное давление q под слоем принимало знак, растягивающих нормальных напряжений. [c.357]

Допустим, с другой стороны, что эта разгрузка вязко-упругой пластинки, плавающей на основании, началась из состояния, когда она была полностью необратимо изогнута под действием ранее приложенной нагрузки [c.374]

После дифференцирования уравнения (10.172) по времени I и подстановки вторых производных д Шх/дх и д Шх/дх в предыдущее уравнение мы видим, что прогибы ш вязко-упругой пластинки, испытывающей также осевое сжатие силой п, действующей в направлении оси х, могут быть определены из дифференциального уравнения [c.394]

На рис. 26 приведены результаты определения реологических свойств обычной формовочной песчано-глинистой смеси по методу П. А. Ребиндера. Текучесть этой смеси, определенная по известным технологическим пробам (их около тридцати), близка к нулю. Осциллограммы на рис. 26, б показывают развитие во времени деформации е чистого сдвига, возникающей в уплотненной смеси при вытягивании из нее рифленой пластинки силой Р (рис. 26, а). Под действием силы Р = 1,0 кГ смесь ведет себя как упруго-вязкое тело (кривая 1) и после разгрузки (участок ВС кривой 1) пластинка возвращается в исходное состояние. Однако под действием силы = 1,335 кГ смесь ведет себя как пластически вязкое тело (кривая 2) и после разгрузки (участок ВЕ кривой 2) в ней обнаруживается остаточная пластическая деформация в 15 мк. [c.188]

Книга включает исследования по устойчивости стержней, пластинок, цилиндрических оболочек и пространственных тел для упругих, пластических, линейно-вязких, нелинейно-вязких (ползущих) и наследственных сред. Исходным материалом для ее написания послужили лекции по устойчивости деформируемых систем, читаемые автором на механико-математическом факультете Московского университета. [c.5]

Имеет место замечательная аналогия между теорией плоского установившегося движения вязкой жидкости и теорией изгиба упругой пластинки >). Если W обозначает нормальное смещение в последней названной задаче, то имеем ) [c.762]

Все эти экспериментальные исследования, несомненно, послужили мощным толчком к тому, чтобы предпринимать попытки к теоретическим исследованиям по вопросу о составлении дифференциальных уравнений движения жидкости с учётом не только давления", но и внутреннего трения. К этому времени стали открываться возможности для теоретических исследований такого рода в связи с развитием механика упруго деформируемого тела. Накопление исследований и решений конкретных задач по теории изгиба брусьев, по теории кручения стержней и по теории колебаний стержней и пластинок на основе использования закона Гука о пропорциональности напряжений деформациям создало все предпосылки не только к тому, чтобы установить общие уравнения равновесия и колебаний упругих тел, но и к тому, чтобы закон Гука в несколько изменённой форме распространить на жидкость и на основе этого создать дифференциальные уравнения движения жидкости с учётом внутреннего трения. Этим обстоятельством и объясняется тот факт, что создатели математической теории упругости—Навье, Пуассон, Коши, Сен-Венан и Стокс оказались одновременно и создателями математической теории движения вязкой жидкости. [c.14]

Нить А В проходит через отверстие в начале координат и соединяется в точке В с вертикально расположенной упругой пружиной (рис.4а). На рис. 46 та же модель представлена в схематизированном виде. Аналогичные схемы двумерных моделей для вязкого, пластического, упруго-пластического, пластического упрочняющегося и вязко-пласти-ческого тела представлены соответственно на рис. Ъа-д. [c.151]

Мы считали, что объемные силы отсутствуют. Возможно, будет поучительным заметить, что варьированное распределение смещений (или скоростей), которое мы только что рассматривали в равенствах (а), (б) и (в), представляет собой фактически точное решение задачи для упругого (или вязкого) материала, удовлетворяющее системе дифференциальных уравнений, записанных в величинах и, V, ш, и относится соответственно к теории упругости или теории вязкого тела (см. уравнения (25.5) и (26.8) т. 1, стр. 442 и 450 в. последнем случае). Кроме того, возможные распределения, которые отклоняются от строго равновесного, также представляют собой такие точные распределения. (Уравнение (а) выражает фактически скорости течения в слое вязкой среды, движущейся между двумя жесткими параллельными пластинками, когда одна из них перемещается относительно другой со скоростью щ и одновременно под действием градиента давления происходит ламинарное движение жидкости вперед, вдоль оси х на рис. 3.2). В случае, описываемом уравнением (а), легко установить, что корректные значения напряжений, отвечающие использованным варьированным состояниям упругой (вязкой) среды, даются более сложным распределением напряжений, которое, помимо измененных значений Хху, включает также нормальные напряжения а и (Ту. Это приводит, таким образом, к увеличению энергии в измененной системе, характеризуемой величинами и, о, ш. Отсюда следует правдоподобный вывод, что при добавлении новых ограничений энергия варьированных состояний увеличивается. [c.159]

Избранные решения бигармонического дифференциального уравнения. Определение компонент напряжений при плоской деформации в упругом или чисто вязком материалах, компонент скоростей в вязком веществе и прогибов плоской слабо изогнутой упругой или вязкой пластинки (см. гл. 9) приводит к нахождению интегралов бигармонического дифференциального уравнения АА/ = 0 при заданных граничных условиях. Функция f может представлять функцию напряжений, или функцию Эри Р, функцию тока ар или функцию прогибов ш плоской пластинки. Естественно, что в этой книге нельзя дать подробное перечисление и обзор большого числа существующих точных решений, полученных в этой области за последние 50—60 лет. Данная глава посвящена краткому ознакомлению читателя с теорией получения некоторых интегралов уравнения АА/=0 для избранной группы двумерных задач, имеющих отношение к задачам о действии сосредоточенного давления в упругом и вязком телах и к некоторым геофизическим приложениям. [c.237]

Чисто вязкая пластинка. Когда остаточные деформации преобладают, можно пренебречь упругими деформациями и вычислять прогибы из уравнения (10.7), считая р = 0, [c.364]

Гребеников Е. А., Тынысбаев Б. Построение и решение стандартных систем дифференциальных уравнений, описывающих колебания длинной вязко-упругой пластинки.— М. Препр. ИТЭФ-39, 1978, 17 с. [c.253]

Некоторые главы могут показаться на первый взгляд неподходящими для книги, посвященной прежде всего пластичности, поскольку в них кратко рассматриваются основы математиче ских теорий упругости и вязкости и приводится ряд точных решений соответствующих задач. Но внимательный читатель, вероятно, заметит, что некоторые решения, связанные с упругими пластинками, с периодически расположенными сосредоточенными силами, действующими на пластинку, а также теория температурных напряжений и т. п., представлены в значительно улучшенном, более кратком и точном виде кроме того, получены новые решения для чисто вязких и вязко-упругих пластинок, покоящихся на основании, подобно жидкости создающем выталкивающую силу. [c.10]

Таким образом, после суммирования мы видим, что, во-первых, в период времени 0[c.359]

Во-вторых, если мы примем последние значения за начальные для второй серии деформаций и С, когда сила уже поддерживается постоянной P= onst и t>il, Я>Яь то вязко-упругая пластинка получит дополнительные прогибы W и С, которые мы вычислили в выражениях (10.53) и (10.51). Поэтому полный прогиб в момент времени t>t составляет [c.360]

На рис. 10.7 показано изменение максимального прогиба С слоя со временем / для частного случая Я1=Яо. Видно, что первоначально упруго прогнутая вязко-упругая пластинка начинает давать остаточный прогиб, причем с бесконечной скоростью йС1сИ=С — оо (вертикальный наклон в начале = 0). Однако при [c.363]

Пример 1. Если бесконечная вязко-упругая пластинка нагружена однородным давлением р=ро=сопз , периодически распределенным в интервалах [c.368]

Однако при стремлении времени к бесконечности члены е в выражении (10.92) обращаются в нуль, и в оставшемся ряде мы узнаем умноженный на к первоначальный ряд (10.91), представляющий собой давление p=f(л ), так что при 1=00 имеем ш = р1к. Предполагая, что кривая давления р= х) имеет конечные разрывы, мы придем к парадоксальному результату, что кривая прогиба ге), когда 1 стремится к бесконечности, стремится приобрести подобные же конечные разрывы. Это подтверждает сказанное выше о конечной форме равновесия вязко-упругой пластинки (см. стр. 349), в которой в виде функции гг х) запечатляется начальная, не меняющаяся со временем кривая давления р=1 х). Мы заключаем отсюда, что не имеет смысла рассматривать ряд (10.92), когда уже наступила эта завершающая стадия деформирования, поскольку гораздо раньше этой стадии изгибающие напряжения в пластинке станут крайне большими, вызвав местное пластическое течение или разрывы. [c.369]

Для сравнения форм прогибов вязко-упругой пластинки рассмотрим применительно к соотношению (10.112) следующие законы изменения распределенной нагрузки, представляющ.ие собой некоторый интерес для геофизики. [c.373]

В связи с задачами о температурных напряжениях, вызываемых установившимся, не зависящим от времени распределением температуры, см. Мелан Э., П а р к у с Г., Температурные напряжения, вызванные стационарными температурными полями, Физматгиз, М., 1958. В этой книге содержится обширный обзор по теории, основанной на классических постулатах о линейности соотношений между напряжениями и деформациями с неизменными значениями упругих и температурных констант материала. В ней описаны температурные напряжения в двумерном и трехмерном случаях — в дисках, пластинках, телах вращения и т. п. Ее продолжением служит книга Паркус Г., Неустановившиеся температурные напряжения, Физматгиз, М., 1963, где рассматриваются температурные напряжения в переходных температурных полях, а также имеется небольшой обзор по температурным напряжениям в вязко-упругих и упруго-пластичных средах. [c.466]

В 1968 г. А. А. Каминский воспользовался для исследования развития трещив в вязко-упругих средах бк-теорией М. Я. Леонова — В. В. Панасюка. Он выписал решение задачи для трещины, ослабляющей тонкую упругую пластинку, где к берегам разреза приложены равные по величине сосредоточенные силы, и, воспользовавшись принципом Вольтерра, получил уравнение движения концов трещины разрушения, заменив модуль Юнга соответствующим временным оператором. А. А. Каминский, исследовал частные случаи для тела Максвелла, экспоненциальных и дробно-экспо-ненциальных ядер наследственности. Из двух последних примеров следует, что при неустановившейся ползучести, когда эффект ползучести затухает со временем, рост-трещины происходит с затухающей скоростью и через некоторое время практически останавливается. В то же время в случае установившейся ползучести рост трещины не замедляется, а происходит с постоянной скоростью. Эти выводы согласуются с результатами Л. М. Качанова (1961, 1963) и Г. П. Черепанова (1967). [c.430]

О,пример 9. Прямоугольная пластинка оесом G = 0,5 Н, помещенная в сосуд с вязкой жидкостью, прикреплена к концу В упругой пружины АВ, коэффициент жесткости которой с = 0,25 Н/см. В некоторый момент ползунок А, к которому прикреплен верхний конец пружины, начинает совершать вертикальные колебания согласно уравнению у = Ь sin pt, где 6 = 2 см и р=15 с". Сила сопротивления движению пластинки [c.60]

Пластикам, являющимся упруго-вязко-пластическими материалами, свойственна нестабильность структуры во времени и при изменении температуры они имеют изменяющиеся во времени прочность и деформативность при постоянной длительно действующей, ступенчатой, непрерывно изменяющейся и повторно переменной нагрузках (зависимость прочности от времени нагружения более четко видна у терме пластов, чем у реактопластов). [c.139]

За недостатком места в этом томе не затронут ряд интересных приложений теории пластичности. Предполагается, что эти темы будут освещены во втором томе, куда намечено включить такие вопросы, как пластические деформации металлов под сосредоточенным давлением с приложением к процессам формовки путем прокатки и волочения, теория твердости, остаточные напряжения, деформации оболочек, устойчивость тонких пластинок за пределом упругости, энергетические принципы, а также примеры течения весьма вязких материалов. Актуальность задач проектирования частей машин, подвергающихся действию очень высокой температуры, побуждает поставить на обсуждение и вопрос о ползучести металлов и, в частности, рассмотреть законы деформпрования при ползучести. Все эти вопросы, а также некоторые вопросы геофизики, [c.5]

К этим явлениям можно отнести и эффект Баушингера, Тонкие пластинки пз пластичного металла прп деформации изгиба за пределом упругости дают очень заметную петлю гистерезиса на кривых нагружения—разгрузки прп пзменении знака изгибающего усилия. После каждого такого цикла в пластинке образуются пластические деформации и значительные остаточные напряжения. Последние можно отнести за счет неоднородной деформации в микроструктуре твердых тел упругие и пластические или вяэкпе типы деформации должны в ней происходить одновременно. Однако вязкие деформации распределяются в зернистой структ фе неравномерно. [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...