Метод факторизации

Метод факторизации был развит для решения многомерного уравнения теплопроводности. Он относится к классу экономичных методов. Так называют методы безусловно устойчивые с числом операций на каждом временном слое, пропорциональным числу узлов разностной сетки по пространственным переменным. В последние годы он стал широко применяться для расчета стационарных трансзвуковых течений. [c.210]

Применение методов факторизации значительно эффективнее обычных методов установления. [c.213]

Первый вариант метода прогонки (метод факторизации). Рассматриваемый метод может быть использован в том случае, если порядок п системы дифференциальных уравнений, (11.59) четный [c.469]

При использовании метода Абрамова так же, как и при применении метода факторизации, значения вектора состояния в любой точке определяются встречной прогонкой, т. е. путем переноса в эту точку граничных условий как слева т — условий), так и справа п — m условий). [c.479]

Число дифференциальных уравнений, входящих в систему (11.90), примерно в 2 раза больше, а правые части этих уравнений существенно сложнее, чем для системы (11.75), (11,76) метода факторизации. [c.479]

Относительная трудоемкость метода факторизации и метода С. К. Годунова зависит в основном от числа участков, на которые приходится разбивать интервал интегрирования в последнем случае. Если это число не слишком велико, то метод С. К. Годунова, не требующий перестройки исходной системы дифференциальных уравнений, имеет определенные преимущества. [c.479]

Для разветвленных систем (например, для оболочек с разделительными диафрагмами) метод факторизации в форме метода жесткостей или податливостей позволяет особенно просто выполнить условия стыковки сопряженных элементов. [c.479]

Метод факторизации. Если операторы исходного уравнения таковы, что результат их действия можно представить как последовательное действие двух операторов при условии коммутативности [c.178]

Общее решение уравнения (15) может быть найдено по методу факторизации (см. гл. X) и записано в форме [c.207]

Применение метода факторизации (см. гл. IX) приводит к общему решению (33) вида [c.226]

Книга представляет собой монографию, посвященную теории диффракционных явлений в волноводах. Она написана на основании работ автора, в которых с помощью метода факторизации (метода Винера — Хопфа — Фока) и его обобщений получены строгие решения ряда диффракционных задач, относящихся к волноводам в ней отражены также результаты, полученные другими авторами. [c.4]

МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ И ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ЭТИМ МЕТОДОМ [c.199]

Метод, которым в первой части были решены задачи о полу-бесконечных волноводах, обычно называют методом Винера— Хопфа — Фока или методом факторизации. Действительно, в фундаментальных работах Винера и Хопфа 2] и Фока [1] дан общий метод решения интегрального уравнения с ядром, зави-сяш,им от разности переменных, и в полубесконечных пределах. Это интегральное уравнение может быть как однородным, так и неоднородным, но первоначально метод решения был дан для уравнения второго рода, в то время как диффракционные задачи сводятся к интегральному или интегро-дифференциальному уравнению первого рода (см., например, гл. I). Однако метод факторизации, данный в работах [1] и [2], легко переносится на эти уравнения, а также на эквивалентные им функциональные уравнения, которые приводят к решению задачи более коротким путем (см. гл. II и III). Для несимметричных электромагнитных волн в полубесконечном круглом волноводе (гл. IV) получается система двух функциональных уравнений. В общем случае система интегральных уравнений Винера—Хопфа—Фока или эквивалентных им функциональных уравнений не решается, но благодаря своей простоте эта система допускает точное решение, несколько более сложное (см. 25), чем для одного уравнения, но все же достаточно эффективное — оно позволяет рассчитать все важные физические величины. [c.199]

Мы не будем останавливаться на этих вопросах и лишь отметим, что подобные задачи, по существу, выходят за рамки метода факторизации в его чистом виде. Действительно, этот метод применительно ik задаче, рассмотренной в 48—50, уже не дает окончательного решения, а приводит по существу к ее переформулировке —к уравнению (48.15), которое решается приближенно при определенных допущениях. В то время как число диффракционных задач, для которых метод факторизации дает явное решение, довольно ограничено (почти все они собраны в этой книге), круг задач, допускающих применение этого метода для получения частичного решения или для переформулировки, гораздо шире, и охватить все задачи этого круга нельзя. [c.266]

Формулы (62.53) и (62.58) для тока в передающем и пассивном вибраторах мы вывели, делая аппроксимации в формулах, полученных методом факторизации. В оригинальных рабо- [c.359]

В этом параграфе мы не ставили своей целью дать полное изложение электродинамической теории тонких цилиндрических проводников, поскольку эта теория выходит за рамки метода факторизации. В ней делаются аппроксимации двоякого рода одни связаны с приближенной факторизацией и ведут к приближенным соотношениям того же типа, что и при использо- [c.363]

Таким образом, полубесконечный спиральный волновод можно рассматривать как модель спиральной антенны. Результаты, полученные методом факторизации для полубесконечного спирального волновода, подтверждают закономерности, найденные ранее эмпирически или с помощью приближенных расчетов. [c.371]

Следуя аналогии построения алгоритмэв БПФ, т. е. используя метод факторизации преобразующей матрицы llw il(m, к) II, можно создать алгоритмы быстрого преобразования Уолша (Б1ТУ). [c.89]

Интегрирование уравнения (3.128) можно проводить уже после интегрирования основной системы, так как эта система является вамкнутой, и практически всегда. имеется достаточное количество граничных условий для ее интегрирования (исключением, являются только статически неопределимые оболочки, т. е. оболочки, в которых осевая сила F (s) не может быть определена из уравнения равновесия). Лишь в исключительных случаях (короткие и пологие оболочки) система уравнений (3.124)—(3.127) может быть проинтегрирована-методом начальных параметров. Чаще же, в связи с наличием краевых эффектов, метод начальных параметров оказывается неприменимым, и следует использовать либо метод ортогонализации С. К. Годунова, либо метод-факторизации (см. гл. И.) [c.193]

В практике применяют два варианта метода прогонки. Первый 43 них (метод факторизации) первоначально разработан для уравнения второго порядка И. М. Гельфандом и О. В. Локуциевским 1271, второй — А. А. Абрамовым [11. [c.469]

Сравнив ЭТО выражение с общей зависимостью (11.71) метода факторизации, устанавливаем, что значения прогоночной матрицы L и вектора г в сечении х- определяются формулами [c.476]

Эти значения L (xi) и г х- являются теперь начальными для интегрирования прогоночных уравнений (11.75), (11.76) при д ЛГ1. Может показаться, что метод факторизации, в котором интегрирование методом начальных параметров исходной линейной системы дифференциальных уравнений (11.59) заменяется двукратным интегрированием нелинейных уравнений (11.75) и (11.76), не имеет существенных преимуществ. Однако это не так. Именно в тех случаях, когда вследствие краевых эффектов метод начальных параметров неприменим, метод факторизации приводит к хорошим результатам, так как элементы матрицы L и вектора г меняются медленно и могут быть легко определены численным интегрированием уравнений (11.75) и (11.76). Это видно, например, из графиков, представленных на рис. 11.3, которые показывают характер изменения по длине цилиндрической оболочки постоянной толщины (радиус R, толщина К) одного из решений однородного уравнения осесимметричной деформации г/ц х) = sh рл X X sin рх и элемента матрицы податливости, соответствующего перемещению, вызываемому единичной поперечной силой [c.476]

Предлагается методика численного анализа поведения произвольных тонкостенных оболочек вращения с большим показателем изменяемости геометрии (гофрированные, сильфонные, оболочки с начальньши неправильностями и т. д.), подверженных осесимметричному силовому и температурному нагружению при конечных смещениях. Явления ползучести и пластичности, возникающие при этом, моделируются системой дополнительных сил в уравнениях типа Рейснера. Для описания начальной и последующих геометрий оболочек и уравнений состояния используются онлайновые функции. Решение соответствующих нелинейных краевых задач теории оболочек осуществляется методом факторизации (разностной прогонки) для последовательных приближений. [c.184]

Подробное решение задачи синтеза пространственной системы виброзащиты твердого тела дано в работе [198] на основе методов теории оптимальной фильтрации для многомерных систем. Процедура решения включает составление функционала в форме следа квадратичной матрицы, операции над следом для получения матричного уравнения Винера—Хопфа и решение матричного уравнения Винера— Хопфа [ 120]. П )и решении особое место занимает задача факторизации спектральных матриц. Разработаны алгоритмы факторизации и программы на ЦВМ для определенно положительных дробнорациональных функций и методы факторизации спектральных матриц, содержащих члены с чистым запаздыванием и опережением [248]. [c.306]

Таким образом, матрица системы (3.70) является верхней треугольной, а системы (3.71) — нижней треугольной. Для таких систем решение выписьшается сразу, причем для нижней треугольной матрицы осуществляется прямой ход (прямая прогонка) — от меньших номеров к большим, а для верхней треугольной — обратный ход (обратная прогонка) — от больших номеров к меньшим. Представление оператора системы в виде произведения двух или более операторов (3.69) называется факторизацией оператора, а методы, основанные на решении с помощью такого представления, — методами факторизации. [c.183]

Существование быстрых алгоритмов преобразования Фурье на матричном языке означает, что матрица FOURjv при составном N факторизуется в произведение так называемых слабо-заполненных матриц. Методы факторизации основываются на следующих определениях, обозначениях и теоремах факторизации. [c.30]

В предыдущих главах метод факторизации применялся для строгого решения диффракционных задач, в которых имелись по-лубесконечные структуры — плоские или цилиндрические. Переход к конечным телам, разумеется, возможен, но при этом приходится делать те или иные аппроксимации, и получаемые результаты имеют приближенный характер (см. 23, 40, 43, 48—51), хотя обычно точность их весьма высока. В данной главе мы рассмотрим некоторые задачи, относящиеся к решеткам и к диафрагмам в волноводе, для которых метод факторизации дает строгое решение, хотя никаких полубесконечных структур в этом случае нет. [c.279]

Следует отметить, что все задачи, решенные в гл. VI — VIII, могут быть сформулированы в виде бесконечной системы линейных уравнений для величин, определяющих комплексные амплитуды волн в различных областях (например, волн в коаксиальной линии и в Круглом волноводе, диффравдионных вол н в свободном полупространстве и волноводных волн между металлическими пластинами и т. д.). Можно сказать, что всякий раз, когда по методу факторизации задача сводится к факторизации мероморфной функции, эта задача может быть сформулирована в виде бесконечной системы линейных уравнений, причем можно получить явное решение этой системы — неизвестные амплитуды волн могут быть выражены через бесконечные произведения. [c.304]

Последнее - обстоятельство вызвало появление ряда работ, в которых метод факторизации в явном виде не применяется, а задача сводится к упомянутым выше бесконечным системам линейных уравнений, которые удается решить, используя примерно те же приемы теории функций комплексного переменного, что и при решении методом факторизации. В частности, таким путем были решены задачи, рассмотренные выше в гл. VII, причем решения совпали с теми, которые получены методом факто-]ризации. Появление работ, опирающихся на бесконечные системы линейных уравнений и не использующих метода факторизации в явном виде, в значительной степени стимулировалось надежной решить та ким 1путем зада)чи, не,поддающиеся (решению методом факторизации. К сожалению, эта надежда не оправдалась хотя (Многие диффра кциоиные задачи могут быть сведены к бесконечным системам линейных уравнений, но эти системы удается решить аналитически только тогда, когда можно применить метод факторизации. [c.304]

Задачи, решенные в этой главе, в свое время возбудили надежды на то, что метод факторизации удастся иапользовать для строгого решения более широкого круга диффракционных задач. И эти иадежды, ik юожалению, е оправдались (более того, оказалось, что ключевая задача 52 при а = р решается методом факторизации потому, что она эквивалентна задаче о бесконечном волноводе с полубесконечной вставкой в плоскости его симметрии (см. задачу б ниже). [c.305]

В предыдущих главах мы рассматривали диффракционные задачи для систем, образованных идеально отражающими по-верхностя ми. Можно юказать, что ib этих главах исследованы практически все известные системы такого типа, которые поддаются строгому расчету методом факторизации. Однако целый ряд новых задач может быть поставлен и решен, если от идеально отражающих поверхностей перейти к поверхностям, на которых выполняются граничные условия импедансного типа. Такие задачи будут рассмотрены в следующей главе, причем в простейших случаях можно решить диффракционные задачи, относящиеся к прозрачным телам ( 65). [c.305]

Гл. VIII написана на основании двух работ автора и 2. при подготовке данной книги автор познакомился с работой в которой методом факторизации решена та же задача, что и в работе 2 однако в работе отсутствуют приближенные (асимптотические) формулы (52.33) и некоторые численные результаты. Надо сказать, что еще в статье отмечена возможность точного решения задачи о решетке, рассмотренной в 53 а именно, исходя из системы уравнений, эквивалентной (55.04), доказано, что коэффициенты R2S+1 можно представить б виде бесконечных произведений. [c.424]

Высокую эффективность при исследовании динамических смешанных задач для областей типа слоя или пакета слоев, особенно на высоких частотах колебаний, показали развитый в ряде работ В.А. Бабешко метод факторизации [11, 38, 39], а также предложенный В.А. Бабешко и развитый в цикле работ В.А. Бабешко и О.Д. Пряхиной [11, 14, 39] метод фиктивного поглош,ения. Последний был успешно использован при изучении контактного взаимодействия массивных жестких штампов, упругих балочных плит и двухмассовых инерционных систем, а также для решения систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании задач контактного взаимодействия массивных электродов с электроупругими средами. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...