МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Глава 1. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ [c.14]

Согласно изложенному в приложении методу асимптотического решения некоторых интегральных уравнений, введем вместо p s) новую функцию [c.88]

Для получения обозримого асимптотического решения интегральных уравнений (16), а вместе с ними и ИУ (4), применяется метод приближенного решения уравнений (16), основанный на специальной аппроксимации символа ядра ИУ (4) функции К (а) в комплексной плоскости [c.34]

Построены асимптотические решения уравнения (6) при относительно малых и больших значениях времени, а также разработан численный алгоритм его исследования в общем случае. Предложенные математические методы позволили изучить влияние на размеры области контакта двух противоположных по характеру процессов — фрикционного теплообразования и износа. Кроме того, установлено, что относительная погрешность при вычислении радиуса площадки контакта в установившемся и нестационарном режимах тепловыделения может составить 21,7%. [c.486]

Некоторое видоизменение метода малых X [6] позволяет построить главный член асимптотического решения уравнения [c.382]

Прежде, чем переходить к получению предельных асимптотических решений уравнений Навье-Стокса методом сращиваемых асимптотических разложений (см., например, книгу [Ван-Дайк М, 1967]), получим оценки характерных масштабов величин в области сильного локального взаимодействия внешнего гиперзвукового потока с пограничным слоем около точки О. [c.262]

Методы расчета срывных течений развиты значительно слабее, чем методы расчета безотрывных течений вязкой жидкости. Для тех и других течений главное значение имеют три направления теоретических исследований построение упрощенных моделей срывных течений, получение точных асимптотических решений уравнений Навье — Стокса при больших (или малых) значениях числа Re, разработка точных численных методов решения краевых задач с использованием современной вычислительной техники. [c.546]

В данной главе дается краткое описание методов, получивших наиболее широкое применение в задачах распространения оптического излучения в турбулентной атмосфере. Рассматриваются вопросы теории распространения волн на трассах с отражением в случайно-неоднородных средах. Излагаются способы построения асимптотических решений уравнений для статистических моментов поля в характерных по турбулентным условиям случаях слабых и сильных флуктуаций интенсивности. Здесь же приведены сведения о моделях лазерных источников и отражающих поверхностей, применяющихся при анализе влияния турбулентности атмосферы на оптическое излучение. [c.18]

Покажем, что при больших значениях параметра К может быть построено эффективное асимптотическое решение уравнения (7.1) гл. 1 с ядром (8.24), (8.25), если соответствующим образом модернизировать [16] метод, изложенный в п. 1. Заметим прежде всего, что в силу (8.24) — (8.26) [c.97]

Построим теперь решение поставленной задачи при малых значениях параметра х. Следуя методу, изложенному в 10 гл. 2, асимптотическое решение уравнения (10.2), пригодное для малых значений у., будем искать в виде [c.178]

Используя метод перевала, иайти асимптотическое решение уравнения Бюргерса (2.2) при больших числах Рейнольдса (5 -> 0). Дать графическую интерпретацию этого решения. [c.153]

Решение уравнения (6. 2. 13) с краевыми условиями (6. 2. 14), (6. 2. 15) может быть найдено при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений [12], подробно изложенного в разд. 2. 3 при решении задачи об обтекании газового пузырька жидкостью при малых, но конечных числах Ве. Разобьем область течения жидкости на две области внешнюю, в которой нельзя пренебречь конвективными членами уравнения диффузии (Ре г 1), и внутреннюю, в которой конвективные члены уравнения диффузии (6. 2. 13) несущественны (Ре г < 1). Асимптотическое разложение поля концентрации целевого компонента во внутренней области будем искать в виде ряда [c.246]

Этот случай впервые был рассмотрен Блазиусом, причем решение уравнения (36) было получено путем применения разложения функции /(т]) в степенной ряд, асимптотического разложения для больших TJ и последующей стыковки обоих разложений в некоторой определенным образом выбранной точке т]. В настоящее время решение уравнения (36) легко может быть получено численными методами с высокой точностью. Значения функции м/ыо = / (т)) приведены в табл. 6.3. [c.291]

Таким образом, задача сводится к отысканию коэффициентов Ki и Кц. Для этой цели пригодны в принципе все методы, упомянутые выше. Например, асимптотические методы обеспечивают решение системы из двух уравнений для каждого узла или точки, где вычисляются напряжения. Применимы и энергетические методы для криволинейной трещины достаточно эффективен вариант метода ее закрытия, для прямолинейной — метод виртуального роста трещины [24, 191]. Приведем выражения, вытекающие из (9.6), (9.8) для вычисления компонентов потока энергии Л и /г- [c.94]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

Частные решения уравнений (4) отыскиваются асимптотическими методами [3]. [c.101]

Таким образом, в методе ВКБ по существу используется метод теории подобия, т. е. посредством подобного преобразования исходное уравнение приводится к стандартному, решение которого является приближенным асимптотическим решением исходного уравнения. [c.46]

Применяя метод ВКБ к уравнению (116), получим асимптотическое его решение для больших частот [c.46]

Для малых частот колебания, т. е. при Sh < 1. решение уравнения (219) можно искать в виде ряда (215). Для больших значений частоты колебания решение задачи можно искать в виде ряда (216). Используя метод ВКБ [57 ] для больших значений чисел Sh, получим асимптотическое решение [c.91]

Отсюда получается геометрический смысл пока еще неизвестной функции -/<Ф >. А именно V[ —/) является скоростью Ыз, полученной асимптотическим решением, если последнее распространить за его область справедливости до 8. При расчете всего пограничного слоя множитель устанавливается таким, чтобы решение уравнения пограничного слоя для его внешней части могло сомкнуться с решением для внутренней части, полученным другим методом. Поскольку мы рассматриваем только асимптотическое поведение, то этот множитель остается пока неопределенным. Но он, оказывается, может быть приближенно оценен. [c.67]

Для решения уравнений (8) и (9) методом численной итерации выражение J %) должно быть несколько преобразовано, что в свою очередь позволит оценить интегралы уравнения (9) вплоть до предельного значения 1=1, при котором подынтегральная функция выражения (10) обладает некоторыми особенностями. Для больших -q это делается с помощью асимптотического решения [c.238]

Метод интегральных соотношений. Применение этого метода к решению задачи о движении газа в ламинарном пограничном слое различно в случае слоя конечной толщины и асимптотического. В случае слоя конечной толщины предполагается, что профиль скоростей, теплосодержаний и концентрации можно представить в виде полиномов от отношений 1/бг, где бг — соответствующие толщины, коэффициенты которых определяются из условий на стенке и на границе пограничного слоя. Из интегральных соотношений получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения толщин пограничного слоя. Условия на стенке получают из дифференциальных уравнений, предполагая справедливость их на стенке, причем число их может быть увеличено путем дифференцирования уравнений. В случае теплоизолированного профиля этот метод применялся в ряде работ [Л. 23— 24 и др.]. При более общих условиях на стенке вычисления несколько усложняются. [c.97]

В настоящей работе рассматриваются простейшие сопряженные задачи. В разделе 1 дается точное решение задачи о теплообмене при течении со скольжением. В разделе 2 решается задача о теплообмене между тонкой пластиной и образующимся на ней ламинарным пограничным слоем несжимаемой жидкости. В приложении приводится способ асимптотического решения одного класса сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся задачи рассматриваемого типа. Поэтому тем же методом могут быть решены и другие сопряженные задачи. [c.79]

J, Решение уравнений (58) осуществляется асимптотическим одночастотным методом vii Боголюбова и Ю. А. Митропольского (см. также [3]). Результаты решения этих уравнений для веретена ВПК-32-16-110 даны иа рис. 22, 23. Они получены при еле- [c.219]

Построение асимптотических решений в случае собственных колебаний, близких к линейным. Изложим метод построения асимптотических решений сперва для случая колебаний, определяемых автономными дифференциальными уравнениями вида [c.65]

Применение интерполяционного метода при решении уравнения (4.18) в каждом цикле интегрирования вдоль рабочего зазора позволяет однократно построить функцию Ф(Р) в виде множества координат Фг при заданном множестве координат Р/ при т — onst в диапазоне 0 р 5/т. Такой выбор диапазона построения определен видом функции Р(Ф) и асимптотическим ее стремлением к прямой р = —Ф в области больших значений р (рис.4.1). [c.137]

Еще один гранично-элементный подход к исследованию трещин в трехмерных телах основывается на методе краевых функций [69, 70]. При этом подходе в качестве пробных функций перемещений используются асимптотические решения уравнений Навье, для удовлетворения граничных условий в среднем используется метод граничных взвешенных невязок. В случае эллиптической трещины асимптотические решения, полученные за счет использования гармонического потенциала Сегедина [71], складываются с другими асимптотическими решениями с целью формирования заданного решения. Этот метод ограничен случаем, когда форму трещины можно представить математическими средствами, и не нашел широкого применения. [c.208]

А. Амбарцумяна [7], И.И. Воровича и М.А. Шленева [86], А.К. Галиньша [92], Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [105], Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова [110], А.А. Дудченко и др. [135], Г.А.Тетерса [298]. Авторы обзора [135] выделяют две группы методов получения двумерных уравнений теории пластин и оболочек — методы аналитические и гипотез. В свою очередь, группу аналитических методов можно разделить на несколько подгрупп. К первой относятся методы асимптотического интегрирования уравнений трехмерной задачи теории упругости, опирающиеся на предположение о наличии малого параметра (относительная толщина, отношения жесткостей). К другой — методы, идея которых заключается в задании характеристик напряженно-деформированного состояния рядами по некоторой системе функций поперечной координаты с последующим выводом уравнений на коэффициенты разложений из трехмерных уравнений теории упругости. Наконец, к аналитическим относят [135] также и те методы, в которых организуется сходящийся итерационный процесс уточнения решения. [c.6]

Теория ламинарных движений вязкой жидкости уже в первой четверти двадцатого века достигла значительного совершенства. Были найдены разнообразные точные решения уравнений Навье — Стокса, разработаны методы приближенного интегрирования этих уравнений путем линеаризации при малых значениях числа Рейнольдса и разыскания асимптотических решений при больших значениях этого числа. К решениям наиболее трудных, атносящихся к средним значениям рейнольдсовых чисел задач исследователи приближались как со стороны малых, так и со стороны больших рейнольдсовых чисел. В первом случае шли по пути увеличения числа членов в разложениях по положительны у1 степеням рейнольдсова числа, являющегося в задачах этого рода характерным малым параметром, а в последнее время стали непосредственно пользоваться численными (машинными) методами интегрирования точных,, иногда несколько зшрощенных уравнений Навье — Стокса. Во втором случае, исходя из известного факта, что прандтлевы уравнения пограничного слоя являются лишь первым приближением в методе разложения решений уравнений Навье — Стокса по степеням величины, обратной корню квадратному из рейнольдсова числа, начали учитывать следующие члены разложения. Современному состоянию этой области динамики вязкой жидкости посвящены 2 и 3. [c.508]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

Согласно этому методу асимптотическое решение для форм свободных колебаний выражается в виде суммы внутреннего решения и поправочных решений, которые называют динамическими краевыми аффектами. Для каждой границы тела строят решения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и y -fiosHRM на соответствующей границе. Число таких выражений равно числу границ. Затем полученные решения склеивают. Эта процедура аналогична склеиванию моментных и безмоментных решений в теории оболочек или склеиванию вязких и невязких решений в гидродинамике. Вообще говоря, это склеивание может быть выполнено только приближенно. Чем быстрее затухают краевые эффекты, тем меньше ошибка асимптотического решения. Процедура склеивания позволяет получить систему трансцендентных уравнений для параметров, определяющих как внутреннее решение, так и краевые эффекты. Затем может быть получено асимптотическое выражение для собственных частот. Что касается асимптотического выражения для свободных форм, то оно может быть построено для всей области, исключая окрестности углов и ррбер. Это типично и для других методов, использующих идею краевого эффекта. [c.406]

Вычисление собственных значений и функций для больших значений п с помощью рассмотренного метода затруднено. В связи с этим Селлерс, Трайбус и Клейн Л. 7] построили асимптотическое решение уравнения (6-7), положив е —-се. Были получены следующие выражения для собственных значений, собственных функций и постоянных [c.83]

Расчеты с использованием для второго момента интенсивности выражений, полученных в фазовом приближении метода Гюйгенса—Кирхгофа [19, 24, 35] или в результате асимптотического решения уравнения (2.40) [3], позволяют оценить влияние флуктуаций интенсивности на смещения пучка и тем самым найти ограничения на применимость приближения (6.6). При этом удается установить [24], что результаты расчета в ФПМГК в слу- [c.149]

При этом будем использовать метод сраш,ивания нулевого и асимптотического решения уравнения (93). Рассмотрим наиболее характерный случай автомодель- [c.190]

Для решения поставленной задачи будем использовать метод последовательных итераций [22]. Он заключается в следующем. В качестве начального приближения для ф и используем функции тока, являющиеся решением задачи об обтекании пузырька потоком жидкости при учете инерционных эффектов (см. разд. 2.3). С помощью этих выражений для функций тока можно определить нормальные компоненты тензора напряжений в обеих фа.чах. Тогда можно решить уравнение (2. 7. 9) и тем самым определить начальное значение функции С (т]). Далее для найденной формы пузырька нужно повторить решение уравнения Навье—Стокса при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений (см. разд. 2.3) и т. д. Рассмотрим решение уравнения (2. 7. 9) в соответствии с [22], считая, что неоднородная его часть явля- [c.66]

Аналогично, рассматривая уравнения энергии и диффузии, можно получить связь теплового и диффузионного потоков с величиной вдува. Если кроме трения на стенке требуется установить изменение скорости в пристеночной области, то в этом случае необходимо решение уравнения (8.104). Задачи о большом вдуве с использованием асимптотических методов рассмотрены Э. А. Гершбейном. [c.300]

Циклические ползучесть и релаксация. При выводе уравнений состояния (7.38)—(7.40) игнорировалось различие диаграмм деформирования реономных и склерономных стержней. Получаемая ошибка, малозаметная в каждом этапе нагружения, в определенных условиях может накапливаться. Например, циклическое несимметричное нагружение в соответствии с указанными уравнениями дает замкнутую (неподвижную) петлю пластического гистерезиса фактически часто наблюдается постепенное сползание петли вследствие реономности материала — в зависимости от условий возникают эффекты, называемые циклической ползучестью (задаются напряжения) или циклической релаксацией (задаются деформации). При непосредственном расчете кинетики деформаций в стержнях модели (без использования допущений, принятых при выводе указанных уравнений состояния) эти эффекты находят отражение. Однако можно воспользоваться уже рассмотренными методами анализа (исследование эпюр распределения упругих деформаций) для получения асимптотических решений в общей форме, т. е. определения границ сползания петель гистерезиса, если они существуют, и определения условий, в которых циклическая ползучесть происходит неограниченно (вплоть до ква-зистатического разрушения). [c.210]

Среди приближенных методов наибольшее распространениё получили методы, использующие вариационные принципы, и. методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. Полученные в предыдущих параграфах уравнения равновесия стержней и нитей, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть решены в аналитической форме за исключением частных случаев. При решении уравнений равновесия обычно используют или численные методы, или приближенные, использующие вариационные принципы механики. При численных методах решения задач усложняются тем, что все задачи механики стержней относятся к двухточечным краевым задачам. [c.47]

Идея А. С. Предводителева получила стр огое математическое доказательство в работах Айкенберри и Трусделла. В одной из последних работ ТруСделл Л. 13] утзерждает, что в поддающихся расчету и экспериментальной проверке задачах кинетической теории уравнения второго приближения по методу Энского — Чепмана справедливы для более узкой области со стояний газа, чем уравнения в при ближении Навье — Стокса. С помощью нов ого приема исследования — итерационного метода— ои показал, что приближения лю бого порядка хуже пер вого и что уравнения Навье — Стокса могут оказаться искомым асимптотическим решением. [c.524]

Отоугствие прямых методов решения большинства задач современной математической физики давно уже утвердило среди прикладных математиков идею возмущений. Трактовку возникающих при этом приемов принято относить к компетенции асимптотического анализа. Парадоксально, что к настоящему времени асимптотология [l] параметрических методов, т.е., фактически, анализ возмущений операторов, развивается гораздо энергичнее, чем изучение координатных разлоиений решений уравнения в фазовом пространстве задачи. Резонер, вероятно, указал бы на различив между практикой законодателей и юристов. Объяснение чистого математика содержало бы ссылку на существенно большую алгебраическую простоту структуры операторов математической физики по сравнению с алгеброй локального строения функций. Другими словами, это означает кризис формальных методов в этой области. [c.37]

При этих условиях согласно идее асимптотических методов нелинейной механики [12, 39] приблим<енное решение уравнения (115) в самом общем виде, пригодное для исследования как резонансной зоны, так и подходов к ней из нерезонансной, ищем в виде асимптотического ряда [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...