Метод эталонного уравнения

МЕТОД ЭТАЛОННЫХ УРАВНЕНИЙ [c.399]

Подставляя это решение в уравнение и делая обычные для метода эталонных уравнений приближения, получаем [c.288]

Приведены методы, применяемые в теории дифракции, классифицируются задачи, решаемые этими методами. Указаны книги и оригинальные работы, в которых можно подробнее ознакомиться с данным методом. Методы изложены на конкретных примерах, Во внутренних задачах применены метод собственных функций, метод интегральных преобразований, вариационные методы, интегральные уравнения во внешних задачах — методы собственных функций и интегральных преобразований, интегральные уравнения, асимптотические методы, в том числе лучевые, метод фазовых интегралов (метод ВКВ) и метод эталонных уравнений. Рассмотрены методы синтеза антенн, [c.270]

Метод эталонных задач представляет собою обобщение на краевые задачи теории дифракции и распространения волн метода эталонных уравнений, который в настоящее время широко используется при получении асимптотических разложений для решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе метода эталонных задач лежит принцип сходная геометрия лучей приводит к сходным асимптотическим формулам при (о- оо) для волновых полей. [c.14]

Метод, которым мы воспользуемся при построении собствен ных функций типа шепчущей галереи, может быть назван ме годом эталонной задачи. По своей основной идее метод эталон ной задачи для уравнения Гельмгольца (уравнения в частных производных) близок к методу эталонного уравнения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.158]

Метод эталонного уравнения. Пусть при любых значениях кд известны линейно-независимые решения ЯП х 2 уравнения [c.174]

Читателю, заинтересованному в более детальном изложении метода эталонного уравнения, следует обратиться к математической литературе [66, 114, 201, 202,258, 421,461]. [c.177]

Метод сведения к эталонному уравнению [c.59]

Проблема распространения солнечного излучения через облака относится к одной из классических областей теории, связанной с необходимостью решения уравнения переноса излучения. Наряду с общими трудностями, которые уже обсуждались, при решении указанного уравнения возникают и дополнительные. Поэтому полное и точное решение проблемы в математическом отношении до настоящего времени далеко от своего завершения. Основные успехи последних лет в этом направлении связаны с дальнейшим развитием приближенных и асимптотических (в смысле оптических глубин) методов решения уравнения переноса излучения, а также с применением методов Монте-Карло, которые приобрели статус эталонных. [c.194]

При исследовании задачи теории дифракции коротких волн важную роль играют асимптотические методы лучевой метод, метод параболического уравнения и его дальнейшее развитие-метод эталонных задач. Изложению этих методов посвящена книга. [c.6]

Построение последующих членов асимптотических разложений привело в последние годы к созданию так называемого метода эталонных задач, который может рассматриваться как дальнейшее естественное развитие метода параболического уравнения. [c.14]

Исходным пунктом метода эталонных задач является изучение поля лучей — экстремалей функционала геометрической оПтики. Следующий шаг состоит в подборе простейшей, допускающей точное решение (например, по методу разделения переменных) эталонной задачи, поле лучей в которой обладает теми же особенностями, что и у исходной задачи. Анализ решения эталонной задачи позволяет выбрать определенную форму искомого разложения решения исходной задачи. Подставляя это разложение в уравнения и краевые условия первоначальной задачи и требуя их (формального) выполнения, можно получить ряд соотношений между коэффициентами этих разложений. Полученные соотношения позволяют найти неизвестные функции, входящие в эти коэффициенты. [c.158]

В соответствии с методом эталонной задачи (см. 1 гл. 6) прежде всего мы должны рассмотреть простейшую эталонную задачу, допускающую точное решение, сосредоточивающееся при (о- схз в окрестности некоторого луча. Такую задачу мы получим, положив в уравнении [c.193]

Вывод о том, что решения уравнения Гельмгольца, сосредоточенные в окрестности произвольного луча, выражаются через функции параболического цилиндра, можно было бы сделать и на основании результатов 4, 5 главы 5, посвященной методу параболического уравнения, однако исследование эталонной задачи позволяет выявить аналитический характер не только первого приближения, но и всех последующих. [c.195]

В методе трех эталонов, когда проба и эталоны фотографируются одновременно и градуировочный график строят для каждой фотопластинки, определение ошибки анализа удобно проводить с помощью того же графика. Работая в области нормальных почернений фотопластинки, можно использовать уравнение градуировочного графика [c.48]

Для иллюстрации возможностей разработанного метода поставим задачу отыскания такой периодической функции для приведенного момента инерции J (ф), чтобы система дифференциальных уравнений движения решалась точно. Принимая это решение в качестве эталонного, можно легко оценить погрешность приближенного метода. [c.309]

Классические методы определения динамической реакции систем основаны на той точке зрения, что сначала следует получить дифференциальное уравнение движения (точное в пределах исходных физических предположений), а затем искать точное математическое решение [1.1—1.10]. Очевидно, что это возможно для ограниченного числа случаев, поэтому на сегодняшний день полезным свойством классических методов является то, что они дают представление о физической сущности происходящего, а также служат эталоном для текущей проверки наиболее модных и удобных дискретных методов. Ни один исследователь не рискнет использовать современные конечно-элементные подходы, не проверяя время от времени свои модели с точки зрения точности, устойчивости, единственности и целесообразности. Слишком много ошибок происходит просто в силу того, что пренебрегается этим обязательным требованием [c.19]

В случае определения всех величин, входящих в уравнение (5-16), непосредственными измерениями метод называется абсолютным методом капилляра. При этом трудности обусловлены необходимостью точного измерения весьма малого диаметра капилляра и обеспечения постоянства его по длине. В случае определения постоянной вискозиметра A nr /BLV, связывающей его геометрические размеры, путем тарировки по эталонному веществу Метод называется относительным методом капилляра. Он наиболее часто используется при измерениях вязкости. [c.302]

Как уже говорилось выше, для торообразных оболочек с меридианами, содержащими окрестности переходных точек (0 = О, я), использование стандартной экспоненциальной асимптотики неправомочно. Применим, однако, более общий метод эталонных уравнений [54, 192], состоящий в том, что при построении приближенного решения используется решение более простого эталонного уравнения, имеющего те же особенности в коэффициентах (полюсы и нули). [c.399]

Задача о колебаниях в трехосном эллипсоидальном резонаторе может быть основной для решения широкого класса прикладных задач, в частности, в работе [145] дапо решение задачи об электромагнитных колебаниях эллипсоида в асимптотическом приближении [146], опира-юш ееся на решение, данное ниже. Для решения уравнения Гельмгольца (5.47) в нем производится разделение переменных, а полученные таким образом обыкновенные дифференциальные уравнения Ламэ решаются методом эталонных уравнений [146]. При этом широко используется информация, которую дает изложенное в 5.3 геометрооптическое решение. [c.284]

Применение метода осреднения наталкивается в ряде случаев на существенные трудности, скажем, при расчете резонансов (к этому вопросу Мы далее еще вернемся и рассмотрим его подробнее), при исследовании переходных режимов, связанных с прохождением через сепаратрису или вблизи нее на фазовой плоскости или, например, когда решение порождающего уравнения не выражается достаточно просто. В последнем случае часто применяется так называемый метод эталонных уравнений А. А, Дородницына (1952) к этой же проблеме относится одна работа Г. Е. Кузмака (1959), Асимптотические расчеты сепаратрис возмущенных уравнений разрабатывались Б, К. Мельниковым (1959). [c.128]

Весьма полное исследование звукового поля с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени удается провести в среде, параметры которой являются гладкими функциями координаты z и мало изменяются на расстояниях порядка длины волны. В этом случае эффективны асимптотические методы приближение ВКБ и обобщающий его метод эталонного уравнения, излагаемые в 8 и 9. В 10 результаты распространены на среды, сочетающие плавные и скачкообразные изменения параметров. Для понимания материала этой и последующих глав достаточно элементарных представлений об асимптотических оценках и асимптотических разложениях. Ясное изложение этих вопросов можно найти, например, в книгах [232. гл. 7). (145) и др. Напомним три определения. Последовательность функций (w). S = О, 1, 2.....называется асимтотической при w а, если для любого s [c.162]

Существуют многочисленные попытки модификащ1Й метода ВКБ с целью расширения границ его применимости, в частности, в области точки поворота. В них или используются специальные функции вместо элементарных [291, 293, 134, 135, 123-125] или с самого начала авторы отказываются от сохранения точной асимптотики решений [388, 366, 358, 359, 555, 186, 300]. Во многих случаях физическая интерпретация этих решений является весьма затруднительной. Наиболее перспективным методом описания поля в областях неприменимости геометрической акустики является, по нашему мнению, метод эталонного уравнения, к изложению которого мы сейчас и перейдем. [c.174]

Подчеркнем, что все три метода эталонных уравнений, эталонных интегралов и эталонных функций — тесно связаны между собой. Решая одномерное волновое уравнение методом Лапласа [131, ч. 1, 19], исследование го высокочастотной асимптотики можно свести к анализу интеграла вида (11.1). Свяэь первых двух методов с третьим была проиллюстрирована выше. Метод эталонных функций является довольно универсальным, но мало наглядным. Во многих задачах ои позволяет сравнительно просто вычислить коэффициенты асимптотического раэложения интегралов и решений дифференциальных уравнений, однако анализ условий применимости полученного результата оказывается более с ложным, чем в других методах. Кроме того, заранее должна быть известна исходная форма решения. [c.374]

Обоснование геометрической оптики или метода ВКБ можно дать также при помощи метода эталонных уравнений. Этот метод имеет широкую применимость и позволяет, в частности, найтп решение задачи при наличии точки поворота z = z , в которой os О = О, и решение (23.13) теряет смысл. [c.137]

Полученные результаты применимы к произвольному закону типа, изображенного на рис. 24.1, лишь бы были выполнены некоторые необходимые для метода эталонного уравнения требования медленности изменеиия п (г). Принципиально эти требования должны обеспечивать малость правой части в (24.2), однако практически их получить непросто. Некоторое представление о пределах применимости метода можно получить, сравнивая полученные методом эталонного уравнения результаты с результатами точного решения, когда его можно получить. Для такого сравнения Е. Марфи [202] берет точное решение для слоя Эпштейна (см. 20.6) и показывает, что приближенное решение достаточно хорошо совпадает с точным, если 1. Как указано выше, в случае одной точки поворота можно представить себе луч, который заворачивает на определенном горизонте, теряя при этом в точке поворота фазу л/2. Каким будет соответственное лучевое представление в случае двух точек поворота Е. Марфи [202] решает этот вопрос, исследуя поведение ограниченного пучка (см. 14) и получает результат, [c.142]

На рис. 2.8—2.10 сплошными линиями изображены зависимости а р = 2(дв (1—g o)/fenpitg0o от угла раствора биконуса 0о при 0 = (0)/6тах = 0,1 для колебаний с п—1, р=1, 2, 3, рассчитанные по проекционному алгоритму ( 2.3). Расчеты проводились при М = , Р = 7. Для сравнения пунктирными линиями показаны зависимости, рассчитанные в [18] методом эталонных уравнений [19, 20]. [c.109]

Одновременное выполнение условий (5) возможно лишь в том случае, когда при x=x и х=х корни уравнения (4) кратны. При этом решения (3) с ограниченными Wj(x) не существует. Для построения решения в этом случае (при наличии гонек поворота X, хр в [35, 117] использован метод эталонных функций. Ниже предлагается более простой способ представления решения, при котором существенно используется предположение о близости точек поворота л , х. [c.74]

В ЭТОМ Приближении мы рассмотрим две физические задачи и приведем их волновые уравнения к общему виду. В следующем приложении (ИБ) мы опишем метод, с помощью которого это общее уравнение сводится к эталонному. Забегая вперед, заметим, что первая задача приводит к обобщенному уравнению Бюргерса, а вторая — к обобщенному уравнению КдФ. В гл. 1 и 2 было расс, ютрепо распространение волн в однородных средах. Мы умышлеппо выбрали две указанные выше задачи, в которых рассматриваются волны в неоднородных средах, чтобы подчеркнуть тот факт, что даже в случае распространения волн в неоднородной среде эталонные уравнения с переменными коэффициентами могут адекватно отобразить реальную физическую ситуацию. [c.55]

Между прочим заметим, что аналогичный метод сведения к эталонному уравнению применялся в других ситуациях, например для изучения поведения решений дифференциальных уравнений в окрестности критической точки (Куликовский, Слободкина [1967], Бхатнагар, Прасад [1971], Прасад [c.66]

В этой главе тот же класс собственных функций будет рас смотрен методом эталонных задач. Все построения концентрируются вокруг двух вопросов 1) построение формального ре шеиия уравнения [c.193]

Равномерная асимптотика волнового поля в окрестности точки возврата каустики впервые была построена, по-видимому, в работах [472, 337]. Ранее методом эталонных функций были получены алгебраические уравнения для определения значений аргументов интегралов Пирси и амплитудных коэффициентов [442].Отметим,что асимптотика (17.55), (17.56) описывает также поле в окрестности фокуса цилиндрической линзы прн наличии аберрации. Подробнее об этом и об условиях перехода к геометроакустическим результатам см. [151, 11]. [c.381]

Диалоговое моделирование. Наличие в методике макромоделирования эвристических и формальных операций обусловливает целесообразность разработки моделей элементов в диалоговом режиме работы с ЭВМ. Язык взаимодействия человека с ЭВМ должен позволять оперативный ввод исходной информации о структуре модели, об известных характеристиках и параметрах объекта, о плане экспериментов. Диалоговое моделирование должно иметь программное обеспечение, в котором реализованы алгоритмы статистической обработки результатов экспериментов, расчета выходных параметров эталонных моделей и создаваемых макромоделей, в том числе расчета параметров по методам планирования экспериментов и регрессионного анализа, алгоритмы методов поиска экстремума, расчета областей адекватности и др. Пользователь, разрабатывающий модель, может менять уравнения модели, задавать их в аналитической, схемной или табличной форме, обращаться к нужным подпрограммам и тем самым оценивать результаты предпринимаемых действий, приближаясь к получению модели с требуемыми свойствами. [c.154]

Со времени зарождения квантовой теории излучения черного тела вопрос о том, насколько хорощо уравнения Планка и Стефана — Больцмана описывают плотность энергии внутри реальных, конечных полостей, имеющих полуотражающие стенки, был предметом неоднократных обсуждений. Больщин-ство из них имели место в первые два десятилетия нащего века, однако вопрос закрыт полностью не был, и в последние годы интерес к этой и некоторым другим родственным проблемам возродился. Среди причин возрождения интереса к этому старейшему предмету современной физики можно назвать развитие квантовой оптики, теории частичной когерентности и ее применение к изучению статистических свойств излучения недостаточное понимание процессов теплообмена излучением между близкорасположенными телами при низких температурах и проблему эталонов далекого инфракрасного излучения, для которого длина волны не может считаться малой, а также ряд теоретических проблем, относящихся к статистической механике конечных систем. Хорошим введением к современному обзору в этой области являются работы [2, 3, 5]. Еще в 1911 г. Вейль показал, что требованием о том, чтобы полость являлась прямоугольным параллелепипедом, можно пренебречь при условии, что (У /с)- оо. Он показал также, что в пределе больших объемов или высоких температур число Джинса справедливо для полости любой формы. Позднее на основании результатов работы Вейля были получены асимптотические приближения, где Do(v) являлся просто первым членом ряда, полная сумма которого 0 ) представляла собой среднюю плотность мод. Современные вычисления величины 0 ) [2, 4] с использованием численных методов суммирования первых 10 стоячих волн в полостях простой формы показали, что прежние асим- [c.315]

В некоторых случаях многофазная смесь может быть описана в рамках одной из известных классических моделей, в которых неоднородность отражается в значениях модулей, коэффициентов сжимаемости, теплоемкостей и т. д. (заранее определяемых через физические свойства фаз), т. е. только в уравнениях состояния смеси (см. 5 гл. 1). Например, жидкость с пузырями может иногда описываться в рамках идеальной сжимаемой жидкости, а грунт — в рамках упругой или упруго-пластической модели. Но при более интенсивных нагрузках, скоростях движения или в ударных процессах эти классические модели обычно перестают работать и требуется введение новых моделей и новых параметров, в частности, последовательно учитывающих неоднофазность, а именно существенно различное поведение фаз (различие плотностей, скоростей, давлений, температур, деформаций и т. д.) и взаимодействие фаз между собой. При этом проблема математического моделирования без привлечения дополнительных эмпирических или феноменологических соотношений и коэффициентов достаточно строго и обоснованно (например, методом осреднения более элементарных уравнений) может быть решена только для очень частных классов гетерогенных смесей и процессов. Эти случаи тем не менее представляют большое методическое значение, так как соответствующие им уравнения могут рассматриваться в качестве предельных или эталонов, дающих опорные пункты при менее строгом моделировании сложных реальных смесей, с привлечением дополнительных гипотез и феноменологических соотношений. Два таких предельных случая подробно рассмотрены в 5, 6 гл. 3. [c.6]

Уравнение Кирхгоффа—Клебша в тех случаях, когда интегрирование их может быть выполнено в замкнутой форме, позволяют получить решения, являющиеся эталонными для результатов, отыскиваемых при помощи дискретной матричной формы метода начальных параметров. Именно поэтому указанные уравнения и приведены в настоящем параграфе. [c.369]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...