Уравнение Вольтерры

Уравнение (13.15) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода, Т — ядро уравнения экспоненциального типа, называемое ядром релаксации. [c.295]

В соответствии с теорией интегральных уравнений Вольтерра второго рода между функциями K(t) и T(t) существует связь [c.298]

В теории интегральных уравнений Вольтерра второго рода функция T(i) называется ядром уравнения (5.12), а функция /С(/) —его резольвентой. Если для ядра Т(0 найдена резольвента K t), то уравнение (5.11) называется решением уравнения (5.12), и, наоборот, уравнение (5.12) будет решением уравнения (5.11), если для ядра К (t) уравнения (5.11) найдена резольвента T(t). Уравнение (5.12) можно записать в краткой форме [c.220]

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРЫ [c.365]

Решение задач теории вязкоупругости часто сводится к решению линейных интегральных уравнений Вольтерры или их систем. Точное аналитическое решение таких уравнений возможно, как правило, только Рис. 11.9 в исключительных случаях, а потому [c.365]

Выражение (96) представляет собой нелинейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода и можег быть представлено в виде полинома Вольтерра F [c.98]

На уравнение (17.1.5) можно смотреть как на интегральное уравнение Вольтерра второго рода, определяющее функцию v t) при заданной u t). Как известно, решение интегрального уравнения записывается так [c.578]

Применяя для решения уравнений (6.9.10) — (6.5.12) с граничными и начальными условиями (6.9.30), (6.9.14), (6.9.15) преобразование Лапласа, с помощью теоремы о свертке получим систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра [c.310]

Применяя для решения системы уравнений преобразование Лапласа, как и ранее, получаем систему интегральных уравнений Вольтерра для определения безразмерных температуры бц, и концентрации на границе раздела сред [c.315]

Здесь а — коэффициент температурного расширения среды. При больших изменениях температуры необходимо также учитывать зависимость от температуры модуля упругости и ядер ползучести и релаксации. Отметим, что при любом фиксированном значении X и заданной деформации е 1) соотношения (1.3) и (1.5) представляют собой интегральные уравнения Вольтерра второго рода относительно напряжения ( ) (обзор работ, посвяш енных уравнениям Вольтерра второго рода, имеется в [502]). [c.15]

Уравнения Вольтерра. При решении различных задач теории ползучести ]неоднородно-стареющих сред в настоящей книге используется ряд утверждений из теории интегральных уравнений Вольтерра. Приведем здесь некоторые из них (см., например, [330, 341, 502]). [c.18]

Пусть у]( ) — некоторая заданная функция. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода с ядром К (1, а) имеет вид [c.18]

Рассмотрим теперь уравнение Вольтерра второго рода с пара-[етрОм X вида [c.19]

Таким образом, задача теории ползучести для призматического тела, подверженного старению, при дискретном наращивании сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра (1.5). Уравнение (1.5) является исходным соотношением, согласно которому определяется закон перераспределения усилий в стареющих вязкоупругих телах и йа после их стыковки. [c.81]

Исследование интегрального уравнения Вольтерра (1.5). Решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода (1.5) можно представить в виде [c.81]

Соотношение (2.5) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно г t). Определив e(i) из этого уравнения, можно по формулам (2.1), (2.2) найти поле напряжений в наращиваемом вязкоупругом теле. [c.85]

Таким образом, задача теории ползучести кручения круглого наращиваемого стержня свелась к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода (3.6). Действительно, найдя функцию 00 t) из уравнения (3.6), можно, пользуясь соотношениями (3.1) —(3.4), найти деформации у t, ), Уо Ь, г) и напряжения а ( , I), Оо t, г) в любой момент времени t в любой точке наращиваемого стержня. Как и в предыдущих параграфах, для решения уравнения (3.6) возьмем функцию р. ( , х) в виде [c.91]

Подставим (4.10) в (4.11), далее выражение (4.11) для функции Р [I, 0) — в (4.7), затем значение а t, 0) — в интегральные уравнения равновесия (4.6). Получим систему двух интегральных уравнений Вольтерра для определения двух неизвестных функций Я1 I) и 3 1) [c.97]

Изменим порядок интегрирования в левой части (6.14). Получим разрешающее уравнение Вольтерра второго рода относительно функции ( ) [c.111]

Для определения функций z t) получим интегральные уравнения Вольтерра второго рода [c.128]

Исследование интегрального уравнения (1.10). Перейдем теперь к исследованию интегрального уравнения Вольтерра второго рода (1.10). Согласно ограничениям, наложенным па его ядро, оно однозначно разрешимо [229] в пространстве С (1, Т) непрерывных на [1, Т функций при любых значениях параметров ai и с. Для построения приближенного решения уравнения (1.10) примем, что [c.132]

Построение решения уравнения (2.13) осуществляется так же, как выше было построено решение уравнения (2.5). Именно, применим к обеим частям уравнения (2.13) преобразование Фурье. Получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно преобразования Фурье Ф (5, Ь) контактного напряжения у ( , х) [c.143]

Подставляя выражение (s, t) из (2.20) в (2.19), после простых i преобразований получим интегральное уравнение Вольтерра. [c.145]

В (3.7) коэффициенты Af (t) определяются через (t) яз решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода [c.150]

Мешков С. И. Приложение интегральных уравнений Вольтерра к описанию наследственно-упругих свойств твердых тел.— В сб. Механика деформируемых тел и конструкций.— М. Машиностроение, 1975, с. 286-294. [c.322]

Установившиеся циклические движения. Уравнения Вольтерра. Предположим, что внутренние циклические движения гиростата 2 являются установившимися или стационарными под этим мы понимаем, что неизменным во времени по отношению к неизменяемой части 5 гиростата остаются не только распределение масс, но также и распределение скоростей (относительных) отдельных материальных точек части S. Если, например, гиростат состоит из ящика, внутри которого свободно вращаются вокруг осей, неизменно связанных с ним, гироскопы (в узком смысле), то для стационарности внутренних движений необходимо и достаточно, чтобы оставалась постоянной угловая скорость каждого гироскопа, что можно себе представить осуществленным посредством подходящих электрических приборов. [c.222]

Чувствительность материала к истории предшествующего нагружения в области невысоких скоростей нагружения часто описывается с помощью интегральных уравнений Вольтерра [35, 178] [c.47]

Коэффициент а, соответствующий коэффициенту сдвига Тимошенко, как будет показано ниже, существенно улучшает дисперсионные свойства нагибных волн на высоких частотах. Однако уравнение (5.30), как и уравнение Вольтерра, имеет заниженную дисперсию на низких частотах. [c.149]

Выражение для средней частоты отказов системы hf. t) в конечном виде, справедливое для любого закона надежности, получить не представляется возможным. Для каждого из указанных выше законов распределения времени возникновения отказов fto(0 будем находить, решая уравнение Вольтерра второго рода с разностным ядром [28] с помощью преобразования Лапласа. [c.117]

Преобразование Лапласа оказывается полезным при решении линейных диференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных, при решении интегральных уравнений Вольтерра с ядром специального вида и в других случаях. [c.233]

Уравнение Вольтерра 2-го рода получается из предыдущего, если верхний предел положить переменным [c.258]

Уравнение Вольтерра может рассматриваться как частный случай уравнения Фредгольма, ядро которого равно нулю при [c.258]

Фундаментальных чисел может быть конечное число или бесконечная последовательность. Уравнение Вольтерра фундаментальных чисел не имеет. [c.258]

Для уравнения Вольтерра ряд Неймана сходится при любых значениях X и, следовательно, всегда даёт решение интегрального уравнения. [c.259]

Определения межслойного контактного напряжения. Ограничимся случаем двухслойной конструкции. Выполнение условия контакта (5) приводит рассматриваемую задачу к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно искомого межслойного контактного напряжения. Решая полученное уравнение с помощью интегрального преобразования Лапласа, находим в явном виде выражение для контактного давления между слоями [c.294]

Сущность аналитического подхода к построению динамической модели заключается в том, что интегральное уравнение (10.50) при определенных условиях может быть сведено в интегральному уравнению Вольтерра первого рода типа свертки, которое просто решается при помощи преобразования Лапласа. Пусть по результатам теоретического анализа или статистической обработки экспериментальных данных заданы корреляционная функция Кхх (О входной случайной функции X (t) и взаимная корреляционная функция Кух (О входной X (t) и выходной Y (О случайных функций. Представим корреляционную функцию Кхх W в виде [c.336]

Таким образом из интегрального уравнения (10.50) получено уравнение Вольтерра 1-го рода типа свертки для определения весовой функции динамической характеристики технологического процесса. Динамическая модель технологического процесса, заданная передаточной функцией, эквивалентна заданиям (10.29) — (10.31). Передаточная функция G (р) связана с весовой функцией g (т) преобразованием Лапласа [c.338]

Таким образом, уравнения состояния (1.6), которыми описывается поведение неоднородно-стареющих упругоползучих тел, представляют собой интегральные уравнения Вольтерра со сдвигом, нижний предел которого в общем случае зависит от координат, т. е. То = То (х). Ядра и К2 имеют сдвиг аргументов 1 и т на величину функции неоднородного старения р (х). Заметим, что природа и характер функции неоднородного старения могут быть различными в зависимости от постановки и условий рассматриваемой задачи. В ряде задач функция неоднородного старения известна и отражает фактическую картину распределения возраста материала в рассматриваемом упругоползучем теле. Она может быть дана в аналитической или численной форме. В других задачах функция р (т) может или должна быть выбрана, исходя на технологических условий изготовления и возведения элементов сооружения в соответствии с прочностными, конструктивными соображениями. В последнем случае функцию неоднородного старения р (х) можно интерпретировать как управление. Это управление можно выбрать так, чтобы в ходе проектирования или изготовления элементов конструкций из стареющих материалов достигались экстремальные значения критериев прочности или жесткости. [c.17]

Таким образом, задача нахождения напряжеино-деформиро-ванного состояния в наращиваемом клине 3 (i) свелась к решению системы двух интегральных уравнений Вольтерра (4.12). Действительно, найдя функции i = 1, 2, из системы уравнений [c.97]

Аналитическое решение этого уравнения при произвольной функции р1 (х) затруднительно. В частном случае, когда возраст стрингера не зависит от х, но отличен от возраста полуплоскости р21 р1 ( ) = Pi = onst (не нарушая общности, можно принять Pi = 0), решение интегро-дифференциального уравнения (2.5) можно получить в замкнутой форме. Применяя в этом случае к обеим частям уравнения (2.5) преобразование Фурье, приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода [c.138]

Первые интегралы. Уравнения Вольтерра, или уравнения спонтанного движения гиростата с внутренними установившимися движениями, так же как и уравнения Эйлера, допускают два первых интеграла интеграл моментов количеств движения и интеграл живых сил (ср. гл. VIII, п. 9). Эти интегралы легко получаются формальным путем из тех же уравнений (48 ), но еще проще получить их, если об ратиться и здесь к уравнению моментов количеств движения в векторной форме. [c.223]

В случае необходимости полученное решение может быть уточнено различными способами, например методом малого параметра, на базе интегрального уравнения Вольтерра II рода, методом квазилинеаризации и др. [5, 8, 40, 61 ]. Следует, однако, заметить, что поиск последующих приближений нередко оказывается неоправданным из-за погрешностей, возникающих при идеализации реальных систем, неточностей при определении параметров динамических моделей и т. п. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...