Задача Уравнения в координатах сферических

Для осесимметричной задачи уравнения движения в сферической системе координат примут вид [c.81]

При решении прямой задачи используют уравнения газовой динамики, записанные в декартовой, цилиндрической или сферической системах координат. Решать обратную задачу и формулировать граничные условия удобно, используя уравнения, в которых в качестве независимых переменных взята длина дуги вдоль некоторой кривой и функции тока. Использование функций тока особенно удобно, так как начальные условия в обратной задаче задаются обычно на поверхности тока (жесткая стенка или ось симметрии). [c.50]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

Решение уравнений (1-6) для условий падения на частицу плоской линейно поляризованной электромагнитной волны производится в сферической системе координат по методу Фурье путем введения потенциалов электрических и магнитных колебаний. Общее решение задачи дается в виде бесконечных рядов по амплитудам парциальных волн электрических j и магнитных колебаний. [c.15]

Отличие сферического распространения волн от плоского можно просто показать на примере задачи о распространении сферической звуковой волны. Составим уравнения возмущенного движения в сферических координатах, поместив начало координат в центр возмущений (точечный источник звука). Точные уравнения будут состоять из уравнения движения, совпадающего с соответствующим уравнением в плоском случае (первое уравнение системы (54) гл. III), если только в нем заменить х на радиус-вектор г точки относительно источника возмущений, а под и понимать радиальную скорость газа. [c.135]

Рассмотрим процедуру решения краевых задач, предполагая, что правые части граничных условий разложены также в ряды по е. Из (3.58) следует, что уравнения в каждом из приближений совпадают с уравнениями в сферической системе координат. Учитывая, что вторые слагаемые правых частей (3.56), (3.57) определены из предыдущих приближений, получаем, что в каждом приближении необходимо удовлетворять граничным условиям как бы в сферической системе координат, когда правые части граничных условий будут изменены, поскольку, например, (р, 7, и) получено из (г,0, ф) формальной заменой г, 0, ф на р, у, к. Таким образом, задача дифракции на конечных телах вращения сведена к последовательности задач дифракции на сферических телах с изменяющимися граничными условиями в каждом из приближений при одинаковых однородных уравнениях во всех приближениях. При этом выражения для операторов полностью совпадают с выражениями [c.68]

Соотношения обобщенной ортогональности в задачах об установившихся колебаниях сферического слоя. В сферической системе координат г, д, ip рассмотрим однородные решения уравнений Ламе в осесимметрических задачах об установившихся колебаниях шарового слоя R г R2, поверхности г — Ri и г — R2 которого а) неподвижны, б) свободны от напряжений либо в) поверхность г = = R неподвижна, а поверхность г — R2 свободна от напряжений (или наоборот). Собственные функции этих задач будем искать в виде [c.47]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

СВОДЯТСЯ К обыкновенным дифференциальным уравнениям. Однако имеются другие важные приложения метода поиска симметричных решений, когда задача сводится к уравнениям в частных производных. Наиболее очевидный пример представляют собой конические течения без осевой симметрии, которые впервые ввел и исследовал А. Буземан ). Это — стационарные течения с полем скоростей (в сферических координатах) [c.176]

В конце этой главы ( 2.6) приводятся уравнения задач термоупругости в цилиндрических и сферических координатах. Составленные уравнения равновесия в перемещениях в цилиндрических координатах учитывают механическую и термическую неоднородности. [c.38]

Основные уравнения статической и квазистатической задач термоупругости рассматривались выше в декартовых координатах. Одиа-ко эти задачи для тел вращения, ограниченных цилиндрическими и сферическими поверхностями, удобно рассматривать в цилиндрических и сферических координатах. Рассмотрим основные уравнения задач термоупругости в этих координатах. Все формулы приведем в развернутом виде, не применяя индексного обозначения и правила суммирования по повторяющимся индексам. [c.49]

Здесь число л) =1,2,3 для плоского, цилиндрического и сферического случаев соответственно. Представим решение уравнений в виде произведения масштабных функций, зависящих от времени, на новые неизвестные функции автомодельной переменной = г/Я, где Я = Я t) — переменная длина, свойственная данной задаче (например, координата фронта ударной волны). Выбирая в качестве основных масштабы длины Я [c.238]

Уравнения в сферических координатах. Иногда удобно исходить из уравнений осесимметричной задачи в сферических координатах г, Ф, 0 при этом напряжения, деформации и смещения не зависят от угла ф ось симметрии характеризуется значением 0 = 0. Функция напряжений удовлетворяет бигармоническому уравнению, причем оператор Лапласа имеет теперь вид [c.43]

Отметим, что решения для тел цилиндрической и сферической форм с коэффициентами с, X и у, являющимися степенными функциями координат, включаются как частные случаи в последнюю из рассмотренных задач. Например, уравнение в изображениях для шара имеет вид [c.438]

Этот метод заключается в совместном решении системы из дифференциальных уравнений равновесия и уравнения, выражающего условие пластичности. Уравнения пишут в форме (для объемного, осесимметричного, плоского напряженного состояний, плоского деформированного состояния) и в координатах (прямоугольных, цилиндрических, полярных, сферических), отвечающих условиям рассматриваемой конкретной задачи. [c.176]

Это замечание относится также к уравнениям движения в каких-либо других координатах (сферических, цилиндрических и т. д.), так как невозможность полного интегрирования обусловливается отсутствием нужного количества первых интегралов задачи. Также не могут быть строго проинтегрированы и [c.626]

Автомодельные движения имеют большое значение для газовой динамики. Поскольку в этом случае газодинамические величины не зависят от координат и времени в отдельности, ио зависят только от их определенных комбинаций,— зто уменьшает на единицу число независимых переменных в системе уравнений. В частности, при одномерных движениях вместо двух переменных х и i (или г и i в случае сферической или цилиндрической симметрии) появляется одна независимая переменная ( = x/i в нашей задаче). Течение описывается уравнениями не в частных [c.42]

В приложении дана сводка символических тензорных обозначений в декартовой системе координат, приведены основные теоремы переноса в физике сплошных сред, основные соотношения на поверхностях и линиях разрыва и стандартные уравнения в цилиндрической и сферической системах координат. При теоретических рассмотрениях используется система электромагнитных единиц Лоренца—Хевисайда, которая, как нам представляется, для этого наиболее подходящая. Даны сведения и о других системах единиц, которые используются в численных примерах хорошая система единиц — это, по мнению автора, такая система единиц, которая дает численные значения, соразмерные с другими числами, фигурирующими в этой же самой задаче. Различные эффекты иллюстрируются в соответствующих местах на примере многих реальных материалов. [c.17]

Применим метод обобщенных координат для получения дифференциальных уравнений движения из общего уравнения механики. Метод обобщенных координат приводит к исключительно важному результату. Он дает общий вид дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах, называемых уравнениями Лагранжа (второго рода). Эти уравнения позволяют для каждой задачи на несвободную систему пользоваться наиболее удобными и естественными величинами при описании движения системы, исключая из рассмотрения связи и силы реакции. Лагранжевы уравнения оказываются полезными и для свободных тел и точек, так как имеют инвариантную (скалярную) форму во всех системах координат, а это позволяет легко составить уравнения в наиболее удобной системе координат, не пользуясь громоздкими формулами перехода (например, от декартовых к сферическим). [c.180]

Распределение р ъ V зависит от расстояния от некоторой точки (центра), т.е. задача имеет сферическую симметрию. В общем виде волновое уравнение в сферических координатах имеет вид [c.13]

Рассмотрим пространственно одномерную стационарную задачу теплопроводности в шаровой стенке с радиусами внутренней и внешней поверхности Г] и Г2 (рис. 2.17) и коэффициентом теплопроводности материала стенки X. Одномерность задачи означает, что распределение температуры в стенке зависит только от радиуса, а потому основное дифференциальное уравнение теплопроводности в сферической системе координат [см. выражение (2.18)] примет вид [c.40]

Для решения многих конкретных задач вместо декартовых координат X, у, г часто удобнее использовать сферические г, ( , 9 или цилиндрические д, (р, г координаты. Дифференциальные операторы, входящие в уравнение (3.1.14), в этих системах координат имеют вид [c.101]

Сферическое течение. Вполне очевидно, что аналогом плоской задачи радиального потока (гл. IV, п. 2) является такой, где распределение потенциала и скорости зависит только от радиуса г в системе сферических координат. Так как общий вид уравнения Лапласа в сферических координатах (г, в, х) [c.217]

Решение задач методом Гамильтона — Якоби опирается на разделение переменных в левой части уравнения Гамильтона —Якоби, что позволяет записать полный интеграл при помощи квадратур. Якоби, решая задачу о движении планеты вокруг Солнца (задачу Кеплера), ввел сферические координаты и применил метод разбиения уравнений в частных производных на несколько уравнений, каждое из которых содержит только одну независимую переменную и производную искомого полного интеграла по этой переменной ([38], двадцать четвертая лекция). Далее Якоби распространил метод разбиения на любое число переменных. Вслед за Якоби методы разделения переменных развивали многие авторы, с чем можно познакомиться в [19], т. II, ч. 2, [37]. Однако метод разбиения Якоби является и до настоящего времени основным для интегрирования уравнений в частных производных первого порядка. [c.331]

Как было показано выше, в рамках моделей таких процессов, предложенных в предыдущей главе, фундаментальные решения задач Коши для соответствующих уравнений в одномерном по пространственным координатам случае, которые мы предполагаем существующими, могут быть представлены в простран-ственно-временных координатах в виде (3.87). Исследованию свойств этих решений, построению достаточно простых и эффективных вычислительных процедур, обобщению развитых методов на случаи цилиндрических и сферических волн, а также их применению к решению задач о распространении волновых импульсов в таких средах будут посвящены оставшиеся главы данной части книги. Ключевыми при этом для исследования интересующих нас проблем, связанных с переходными волнами в средах с фрактальными элементами, оказываются методы решения задач, содержащих отмеченную выше слабую степенную сингулярность в ядре наследственности. [c.161]

Рассмотренная в общем случае для обобщенных волновых уравнений фундаментальная задача Коши (3.78)-(3.79) с точки зрения физики представляет собой задачу об определении двухточечной функции Грина (пропагатора) для волнового поля, в случае распространения в пространстве плоских волн, созданного мгновенным источником, равномерно распределенным по плоскости д = О. Отсутствие явной зависимости от двух из трех пространственных координат формально сводит эту задачу к пространственно одномерной. В этом смысле мы будем называть эту задачу одномерной, а соответствующее ей решение - одномерной функцией Грина (пропагатором) для соответствующего обобщенного волнового уравнения. Имея в виду в дальнейшем рассмотрение аналогичных задач для цилиндрически- и сферически- симметричных случаев, введем для обозначения этих функций обозначения N = 1,2,3 - математическая размерность задачи, а (.) - определяет положения точки в пространстве соответствующей размерности в подходящей системе координат (для плоской волны - это декартова координата л ). В этих обозначениях, с учетом (3.87), (3.88), функции Грина для всех рассматриваемых вариантов обобщенных волновых уравнений в случае рассмотрения плоских волн [c.162]

Это векторное уравнение эквивалентно системе трех дифференциальных уравнений в координатах и содержит шесть неизвестных функций — проекции радиуса-вектора материальной точки и проекции натяжения нити в декартовых координатах неизвестными являются х (), y t), z t), Rx t), Ry t), Rz t) Для отыскания решения приведенного уравнения необходимы дополнительные сведения. В поставленной задаче такие сведения есть во-первых, в любой момент времени материальная точк находится на сферической поверхности радиуса I (если нить натянута) и, следовательно, координаты точ ки должны удовлетворять условию г = 1 во-вторых, натяжение нити направлено вдоль нити, в связи с чем можно написать, что К = 2А.г, где X — неизвестная скалярная функция. Таким образом, условия задачи приводят к системе [c.198]

Для рассматриваемого механизма можно упростить решение задачи, исключив три угловых перемещения в сферической паре. Для этого размыкаем замкнутый контур механизма AB DEFA в центре сферической пары D. В результате получи.м две незамкнутые кинематические цепи О—1—2 и 3—0. Тогда матричные уравнения преобразования координат точки D в соответствии с уравнениями (3.28) и (3.29) можно записать следующим образом [c.108]

Из сравнения математических моделей уравнений энергии переходного теплового (8-295), (8-296) и электрического (8-298) процессов устанавливается возможность и разрабатывается методика моделирования одномерных задач теилоиереноса в цилиндрической и сферической системах координат но ранее рассмотренной методике. [c.339]

Очень похожее решение задачи о движении двух близко расположенных сфер дал Вакия [33]. В качестве системы координат он выбирал ту же систему, что и на рис. 6.2.1, так что результат выражается в виде, подобном полученному выше при решении двух задач о движении сфер вдоль и перпендикулярно их линии центров. Применяемый им метод решения несколько отличен от использованного здесь. Хотя также применяется разложение по сферическим гармоникам, гармоники для второй сферы выражаются непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы, после чего из граничных условий на первой сфере а получается одна система соотношений, связывающих определяющие коэффициенты. Таким же образом по граничным условиям на сфере Ъ получается другая система соотношений. Исключая из этих двух систем одну совокупность констант, можно получить бесконечную систему уравнений для другой совокупности констант, определяющих соответствующие гармонические функции. Эту бесконечную систему уравнений Вакия решает методом последовательных приближений, и поэтому расчетная часть у него такая же, как и здесь. Полученные им результаты согласуются с результатами Факсена для двух сфер, движущихся одна за другой, а также с приведенными выше данными для движения сфер как вдоль линии центров, так и в перпендикулярном направлении. [c.307]

Кинч [22] также получил выражения для скорости каждой из двух сфер, медленно движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. В некотором отношении его метод подобен методу Вакии, поскольку он, как и Вакия, также выражает решения для второй сферы непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы. Однако вместо сферических гармоник он использует представление решения через производные фундаментального решения. В результате получается бесконечная система уравнений, связывающих неизвестные константы, которая решается методом последовательных приближений. Для задач о движении сфер под действием сил, направленных соответственно вдоль и перпендикулярно линии центров, решение доведено до числовых значений. [c.309]

Рассмотрим сферическую полость с мгновенным значением радиуса / (/) и запишем уравнение движения для скорости частиц жидкости и (г) при г Р в полярных координатах, начало которых совмещено с центром полости. Благодаря сферической симметрии задачи уравнение лвижения (11.4) будет одномерным, с сдиой полярной координатой г [c.134]

Геометрическое преобразование инверсии в пространстве связывает клин и сферическую линзу. В работах [43, 50, 56] показывается, что схожи и математические методы решения задач теории упругости для этих тел. В [50] метод сведения задачи теории упругости к обобщенной по И. И. Векуа краевой задаче Гильберта распространяется на смешанную пространственную задачу для усеченного шара, сферическая поверхность которого жестко защемлена, а на срезе заданы нормальные напряжения, а также на аналогичную задачу для полупространства со сферической выемкой или выступом. Используется обобщенное комплексное интегральное преобразование Мелера-Фока и тороидальные координаты rj, (f, причем Г] = onst — уравнения поверхности тела. Системы функциональных уравнений этих задач преобразуются к системам сингулярных интегральных уравнений. Излагаемая методика применима к исследованию задач для произвольной упругой сферической линзы, т.е. тела, образованного пересечением двух сфер разного радиуса. [c.193]

Наконец, отметим еще работу Сривастава и Прем Нарайна [355]. Здесь рассматриваются задачи о кручении полупространства с полусферическим углублением, когда на плоской границе на внутреннем кольце задается перемещение, а вне этого кольца касательное напряжение и полусферы, когда на сферической поверхности перемещение отсутствует. Кручение осуществляется поворотом жесткого штампа, сцепленного с полусферой в центральной части плоской границы. Эти задачи решаются в сферической системе координат. Решения задач сводятся вначале к парным уравнениям, а затем к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. [c.246]

Кручение круговым жестким штампом полупространства, содержащего жесткое неподвижное сферическое включение или сферическую полость, исследовалось в работе А. Н. Руховец и Я. С. Уфлянда [234]. Задача решается в бисферической системе координат (а, ф, р). Решение уравнения (8.1) представляется в виде [c.251]

Задача о кручении усеченного шара, когда скручивание осуществляется поворотом жесткого круглого штампа, закрепленного на центральной части плоской границы усеченного шара, при закрепленной сферической поверхности, решена в работе А. А. Баблояна б6]. Здесь задача решается в тороидальной системе координат. Функция перемещения ищется в виде интеграла Мелера—Фока. Решение задачи сводится вначале к парным интегральным уравнениям, содержащим функции Лежандра с комплексным индексом. Решение этих уравнений сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. [c.259]

По существу этим задача об излучении звука пульсирущей сферой решена. Далее, воспользовавшись связью /> и 2 с потенциалом , можно найти р, 7)- и интенсивность звукового поля. Из изложенного видим, что задача об излучении пульсирующей сферой сводится к решению волнового уравнения в сферических координатах, удовлетворяющего условию на границе излучателя со средой и условию на бесконечности. Для такого излучателя согласно (Э. ) - [c.65]

Введенке. В этой главе мы рассмотрим решения уравнений равновесия изотропного упругого телд при ПОМОЩИ разложений в ряды гармонических функций и главным образом в ряды сферических функций. Мы начнем с некоторых специальных типов решений, полученных при помощи сферических функций и дающих важные, результаты, касающиеся равновесия шара, которые являются началом приложений теории упругости к геофизике. Мы будем следовать Кельвину, который выразил общее решение задачи 1) о шаре при помощи сферических функций, рассматривая их как функции декартовых координат и избегая преобразования к полярным координатам. После этого мы дадим некоторые применения рядов гармонических функций, отличных от сферических функций, для интегрирования уравнений равновесия. [c.261]

Уравнения в сферических координатах. Ингид ] удобно исходить из ураннений осесимметричной задачи в сферических координатах г, ф, 0 прн том нанряжения, деформации и смещения не зависят от уг. а ч ось симметрии характеризуется значением 6=0. Функция напряженип удовлетворяет бигармоническому уравнению, причем оператор Лапласа имеет теперь вид [c.43]

Общий метод решения этой задачи состоит в том, что мы составляем волновое уравнение в сферических координатах и находим его общее решение, выраженное рядом по сферическим функциям. Зател мы находим радиальную скорость как [c.329]

Основная переработка курса была осуществлена при подготовке четвертого издания. Для пятого издания заново написаны главы о цен Iре тяжести в статике сложении движений гвердою чела в кинематике параграфы о скорости и ускорении в криволинейных координатах, а чакже скорости и ускорения в сферических координагах, уравнениях Гамильгона и задаче Ньютона. Часть примеров в статике, кинематике и динамике заменена новыми. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...