Основное дифференциальное уравнение теплопроводности

При других, более общих условиях теплообмена на наружной поверхности твэла [например, (2.10)], в отличие от описываемого условием (2.2) случая, решение основного дифференциального уравнения теплопроводности должно предшествовать решению сопряженного уравнения. Только после этого можно будет найти распределение по поверхности твэла параметра Р(Гв) с помощью соотношений (2.9), (2.11), что даст возможность сформулировать граничное условие (2.13). [c.32]

Рассмотренные в предыдущих главах основные дифференциальные уравнения теплопроводности и гидродинамики представляют собой полиномы вида [c.47]

Для нагрева плоской загрузки при граничных условиях второго рода, т. е. при заданном законе изменения теплового потока, основное дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье [c.130]

Линеаризация основного дифференциального уравнения теплопроводности (29) производится путем осреднения теплофизических коэффициентов в узком интервале температур, представления мощности источников линейной функцией температуры и принятия постоянной скорости перемещения источника. При этом не учитываются тепловые эффекты фазовых и структурных превращений. [c.64]

Основное дифференциальное уравнение теплопроводности [c.20]

ВЫВОД ОСНОВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.21]

Уравнение (2.15) называется основным дифференциальным уравнением теплопроводности при наличии внутренних источников тепла. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке поля, а коэффициент температуропроводности а является коэффициентом пропорциональности между этими изменениями, что отчетливо видно из ( )ормы уравнения (2.15) при отсутствии объемного тепловыделения [c.23]

В технике часто возникает необходимость исследования теплообмена и распределения температур в телах цилиндрической формы, плоских дисках, цилиндрических оболочках, круглых стержнях и др. В этих случаях удобнее записать основное дифференциальное уравнение теплопроводности не в декартовой, а в цилиндрической системе координат. [c.24]

Основное дифференциальное уравнение теплопроводности характеризует пространственно-временное изменение температуры в любой точке поля, объединяя все без исключения явления теплопроводности независимо от геометрической формы тела, его физических свойств и условий взаимодействия с окружающей средой. [c.25]

Если предположить, что круговая цилиндрическая оболочка имеет длину достаточно большую, чтобы теплоотводом с торцов можно было пренебречь, и что граничные условия не зависят от полярного угла ф и продольной координаты г, то задача, как и в предыдущем разделе, становится пространственно-одномерной. Поле температур в стационарном случае изменяется только по радиусу г, а следовательно, основное дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат [c.34]

Рассмотрим пространственно одномерную стационарную задачу теплопроводности в шаровой стенке с радиусами внутренней и внешней поверхности Г] и Г2 (рис. 2.17) и коэффициентом теплопроводности материала стенки X. Одномерность задачи означает, что распределение температуры в стенке зависит только от радиуса, а потому основное дифференциальное уравнение теплопроводности в сферической системе координат [см. выражение (2.18)] примет вид [c.40]

Основное дифференциальное уравнение теплопроводности (2.15) для этой одномерной задачи будет иметь вид [c.50]

Основное дифференциальное уравнение теплопроводности для плоской стенки в этом случае будет иметь вид [c.54]

Уравнение (22-10) называется дифференциальным уравнением теплопроводности, или уравнением Фурье, для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников тепла. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке поля. [c.354]

Погрешность определения температурного поля с помощью R- e-ток, так же как и с помощью С-сеток, в основном обусловлена заменой дифференциального уравнения теплопроводности его конечно-разностной аппроксимацией, неточностью параметров электрической модели, неточностью задания условий однозначности и неточностью измерений. [c.88]

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплопроводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12]. [c.44]

Полученное выражение представляет собой дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье. Оно является основным уравнением математической теории распространения тепла в твердом теле. Его записывают также следующим образом [c.15]

Основные дифференциальные уравнения гидродинамики и теплопроводности состоят из компонентов вида [c.26]

Применительно к основной стадии процесса теплопроводности можно ограничиться двумя слагаемыми ряда, причем второе слагаемое составляет всего 4—5% от первого. Если температурная разность может быть найдена из эксперимента, то рассматриваемое решение дифференциального уравнения теплопроводности дает возможность получить расчетное уравнение для определения коэффициента температуропроводности. Оно имеет следующий вид [c.100]

Приведенная система дифференциальных уравнений теплопроводности (энергии), движения и уравнения сплошности описывает множество явлений распространения тепла в движущемся потоке жидкости, так как она получена при использовании общих законов сохранения энергии и вещества, поэтому она характеризует лишь основные принципиальные стороны этих явлений, общие для всего указанного множества. Частные особенности отдельных конкретных тепловых явлений характеризуются так называемыми условиями однозначности. Применительно к процессам конвективного теплообмена условиями однозначности задаются геометрическая форма и размеры системы, в которой изучаются процессы конвективного теплообмена физические свойства жидкости, входящие в рассмотренную систему дифференциальных уравнений распределение температуры и скорости в прост-ранстве нной области, в которой исследуется явление для какого-то начального момента времени распределение скорости на твердых и жидких границах исследуемой пространственной области. На жидких границах (во вход- [c.137]

Если ограничиться размерами каналов на один или два порядка большими, чем размеры пузырей (этот случай чаще всего встречается в практике) то вполне допустимо считать весь поток однофазным. Процессы теплоотдачи и парообразования можно учесть, вводя уравнения взаимодействия между паровой, жидкой и твердой фазой (стенкой канала). В этих условиях для описания всей совокупности явлений следует признать справедливой систему основных дифференциальных уравнений конвективного теплообмена (соответственно уравнений движения, сплошности и теплопроводности в жидкой фазе) [c.53]

Для получения стационарной одномерной задачи теплопроводности предположим, что температура Т зависит только от координаты X. Основное дифференциальное уравнение может быть записано в виде [c.27]

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности Фурье были приняты за основу самые общие законы физики сохранения энергии и теплопроводности Фурье. Поэтому оно не связано никакими ограничивающими конкретными условиями теплообмена и является основным уравнением математической физики для расчетов различных условий теплопередачи в телах. Так, если внутри нагреваемого (охлаждаемого) тела имеется дополнительный самостоятельный источник теплоты с удельной мощностью со, ккал/(м -ч), то для описания процесса теплопередачи к дифференциальному уравнению прибавляется дополнительный член [c.24]

Существующие методы расчета нагрева и охлаждения твердых тел в основном осуществляют с помощью аналитических формул, которые выводят из дифференциального уравнения теплопроводности с соответствующими краевыми условиями. К указанным методам расчета относятся методы Г. Гребера, Г. П. Иванцова [30, 33], А. В. Лыкова [53] и др. Все эти методы не получили широкого применения из-за сложности расчетных формул. Для тепловых расчетов заготовок этими методами пользоваться нельзя, так как большинство из них основано на граничном условии передачи тепла от заготовки в окружающую среду по закону Ньютона = —/с)] при принятом постоянном коэффициенте теплопередачи а. На самом же деле этот коэффициент в процессе нагрева и охлаждения заготовок значительно изменяется. [c.43]

Основные дифференциальные уравнения можно привести, как и любые другие уравнения физики, к безразмерному виду. При этом первоначальные размерные переменные, входящие в уравнение, будут выражаться числами, представляющими значение переменной, отнесенное к соответствующей масштабной величине. В одних случаях масштабы отнесения могут быть естественными (натуральными) и тогда мы приходим к безразмерным переменным — симплексам, т. е. к простым отношениям. В других случаях масштабы образуются искусственно, путем комбинирования разнородных величин, содержащихся в уравнении, соответственно чему получаются безразмерные переменные — комплексы. Например, естественным масштабом для координат л , у, г служит некоторый характерный размер поля Ь, если таковое предполагается ограниченным в пространстве. Естественным масштабом для местного температурного уровня служит некоторый характерный для явления температурный уровень Искусственным масштабом для времени х в вопросах апериодической теплопроводности является Ц-1а [см. (3-1)]. Необходимо, однако, заметить, что при рассмотрении периодической теплопроводности для времени т существует естественный масштаб, а именно длительность одного периода т рр. В этих случаях текущее относительное время т следует выражать в долях от т ер, т. е. считать т = т/т ер. [c.58]

Рассмотрим в основном методику реш.ения одномерного дифференциального уравнения теплопроводности. [c.436]

Большинство задач по теплопроводности, рассматриваемых в этой монографии, может быть решено, если для нахождения оригинала функции пользоваться только формулами (13) и (19). Поэтому формулы (13) и (19) являются основными формулами при решении дифференциальных уравнений теплопроводности. [c.494]

Метод графического изображения теплового потока применяется для определения количества тепла передаваемого через тела сложной конфигурации, для которых не получено точных решений дифференциального уравнения теплопроводности. Обычно такой расчет носит приближенный характер, и основным требованием такого уровня является быстрота расчета и равнозначность подхода при оценке каждой рассматриваемой схемы. В качестве исходной предпосылки здесь используется известное положение о том, что независимо от конфигурации системы количество передаваемого тепла определяется совершенно одинаковым образом [c.27]

Время т, пренебрежимо мало по сравнению со временем теплового воздействия на продукт [23], а это приводит к дифференциальному уравнению параболического типа. Налагающиеся на основной процесс эффекты термодиффузии и диффузионной теплопроводности можно учесть, изме-н. . эффективные значения X и а, что будет являться предметом коррекции этих величин. [c.45]

Аналоговое моделирование — это Моделирование, основанное на аналогии (в более точных терминах — изоморфизме) явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими уравнениями. Примером может служить аналогия процесса передачи теплоты теплопроводностью и процесса переноса электрического заряда в электропроводной среде и то и другое явления описываются одним и тем же дифференциальным уравнением. Аналоговое моделирование осуществляется обычно на аналоговых вычислительных машинах (АВМ). Методика изучения тепловых явлений (в основном теплопроводности) в учебных лабораториях на аналоговых моделях изложена в [48]. В учебных лабораториях термодинамики аналоговое моделирование пока не испоЛь-зуется. [c.239]

Решение дифференциального уравнения температуропроводности с учетом начального ц граничного условий позволяет определить температурное поле для любого частного случая. Определение вида функции 1 = Ф х, у, г, т) является основной задачей аналитической теории теплопроводности. [c.279]

При выводе дифференциального уравнения применим закон сохранения энергии, сочетая его с основным законом теплопроводности. Выделим в теле элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 11-3). Количество поступившей теплоты и выделенной внутренними источниками [c.139]

Для установления безразмерных величин, специфических для краевой задачи того или иного рода, нет необходимости в наличии завершенного аналитического решения достаточно располагать дифференциальными уравнениями процесса и формулировками конкретных условий единственности. Обратимся в связи с этим к основной цели — к построению тех безразмерных величин, которые отвечают случаю нестационарной теплопроводности при наличии внутренних источников тепла. С этой целью, прежде всего, необходимо привести к безразмерному виду дифференциальное уравнение (1-9), закладываемое в основу анализа. [c.47]

Чрезвычайно важно подчеркнуть, что весь формальный аппарат, приведенный в настоящем параграфе, действителен исключительно для ламинарных течений, когда пульсаций в потоке не наблюдается. Если течение турбулентно, то дифференциальные уравнения могут сохранить приданную им выше форму только при трактовке входящих в них скоростей, плотностей, температур в качестве актуальных величин, от мгновения к мгновению изменяющихся более или менее случайным образом. Однако в инженерной практике непосредственному измерению и сопоставлению поддаются отнюдь не актуальные величины, а только осредненные во времени величины, турбулентные же пульсации воспринимаются нами не иначе как по вызываемым ими статистическим эффектам. Такого рода эффектами являются турбулентная вязкость и турбулентная теплопроводность, которые, как было сказано, могут на несколько порядков превосходить молекулярную вязкость и молекулярную теплопроводность. Поэтому, если для турбулентных режимов ввести в основные уравнения осредненные по времени величины, то обычные коэффициенты [j. и л нужно суммировать с образованными по типу формул (4-3) и (4-6) коэффициентами турбулентной вязкости (хт и турбулентной теплопроводности Xj или даже полностью заменить этими [c.91]

Можно избежать вывода уравнения (4-23) путем непосредственного обобщения основного дифференциального уравнения теплопроводности для твердого тела (1-11). Как было уже отмечено, в твердом теле производная температуры по времени может быть только локальной производной dTjdx. При переходе же к текущей среде, в которой происходит конвекция, надлежит вместо локальной производной вводить индивидуальную производную, которая при условии стационарности процесса превращается в конвектив- [c.90]

Можно избежать вывода уравнения конвективного переноса тепла, правда, только для простейшего случая, путем непосредственного обобщения основного дифференциального уравнения теплопроводности в твердом теле (1-П). Таким простейшим случаем является описываемый уравнением (4-9) случай несжимаемой жидкости, текущей с небольшими скоростями. В твердом теле, согласно сказанному ранее, производная температуры по времени может быть только локальной производной дТ1дх. При переходе же к текущей среде, в которой происходит конвекция, надлежит взамен локальной производной вводить субстанциальную производную йТ/с1х, которая при услов и стацнонарностп процесса превращается в конвектив- [c.74]

При решении всех без исключения задач теплопроводности как при стационарных, так и при нестационарных тепловых режимах обязате.тьным является знание поля температур, т. е. пространственно-временного распределения температуры в интересующей пас области. Это распределение подчиняется основному дифференциальному уравнению теплопроводности, к выводу которого мы и приступим. [c.21]

Напншите основное дифференциальное уравнение теплопроводности. Что означает стационарный тепловой режим [c.57]

Основные понятия теории численных методов решения дифференциальных уравнений будут достаточно подробно рассмотрены в главе 3 на примере дифференциального уравнения теплопроводности. Сейчас лишь кратко сформулируем ряд понятий, которые понадо- [c.27]

Общее дифференциальное уравнение теплопроводности (1.1), учитывающее зависимость теплофизических свойств тела от пространственных и временной координат [251, аппроксимируется разностной схемой, позволяющей реализовать в основном традиционный счет. При этом трехмерное тело произвольной формы схематизируется и заменяется его сеточной моделью с переменным шагом пространственной сетки (рис. 1.2). В узлах сетки сосредотачиваются массы элементов, ограниченных теплопередающими поверхностями, проходящими между узлами сетки на равном расстоянии от них. При такой модели тепловые сопротивления соответствующих масс элементов располагаются между узлами сетки. В методе и программе предусматривают возможность задания в каждом из узлов свойств как твердого, так и газообразного тела. [c.22]

Для стационарной одномерной задачи теплопроводности уравнение (2.1) продолжает быть основным дифференциальным уравнением. Предположим, что теплопроводность к и источниковый член S непостоянны. Рассмотрим участок одномерной расчетной сетки, показанной на рис. 2.4. В отличие от сетки, приведенной на рис. 2.1, здесь нет необходимости рассматривать одинаковые расстояния между расчетными точками. Буквами W, Р w Е обозначены расчетные точки сетки Р — рассматриваемая точка (Point), а IV и Е — соответственно западная (West) и восточная (East) соседние точки. Штриховыми линиями показаны грани контрольного объема, содержащего точку Р. Для обозначения этих граней используются буквы W и е. Точное положение граней контрольного объема будет обсуждаться позднее (см. п. 2.5.7), они могут не всегда располагаться посередине между расчетными точками. Расстояние между точками Ж и Р обозначим как (5л ),а между точками Р и Е — как (5х) . Ширину контрольного объема обозначим через Ах. [c.34]

Как мы скоро увидим, только простые полностью развитые течения описываются уравнениями типа уравнений теплопроводности, поэтому попадают в область применения ONDU T. Для сложных полностью развитых течений также можно упростить вычисления за счет уменьшения размерности, но из-за наличия поперечных скоростей требуется включение в основные дифференциальные уравнения конвективных членов. Для определения этих скоростей необходимо решение взаимосвязанных уравнений движения и неразрывности в поперечном сечении, что представляет собой задачу слишком сложную, чтобы ее включать в данную книгу. [c.176]

Данная глава представляет собой первый шаг в этом направлении и посвящена анализу линейных двумерных задач теории стационарных потенциальных течений, т. е. течений с неизменными во времени характеристиками, удовлетворяющими в двумерной области линейным уравнениям. Основные дифференциальные уравнения в частных производных для таких задач являются эллиптическими (уравнение Лапласа или уравнение Пуассона) и относятся К простейшим математическим моделям гидравлики, электро- и теплопроводности и т. д. В каждой из этих задач дифференциальному уравнению удовлетворяет потенциальная функция р (электрический или гидравлический потенциал либо температура), пространственный градиент которой через параметр проводимости или проницаемости линейно связан с потоком или расходом (соответ-ственпо плотностью электрического тока, скоростью течения жидкости или потоком тепла). [c.53]

Нестационарые задачи были подробно изучены в случаях изотермического течения- В большинстве работ по дозвуковому движению газа в газопроводах при малых числах Маха конвективным инерционным членом в динамическом уравнении пренебрегают. Однако и в этом приближении нелинейная система основных дифференциальных уравнений одномерного движения оказывается гиперболической- По-вйдимому, И. А. Чарным (1951, 1961) впервые было предложено для дальнейшего упрош ения задачи при рассмотрении медленно изменяющ,ихся во времени движений газа отбрасывать также и локальный инерционный член динамического уравнения. В этом приближении задача становится параболической, хотя, вообще говоря, сохраняет нелинейный характер, И для того, и для другого приближений Чарным были предложены различные способы. линеаризации уравнений (в некоторых случаях задача сводится к уравнению теплопроводности). Им же были даны решения некоторых типичных задач в линейной постановке ) [c.735]

Таким образом, основная ценность выведенных выше неинтегриру-емых дифференциальных уравнений процесса конвективного теплообмена состоит в том, что они позволяют установить критерии подобия для описываемых ими явлений. В качестве примера найдем критерии подобия из дифференциального уравнения теплопроводности Фурье (14.6) [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...