Задача п тел уравнения движения

Пусть имеются три материальные точки Яо, Яь Яг с массами Шо ф О, гп ф О, ГП2 Ф О, взаимно притягивающие друг друга по закону всемирного тяготения. Неограниченная задача трех тел состоит в определении и изучении всевозможных движений материальных точек Яо, Ри Яг- Поскольку задача трех тел — частный случай задачи п тел, уравнения движения в различных системах координат могут быть получены из уравнений задачи п тел (ч. IV, гл. 1), если положить в них п = 2. [c.524]

Совокупность таких уравнений при I = 2, 3,. .., п является искомой системой уравнений относительного движения п тел. Ясно, что 1) если в системе нет других тел т, (/ ф I) или они пренебрежимо малы, то правая часть уравнения становится равной нулю и в результате получается уравнение задачи двух тел (уравнение движения т, относительно т), 2) первый член в скобках в правой части представляет собой ускорение тела т,, вызванное влиянием тела т/ (/ Ф 1), 3) второй член в скобках в правой части равен взятому со знаком минус ускорению тела т, обусловленному влиянием тела т/ (/ О- [c.182]

Пусть имеется п материальных точек с массами т, ..гпп, взаимодействующих друг с другом по закону тяготения Ньютона. Система уравнений движения для задачи п тел имеет вид [c.266]

Полагая число групп равным п, мы получим, написав уравнения движения п центров тяжести, Зл дифференциальных уравнений второго порядка, — по три для каждого центра тяжести. Эти уравнения, интегрирование которых составляет задачу п тел, допускают семь известных первых интегралов, которые мы укажем как приложения общих теорем о движении системы. Современные средства анализа не допускают выполнения интегрирования этих уравнений. Тем не менее в небесной механике оказалось возможным при помощи этих уравнений вычислить с достаточной степенью точности движение центров тяжести небесных тел благодаря тому, что массы всех тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца. Так, масса Юпитера, наибольшая во всей системе, не составляет тысячной доли массы Солнца, Приведя число тел к трем, получим знаменитую задачу трех тел. [c.349]

О задаче трех и более тел. Задача п тел (п 2) состоит в следующем. В пустоте находятся п материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех точек как функции времени. Эта задача не решена до сих пор. Более того, показано, что даже в случае трех тел помимо классических интегралов, существование которых следует из общих теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, дифференциальные уравнения движения не имеют других интегралов, которые выражались бы через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей точек. [c.244]

Как известно, дифференциальные уравнения задачи п тел допускают десять классических интегралов шесть интегралов количества движения, три интеграла площадей и один интеграл энергии, которые соответствуют законам сохранения количества движения, кинетического момента и механической энергии системы. Эти интегралы обладают тем свойством, что они алгебраически содержат координаты и скорости точек. На вопрос, существуют ли другие подобные интегралы, отвечает теорема Брунса [c.108]

В исследованиях, описанных выше, предполагалось, что движение п тел регулярно, т. е. происходит без соударений и удаления на бесконечность. Между тем изучение особых траекторий динамических задач вообще и задачи п тел в частности имеет очень большое значение для определения условий, при которых данное движение будет устойчивым или неустойчивым. Могущественные методы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, созданные А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяют проникнуть в природу механического движения и исследовать особенности интегралов дифференциальных уравнений, описывающих это движение. Потребность в качественных методах исследования вызвана тем, что многочисленные и очень важные задачи механики, математического анализа, геометрии, математической физики и прикладных наук приводят к дифференциальным уравнениям, не интегрирующимся в конечном виде. Таким образом, возникает необходимость в разработке методов изучения свойств функций непосредственно по дифференциальным уравнениям, их определяющим. Вот почему доказательство теорем существования, изучение критических точек, особых траекторий и устойчивости решений составляли и составляют фундамент исследований ряда крупных отечественных и зарубежных ученых [c.111]

При решении задач уравнением (64) целесообразно пользоваться тогда, когда система состоит только из одного вращающегося тела. Если в системе кроме одного вращающегося тела есть еще другие движущиеся тела (см., например, задачи 133, 138 и т. п.), то уравнение движения лучше составлять с помощью общих теорем или методов, изложенных в 168, 173, 178. [c.390]

Сравнительная простота решения задачи п тел при описании движения планет (это достаточно сложная задача, изучением которой занимается небесная механика) связана с тем, что 1) масса одной точки - Солнца - в 1000 раз превосходит самую большую из остальных масс - Юпитер, 2) в процессе движения планеты не сближаются друг с другом. Оказывается, что при приближенном описании можно в правых частях уравнений движения к-й планеты учитывать только ее взаимодействие с Солнцем и пренебрегать влиянием на нее остальных планет. Тем самым в первом приближении задача сводится к задаче двух тел Солнце - планета, которую, как было отмечено, умеют решать аналитически. Так и делают. Но такое упрощение может дать лишь грубое описание движения. Для более точного решения задачи используют методы теории возмущений. В теории возмущений разработаны методы, с помощью которых последовательно уточняют решение задачи на ограниченных интервалах времени (порядка сотни лет). Сейчас мы можем предсказывать положение планет относительно Солнца с точностью порядка [c.49]

Полученные уравнения будем называть уравнениями относительного движения задачи п тел. [c.52]

Запишем снова уравнения относительного движения в задаче п тел [c.71]

В этой главе приводятся различные формы дифференциальных уравнений движения задачи п тел, рассматриваемых как материальные точки, а также их первые интегралы. Подробные выводы можно найти в учебниках и монографиях [1] — [8]. [c.288]

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ [c.297]

ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ 309 [c.309]

В 1.13—1.19 были приведены канонические формы уравнений абсолютного и относительного движения задачи п тел. Интегрирование канонических уравнений движения механической схемы с k степенями свободы тесно связано с интегрированием одного уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона — Якоби. Оно имеет вид [c.318]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.347]

ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ 349 [c.349]

Решить пример 2 из данного параграфа, рассмотрев точку А для описания движения автомобиля как жесткого тела. Уравнения движения в усилиях для указанной точки были получены в виде (3.14а) в п. 3.4. (Для решения этой задачи потребуется использовать результаты решения задачи 3.5.9). [c.225]

Хорошо известно, что классическая небесная механика занимается главным образом различными аспектами так называемой задачи п тел . Эта задача состоит в изучении движения п материальных точек р , притягивающих друг друга в соответствии с законом Нью-тона . Обозначив через m массу точки pi. через r ее радиус-вектор и через 7 постоянную тяготения, имеем следующую систему уравнений движения [c.18]

Уравнения движения в задаче п тел можно записать в сокращенном виде следующим образом [c.39]

Простейший случай периодического решения будем иметь в том случае, когда координаты совершенно пе зависят от времени. Такие решения назовем равновесными. Прежде всего покажем, что задача п тел (п > 1) пе имеет равновесных решений. В самом деле, если бы каждая координата д пе зависела от времени, то ее вторая производная с = 0 следовательно, в соответствии с уравнениями движения (5 3) также 11д равнялось бы пулю, и но теореме Эйлера об однородных функциях [c.126]

Уравнения движения задачи п тел [c.130]

Найти другие интегралы никому не удалось, а Брунс и Пуанкаре доказали, что в задаче п тел кроме интеграла энергии, интегралов площадей и интегралов, определяющих движение центра масс системы, не существует других интегралов, которые выражались бы соотношениями, включающими только алгебраические и интегральные функции координат и скоростей тел, были справедливы для любых тел и удовлетворяли уравнениям движения. [c.134]

Точное решение задачи. Воспользовавшись методикой, изложенной в п. а), получим дифференциальное уравнение движения тела 1 [c.181]

Задача й-f-l тел каноническая форма Пуанкаре для уравнений ОТНОСИТЕЛЬНОГО движения. Значительно более важная иллюстрация общих рассуждений предыдухДего параграфа дается в задаче п- - тел (или вообще и-f-l свободных точек, находящихся исключительно под действием внутренних сил), когда стараются получить решение из интегралов количеств движения (или количества движения центра тяжести) [c.315]

Современная теория годографов ньютоновой механики позволяет произвести полный анализ годографа траекторий в векторном пространстве любого порядка. Теория годографов для баллистических траекторий включает в себя уравнения движения, функции преобразования годографов и годографические отображения для пространств ускорений и скоростей. Одно из основных направлений дальнейшей работы состоит в выводе и применении определяющих уравнений годографа для активных участков траектории, а также в разработке методов синтеза, главным образом с помощью дифференциальной и инверсивной геометрий. Другим не менее важным направлением является распространение теории годографов на траектории, определяемые присутствием более чем одного притягивающего тела (ограниченная задача трех тел, задача п тел). Оба направления, по-видимому, в достаточной степени перспективны как с аналитической (новые методы небесной механики), так и с инженерной (новые принципы построения систем управления и наведения) точек зрения. [c.40]

Современная теория годографа в ньютоновой механике позволяет полностью исследовать поведение годографа траектории в ньютоновом векторном пространстве любого данного порядка. Теория годографа для баллистических траекторий представлена уравнениями движения, контурными сетками и функциями преобразования годографа в векторных пространствах скоростей и ускорений. Одно из основных направлений, в которых эта область продолжает развиваться,— разработка и применение определяющих уравнений годографа и метода синтеза к исследованию активных участков траекторий главным образом путем использования дифференциальной геометрии. Другое важное направление — применение теории годографа к траекториям, связанным более чем с одним притягивающим центром (ограниченная задача трех тел и задача п тел). Оба направления обещают принести свои плоды как с аналитической точки зрения современной небесной механики, так и в отношении технических приложений к проектированию перспективных систем наведения и управления. Илл. 25. Библ, 50 цазв. [c.236]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

В солнечной системе орбиты больших планет, за исключением Плутона, имеют малые наклонности относительно общей плоскости, за которую можно выбрать такую плоскость, в которой момент количества движения системы достигает максимума. Это так называемая неизменяемая плоскость Лапласа. Если пренебречь координатами, перпендикулярными к этой плоскости, то уравнения движения относятся к задаче га тел, движущихся в общей плоскости. Такая система имеет порядок 4га, Число общих интегралов теперь равно 4 + 1-)-1 = 6, и порядок может быть понижен до 4га —6. Для задачи трех тел в плоскости понижением порядка приходим к системе шестого порядка. Как и в трехмерной задаче, возможно еще одно понижение порядка этой системы на две единицы. Следовательно, для задачи трех тел в плоскостп окончательное понижение порядка приводит к системе четвертого порядка, для задачи п тел в плоскости —к системе порядка 4га-8. [c.222]

Напишите уравнения (1), кэгда сила изменяется обратно пропорциональьв я-й степени расстояния. Для каких значений п все уравнения становятся независимыми Задача п тел может быть полностью решена для этого закона силы покажите, что по отношению к центру массы системы все орбиты — эллипсы с центром в этой точке. Покажите, что орбита любого тела по отношению ко всякому другому также является центральным эллипсом н что то же самое имеет место в движении всякого тела по отношению к центру массы любой подгрунпы всей системы. Покажите, что все периоды равны. [c.241]

Другой подход к решению задачи п тел связан с использованием специальных возмуи ений. Поскольку при этом производится пошаговое численное интегрирование дифференциальных уравнений движения от начальной эпохи до эпохи, в которую нам нужно знать положения тел, то до тех пор, пока не были созданы быстродействующие вычислительные машины, многие ученые — небесные механики избегали пользоваться таким методом. Однако метод специальных возмущений обладает большим преимуществом, которое состоит в том, что его можно применять к любым орбитам и к системам, состоящим из любого числа тел. В наши дни внимание ученых направлено на применение специальных возмущений [c.129]

В 1773 г. Лаплас опубликовал теорему, впоследствии уточненную Пуассоном (до второго порядка по возмущающим массам), из которой следовало, что Солнечная система устойчива в том смысле, что движение каждой планеты постоянно ограничено собственным сферическим слоем, причем слои разных планет никогда не пересекаются друг с другом. Другими словами, изменения больших полуосей являются чисто периодическими. Зате.м (в 1784 г.) Лаплас, воспользовавшись уравнениями движения планет в форме Лагранжа, пришел к выводу, что наклонения и эксцентриситеты планетных орбит должны все время оставаться малыми. Свои результаты он получил, учитывая лишь первые и вторые порядки этих малых величин. Американский астроном Саймон Ньюком [23] показал, что если массы всех тел, кроме одного, малы (по сравнению с массой единственного большого тела) и орбиты малых тел имеют малые эксцентриситеты и наклонения, то такая задача п тел имеет решение в виде бесконечных многократных периодических тригонометрических рядов. При этом, однако, оставался решающий вопрос о том, сходятся илн расходятся ряды Ньюкома. Если ряды сходятся, то реальные движения планет должны быть ква-зипериодическпми если они расходятся, то о поведении планетных орбит на больших интервалах времени ничего сказать нельзя. [c.278]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...