Упругие постоянные матрица

Исследуем устойчивость слоя, составляющего верхнюю часть упругого полупространства, свободную от внешних нагрузок. Пусть X , Р1 — упругие постоянные матрицы, У, р — отклонения упругих постоянных в слое от значения 1, р1 тогда р=Р14-р — упругие постоянные слоя. [c.29]

Исследование процесса распространения гармонических волн согласно только что изложенной теории показывает, что для волн, длина которых имеет порядок диаметра волокон или расстояния между волокнами, фазовая скорость существенно зависит от длины волны в том случае, когда упругие постоянные армирующего материала значительно отличаются от упругих постоянных матрицы. Следовательно, импульс, распространяющийся в таком материале, будет быстро диспергировать. Численные значения фазовой скорости волн сдвига, распространяющихся параллельно волокнам, в зависимости от волнового числа показаны на рис. 9 для трех значений отношения а именно [c.377]

Для кубического кристалла с учетом ограничений, налагаемых кубической симметрией на упругие постоянные Сц [см. матрицу (4.42)], и выражений для компонент деформации [формулы (4.19), (4.20)] имеем [c.144]

Следовательно, если тело в каждой точке имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии упругих свойств, то имеется только 9 не равных нулю упругих постоянных их можно представить в виде матрицы [c.67]

Таким образом, тензор упругих постоянных ( i/ , ) в самом общем случае анизотропии линейно-упругого тела имеет 21 независимую компоненту (упругую постоянную), которые можно представить в виде следующей симметричной матрицы [c.58]

Подставив значения упругих постоянных G и X по формулам (3.63) и (3.64), получим матрицу упругих постоянных для задачи плоской деформации [c.332]

Модули упругости ij и податливости образуют матрицы 6X6, симметричные вследствие существования потенциала. Таким образом, число упругих постоянных равно 21. [c.242]

Модель сферического включения развивалась в направлении, в котором конкретизировались упругие свойства включения и матрицы. При этом задавались значения постоянных упругости, например %, ц, о, , (сжимаемости, модуля сдвига и коэффициента Пуассона) матрицы и р, включения, а также радиусы Г и (см. рис. 9, а). Тогда из условия равновесия безграничной матрицы с включением (условия минимума суммарной упругой энергии матрицы и включения) получается формула для определения Го (см. (4,8)), которую приближенно можно переписать в виде [c.60]

Зависимость упругих постоянных (ГПа) композиционных материалов, образованных системой трех нитей, из кремнеземных и кварцевых волокон, от типа матрицы [c.157]

Расчетные и экспериментальные значения упругих постоянных (ГПа) композиционных материалов, образованных системой трех нитей, из кремнеземных и кварцевых волокон с различными матрицами [c.158]

Совершенно иная картина наблюдается для углепластика с углеродной матрицей. Расчетные значения упругих постоянных плохо согласуются с опытными данными. Модуль упругости, рассчитанный по свойствам исходной арматуры п матрицы, оказывается существенно ниже экспериментальных значений. Для модуля сдвига имеет место противоположный результат — экспериментальные значения более чем в 2 раза ниже расчетных. Такое явление обусловлено тем, что в процессе создания углеродной матрицы происходит науглероживание [c.185]

Твердорастворное упрочнение (Олэ). связанное, как известно [187, 218, 219], в основном с размерным несоответствием атомов легирующего элемента н матрицы и с различием их упругих постоянных, сводится к взаимодействию упругих полей дислокаций с упругими полями вокруг атомов легирующих элементов. Сила, действующая на растворенный атом со стороны упругого поля дислокации, при высоких температурах вызывает его дрейф в направлении приложенной силы. Этот дрейф представляет собой ни что иное, как релаксацию [c.92]

Следовательно, в общем случае матрица jj может содержать 21 независимую упругую постоянную (при заданном значении z). [c.41]

Мы будем рассматривать слоистую среду, состоящую из чередующихся плоских параллельных слоев двух однородных изотропных материалов. Как и ранее, упругие постоянные Ламе и толщина высокомодульной армировки и низкомодульной матрицы обозначаются через dt и V, Цт, dm соответственно. [c.365]

Из механических свойств композитов с дисперсными частицами наиболее широко изучен и обсужден модуль упругости [23, 34, 44]. Сравнение теоретических моделей с экспериментальными данными показало, что модуль упругости композита и другие упругие постоянные можно вычислить с большой точностью, если известны упругие свойства матричной фазы (обозначаемые индексом т) и дисперсной фазы (обозначаемые индексом р), а также объемное содержание дисперсных частиц Ур. В общем случае дисперсная фаза либо уменьшает, либо увеличивает модуль упругости матричной фазы в зависимости от того, будет ли модуль дисперсных частиц меньше или соответственно больше модуля упругости матрицы. [c.29]

Помимо химической совместимости компонентов, в металлических композициях следует также учитывать и физическую (механическую) совместимость. Проблема физической совместимости связана с тем, что волокна и матрица имеют различные упругие постоянные, коэффициенты Пуассона и линейного расширения. [c.57]

В табл. 15.4 (заимствована из упомянутой выше книги Дж. Пая) показана структура матриц упругих постоянных (упругих жесткостей и упругих податливостей), соответствующих всем тридцати двум видам симметрии кристаллов 1). В этой таблице черным кружком показаны отличные от нуля элементы матрицы, точкой — равные нулю элементы. Одинаковые по величине и знаку [c.476]

Сингония Классы Структура матриц С и Число разных упругих постоян- ных [c.477]

Для линейно-упругого тела матрица [/)] является постоянной, и имеет место следующая зависимость между приращениями напряжений и деформаций [c.69]

Эту матрицу целесообразно вычислять для тех слоев элемента, которые отличаются между собой упругими постоянными. С помощью матриц напряжений удобно определять напряжения в слоях по известным перемещениям узлов базового слоя. [c.56]

Основной задачей микромеханики композитов является построение зависимостей, выражающих средние (эффективные) упругие постоянные слоя Е1, Е2, 12, Vl2, V2з через упругие постоянные волокон и матрицы, а также геометрические характеристики структуры. Разработано большое число микромоделей композитов, которые можно разделить на следующие группы [c.279]

А У +ВУ + СУ = О, (6.6.40) где А, В, С - постоянные матрицы размерности (лхл) соответственно инерционная, диссипативная и упругая У - вектор состояния системы. Уравнение (6.6.40) можно записать в виде системы двух векторных уравнений первого порядка [c.398]

Рассмотрим однонаправленно армированный слой (рис. 4.1), направив оси l, 2, 3 вдоль армирующих волокон, перпендикулярно им в плоскости слоя и ортогонально плоскости слоя. Будем считать матрицу линейно-упругой и изотропной с модулем упругости модулем сдвига и коэффициентом Пуассона Аналогичное предположение сделаем относительно армирующих волокон, обозначив их упругие постоянные через [c.79]

Воспользуемся далее законом Гука в форме (1.15) о = = Х , где а — матрица-столбец напряжений к — матрица упругих постоянных. Подставляя сюда соотношение е = Pv , имеем [c.110]

Таким рбразом, для тела с одной плоскостью упругой симметрии при указанной ориентации осей координат матрица упругих постоянных имеет вид [c.58]

Следовательно, в данном случае число упругих постоянных будет равно 9. Из рассмотрения матрицы (3.38) лe кo заметить, что при наличии у тела двух взаимно перпендикулярных плоскостей упругой симметрии (ZiX H х х обращаются в нуль также упругие постоянные ijhi, среди индексов которых встречается один или три раза индекв 1 . Отсюда следует, что если в теле имеют место две ортогональные плоскости упругой симметрии, то и ортогональная к ним третья плоскость также будет плоскостью упругой симметрии. [c.59]

Основное уравнение задачи (7,320), разумеется, упрощается для ортотропного бруса. В этом случае в рмуле закона Гука (7.304) модули упругости представляются матрицей (3.38) с числом независимых упругих постоянных, равным девяти. Упругие постоянные tjt, и Аkiij (в случае ортотропного тела), у которых среди индексов встречаются один или три раза индекс 1 , 2 или 3 , равны нулю. Поэтому при кручении ортотропного бруса коэффициент податливости Л assi = О и равенства (7.311) упрощаются - [c.201]

Решения теории упругости. Более строгая схема решения той же задачи состоит в том, что оборванное волокно рассматривается включенным в анизотропную упругую среду, упругие постоянные которой находятся в результате определения характеристик составляющих гетерогенной системы волокно — матрица. Мы не приводим здесь это довольно сложное решение, при построении которого волокно рассматривается как стержень и граничные условия на плоскости обрыва удовлетворяются интегрально. Оценки неэффективной длины оказываются близкими к тем, которые были получены выше, но распределение касательных 45 ю. н. Работноя [c.697]

Из 36 упругих постоянных йц независпмымп являются только 21. Матрица коэффициентов симметрична относительно главной диагонали, т. е. имеют место равенства [c.39]

Матрица податливости aij , 1, ) = = 1, 2,. .., 6, определяемая на участке dx, является обратной по отношению к матрице жесткости (В ,), компоненты которой тождественны соответствующим компонентам тензора жесткости [Втпп1] п, к, I = I, 2, 3 их вычисляют по общей методике расчета констант слоистой среды по формулам (3.33)—(3.36). Усредненные значения выражений, входящих в правые части этих формул, находят по зависимостям, аналогичным (3.43). При этом компоненты тензора жесткости каждого слоя Втпк1 в системе координат 123 рассчитывают по формулам пересчета констант материала при повороте главных осей упругой симметрии 1 3 вокруг оси 2 на угол 0. Необходимые для расчета компоненты матрицы жесткости 5 , 1,/ = 1, 2,. ... 6, в главных осях 1 23 выражают через упругие постоянные [c.91]

Выражения для усредненных на базе I компонент матрицы податливости двух совместно работающих слоев получаются при подстановке зависимостей (4.9)—(4.11) в выражение (3.10) с учетом их изменений при повороте системы координат. При наличии синусоидальной формы искривления волокон формулы для расчета усредненных компонент матрицы податливости совместно работающих слоев получаются весьма сложными. Вычисление интегралов может быть выполнено лнщь с помощью ЭВМ. Замена синусоидальной формы искривлений волокон ломаной линией, как показывает сравнительный анализ, не вносит большой погрешности в значения упругих постоянных материала, но значительно [c.93]

Сведение трехмерноармированной среды к однонаправленно-армированной. Суть третьего подхода заключается в том, что арматура материала, уложенная в двух направлениях, усредняется со связующим в макроскопически однородную анизотропную матрицу, упругие характеристики которой определяют по расчетным зависимостям для ортогонально-армированного материала. Расчет упругих констант последнего подробно изложен в работе [49]. Анизотропная матрица представляется пронизанной волокнами третьего направления. Выражен ния для расчета упругих констант трехмерноармированного композиционного материала, полученные на основе подхода работы [49], приведены в табл. 5.2. Верхние индексы в скобках при упругих постоянных обозначают направление укладки арматуры, нижние — компоненты матрицы податливости. [c.125]

Упругие характеристики композиционных материалов с учетом усредненных свойств матрицы рассчитывают по формулам, полученным для слоистых композиционных материалов с соответствующей укладкой волокон (однонаправленной или ортотропной) [25, 88]. Упругие постоянные связующего, входящие в эти формулы, заменяют упругими характеристиками модифицированной матрицы, которые вычисляют по зависимостям (7.2), (7.3), (7.6)—(7.9) в случае хаотического распределения нитевидных кристаллов в одной плоскости, перпендикулярной к направлению волокон. В случае же распределения кристаллов во всем объеме характеристики модифицированной матрицы определяют по зависимостям (3.83), (3.84) при коэффициенте армирования р = рдр. Выражения для упругих характеристик композиционного материала, армированного вискеризо-ванными волокнами в направлении оси 1, согласно зависимостям, приведенным на с. 59, имеют вид [c.205]

При расчете упругих характеристик предполагалось, что нитевидные кристаллы хаотически располагаются во всем объеме матрицы. Принятое расположение близко к реальному расположению в материале при вискериза-ции как из аэрозоля и суспензии, так и из газовой фазы. Справедливость такого предположения подтверждается удовлетворительным совпадением экспериментальных и расчетных значений упругих постоянных. [c.210]

Таким образом, в трехмерном случае ортотропный материал имеет 12 упругих постоянных, из которых только 9 являются независимыми вследствие симметрии матрицы коэффициентов ягесткости для анизотропного тела. [c.161]

В качестве примера трансверсально изотропной среды специального вида рассмотрим слоистую среду, состоящую из чередующихся плоских параллельных слоев двух однородных изотропных упругих материалов. Упругие постоянные й толщина высокомодульного армирующего материала и низкомодульной матрицы обозначаются через Xt, if, di и V, (Xm, dm соответ ственно (см. рис. 2). Согласно теории эффективных модулей, слоистая среда в целом является трансверсально изотропным материалом с осью в качестве оси симметрии следовательно, связь напряжений с деформациями можно описать уравнениями общего вида (12) — (17). Эффективные упругие модули Qi и т. д. были найдены в работах Ризниченко [57], Постма [56], Уайта и Ангона [79], Рытова [58] и Беренса [14] на основании [c.363]

Композиты являются неоднородными материалами, причем степень их неоднородности характеризуется двумя уровнями. Первый уровень (микронеоднородность) связан с наличием в материале двух фаз - матрицы и армирующих элементов различной природы. Второй уровень (макронеоднородность) связан со слоистой структурой материала, который может состоять из совокупности различно ориентированных моносяоев. При расчете и проектировании композитных элементов конструкций обычно используется макроструктурная феноменологическая модель, включающая некоторые средние (эффективные) упругие постоянные (см. п. [c.273]

В монографии [10] приведены результаты исследования методом локального приближения (модифицированный вариант) механического поведения однонаправленных композитов на основе титана с волокнами бора, борсика, молибдена и высокопрочной стали при осевом растяжении в поперечной плоскости. Вычислены эффективные упругие постоянные и коэффициенты теплового распшрения с учетом частного вида анизотропии механических свойств, построены эпюры напряжений в характерных сечениях ячейки периодичности. Исследованы закономерности процессов зарождения и развития пластических деформаций в титановой матрице в зависимости от свойств и объемного содержания волокон. [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...