Элементарная теория изгиба

Элементарная теория изгиба [c.71]

Для построения элементарной теории изгиба определим поле перемещений ы = м(л ,, лга- л-л), возникающее в стержне при его изгибе моментом, и проведем анализ этого поля перемещений. [c.71]

Зависимость (2.162) в элементарной теории изгиба известна как закон Эйлера — Бернулли. [c.72]

Если в уравнениях (е) и (ж) отбросить последние члены, учитывающие влияние деформаций сдвига, то эти уравнения совпадут с уравнениями элементарной теории изгиба сплошного бруса (3.83). Для нагрузки, рассматриваемой в задаче, все pj = 0 и, кроме того, 2= з = 0, а поэтому остаются только три последних уравнения (г). Эти уравнения независимо от остальных уравнений (г) образуют систему трех совместных дифференциальных уравнений, опреде- [c.345]

Здесь первое слагаемое представляет собой напряжение, получаемое на основании элементарной теории изгиба в курсе сопротивления материалов, а второе слагаемое следует рассматривать как поправку к этой теории. Величина поправки не зависит от координаты Xi и при 21 h она пренебрежимо мала по сравнению с величиной первого слагаемого формулы (е). Например, при й/2/ = 0,1 поправка для наибольшего напряжения Оп в среднем сечении составляет всего 0,3% от напряжения, определяемого элементарной теорией, а при h 2l — 0,25— [c.249]

Элементарная теория изгиба базируется на предположении, что напряжения отсутствуют, в действительности они имеют место. Эпюра этих напряжений, не зависящих от координаты х , приведена на рис. 9.13, в. . [c.249]

Здесь выражение перед квадратными скобками равно прогибу, который находится по элементарной теории изгиба, базирующейся на гипотезе плоских сечений, а второе слагаемое в этих скобках определяет влияние на прогиб поперечной силы. [c.251]

Первое слагаемое в формуле для Стц совпадает с величиной напряжения, даваемой элементарной теорией изгиба, а второе слагаемое является поправкой к этой теории. [c.252]

Из второй формулы (9.164) вытекает, что при чистом изгибе рассматриваемого бруса его поперечные сечения остаются плоскими, т. е. одно из предположений элементарной теории изгиба кривого бруса подтверждается, а другое предположение (отсутствие напряжений Огг), на котором базируется элементарная теория, не соответствует действительности. Последним обстоятельством объясняется некоторое расхождение между напряжениями оов элементарного и точного решений. В табл. 9.1 приведены значения коэффициента /г, с помощью которого определяются наибольшее и наименьшее значения напряжения 000 элементарного и точного решений по формуле [c.267]

На рис. 9.25, б приведены графики (эпюры) напряжений и а в сечении И для случая = Зл , где в скобках даны значения напряжения (Тее в крайних точках сечения, подсчитанные по элементарной теории изгиба данного бруса, базирующейся на гипотезе плоских сечений и допущении, что напряжения отсутствуют. Можно считать, что элементарная теория дает вполне удовлетворительные резуль-S) таты. Отметим, что распре- [c.272]

В заключение сделаем четыре замечания. Во-первых, проекция изогнутой оси балки несколько короче начальной длины этой оси в прямой балке (до приложения внешних нагрузок). В элементарной теории изгиба балок этим обстоятельством обычно пренебрегают. Однако на практике с этим эффектом необходимо считаться. Например, при необходимости закрепления балки на двух и более опорах лишь одна из них может быть неподвижной в продольном направлении. В противном случае [c.30]

Круглые и продолговатые отверстия в очень широком стержне (рис. 269). Предполагается, что большая ось отверстия совпадает с осью стержня или перпендикулярна к ней. На рис. 269 даны графики распределения напряжений для случая, когда //р = 25. При перемещении от дна выточки вдоль ее контура, а также вдоль оси у напряжения быстро убывают. Напряжения, показанные штриховой линией, соответствуют результатам, полученным на основании элементарной теории изгиба с учетом ослабления стержня в результате высверливания отверстия. Для наибольшего напряжения, возникаю щего у дна выточки, формула может быть записана в виде [c.286]

Предположение о том, что поперечное сечение стержня при кручении остается плоским, вполне аналогично такому же предположению в элементарной теории изгиба балок, которая была изложена в третьей главе. Но применительно к задачам изгиба это предположение выполняется во всех случаях с практически достаточной точностью, оно позволяет определить основные при изгибе напряжения — нормальные к плоскости сечения. Некоторое искривление поперечных сечений может происходить за счет касательных напряжений, но эти напряжения, как было показано, относительно невелики. Для кручения, когда возникают именно касательные напряжения, поперечные сечения действительно остаются плоскими только тогда, когда сечение ограничено концентрическими окружностями, как это было рассмотрено в 9.6. Чтобы построить решения в общем случае, добавим к напряженному состоянию (9.6.1) напряженное состояние, соответствующее антиплоской деформации по формулам (9.1.1). Получим [c.292]

Полученная формула для нормального напряжения отличается от той, которая относится к элементарной теории изгиба, наличием последнего члена, содержащего секториальную площадь. Этот член появляется тогда, когда погонный угол закручивания б меняется с координатой Хз. [c.315]

Если в уравнениях (е) и (ж) отбросить последние члены, учитывающие влияние деформаций сдвига, то эти уравнения совпадут с уравнениями элементарной теории изгиба сплошного бруса (3.83). [c.252]

Первый член в этом выражении представляет напряжения, даваемые элементарной теорией изгиба, а второй член — необходимую поправку. Поправочный член не зависит от х и мал по сравнению с максимальным напряжением изгиба, если пролет балки велик по сравнению с ее высотой. Для таких балок элементарная теория изгиба дает достаточно точные значения напряжения о . Следует отметить, что выражение (33) является точным решением только в том случае, если нормальные условия на концах х 1 распределены по закону [c.65]

Это означает, что перемещение любого поперечного сечения складывается из поступательного перемещения —К sin 0, одинакового для всех точек сечения, и поворота поперечного сечения на угол 4В0/ относительно центра кривизны О (рис. 42). Мы видим, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими, как это обычно и предполагается в элементарной теории изгиба криволинейных стержней. [c.94]

Задача о распределении напряжений в балке при действии сосредоточенной силы представляет большой практический интерес. Ранее было показано ( 23), что в балке узкого прямоугольного поперечного сечения с непрерывной нагрузкой применение элементарной теории изгиба дает возможность получить распре- [c.127]

Проверить, что в частном случае а-=я/2 компоненты напряжения (е) из 39 удовлетворяют уравнению (68), и исследовать, согласуется ли это распределение напряжений с элементарной теорией изгиба для малых а. [c.157]

Обозначим, как и ранее, через М и М" части изгибающего момента, воспринимаемые стенкой и полкой, через —напряжение в центре тяжести стенки С и через — напряжение в срединной плоскости полки тогда по элементарной теории изгиба [c.276]

Это совпадает с кривой прогибов, которую дает элементарная теория изгиба. [c.295]

Формулы (144) используются в теории пластинок, когда изгибающие моменты распределены неравномерно и сопровождаются присутствием поперечных сил и поверхностного давления. При этих условиях формулы (144) можно получить из общих уравнений главы 8 в качестве аппроксимации, справедливой лишь для тонких пластинок. Подобным же образом можно связать с общими уравнениями и элементарную теорию изгиба стержней ). [c.298]

При рассмотрении чистого изгиба ( 102) было показано,что если брус изгибается в одной из главных плоскостей двумя равными и противоположными по знаку моментами, приложенными в этой плоскости к концам бруса, то изгиб происходит в той же плоскости и из шести компонент напряжения отлично от нуля лишь нормальное напряжение, параллельное оси стержня. Это напряжение пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Таким образом, в этом случае точное решение совпадает с решением элементарной теории изгиба. При рассмотрении изгиба консоли узкого прямоугольного поперечного сечения силой, приложенной на конце ( 21), было показано, что кроме нормальных напряжений, пропорциональных в каждом поперечном сечении [c.358]

Первая система соответствует параболическому распределению напряжений, которое дает обычная элементарная теория изгиба. [c.365]

Мы видим, что ось консоли изгибается в плоскости хг, в которой действует нагрузка, и кривизна в каждой точке пропорциональна изгибающему моменту в этой точке, как это обычно предполагается в элементарной теории изгиба. Интегрируя первое из уравнений (а), находим [c.381]

Элементарная теория изгиба пластинок, основанная на допущении, что линейные элементы пластинки, перпендикулярные срединной плоскости 2=-0, остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности пластинки ), дает следующую [c.389]

Если рассматривать пластинку как балку на двух опорах и предположить линейное распределение по поперечному сечению (x = 0), то найдем (а0,60/7. Мы видим, что для пластинки таких пропорций обычная формула элементарной теории изгиба дает совершенно неудовлетворительный результат. [c.545]

Решение. По элементарной теории изгиба ог=- [c.121]

Проверить правильность написанных формул, используя общие выводы предыдущей задачи, построить эпюру т по горизонтальному диаметру и наибольшее касательное напряжение сравнить с результатами элементарной теории изгиба. [c.122]

В элементарной теории изгиба утверждение о том, что сечения стержня плоскостью, перпендикулярной оси Охд, после деформации остаются плоскими и перпендикулярными той лниии, в которую переходит ось Ох-и принимается в качестве исходной гипотезы (гипотеза плоских сечений). [c.73]

Последняя формула нормального напряжения полностью совпадает с формулой элементарной теории изгиба, чего нельзя сказать в отношении формул для тангенциальных напряжений ris и а2з- Со- [c.208]

Следует отметить, что при изгибе бруса сравнительно большой длины наибольшее нормальное напряжение О33 значительно превосходит наибольшее касательное напряжение. Поэтому погрешность при определении касательных напряжений по элементарной теории изгиба не отражается (или почти не отражается) при решении задачи о прочгтасти бруса. Однако выяснение действительной картины распределе1шя касательных напряжений имеет существенное значение при определении. центра изгиба. [c.214]

Horo сечения балки. Напротив, по элементарной теории изгиба наибольшее нормальное напряжение полунается несколько больше, чем по первой формуле (9.191). [c.276]

Часто применяемые на практике балки таврового, двутаврового, зетового, коробчатого и других тонкостенных сечений могут рассматриваться как состоящие из длинных прямоугольных полос, соединенных между собой вдоль краев. Элементарная теория изгиба применительно к таким профилям может быть неточной более правильные расчеты получаются, если строить для каждой из полос решение плоской задачи теории упругости и эти решения сопрягать между собою. Таким образом, возникает естественная необходимость построения решения плоской задачи для длинного, вытянутого прямоугольника. Оговорка о том, что прямоугольник должен быть вытянут, существенна. Дело в том, что метод разделения переменных, который будет применен в этой задаче, не позволяет удовлетворить двум граничным условиям на каждой стороне. Поэтому при решении добиваются точного удовлетворения граничных условий на длинных сторонах, тогда как на коротких сторонах граничные условия выполняются лишь интегрально. Вспомним, что такая же ситуация встречается в теории кручения и изгиба. Пусть ширина балки есть 2Ь, длина I, оси координат выбраны так, что границами слун ат линии х, = 0, х, = I, Х2 = Ь. [c.355]

Начнем с простого случая, изображенного на рис. 46. Стержень узкого прямоугольного поперечного сечения с осью в форме дуги круга закреплен на нижнем конце и изгибается силой Р, приложенной в радиальном направлении к верхнему концу. Изгибающий момент в любом поперечном сечении т пропорционален sin0, а нормальное напряжение Oq, согласно элементарной теории изгиба кривых брусьев, пропорционально изгибающему моменту. Полагая, что это остается справедливым р [c.99]

Дальнейшего прогресса в этой области достиг Лэмб ), который рассмотрел бесконечную балку, нагруженную через равные промежутки равными сосредоточенными силами, действующими попеременно вверх и вниз, и получил для нескольких случаев выражения кривой прогибов. Полученные результаты показывают, что элементарная теория изгиба Бернулли—Эйлера является весьма точной, если высота балки мала по сравнению с длиной. Было также показано, что уточнения для поперечной силы, даваемые элементарной теорией Ренкина и Грасхофа (см. стр. 67), являются несколько завышенными и должны быть уменьшены примерно на 25% = ). [c.130]

Поправки к элементарным теориям изгиба балок и пластинок исследовались также на основе вывода этих теорий в качестве предельных случаев решений общей трехмерной линейной теории упругости. См. J. N. Goodier, Ргос. Roy. So . anada, ser. 3, se . 3, 32, 1—25 (1938). [c.136]

В качестве другого примера применения принципа минимальной энергии к двумерным задачам для прямоугольных областей рассмотрим балку с очень широкими полками (рис. 135). Такие балки очень часто встречаются в железобетонных конструкциях и в конструкциях корабельных корпусов. Элементарная теория изгиба предполагает, что напряжения изгиба пропорциональны расстоянию от нейтральной оси, т. е. что напряжения по ширине полки не меняются. Однако известно, что если при изгибе ширина полки очень великя, части полок, удаленные от стенки балки, не вносят полного вклада в момент сопротивления, и балка оказывается слабее, чем это следует из элементарной теории изгиба. Обычно при определении напряжений в таких балках действительную ширину полок заменяют некоторой приведенной шириной таким образом, чтобы элементарная теория изгиба, примененная к приведенному сечению, давала корректные значения максимальных напряжений изгиба. Эта приведенная ширина полок называется эффективной шириной. Дальнейшие рассуждения дают теоретическую основу для определения этой эф41сктивной ширины. [c.272]

Проблема, подобная рассмотренной в 94, встречается при расчете подкрепленных тонкостенных конструкций. Рассмотрим коробчатую балку (рис. 137), образованную двумя швеллерами АВРЕ и D GH, к которым с помощью заклепок и сварки по краям прикреплены два тонких листа А B D и EFGH. Если вся балка заделана левым концом и нагружена, как консоль, двумя силами Р, приложенными к швеллерам на другом конце, то, согласно элементарной теории изгиба, растягивающие напряжения изгиба в листе AB D равномерно распределены по любому сечению, параллельному ВС. В действительности, однако, лист воспринимает растяжение от касательных напряжений по его краям, связанным со швеллерами, как показано на рис. 137, и распределение растягивающих напряжений по его ширине не будет постоянным в соответствии с эпюрой напряжений на рис. 137, напряжения по краям будут выше, чем посередине. Такое отклонение от принятого в элементарной [c.277]

Эксперименты показывают, что использование метода мыльной пленки дает возможность добиться удовлетворительной точности при определении напряжения. Результаты, полученные для двутаврового сечения ), показаны на рис. 200. Из него можно видеть, что обычные допущения элементарной теории изгиба о том, что стенка двутавровой балки воспринимает большую часть поперечной силы и что касательные напряжения по толщине стенки постоянны, полностью подтверждается. Максимальное касательйое напряжение в нейтральной плоскости хорошо согласуется с тем, которое дает элементарная теория. Компонента в стенке [c.379]

Консольный брус произвольной формы поперечного сечеипя изгибается силон Р, приложенной на свободном конце п параллельной одной нз главных осей сечения (рис. 57). Приняв для нормальных напряжений в поперечном сеченнп формулу нз курса сопротивления. материалов и положив, как п в элементарной теории изгиба, = 0 (эти допущения оправды- [c.121]

Сравнивая решение задачи об изгибе полосы, полученное методами теории упругости, с решением аналогичной задачи методами сопротивления материалов, замечаем, что при точном решении задачи напря кения ие равны нулю, т. е. волокна надавливают друг на друга, и напряжения изменяются по высоте сечения по закону кубичес]шй параболы. Нормальные осевые напряжения имеют отличаюш ий-ся от линейного закон распреде.лешш напряжений, однако уточнения, вносимые двумя последними членами выражения (4.26), невелики. Распределение касательных напряжений по высоте полосы (при условии, что Р на торцах распределено по такому же закону) соответствует тому, которое получается пз элементарной теории изгиба балок. [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...