Общее решение стандартного уравнения

Общее решение стандартного уравнения [c.92]

Основное различие между (10.12) и общими решениями модельных уравнений, рассмотренных ранее, состоит в том, что здесь мы имеем двойной интеграл (который существует в обычном смысле) вместо простого интеграла (типа Коши). Неудобство в настоящем случае заключается в том, что не существует стандартной теории для уравнений с комплексным ядром Коши и — -ш) и двухкратным интегрированием такая теория необходима для доказательства полноты и ортогональности. [c.210]

Основное различие между (10.14) и общими решениями модельных уравнений, рассмотренных в предыдущих разделах, состоит в том, что здесь мы имеем двойной интеграл (который существует в обычном смысле) вместо однократного (типа Коши). Трудность заключается в том, что не существует стандартной теории для уравнений с комплексным ядром Коши и — хю)- и двукратным интегрированием такая теория необходима для конструктивного доказательства полноты и ортогональности. Однако эту теорию можно построить [37], используя некоторые результаты теории обобщенных аналитических функций 38]. В общем случае, если о = а + Ф — комплексная переменная, то обобщенная аналитическая функция / — ф является ком- [c.362]

Связи между скоростями вращения звеньев дифференциальных механизмов описываются линейными уравнениями вида (3.1) и (3.4) и поэтому для нахождения скоростей можно использовать ту общую методику решения систем уравнения, которая была описана в п. 3.2. Однако благодаря стандартному виду уравнений (3.1) и (3.4) использование графовых моделей упрощается. Более того, графовый подход позволяет находить скорости вращения звеньев непосредственно по кодам механизма, не используя при этом в явном виде ни системы уравнений, ни ее матрицы (в отличие, например, от матрично-кодового метода для которого преобразование матрицы уравнений является существенно важной операцией). [c.118]

Решение системы уравнений не приведено, так как можно пользоваться стандартным решением линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. т. 1). Так как нас интересуют только установившиеся движения, то из общего решения используют только частное решение, считая, что часть, связанная с начальными условиями, из-за естественного трения гаси гея. [c.397]

Решение задачи для упругой области состоит в нахождении выражений для компонент напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия [уравнения (28)] и совместности [(уравнения (31)], а также граничным условиям, соответствующим рассматриваемой задаче. Аналогично простому интегрированию по одной переменной, дающему при последующем дифференцировании исходную формулу, решение упругой задачи должно удовлетворять исходным уравнениями. Что касается многих стандартных интегральных решений, то математикам известны типы функций, которые, будучи продифференцированы, удовлетворяют этим уравнениям. Любое аналитическое выражение представляется чрезвычайно сложным, если только геометрическая форма тела не описывается простыми математическими функциями. Даже если она и проста, то общие решения для трехмерного случая получить трудно, не сделав соответствующих упрощений, например рассматривая только тела вращения и выполнив основные расчеты для идеализированного состояния, или плоского напряжения (Од = 0), или плоской деформации (Sg = 0). [c.30]

Построение общего решения завершается по стандартной схеме [150]. Так как при ц = кратность собственных значений г и — i) возрастает, то случаи /< = 1 и /г 1 рассматриваются отдельно. Параметры и А по-прежнему связаны между собой соотношением (4.5.8), но здесь константа интегрирования X берется из решения задачи цилиндрического изгиба панели в классической постановке. В силу этого соотношения условие ц = однозначно определяет значение параметра А и прямой проверкой устанавливается, что оно не является собственным. Для несимметричная форма потери устойчивости возможна при значениях параметра ц, являющихся корнями уравнения [c.127]

Предыдущее дифференциальное уравнение имеет общее решение, состоящее из двух частей решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Первое является решением однородного уравнения, полученного отбрасыванием стоящего в правой части члена и приравниванием левой части нулю Второе — такое решение уравнения, которое при подстановке в левую часть дает значение, равное стоящему справа выражению. Используя стандартные приемы решения дифференциальных уравнений, найдем ре шение однородного уравнения [c.243]

Так как дифференциальное уравнение температурного пограничного слоя линейно, то его общее решение можно представить в виде линейной комбинации некоторых стандартных решений. Одно из таких стандартных решений можно получить, если исследовать пограничный слой на плоской стенке, на которой температура от точки д = О до точки X Хо постоянна и равна температуре внешнего течения, а в точке х = Хо прои ходит внезапное увеличение температуры до значения (рис. 12.16). Если решением этой задачи является [c.294]

Оно представляет собой стандартное волновое одномерное уравнение. Его общее решение имеет внд [c.184]

При учете потерь формальное решение дисперсионного уравнения приводит к комплексным у у= -]у") При этом из усло-вий (1.12.1) вытекает экспоненциальный закон убывания поля. Насколько общим является такой закон Существуют ли другие, не экспоненциальные, решения Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо отказаться от априорного введения условий (1.12.1). При этом периодическая структура рассматривается как нерегулярный волновод, и к ней применяются стандартные методы теории нерегулярных волноводов [33, 35]. Рассмотрим такой подход вначале на примере системы без потерь. [c.87]

Применяя неявные схемы, мы получаем для определения значений искомой сеточной функции на верхнем временном слое систему алгебраических уравнений. Если схема линейная, то эта система также линейная и для ее решения можно использовать стандартные вычислительные методы линейной алгебры. Однако число арифметических действий, необходимое для решения линейной алгебраической системы общего вида, имеющей порядок N, быстро возрастает с увеличением N (пропорционально Л ). Для одномерных сеточных краевых задач число N мо- [c.92]

Остановимся на общей структуре пособия. В первой главе рассматривается часто встречающаяся в инженерной практике задача расчета средних температур по моделям с сосредоточенными параметрами. Здесь же изложены методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений, дано описание соответствующего стандартного программного обеспечения. Подробно разобраны примеры программ расчета стационарных и нестационарных температур для системы, состоящей из твердых тел и движущихся жидкостей. Изучение первой главы необходимо для понимания материала следующих. [c.4]

Таким образом, условия устойчивости движения механизмов подач, приводимых ШД, в общем случае могут быть получены только путем моделирования системы уравнений (12) по одной из стандартных числовых программ на ЭЦВМ или АВМ. Для решения некоторых частных задач для этой цели пригодны неравенства (18) (21), которые также дают возможность выявить области динамически неустойчивых частот с достаточной для инженерных расчетов точностью. [c.187]

Алгоритмы различных вычислительных процессов могут содержать одинаковые по своему назначению участки. Среди них можно отметить вычисление квадратного корня, тригонометрических и других элементарных функций, определенного интеграла, решение системы линейных алгебраических уравнений и др. Для таких участков нецелесообразно каждый раз заново создавать программы. Эти участки объявляются стандартными, а программы стандартных участков называются стандартными подпрограммами (СП). СП является частью общей программы и может использоваться для вычислений в различных местах программы, но записывается только один раз. Каждая СП имеет следующую структуру 1) в подпрограмме может быть только один вход и один выход, задаваемые своими адресами 2) исходные данные для вычислений по подпрограмме должны храниться в одних [c.116]

В монографии отдается предпочтение аналитическим решениям типичных задач теории оболочек, составляющим золотой фонд этой науки. Авторы являются решительными противниками подмены фундаментальной дисциплины — теории оболочек — одним из разделов прикладной математики. Эта достойная сожаления тенденция является побочным эффектом интенсивного внедрения универсальных численных методов (таких, как методы конечных разностей и конечных элементов). На страницы журналов (да и монографий) лавиной хлынули работы с описанием численных экспериментов, реализованных порой с применением стандартных пакетов прикладных программ. Теория при этом используется лишь для того, чтобы выписать исходную систему уравнений. Возможные вопросы по формированию последней упреждаются дежурной фразой типа Уравнения равновесия берем в самом общем виде . [c.3]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Система уравнений (6) есть система алгебраических уравнений, исключив в которой Y , 2,,,. >, мы получим возможность найти п значений. Каждое найденное значение о будет соответствовать нормальному колебанию, число которых равно числу тел. Конечно, решение системы (6) легко получить в общем виде, следуя стандартным методам, Однако, для лучшего понимания характера решения и физики данной задачи разумно рассмотреть сначала простые случаи, когда на струне мало тел, как это сделано в [50]. Пусть те == 1. Тогда нам достаточно взять из системы [c.157]

Статистическая гидромеханика широко использует результаты и методы классической гидромеханики и теории вероятностей. Поэтому знание указанных двух дисциплин сильно облегчит знакомство с настоящей книгой. Тем не менее мы надеемся, что наша книга будет доступной и для лиц, имеющих лишь общую математическую и физическую подготовку. Имея з виду таких читателей, мы включили в первые два раздела основные сведения из классической гидромеханики (начиная с уравнений неразрывности и движения) и из теории вероятностей (начиная с самого понятия вероятности). Уже в этих главах, как и во всех дальнейших, мы старались уделять основное внимание принципиальным вопросам, не задерживаясь на технических деталях. С этим стремлением связано то, что мы нигде не излагаем методов решения встретившихся дифференциальных уравнений или других стандартных математических задач, а сразу приводим ответ (который иногда совсем нелегко найти). В то же время мы сравнительно подробно останавливаемся на некоторых недостаточно широко известных, но важных математических вопросах, традиционно опускаемых во всех книгах и статьях, предназначенных для механиков или физиков (типа, например, вопроса об эргодических теоремах или спектральных разложениях случайных полей) этим объясняется то, что целых два раздела книги посвящены математической теории случайных полей. [c.25]

Уже для тел вращения в рамках линейной теорий экстремальные задачи существенно усложняются. А. А. Никольский, ([1950] 1957) рассмотрел задачу о теле вращения с протоком, обладающем наименьшим внешним сопротивлением при заданной длине и радиусах входного и выходного сечений. В своей работе он применил новый плодотворный подход к решению вариационных задач сверхзвукового обтекания тел. Вместо отыскания общего выражения, определяющего сопротивление тела по его форме, и его варьирования, Никольский при помощи уравнений количества движения и расхода получил выражение для сопротивления тела и для геометрических величин, характеризующих данные линейные размеры тела, в виде интегралов от значений газодинамических параметров на контрольном контуре, состоящем из головной волны и характеристической поверхности, проходящей через заднюю кромку вперед до пересечения с головной волной. Учитывая наличие соотношений между дифференциалами координат на замыкающей характеристике, получается определенная вариационная задача для нахождения распределения газодинамических параметров на этой характеристике. После решения этой задачи образующая тела находится стандартным приемом по условиям на головной волне и на замыкающей характеристике. [c.179]

Вторая смешанная задача состоит в отыскании решений тон же системы уравнений по известным значениям искомых функций на дуге характеристики аЬ и линейной комбинации искомых функций ар + РС = / на кривой ас, нигде не имеющей характеристического направления (здесь а, Р, / — заданные на дуге ас функции). При этом значения р и С в точке а кривой аЬ удовлетворяют соотношению ар + PQ = /. В общем случае вместо линейной комбинации может быть более сложное соотношение или система соотношений. Первая и вторая смешанные задачи также решаются стандартным способом на основе метода характеристик [56]. [c.130]

Интефальные преобразования. Классические методы решения краевых задач, изложенные выше, обладают рядом недостатков они требуют определенной изобретательности, дают решения, мало пригодные для числовых расчетов, и т. п. Методы интегральных преобразований обладают рядом преимуществ перед классическими методами они стандартны, позволяют получать решения в уДобном для расчета виде (например, для малых и больших значений независимой переменной) использование таблиц изображения функций ускоряет и упрощает процесс нахождения решения и т. д. Наряду с очевидными достоинствами интегральные преобразования имеют общий существенный недостаток они применимы лишь к линейным уравнениям. [c.114]

Решение на каждом временном шаге происходит в два этапа. Сначала с шагом 0,5 т решаются уравнения (6.31), неявные по направлению г и явные по направлению Я. Полученное промежуточное решение Т +>/2 дает начальные значения для решения уравнений (6.32), явных по 2 и неявных по Я. Поскольку в отличие от локально-одномерной схемы здесь используется информация о поведении температурного поля на предыдущем полушаге, то схема переменных направлений имеет повышенный порядок аппроксимации по т О (т + I /г ). Сравнение показывает, что схема переменных направлений обеспечивает требуемую точность расчета конечного температурного поля при меньшем числе шагов по времени. Выигрыш по времени счета не столь значителен по сравнению с локально-одномерной схемой из-за больших, чем у последней, затрат машинного времени на каждый временной шаг. Целесообразно различные способы численного решения уравнения теплопроводности с внутренними источниками оформлять в виде стандартных подпрограмм с унифицированным входом и выходом. Это позволяет легко их вписывать в общую структуру цифровых моделей индукционных нагревателей. [c.220]

Как правило, уравнение (2.5.10) в общем виде не имеет решения, даже в простейшем случае двухуровневой системы. Стандартным путем его решения является разложение в ряд теории возмущений по малому параметру д = о/ ат где — некоторое характерное внутриатомное поле. Для не слишком сильных оптических полей (д < 1 см. п. 2.6.5. и 2.8 для противоположного случая) решение (2.5.10) ищется в виде [c.117]

Исследователи, изучающие движение сыпучей среды, из общих законов механики могут предсказать основные качественные черты движения. Поэтому к математическим способам описания неизвестных эмпирических зависимостей, в которых выбор вида аппроксимирующей функции осуществлен формальным образом, обычно не прибегают. Наиболее привычной формой описания движения являются дифференциальные уравнения. Достаточно просто решаются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Поэтому сплошную среду описывают моделью, состоящей из системы твердых тел, связанных взаимно и с пове])Хностью лотка со стандартными элементами линейной упругости, линейной вязкости, сухого трения с постоянными коэффициентами и простейшими ударными элементами. Такие модели позволяют получить общее решение, поэтапно используя решения линейных систем. Число масс упругих, вязких, ударных элементов сухого грения определяет число посгоянных, подлежащих определению из эксперимента. С увеличением числа элементов возрастает точность описания экспериментальных результатов. Такие модели способны описывать с достаточной гочносгью все необходимые зависимости — = Кг (о), где вектор а — совокупность всех параметров, влияющих на /(, т. е пространство параметров, в котором ведется эксперимент. Решение дифференциальных уравнений движения дает теоретические значения К . Но эти значения зависят от численных значений параметров модели с . Их определяют, минимизируя квадратическую ошибку между экспери енгальными значениями (aj и теоретическими значениями подсчитанными при тех же комбинациях параметров а,-, при [c.90]

Как уже говорилось выше, для торообразных оболочек с меридианами, содержащими окрестности переходных точек (0 = О, я), использование стандартной экспоненциальной асимптотики неправомочно. Применим, однако, более общий метод эталонных уравнений [54, 192], состоящий в том, что при построении приближенного решения используется решение более простого эталонного уравнения, имеющего те же особенности в коэффициентах (полюсы и нули). [c.399]

Если бы мы знали значение G, то, просто заменяя (G, F) на G, F ), могли бы применить стандартное уравнение (3.30) МГЭ, однако эта функция, по-видимому, никогда не будет известна в общем случае. Мы сейчас займемся изучением следствий попытки вывести решение ПМГЭ из (А. 16) с помощью стандартной процедуры интегрирования по частям произведения G на выражение (А. 16) [c.465]

Дальнейшее объединение ансамбля элементов, формирование геометрических граничных условий и решение разрешающей системы уравнений выполняется с помощью стандартных процедур МКЭ (см. 3.8), В случае осесимметричного нагружения деформирование и решение системы осуществляются один раз для нулевой гармоники разложения п = 0. При неоседимметричном нагружении общего [c.144]

При расчете сложных трубопроводов составляется баланс расходов в узловых точках (равенство притоков и оттоков жидкости) и баланс напоров на кольцевых участках (равенство нулю алгебраической суммы потерь напора для каждого кольца). Для ламинарного режима течения задача сведется к системе линейных алгебраических уравнений. Для турбулентного режима течения задача становится значительно сложнее необходимо решать систему трансцендентных уравнений, которая не имеет общего алгоритма решения. Во многих случаях задачу расчета сложной системы трубопроводов при установившемся режиме течения в турбулентной области проще решать методом установления, используя уравнение Бернулли для не-установившегося течения. В этом случае расчет сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (см. раздел 15.2), которая алгоритмически ясна и имеет несколько стандартных программ для решения. Гидравлический расчет трубопроводов, особенно сложных, обычно проводится с помощью ЭВМ. Более подробно обсуждаемый вопрос целесообразно изучать на практических занятиях путем решения задач. [c.137]

Рассмотрим в качестве примера панель, схема которой изображена на рис. 1.7, в предположении, что жесткость на растяжение-сжатие EjFj каждого /-го ребра изменяется по длине панели произвольным образом. Как отмечалось в разд. 1.3, расчет такой панели сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Точно решить такую систему в общем виде нельзя. Поэтому ниже дадим численный метод решения, основанный на замене системы дифференциальных уравнений системой уравнений в конечных разностях. Решение этой последней системы можно без труда получить, ориентируясь на численный расчет с использованием вычислительной машины. Основная функция машины заключается при этом в перемножении известных матриц, что мож1но сделать с помошью стандартной программы. [c.57]

Общие уравнения. Физической основой усиления и генеращ1и волн на динамических решетках является четырехволновое смешение. Поэтому изложение теоретических основ лазеров на динамических решетках целесообразно начать с общего анализа четырехволнового смешения, используя стандартную для нелинейной оптики процедуру сведения проблемы к решению системы укороченных уравнений для медленно меняющихся амплитуд взаимодействующих волн. [c.63]

Бегло просмотрев решение этой задачи с помощью уравнений Лагранжа, видим, что в нем отсутсвовали какие-либо искусственные приемы. Задача рещалась по стандартным образцам. Громоздкие уравнения появились только в конце решения при вычислении производных кинетической энергии (23). Однако это не связано с какими-либо принципиальными трудностями. Центральным звеном решения задачи было определение скоростей точек А н В, необходимых при составлении выражения кинетической энергии (23). Легко представить, во сколько раз затруднилось бы решение этой задачи в случае применения общего уравнения динами- [c.511]

Введение. Известно, что включение дальнодействующего кулоновского взаимодействия (КВ) серьезно осложняет решение проблемы трех тел на стандартном пути использования интегральных уравнений Фаддеева, делая их ядра нефредгольмовыми. Лишь в самое последнее время наметились общие пути преодоления этой трудности, которые ведут, однако, к сложным уравнениям и требуют большого объема численных расчетов (см. [1]). [c.298]

При численном решении задачи несимметричного обтекания плоского контура методом интегральных соотношений возникают затруднения. В симметричной задаче граничными условиями для ЗN дифференциальных уравнений служат 2N условий симметрии течения на оси и N условий регулярности решения при прохождении особых точек. При несимметричном обтекании решение должно удовлетворять N условиям регулярности с каждой стороны тела, что дает 2N условий. Однако 2N условий симметрии при этом отсутствуют, что требует в общем случае наложения дополнительно N условий для определения решения. До настоящего времени нет способа выбора этих условий для N > 1. При ТУ = 1 задача о несимметричном обтекании плоской пластины решена А. М. Базжи-ным (1963). А. Н. Минайлос (1964) применил метод интегральных соотношений для расчета " сверхзвуков ого обтекания затупленного тела вращения под углом атаки. При этом он использовал осесимметричную систему координат типа применяющейся в теории пограничного слоя. Записав уравнения в дивергентной форме, А. Н. Минайлос аппроксимирует входящие в эти уравнения величины, как это делается ]ц в стандартном методе О. М. Белоцерковского, полиномами по координате, нормальной телу азимутальные же распределения параметров аппроксимируются рядами Фурье по полярному углу. В рядах Фурье, кроме постоянного члена, сохраняется лишь еще один член. При этом (ср. работу В. В. Сычева, [c.174]

Условия автомодельности решений уравнений плоского стационарного пограничного слоя выполняются лишь в единичных случаях, большинство которых в предыдущих двух параграфах уже изложено. На практике приходится иметь дело, конечно, с более общими, неавтомодельными движениями, требующими использования уравнений в частных производных. В этих случаях можно указать три реальных пути решения задач 1) аналитические методы и, главным образом, разложения в ряды 2) численные расчеты на ЭВЦМ и 3) применение приближенных методов. Первый путь достаточно громоздок и все реже и реже используется в практических расчетах. Что касается второго пути, то, как уже ранее упоминалось, и настоящее время в вычислительных центрах нашей страны уже разработаны стандартные программы числового решения конкретных задач пограничного слоя на большинстве применяемых у нас машин. Это отнюдь не должно явиться препятствием к развитию эффективных приближенных методов решения задач теории пограничного слоя. Современное состояние развития этого третьего пути будет изложено в следующих двух параграфах. [c.610]

В заключении этой главы полезно было бы напомнить общее положение, лежащее в основе почти всей прикладной математики. Это положение гласит, что точное решение линеаризованных дифференциальных уравнений движения эквивалентно в то же время приближению, полученному из решений точных (нелинейных) уравнений, управляющих системой. Конечно, точного общего математического определения этого положения не существует, но данная процедура давно стала стандартной в прикладной математике. Действительно, его внешняя привлекательность усиливается ещё и теми огромными трудностями, с которыми неизбежно сталкиваются при использовании любого другого метода решения. На справедливость данного утверждения а posteriori указывает множество решенных таким способом задач. Тем не менее, с точки зрения логики, это положение не имеет строго математического обоснования . [c.57]

Предпосылки возникновения хаоса. Изученные выше интегрируемые случаи движения нескольких точечных вихрей представляют собой исключение в общем неинтегрируемом случае нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.2). Неинтегри-руемость любых уравнений является обычным делом и до недавнего времени казалось, что разработанные многочисленные эффективные вычислительные алгоритмы — методы Рунге — Кутта, Адамса — Бошфорта и другие — полностью обеспечивают я ализ поведения динамической системы на любом промежутке времени. Однако, начиная с работы Э.Лоренца [170], в научное сознание глубоко вошла идея о возможности хаотического поведения в детерминированных нелинейных систем ах даже с малым числом степеней свободы. В работе исследовалась общая задача термоконвекции применительно к образованию крупномасштабных вихревых структур. Используя уравнения Навье — Стокса, записанные в так называемом приближении Буссинеска [103] , и раскладывая их по стандартной процедуре метода Бубнова — Галеркина, Э.Лоренц получил свою знаменитую систему трех обыкновенных нелинейных уравнений. При определенных значениях параметров, отражающих физические характеристики исходной задачи, найдены необычные, хаотические свойства ее решений, названные странным аттрактором . [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...