Метод Фурье

Решение уравнения (20.85), следуя методу Фурье, ищем в виде [c.565]

Равенства (20.99) и (20.100) требуют разложения этих функций в ряды, члены которых представляют собой тригонометрические функции углов, кратных Эта задача решается методом Фурье, который, как известно, заключается в том, что равенство (20.99) умножают на sin /и-у и интегрируют по всей длине от О до /. В результате [c.567]

Уравнение (6. 1. 8) с краевыми условиями (6. 1. 9)—(6. 1. 11) можно решить при помощи метода Фурье. Представим решение этой задачи в виде произведения [c.238]

Отметим, что (6. 1. 26) является уравнением с разделяющимися переменными и решается при помощи метода Фурье. Окончательное выражение для средней по объему газового пузырька концентрации целевого компонента (Ф с учетом краевых условий (6. 1. 27) — (6. 1. 29) запишем в виде [c.242]

Система уравнений (8. 1.1), (8. 1.2) допускает автомодельное решение [ИЗ], которое может быть получено при помощи метода Фурье. Этот метод был использован при решении задачи о массо-переносе внутри газового пузырька (см. разд. 6.1). Запишем окончательный вид решений уравнений (8. 1. 1), (8. 1. 2) с начальными и граничными условиями (8. 1. 3), (8. 1. 4), (8. 1. 7) и (8. 1. 8) [c.310]

Используем метод Фурье для решения уравнений (8. 4. 15), (8. 4. 16). Представим функции 0( , т]) и Ф(1, ]) в виде рядов по собственным функциям [c.321]

Чтобы облегчить поиск решений (4.14) и (4.15), пользуются представлением функций многих переменных в виде комбинаций более простых функций, зависящих по возможности от одной переменной и выраженных элементарным образом. Для этого широко применяется метод разделения переменных, который называется также методом Фурье. Сущность этого метода можно пояснить на примере (4.14), если воспользоваться комбинацией [c.91]

Математические условия, предъявляемые к функции для их разложения по методу Фурье, удовлетворяются для всех функций, описывающих реальные физические явления. [c.41]

Волновое уравнение (56) решают или методом Фурье, или используют решение Даламбера, которое для у выражается в форме [c.566]

Решение однородного уравнения будем искать методом Фурье, полагая [c.181]

На рис. 5.51 приведены результаты, которые должны получиться при записи двух квазимонохроматических сигналов (на частотах vj и V2 и произвольной суммы Iv ) как обычным способом (спектральное разложение), так и методом Фурье-спектро-скопии. Мы уже обсуждали применение преобразований Фурье при переходе от записи ReF(t) к частотному разложению и усматриваем полную аналогию между рис. 5.6 и двумя частями рис. 5.51.а,б. [c.236]

Следуя общему методу Фурье, имеем решение в виде [c.390]

Наиболее прямой и стандартный метод решения поставленной задачи заключается в применении к уравнению (8,1) метода Фурье. При этом, однако, приходится вычислять довольно сложные интегралы. Излагаемый ниже метод, основанный на применении ряда искусственных приемов, связан с более простыми вычислениями. [c.39]

Математические условия, которым должна удовлетворять функция для того, чтобы ее можно было аппроксимировать по методу Фурье, выполняются по всех физических проблемах. [c.32]

Две немонохроматические волны от независимых источников не дают интерференции. Однако каждую из них можно представить как совокупность монохроматических волн (метод Фурье). Каждая пара таких монохроматических волн одного периода способна дать устойчивую интерференционную картину. Объяснить, почему наши волны не дают интерференции, хотя все их компоненты попарно интерферируют. (Обратить внимание на результат интерференции двух пар компонент, близких по частоте.) [c.867]

Решение 2. Если L — линейный оператор, то для определения функции Грина удобно использовать метод Фурье-преобразования. [c.20]

Полученное уравнение также можно проинтегрировать методом Фурье, см. [12], глава IX. [c.180]

При исчезающе малых касательных напряжениях Х — О и >0 система уравнений (6.9 ) переходит в уравнение С. Жермен— Лагранжа (5.12). Для решения уравнений (6.9 ) могут быть использованы метод Фурье и вариационные методы. [c.204]

Это уравнение возникает при решении методом Фурье уравнения нестационарной теплопроводности для стержня, один конец которого теплоизолирован, а на другом имеет место теплообмен с окружающей средой. Графическое изображение функций yi = = tg д, и 2 = Bi/p, (рис. 2,3) показывает, что это уравнение имеет [c.75]

РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ (МЕТОДОМ ФУРЬЕ) [c.153]

Может возникнуть вопрос почему решение уравнения (4.114) ищется в виде произведения (4.115) с разделенными переменными. Объясняется это тем, что если такие решения существуют, то определение функций (i), (х) должно свестись к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к задаче на порядок более простой, чем задача интегрирования уравнения в частных производных. Итак, для того, чтобы предложенный метод отыскания решения задачи (4.114), названный методом разделения переменных или методом Фурье, удалось реализовать, необходимо [c.155]

Итак, собственные функции задачи (4.121), (4.122) ортогональны на отрезке [О, /], а это, как уже известно, является одним из условий, обеспечивающих реализацию метода Фурье. [c.164]

В соответствии с изложенной схемой метода Фурье, решение задачи (4.114) будем искать в виде ряда [c.164]

В заключение выясним, каковы возможности реализации метода Фурье в общем случае линейной начально-краевой задачи рассмотренного выше вида (см. (4.48)) [c.166]

Из изложенного следует, что для формальной реализации схемы метода Фурье применительно к задаче (4.152) необходимо выполнение следующих условий [c.169]

Исследование устойчивости. Метод гармоник (метод Фурье). Дать строгое обоснование корректности сеточных краевых задач удается не часто. Исследования такого рода составляют скорее исключение, чем правило. Объясняется это рядом причин. В условиях практической расчетной работы задачу приходится упрощать. Если исходная сеточная задача нелинейная, то прежде всего производят линеаризацию, т. е. рассматривают малые возмущения решения и, отбрасывая малые величины высших порядков, получают линейную краевую задачу для малых возмущений. После линеаризации получают линейную краевую задачу (сеточную), обычно с переменными коэффициентами. На этом уровне иногда удается исследовать ее корректность, но, как правило, переходят к уравнениям с постоянными коэффициентами, используя при этом принцип замораживания коэффициентов. Согласно этому принципу, коэффициенты сеточных уравнений заменяют значениями, которые они принимают в произвольной, но фиксированной точке Ро, принадлежащей расчетной области. При этом, вообще говоря, требуется рассматривать всю совокупность уравнений, возникающую при произвольном выборе точки Ро- [c.85]

Для исследования устойчивости схем (3.38) широко используют метод Фурье (метод гармоник). Рассмотрим возмущение специального вида [c.86]

В данном пункте были рассмотрены разностные схемы для одномерных уравнений. Переход к нескольким пространственным переменным не представляет труда. В последующих главах там, где возникает необходимость, для исследования устойчивости многомерных систем будет применяться метод Фурье. [c.88]

Ряд (9.9.7) отличается от ряда (9.9.6) тем, что часть его просуммирована. Последнюю формулу можно было бы получить и путем прямого преобразования (9.9.6) мы специально привели два различных решения одной и той же задачи для того, чтобы проиллюстрировать полезный прием, применяемый при интегрировании линейных дифференциальных уравнений в частных производных методом Фурье прежде чем отыскивать решение в виде ряда, выделяется некоторое частное решение, обычно полином. Ряд в формуле (9.9.7) представляет собою некоторую поправку к полиномиальному решению, этот ряд сходится весьма быстро, особенно если Ь> а, и допускает дифференцирование, необходимое для определения Ti и Та. [c.303]

Систему уравнений (а) можно проинтегрировать в общем виде. Для этого применим метод Фурье. Представим напряжение а г, 6), являющееся функцией двух переменных г и 0, в виде произведения двух функций [c.84]

Теорема взаимности теории термоупругости из 154 может также успешно использоваться в сочетании с методом Фурье для синусоидальной (взамен сосредоточенной) нагрузки. Примеры такого рода приводятся в статье и диссертации, упомянутых в сноске на стр. 466. [c.468]

Для решения уравнения (7-1) может быть применен метод Фурье, позволяющий разделить переменные. Тогда получим [c.102]

На этой стадии определяющими являются условия на границах тела. Третья стадия соответствует режиму стационарной теплопроводности. Задачи нестационарной теплопроводности решаются как точными аналитическими, так и приближенными численными методами. Рассмотрим один из аналитических методов — метод разделения переменных или метод Фурье. При постоянных физических свойствах тела и = О уравнение (2.5) принимает вид [c.85]

Распространение нестационарных волн в вязкоупругой композиционной среде в настоящее время мало исследовано. То-шер [114] использовал метод Фурье (разложение решения по основным гармоникам) для получения скорости распространения и затухания импульсов напряжений в стержнях из композиционных материалов тканного типа на основе фенольной смолы. Теоретические результаты, основанные на применении эффективных комплексных модулей, найденных из опытов на вынужденные колебания, хо рошо согласуются с экспериментальными данными. [c.182]

Метод Фурье наиболее удобен для получения решения на больших расстояниях и при больших значениях времени. Для небольших значений времени и малых расстояний более эффективны другие методы. Достаточно подробно была изучена задача о распространении неустановившихся продольных волн в слоистой среде перпендикулярно направлению слоев. Исследование неустановившихся волн осложняется наличием многократного отражения и преломления как на границах раздела слоев, так и на внешних границах среды. Взаимодействие многократно отраженных и преломленных волн напряжений может привести к высокой концентрации напряжений во внутренних точках среды. [c.374]

Волрювое уравнение (56) решают или методом разделения переменных (метод Фурье), или используют решение Далам-бера, которое для v выражается в форме [c.587]

Следует подчеркнуть, что волна называется монохроматической, если не только период Т, но и амплитуда а и начальная фаза ср суть величины, не зависящие от времени i. Волна, описываемая одним из выражений (4.2) — (4.6), при а непостоянной не будет монохроматической. Волны, возникающие при распространении импульсов, изображенных на рис. 2.2, 2.3, 2.4, амплитуда которых меняется с течением времени, являются примерами немонохроматических волн. Любая из соответствующих рис. 2.2—2.4 волн не отвечает формуле s = а sin (со/ — kx) с а = onst и может быть представлена по методу Фурье в виде суммы бесконечно длящихся синусоид и косинусоид. Другими словами, рассматриваемые волны представляют собой совокупность многих монохроматических волн различных периодов, а не просто монохроматическую волну. [c.33]

Исторически одним из первых методов, нашедших ншрокое применение при решении краевых задач для уравнений с частными производными, явился метод разделения переменных или, как его еще называют, метод Фурье, заключающийся в построении набора частных решений, каждое из которых разыскивается в виде произведения функций меньшего числа переменных (как правило, функций одного переменного). В ряде случаев оказывается, что такое представление не вступает в противоречие с исходным дифференциальным уравнением (тогда говорят, что уравнение допускает разделение переменных) и приводит, в зависимости от размерности задачи, к нескольким обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим один и тот же числовой параметр. В зависимости от характера области, в которой решается краевая задача, граничных и начальных [c.117]

При исчезающе малых касательных напряжениях Х"—>-0 и система уравнений (5.9 ) переходит в уравнение С. Жерд1ен — Лагранжа (4.12). Для решения уравнений (5.9 ) могут быть использованы метод Фурье и вариационные методы. [c.136]

Аренц [3, 4] применил метод коллокаций к одномерным и двумерным задачам о распространении вязкоупругих волн в изотропной среде. Было обнаружено, что в точках, достаточно удаленных от поверхности нагружения, решение имеет колебательный характер, что объяснялось явлением дисперсии, связанной с зависимостью комплексных модулей от частоты. Впоследствии Кнаусс [60] решил ту же самую одномерную задачу методом Фурье и не обнаружил подобных осцилляций решений. Автор также занимался этим вопросом, и его неопубликованные исследования показали, что осцилляции, обнаруженные Аренцом, являются результатами погрешностей в численных расчетах и, в частности, обусловлены ошибками округления. [c.147]

Простота применения и точность метода Фурье была отмечена и другими авторами, изучавшими распространения волн в монолитных полимерных материалах. Например, Кнаусс [60] проанализировал нестационарные колебания аморфных полимеров в вязкоупругой переходной зоне из стеклообразного в каучукоподобное состояние. Мао и Радер [65] использовали этот метод для исследования распространения импульсов напряжений в стержнях из полиметилметакрилата, обладающего малым тангенсом угла потерь. Однако пока в литературе не встречаются результаты исследования методом Фурье влияния микроструктуры на стационарные волновые процессы в композитах. Для изучения этого вопроса можно было бы прямо применить описанные в предшествующем пункте приближенные методы по-видимому, в них можно было бы учесть различные представления вязкоупругих характеристик компонентов композиционных материалов. Хотя при использовании численного решения график функции изменения импульса напряжений от времени может иметь большую кривизну, вязкоупругое затухание обычно устраняет этот недостаток, за исключением окрестности точки приложения нагрузки. Применение так называемого метода быстрого преобразования Фурье [79] так же могло бы существенно упростить исследование. [c.182]

Волновая теория удара начала развиваться благодаря работам Бусинеску и Сен-Венана. Ими впервые была рассмотрена теоретическая задача о поперечном ударе двух твердых тел в предположении, что, полный период удара определяется временем, необходимым для прохождения через тело и обратного возвращения волны упругого сжатия. В предположении, что после удара груз движется вместе с балкой, с помощью метода Фурье было найдено решение в форме разложения динамического прогиба балки в ряд по фундаментальным функциям. Допущение, принятое в работе о совместном движении груза и балки после удара, не соответствует истине, так как скорость балки с момента соударения и до получения балкой наибольшего прогиба монотонно убывает до нуля, а скорость груза после удара монотонно возрастает. Кроме того, теория Сен-Венана и Бусинеску не учитывает местных пластических эффектов. [c.8]

Методы и задачи тепломассообмена (1987) -- [ c.153 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 (1981) -- [ c.178 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы (1987) -- [ c.109 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы Книга1 (2000) -- [ c.108 ]

Механика жидкости и газа (1978) -- [ c.399 ]

Механика слоистых вязкоупругопластичных элементов конструкций (2005) -- [ c.123 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...