Интегральные уравнения и фундаментальные решения

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ [c.187]

Методом граничных интегральных уравнений решались различные динамические задачи. В частности, двумерные задачи динамической теории упругости рассматривались в работах [5—7, 117, 439, 568], трехмерные — в [373, 374, 439, 463, 464, 477, 546]. Задачи о колебаниях упругих тел и пластин, а также задачи на собственные значения изучались в работах (87, 441, 503, 531, 544 и др.]. Существует несколько под содов к решению нестационарных задач методом граничных -интегральных уравнений. Можно использовать шаговую по времени схему, когда решение ищется последовательно в различные моменты времени. При этом используются фундаментальные решения динамических дифференциальных уравнений, которые называются запаздывающими потенциалами. Такой подход к решению динамических задач теории упругости использован в работах [374, 484, 494—496, 556]. Другой подход заключается в применении преобразования Лапласа по времени. В этом случае интегральные уравнения записываются для функций ч пространстве преобразований Лапласа и они решаются при различных значениях параметра преобразования [373]. Затем выполняется численное обратное преобразование Лапласа [196, 440, 465, 466, 536]. В работах [517, 556] рассматривались оба эти подхода и сравнивалась их эффективность с точки зрения точности и затрат машинного времени. Более эффективным оказался метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Этот метод применялся к решению динамических задач в работах [5—7, 117, 140, 373, 463, 464, 472, 518, 568]. Метод решения динамических задач с использованием функций Грина соответствующих статических задач разработан в [448]. Более полный обзор применения метода граничных интегральных уравнений и граничных элементов в динамических задачах сделан в работах [44, 442, 462]. [c.105]

Решение задачи Копти (7.118), как и в п. 7.3.1, можно записать, в виде интегральных уравнений в матричной форме (7.49). Представим основные случаи фундаментальных ортонормированных функций. [c.471]

Для реализации метода граничных элементов необходима матрица фундаментальных решений исходной системы уравнений. В линейных задачах теории упругости и теории пластин фундаментальные решения имеют простой вид, и поэтому метод здесь получил широкое распространение. Для пологих оболочек матрица фундаментальных решений определяется сложными громоздкими выражениями, а для пологой сферической оболочки выражается через специальные функции. Поэтому исследований по решению задач теории пологих оболочек методом граничных элементов мало. В связи с этим актуальной темой исследования является разработка методов граничных интегральных уравнений для решения линейных и нелинейных задач теории пологих оболочек, основанных на применении фундаментальных решений, которые определяются простыми аналитическими выражениями. [c.4]

Рассмотрим вычисление интегралов от матрицы фундаментальных решений по элементам контура, где подынтегральные функции могут иметь особенности при г->0. Считаем, что компенсирующие нагрузки в пределах этих элементов постоянны, поэтому они входят в интегральные уравнения в виде множителей перед интегралами от фундаментального решения и его производных. [c.35]

В настоящем параграфе рассматривается применение метода компенсирующих нагрузок для расчета ортотропных пластин сложной формы. Ядра системы сингулярных интегральных уравнений, к которой сводится решение задачи, выражаются через фундаментальное решение и его производные. Фундаментальное решение для изгиба ортотропной пластины получено в работах [38, 39]. Однако применение данных решений из-за имеющихся в них неточностей приводит к неверным результатам. В связи с этим здесь дается вывод фундаментального решения ортотропной пластины. Приведены интегральные уравнения, описывающие изгиб ортотропной пластины и результаты решения некоторых задач. [c.51]

Применение метода граничных элементов часто осложняется отсутствием фундаментальных решений дифференциальных уравнений или громоздкими сложными выражениями, определяющими фундаментальные решения. В настоящем параграфе излагается итерационный процесс решения задач изгиба пологих оболочек в геометрически нелинейной постановке, основанный на применении фундаментальных решений задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины. Приведены интегральные уравнения непрямого МГЭ. Система нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях (3.1.3) для оболочки постоянной толщины записывается в виде [24] [c.72]

Запишем интегральные уравнения (25.39 ) и (25.40 ), подставив в них выше записанные выражения и соответствующие фундаментальные решения [c.390]

В заключительном параграфе главы построено фундаментальное решение уравнений изгиба многослойной пластинки симметричной структуры — тензора, составленного из решений, отвечающих сосредоточенным силам, направленным вдоль соответствующих координатных осей. Это позволило установить интегральное представление решения задачи изгиба через граничные интегралы от обобщенных перемещений и соответствующих им обобщенных усилий и моментов. Описан способ сведения рассматриваемой краевой задачи к равносильной ей системе интегральных уравнений Фредгольма. [c.129]

Фундаментальное решение Л(дс - j ) позволяет получить интегральное представление решения системы дифференциальных уравнений (5.1.11) через ее правую часть /, значения обобщенных перемещений граничного контура Г и значения на этом контуре соответствующих им обобщенных моментов. Укажем такое представление. Пусть [л w] и [ir л , w] (короче [л , w] и [л, w]) — [c.158]

Если для формулировки алгоритма непрямого МГЭ нам достаточно было воспользоваться простыми физическими соображениями и приемом введения фиктивной системы в неограниченной области, то прямой метод требует более изощренного подхода, который оказывается тесно связанным с использованием интегральных тождеств [7], например второй формулы Грина — уравнение (2.20) и теоремы взаимности Бетти — уравнение (2.30). Тем не менее в обоих методах для определения компонент матричных ядер в окончательных системах уравнений используются те же самые фундаментальные решения для неограниченной области. [c.50]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

Фундаментальные решения, потенциалы и граничные интегральные уравнения [c.7]

Метод, которым в первой части были решены задачи о полу-бесконечных волноводах, обычно называют методом Винера— Хопфа — Фока или методом факторизации. Действительно, в фундаментальных работах Винера и Хопфа 2] и Фока [1] дан общий метод решения интегрального уравнения с ядром, зави-сяш,им от разности переменных, и в полубесконечных пределах. Это интегральное уравнение может быть как однородным, так и неоднородным, но первоначально метод решения был дан для уравнения второго рода, в то время как диффракционные задачи сводятся к интегральному или интегро-дифференциальному уравнению первого рода (см., например, гл. I). Однако метод факторизации, данный в работах [1] и [2], легко переносится на эти уравнения, а также на эквивалентные им функциональные уравнения, которые приводят к решению задачи более коротким путем (см. гл. II и III). Для несимметричных электромагнитных волн в полубесконечном круглом волноводе (гл. IV) получается система двух функциональных уравнений. В общем случае система интегральных уравнений Винера—Хопфа—Фока или эквивалентных им функциональных уравнений не решается, но благодаря своей простоте эта система допускает точное решение, несколько более сложное (см. 25), чем для одного уравнения, но все же достаточно эффективное — оно позволяет рассчитать все важные физические величины. [c.199]

Ясно, что математический аппарат метода ГИУ является полностью классическим и достаточно сильным, чтобы устанавливать общие соотношения между искомыми функциями и граничными значениями. Однако это математический аппарат другого типа, чем тот, который обычно используется для получения численных результатов в инженерных задачах. Следует отметить, что интегральные уравнения уже использовались ранее для постановки и численного решения многих задач, однако в методе ГИУ максимально и, я думаю, наиболее систематически и универсально применяются фундаментальные соотношения между граничными функциями и решением там, где это возможно. Что в таком случае является новым в методе ГИУ —это не его обоснование, а, пожалуй, та точка зрения, с которой можно рассматривать классический математический аппарат в свете способности современных вычислительных машин производить арифметические действия. Не приступая вначале к дискретному описанию всей задачи в целом, мы, действуя, насколько возможно аналитически, устанавливаем в методе ГИУ общие соотношения между значениями на границе и-лишь затем вводим аппроксимации, которые являются сравнительно прямыми и наиболее эффективными. [c.16]

Отыскание изолированных резонансов свелось к определению и последующему решению (8). Для этого необходимо найти функционалы которые связаны с фундаментальными решениями системы интегральных уравнений (3) соотношениями (4). Решения , д2, Яз [c.324]

Фундаментальные решения задачи Б для полуплоскости при действии сосредоточенной в точке (С, 0) нормальной силы -PS(xi - С) в подвижной системе координат (1) было найдено в [34]. Используя результаты этой работы, приведем формулы для вертикальных смещений г 2(ж 0) в зоне а под штампом и интегральные уравнения для контактных давлений p(Q при различных режимах движения. [c.343]

Для решения с использованием свойств (4.53) фундаментальных решений и условий (4.68) сведем краевую задачу к интегральному уравнению относительно контактного давления [c.96]

С использованием свойств (4.33) фундаментальных решений и условий (4.86) задача сводится к интегральному уравнению относительно контактного давления [c.104]

С другой стороны, развитие теории многомерных сингулярных интегральных уравнений сыграло исключительную роль для перенесения методов фундаментальных решений в теорию пространственных задач и для значительного расширения рамок исследования. [c.84]

Замечание. Тот факт, что внешние задачи оказались разрешимыми в потенциалах для всех значений параметра со , указывает на возможность априорной конструкции решения в таком виде, который приводит к интегральным уравнениям, разрешимым по первой теореме Фредгольма. Однако в общем случае разыскание подобных искусственных конструкций затруднительно, и, как мы видели, в этом нет никакой необходимости. Достаточно каждый раз пользоваться потенциалами либо простого, либо двойного слоя и хотя при этом приходим, вообще говоря, к необходимости обращаться к третьей теореме Фредгольма, но интегральные уравнения сами указывают тот набор функций, которые обеспечивают разрешимость. В том случае, когда полюс является простым, как в рассмотренных выше задачах, такими функциями служат совокупности фундаментальных решений данного и союзного уравнения, а в случае полюса высшего порядка — совокупность так называемых главных функций этих же уравнений (см. по этому вопросу Купрадзе 16], [13]). [c.310]

Для задач Дирихле и Неймана в случае уравнения Гельмгольца можно построить интегральные уравнения, аналогичные уравнениям (7.8) и (7.9), на основе потенциалов простого и двойного слоев, когда в качестве фундаментального решения берется функция [c.112]

Второй метод решения интегрального уравнения Фредгольма получается вследствие применения теоремы Гильберта — Шмидта, которая гласит о том, что всякая функция, представленная истокообразно при помощи ядра т (s) а (x s), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по фундаментальным функциям этого ядра. Эти функции есть кривые нормальных прогибов и в нашем случае данная теорема означает возможность разложения кривой прогибов и эксцентриситетов в ряд по формам колебаний рассматриваемого ротора. [c.187]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Если функцию м> М) в интеграле взвешенной невязки (4.3.48) заменить фундаментальным решением и (Л7,Л/о), удовлетворяющим уравнению ХУ2н/(Л/,Л/о)+4д5(ЛГ,Л7о) 0. то (4.3.48) переходит в интегральное уравнение [28] [c.209]

В работе получены интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок и результаты решения задач изгиба ортотроп-ных и многосвязных пластин разработаны алгоритмы решения МГЭ задач изгиба пластин сложной формы, дано развитие методики определения предельных значений потенциалов для задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины предложен способ вычисления расходящегося интеграла с особенностью типа при г->0, предложены итерационные процессы решения прямым и непрямым МГЭ линейнь(х и нелинейных задач теории пологих оболочек, основанные на применении фундаментальных решений задач изгиба и растяжения пластины постоянной толщи- [c.4]

В теории ребристых оболочек широко применяется также метод непосредственного интегрирования уравнений ребристой оболочки обычно с помощью двой- " ных и одинарнйх тригонометрических рядов. Так как коэффициенты уравнений в местах присоединения ребер терпят разрыв, переменные не разделяются. Использование двойных рядов приводит к бесконечной системе алгебраических урав- яений, а одинарных в направлении, нормальном к осям ребер, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании разложения в окружном направлении для оболочек со шпангоутами или в продольном направлении для оболочек со стрингерами переменные разделяются, поэтому здесь дело обстоит проще. Получается система обыкновенных дифференциаль- ных уравнений восьмого порядка со слагаемыми в виде дельта-функций. Перенося эти слагаемые в правую часть, можно представить частное решение с помо- -щью формулы Кошн в виде интегралов с переменным верхним пределом. Процесс дальнейшего решения становится рекуррентным и сводится к последова- I тельному решению систем восьми алгебраических уравнений. Число таких решений равно числу ребер плюс одно решение. Указанный метод использовал Н. И. Карпов [40] при расчете круговой цилиндрической оболочки с продольны- ми ребрами, а также П. А. Жилии [24] при анализе осесимметричной задачи для круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами. При использовании формулы Коши необходимо знать систему нормальных фундаментальных функций (ядро Коши). Метод определения ядра Коши для линейных дифференциальных уравнений е переменными коэффйциеитами развит в книге И. А. Биргера [4]. Он осно- г -ван на решении так называемых нормальных интегральных уравнений (аналоги уравнений Вольтерра). В указанной книге дан также ряд приложений теории нормальных интегральных уравнений. [c.324]

Анализ корректной разрешимости контактных задач при использовании различных теорий оболочек проведен в [13, 84, 214]. Применительно к осесимметричной контактной задаче для круговых цилиндрических оболочек математические аспекты использования моделей Кирхгофа — Лява, Тимошенко и учета трансверсального обжатия, выяснение условий кор->ектности задач, способы-их регуляризации рассмотрены в 130]. Для строгого изучения этих вопросов применены теория обобш,енных функций и методы решения некорректных задач. Приведены сведения из теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэ1 )фици-ентами и основные понятия теории обобш,енных функций. С помош,ью фундаментальной системы решений дифференциального оператора построены функции Грина и функции влияния для оболочек Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Даны постановки задач о контакте оболочек между собой и с осесимметричными жесткими штампами. Методом сопряжения построены обобщенные решения, поскольку классическое существует только для моделей, учитывающих трансверсальное обжатие. Найдены обобщенные решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода, рассмотрены методы их аппроксимации классическими (методы регуляризации). [c.11]

На ос1Юве классической теории Кирхгофа — Лява в главах VIII и IX изучены задачи об изгибе пластин и пологих оболочек, ослабленных криволинейными треш инами. При использовании фундаментальных решений разрешающих уравнений теории изгиба пластин и пологих оболочек получены сингулярные интегральные уравнения рассматриваемых задач. [c.6]

К сингулярным интегральным уравнениям (IX.74) и (IX.77) в общем случае геометрии оболочки и формы разрезов могут быть применены методы численного решения, xopoujo развитые в плоской задаче теории упругости для тел с трещинами (см. параграф 2 главы II). Дополнительные трудности возникают при вычисле1П1и фундаментального решения Ф (х, у) и его производных, через которые выражаются ядра уравнений. В дальнейшем на примерах кругового отверстия, прямолинейной и дугообразной треид.ин будет рассмотрен асимптотический метод решения уравнений (IX.74) при малых значениях параметра Я, характеризующего пологость обо лочки. [c.287]

Наконец, для того чтобы распределение поля излучения лазера вообще могло > описываться собственными решениями интегрального уравнения, не содержащего зависимостей от времени, необходимо, чтобы условия генера- ции достаточно долго оставались неизменными. Это требование опять-таки выполняется далеко не всегда. Так, еще в 60-х годах стало известно, что при моноимпульсном режиме работы лазера пространственное распределение коэффициента усиления и поля излучения меняется чрезвычайно быстро ( за время 1СГ -г 1СГ с). В подобной ситуации рассматривать пространственную структуру излучения вне связи с кинетикой генерации бессмысленно. Наиболее фундаментальные работы об этой связи для случая плоского резонатора принадлежат Сучкову и Летохову [130, 117]. [c.134]

Совершенно иные возможности при исследовании динамических задач, в том числе и контактных для анизотропных тел, открылись с использованием техники граничных интегральных уравнений (ГИУ) и развитием методов их численного исследования. Метод граничных интегральных уравнений стал одним из наиболее эффективных средств анализа динамических контактных задач для ограниченных и полуограниченных анизотропных тел. Он позволяет снизить размерность исследуемых краевых задач на единицу [5, 24]. Главным препятствием на пути интенсивного использования этого подхода при решении контактных задач является отсутствие явного представления фундаментальных и сингуляр- [c.304]

Одними из первых исследований в этом направлении были работы Д. Г. Натрошвили [16, 17], где изучены свойства фундаментальных решений в виде кратных интегралов Фурье и обобщенных потенциалов. Однако, возможно построение интегральных представлений в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости или по конечному отрезку [9]. Они могут быть эффективно использованы при численной реализации этих интегральных уравнений на основе метода граничных элементов [5]. Так, например, для ортотропной среды в плоской задаче представление фундаментальных решений имеет вид [c.305]

Асимптотический след за равномерно движущимся телом. В гл. 4 было указано на возможность развития обобщенного муль-типольиого подхода иа другие виды гидродинамических течений. Этот подход оказывается полезен ири построении асимптотического решения для задачи обтекания равномерно движущегося тела и для затопленных струп, распространяющихся в однородном потоке вязкой жидкости. В основу подхода здесь удобно положить интегральную форму уравнений Навье — Стокса получаемую обращением оператора Озеена для линеаризованной задачи. Совершив над этим уравнением преобразование Фурье, можно вывести интегральное уравнение в -пространстве, из которого получены в явном виде первые три члена асимптотического решепия с помощью разложения при А -> 0. Решеиие задачи об обтекании как и в случае затопленных струй, неаналитичио в бесконечно удаленной точке (второй член разложения содержит 1п1 ). Асимптотическое разложение можно представить в виде ряда ио дробным производным от некоторых фундаментальных тензоров. Главный член асимптотического разложения полностью определяется заданием полного потока импульса и расхода. Остальные два члена разложения определяются, кроме этих интегралов движения, полным потоком момента количества движения. [c.321]

Уравнения (3.16) и (3.17) также, как (3.10) и (3.13), являются фундаментальными в теории оптических резонаторов, определяя характеристики собственных типов колебаний. Все уравнения принадлежат к одному виду. Это однородные линейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода относительно одномерной функции. Ядра уравнения симметричны, но не эрмитовы. Свойства таких уравнений достаточно хорошо изучены. Известно, что решения образуют полную систему ортогональных функций [И, 83]. [c.48]

Решение (5.3), возможное в ряде простых частных случаев, позволяет более строго анализировать свойства сложного резонатора. Однако существует группа прикладных задач (анализ устойчивости резонатора, расчет резонансного поля внутри и вне полости, расчет резонансных частот), которые целесообразно решать в рамках приближения, аналогичного приближению эквивалентного конфокального резонатора (ЭКР) для двухзеркальных резонаторов, не прибегая к строгому решению интегральных уравнений типа (5.3). Такой упрощенный подход особенно интересен для инженерной практики [19, 20, 51—53]. В дальнейшем мы будем называть этот метод приближением Когельника—Коллинза по фамилиям авторов первых фундаментальных работ в этой области. [c.117]

Фундаментальные решения имеют вспомогательный характер. Они встречаются в общих методах решения, в рассмотренных ранее формулах Сомильяны и в методе интегральных уравнений. [c.656]

Изучение приливов при такой постановке задачи широко представлено как в отечественной, так и зарубежной литературе. П. Я. Полуба-риновой-Кочиной (1938) принадлежит решение об определении собственных колебаний жидкости в плоских бассейнах при наиболее общих предположениях о виде границы бассейна. Ею показано, что решение может быть осуществлено путем нахождения фундаментальных чисел и функций интегрального уравнения, ядро которого представляется через функцию Грина для соответствующей задачи Дирихле. Исследование интегральных уравнений выполнено Полубариновой-Кочиной с использованием разложений в ряды по степеням малого параметра, пропорционального угловой скорости вращения бассейна. Для конкретного случая прямоугольного бассейна ею проведен подробный аналитический анализ решения и вычислены первые члены рядов (1937). В. А. Яблоков (1944) построил котидальные карты и изучил особенности собственных колебаний в зависимости от соотношения между длинами сторон прямоугольного бассейна. [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...