Преобразование Лапласа — Применение

Найдем решение этого уравнения с помощью преобразования Лапласа. Применение преобразования Лапласа к левой части (2.2.82) дает [c.74]

Правая часть (2.2.82) после применения преобразования Лапласа будет выглядеть следующим образом S ( ox — Свы ) = Свх(р)—Свых(р), где Св (р) = = S ( sx( )). В результате уравнение (2.2.82) примет вид [c.74]

Приведенный пример ясно показывает, что наиболее важной характеристикой стационарных объектов является передаточная функция W p). Это связано, во-первых, с тем, что она легко может быть получена из уравнений математической модели после применения к ним преобразования Лапласа по времени, и, во-вторых, с тем, что с помощью W р) легко может быть получена весовая функция g t) и переходная функция h t). [c.75]

Для нахождения передаточной функции W p) воспользуемся формулой (2.2.77). Применим к уравнению (3.2.13) и граничному условию (3.2.14) преобразование Лапласа по t, т. е. перейдем от v x,t) и и t) к их изображениям S x,p) и й р). Используя начальное условие (3.2.14), в результате применения преобразования Лапласа к левой части уравнения (3.2.113), получаем [c.99]

Уравнение (3.2.16), полученное из исходного уравнения (3.2.13) в результате применения преобразования Лапласа, легко решается, и передаточная функция (3.2.21) имеет очень простой вид, что позволяет полностью описать действие оператора на произвольную входную функцию и без труда найти весовую и переходную функции. В том случае, когда исходное уравнение, с помощью которого задается оператор объекта, является более сложным, чем (3.2.13), новых принципиальных трудностей в определении [c.101]

Граничные условия для этого уравнения получим после применения преобразования Лапласа по переменной t к условиям (3,2.23) [c.102]

Получить решение задачи (3.2.33), (3.2.34) уже не составляет труда. Обычно для его нахождения сводят уравнения (3.2.33) к алгебраическим уравнениям путем применения к ним преобразования Лапласа по переменной х. Эта операция требует некоторого обоснования, поскольку формально уравнения (3.2.31), а значит, и уравнения (3.2.33) и их решение vi x,p), V2 x, р) заданы только на интервале Аге[0, /], а преобразование Лапласа можно применить только к функции заданной на полуоси л е [О, оо). Однако для рассматриваемой краевой задачи с граничными условиями (3.2.34) эта трудность легко устранима достаточно рассматривать систему 2.33) и ее решение Vi(x,p), 62(х, р) при л е[0, оо). Отметим, что в том случае, когда одно или оба условия (3.2.34) заданы при х — I, этого сделать нельзя, поскольку бессмысленно рассматривать уравнения (3.2.33) при х е [О, оо) с заданным значением решения в точке внутри интервала [О, со). 104 [c.104]

Получение передаточной функции является, как правило, первым шагом в исследовании динамики технологического объекта. Несмотря на то, что знание передаточной функции W(p) дает полную информацию о динамических свойствах объекта, часто в различных конкретных задачах бывает удобно использовать для характеристики объекта не W (р), а весовую функцию g t) или переходную функцию h(t). Выше уже отмечалось, что h t), например, является самой естественной характеристикой процесса перехода объекта из одного стационарного режима работы в другой, поскольку непосредственно описывает изменение выходного параметра при таком переходе. Поэтому, после того как получено аналитическое выражение для передаточной функции, возникает задача применения к ней обратного преобразования Лапласа с тем, чтобы получить весовую функцию g t) и переходную функцию h t). Такая задача часто оказывается трудноразрешимой, поскольку аналитическое выражение передаточных функций объектов с распределенными параметрами имеет очень сложный вид. В связи с этим применяются различные методы получения приближенного выражения для весовой и переходной функций с помощью точного аналитического выражения для передаточной функции W p). Указанные методы можно разделить на две группы. [c.107]

Приближенное выражение для g(t) получается в этом случае после применения обратного преобразования Лапласа к конечному отрезку ряда для функции W p), а приближенное выражение для h t) после применения обратного преобразования Лапласа к конечному отрезку ряда для функции W p)/p. Очевидно, необходимо выбирать функции п(р) в разложении для W (р) такими, чтобы затем к ним было удобно применять обратное преобразование Лапласа. [c.108]

Переходную функцию h(t) = 1 —е в данном случае легко можно было получить непосредственным применением обратного преобразования Лапласа к р)1р— 1/[р(Р+ )] В более сложных случаях, когда такое непосредственное получение оригиналов функций W(p) и W p)jp невозможно, представления весовой и переходной функций степенными рядами (3.3.17) и (3.319) весьма удобно для исследования динамики технологического объекта. [c.113]

Таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных после применения преобразования Лапласа переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение. Граничное условие для уравнения (4.1.5) получится в результате применения преобразования Лапласа к граничному условию (4.1.2) [c.116]

Для решения этого уравнения удобно осуществить преобразование Лапласа по пространственной координате х. Формально этого сделать нельзя, поскольку преобразование Лапласа применимо к функциям, определенным на всей полуоси [О, оо), в то время как в уравнении (4.1.4), а значит и в уравнении (4.1.5) ж е [О, 1]. Для того чтобы сделать возможным преобразование Лапласа, рассмотрим уравнение (4.1.5) на всей полуоси [О, оо) (см. раздел 3.2). Обозначим через T s,p), To(s) результаты применения преобразования Лапласа по х к функциям Т х,р), Tq(x). Осуществляя в левой части уравнения (4.1.5) переход к изображениям T s,p), To s), получаем [c.116]

После получения выражений для передаточных функций нетрудно определить с их помощью соответствующие весовые и переходные функции объекта. Весовые функции й п(0 и 21 (О получаются после применения обратного преобразования Лапласа к (4.1.12) и (4.1.13) [c.119]

Граничное условие для этого уравнения получается после применения преобразования Лапласа к условию Ту х, /)1л=о=1> т. е. имеет вид [c.177]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемешиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (в ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При eQ( i,) = 0 уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 0g(->i , t)- При этом для получения решения o(Jf, t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию L x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Совместно с нулевым начальным условием (5.2.18) это уравнение при малых G i задает линейный оператор А t). После применения к (5.2.29) преобразования Лапласа находим передаточную функцию U l/iKp) г-й тарелки для канала [c.228]

Применение преобразования Лапласа [c.582]

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 5g3 [c.583]

В сороковые — пятидесятые годы, когда наследственная теория упругости получила новое развитие в работах американских авторов, для решения задач получил широкое распространение метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Для этого метода был сформулирован принцип соответствия, который по существу представляет собою простую перефразировку принципа Вольтерра. Применяя к основным соотношениям закона наследственной теории упругости (17.7.2) преобразование Лапласа, мы получим на основании теоремы о свертке следующие [c.598]

Из всех известных методов решения линейных дифференциальных уравнений в задачах теории механизмов и машин наибольшее распространение за последние годы получил операторный метод, основанный на применении преобразования Лапласа. К достоинствам этого метода надо отнести во-первых, замену дифференциальных уравнений алгебраическими, решение которых позволяет затем найти искомые решения дифференциальных уравнений во-вторых, возможность получения вспомогательных функций (динамических передаточных функций), которые позволяют установить свойства получаемых решений, не зависящие от вида функций х(/) и от начальных условий, что облегчает качественное исследование уравнений движения механизма. [c.166]

Теперь покажем решение уравнения (9.28) операторным методом с применением преобразования Лапласа. [c.171]

Принципы соответствия дают возможность получить вязко-упругое решение, если известно упругое. Существенным этапом здесь является обратное преобразование Лапласа, но, как было указано выше, точное аналитическое обращение не всегда возможно. Во многих случаях упругое решение или известно только численно, или так сложно аналитически, что стандартные методы обращения неприменимы. Использование реальных функций ползучести и релаксации еще более усложняет применение аналитических методов обращения на практике. [c.144]

Н. А. Кильчевский [24], применив преобразование Лапласа, получил приближенные выражения для закона изменения контактной силы во времени Р (t) при ударе и оценил условия, при которых применима статическая зависимость силы от перемещения с учетом собственных колебаний соударяющихся тел. Для определения контактных деформаций он применил теорию Герца, а для решения задачи о колебании соударяющихся тел — теорию Тимошенко. Методом последовательных приближений он рассмотрел единичный удар и повторное соударение при поперечных ударах шара по балке. Справедливо обосновав положение, что на первом этапе (до достижения максимальной контактной силы) основное влияние на процесс удара оказывают местные деформации сжатия, а на втором (при упругом восстановлении) — колебания балки и шара, Н. А. Кильчевский предложил расчетные формулы для вычисления наибольшей силы взаимодействия между шаром и балкой, а также продолжительности контакта. Полученные громоздкие зависимости им упрощены и распространены на широкую группу контактных задач. В работе [24] при применении интегрального преобразования проведена аналогия между зависимостью контактной деформации и силой удара (предложенной Герцем) в пространстве изображений и оригиналом, т. е. [c.10]

Анализ вибрации и распространения волн в вязкоупругих композитах проведен в [1]. Причем основное внимание уделено расчету поведения при стационарном гармоническом нагружении. Хорошо известно, что, используя свойство интеграла Фурье, решения для стационарного случая можно применить для расчета поведения при нестационарных воздействиях произвольного вида. Обсудим вкратце этот подход с точки зрения применения к решению задачи алгоритма FFT [20]. В динамическом анализе композитов используются и другие методы, например преобразование Лапласа [1] и метод характеристик [21]. Однако есть основания полагать, что точность и вычислительная эффективность алгоритма РТТ плюс легкость получения стационарного поведения при помощи упругих решений делают этот подход наиболее привлекательным. Здесь представляет интерес также удобство применения численных или очень общих аналитических представлений комплексных модулей (податливостей). [c.196]

Для систем, съем данных в которых происходит в течение конечного интервала времени, удалось, используя аппарат разностных уравнений и дискретного преобразования Лапласа, разработать методы исследования их устойчивости и построения процессов в этих системах. В дальнейшем, благодаря применению некоторых теорем дискретного преобразования Лапласа, оказалось возможным свести изучение этого класса систем к изучению обычных импульсных систем с мгновенным съемом данных. Если на первых порах теория импульсных систем заимствовала методы и приемы у теории непрерывных систем, то в настоящее время она успешно решила ряд задач по синтезу оптимальных линейных импульсных систем при учете неизменной части системы, которые в теории непрерывных линейных систем до сих пор остаются нерешенными. Наличие неизбежно присутствующих или преднамеренно вводимых нелинейностей ограничивает возможности применения линейной теории импульсных систем. Особенно это относится к системам с широтно- и частотно-импульсной модуляциями, а также к системам, содержащим в качестве элемента цифровые вычислительные устройства при учете ограничений памяти и небольшом числе разрядов. [c.270]

Тогда после применения преобразования Лапласа получим [c.290]

Преобразование Лапласа й его применения (операционное исчисление). Преобразованием Лапласа над функцией /(О называется операция [c.233]

Все рассмотренные решения задач нестационарной теплопроводности могут быть получены и иными методами. Особенно эффективным методом оказывается метод преобразования Лапласа, примеры применения которого к решению задач тенлопроводности можно найти в [35]. [c.220]

Для исследования линейных систем во времеинбй области на основе модели типа (4.54) можно использовать два подхода. Первый подход связан с применением правил операционного исчисления и требует выполнения прямого преобразования Лапласа над входными сигналами и об- [c.188]

Обобщение теории удара Герца, предложенное Н. А. Кильчев-ским [23], основано на применении интегрального преобразования Лапласа—Карсона к динамическим уравнениям упругости [c.133]

Решение Г, (л , t), Гг (л , t) системы уравнений (4.2.78), (4.2.79) с граничными условиями Г, (х, О = 1. 2 (л , /) U=o = О найдем после применения обратного преобразования Лапласа к функциям Tiix, р) и Tiix, р) [c.178]

Необходимое ограничение применения принципа Вольтерра, равно как и метода, основанного на преобразовании Лапласа, состоит в следующем. В каждой точке поверхности тела должно быть задано либо усилие, либо перемещение, либо какая-нибудь комбинация этих величин, но тип граничных условий не должен меняться. Так, например, принцип Вольтерра неприменим к задаче о движущемся штампе. Пусть штамп длиной L движется со скоростью V по границе полуплоскости. Если штамп гладкий, то касательное усилие Ti равно нулю всюду на поверхности, следовательно, Г, = 0. Но со вторым граничным условием дело обстоит сложнее. Перемещение U2 t) в фиксированной точке границы М известно только в течение конечного промежутка времени t [Q, 6 + L/y], если 0 —тот момент, когда конец штампа приходит в точку М. Для других значений времени U2(t) неизвестно, поэтому вычислить изображение по Лапласу Uiip) не представляется возможным. Такое же положение возникает и при прямом применении принципа Вольтерра. Действительно, при окончательной расшифровке полученных операторных соотношений неизбежным образом придется вычислять интеграл [c.599]

Хаккет исследовал напряженное состояние в вязкоупругой матрице, содержащей жесткие включения или полости, пользуясь моделью Фойхта [37], а также действительными кривыми релаксации эпоксидной смолы [38]. В последнем случае к решению ассоциированной упругой задачи, полученному методом конечных элементов, был применен метод коллокаций обращения преобразования Лапласа. [c.162]

Применение нового математического аппарата дискретного преобразования Лапласа позволило создать теорию импульсных автоматических систем, формально подобную теории непрерывных систем, основанную на операторном методе или методе преобразования Лапласа. Это позволило ввести в теорию импульсных автоматических систем привычные понятия и представления (передаточной функции, временной и частотной характеристик, установившегося и переходного процесса и т. п.). Были установлены аналоги частотных критериев устойчивости Михайлова, Найквиста, разработаны методы построения процессов и оценки их качества на основе степени устойчивости и интегральных оценок, коэффициентов ошибок. Основные результаты теории и методов исследования импульсных систем как разомкнутых, так и замкнутых, достигнутые к 1951 г., были подытожены и изло жены в монографии Переходные и установившиеся процессы в импульсных цепях Я. 3. Цыпкина [48]. [c.249]

Алгаритм I позволяет последовательно отыскать вектор-функции Г (р)° 7 (0° и перейти к вектор-функциям у (/У т. е. определить Б соответствии с (8.64) матрицы А (О В (f) и вектор-функцию f (ty Осуществление алгоритма I основано на применении формул прямого, обратного преобразования Лапласа и обращении изображений при помощи теоремы о вычетах (п. 6.4). [c.249]

Проблемы, связанные с вращением деталей машин, с которы-ии ранее сталкивались на практике лишь отдельные лица, стали задачами ежедневной действительности. Много задач было решено, однако много еще остается решить. Практически невозможно написать книгу о динамике машин, которая дала бы читателю представление обо всем том, что содержится в данной области. Поэтому я решился изложить динамику машин в нескольких статьях, имея в виду познакомить читателя в первую очередь с новейшими методами расчета, которые, конечно, молено применить и для решения специальных задач, не приведенных в книге. Я стремился приблизить описываемые методы к уровню знания инженеров. Поэтому я остановился на тех методах, включая собственные методы, которые могут найти применение у широкого круга инженеров, занятых в области динамики машин методы при этом не являются слишком слолсными и затруднительными в математическом отношении. Я рассчитывал только лишь на знание основной теории дифференциальных уравнений, преобразования Лапласа, основ алгебры,—другими словами, тех методов математического анализа, которые в настоящее время в работах этого вида обычно применяются. Многочисленные ссыл- [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...