Разложение по гармоникам

Отыскание решений системы (2.11) представляет довольно сложную математическую задачу. Одни из эффективных методов ее решения основан на разделении переменных. Сущность его заключается в том, что все величины, как искомые, так и заданные, представляются в виде разложений по гармоникам угла [c.84]

Сущность метода разделения переменных заключается в том, что все величины, как искомые, так и заданные, представляются в виде разложений по гармоникам угла. [c.99]

Равенство плотности энергии волны сумме плотностей энергии отдельных гармоник не является очевидным. Однако, как следует из теории и экспериментальных результатов, в обычных не-релаксирующих жидкостях в плоской волне фазовые соотношения между гармоническими составляющими в процессе распространения не меняются, а разложение по гармоникам — разложение по ортогональным функциям. Это обстоятельство приводит к тому, что в немонохроматической волне, по-в димому, можно считать среднюю по времени плотность энергии волны равной сумме средних по времени плотностей энергий отдельных гармоник (см. также [17]). [c.115]

Ряд (10.63) дает аналогичное разложение по гармоникам е пространственного спектра амплитуды данного светового пучка. Действительно, если мы применим [c.622]

Точно так же, как гравитационный потенциал Земли описывается разложением в ряды, гармонические постоянные которых можно оценить из наблюдений изменений орбит искусственных спутников Зе.мли, внешний гравитационный потенциал вращающейся и искаженной приливными воздействиями звезды можно выразить посредством подходящего разложения по гармоникам. [c.469]

При а < решение для у можно выразить явно в виде разложения по гармоникам с коэффициентами, даваемыми функциями Бесселя [c.316]

В частности, для радиально-роторного агрегата при точечном контакте плунжеров с направляющей формирующий поток определяется разложением по четным гармоникам (см. табл. 6). [c.209]

Уравновешивание эллиптической гармоники сил инерции. Для того чтобы уравновесить эллиптическую гармонику сил инерции при помощи вращающихся в разные стороны противовесов, следует, по предложению проф. М. В. Семенова, предварительно выполнить разложение эллиптической гармоники на две круговые [2]. Рассмотрим это разложение на примере эллиптической гармоники I порядка. [c.174]

В п. 18 мы видели, что подобные уравнения без особых затруднений интегрируются при любом виде правых частей там же был рассмотрен случай произвольной периодической возмущающей силы. Таким образом, способ разложения решения по собственным формам колебаний вовсе не требует предварительного разложения возмущающих сил на гармонические составляющие. Определение гармонических составляющих является громоздкой операцией и требует учета иногда большого числа гармоник эта операция оправдана, когда намечено вести решение первым способом, но представляется необязательной или даже излишней, если используется разложение по собственным формам колебаний. [c.253]

Для симметричных компонент n-й гармоники разложения по угловой координате р согласно (4.49), (4.50), (4.57) получим следующие выражения [c.139]

Подставляя эти соотношения в (3.2.54), получаем разложение по сферическим гармоникам [c.87]

Перейдем теперь к рассмотрению частотного представления [5, 6). В этом случае процесс записи и восстановления трехмерной голограммы рассматривается в пространстве Фурье. Запишем волновые функции падающего на голограмму и восстановленного ею излучения в виде разложения но плоским волнам, а структуру голограммы представим в виде разложения по трехмерным гармоникам. Тогда процесс восстановления голограммы можно рассматривать как преобразование каждой плоской волны в компоненты восстановленной волны посредством отражения от соответствующих гармоник голограммы. Таким образом, основным элементом разложения структуры голограммы является пространственная гармоника. Рассмотрим свойства таких гармоник более подробно. [c.700]

Остановимся на частном случае общей задачи, которая допускает разложение общей системы разрешающих уравнений на ряд систем для отдельных гармоник. Это накладывает ограничение на распределение механических характеристик материала, которые не должны изменяться в окружном направлении. При этом предполагается, что зоны взаимодействия между телами охватывают полную окружность, т. е. не зависят от координаты 0. Будем также предполагать, что рассматриваемая задача имеет хотя бы одну меридиональную плоскость симметрии, чтобы при разложении в ряды Фурье радиальных и осевых компонентов объемной и поверхностной нагрузки, заданных перемещений и , и , температуры оставить только члены разложения по косинусам, а для компонентов перемещений и нагрузки окружном направлении — по синусам. Для нулевой гармоники удержим и окружные компоненты перемещений и нагрузки, чтобы можно было рассматривать осесимметричную задачу с деформациями типа кручения В этом случае общая система уравнений (V.8) распадается на п отдельных систем более простого вида [c.169]

В принятом приближении перенормировка массы отсутствует это позволяет положить в (42) (3 = О и опустить уравнение (43). Не учитывая пока связанных промежуточных состояний, можно перейти в (41), (42) от суммирования к интегрированию по энергии, вводя плотность уровней р Е) порог считается отнесенным к точке Е = 0. Полагая частицы бесспиновыми и работая в системе центра масс, удобно перейти к разложению по сферическим гармоникам. [c.69]

Решение системы (2.14), (2.15) ищется в виде разложения по спиновым сферическим гармоникам, %т- Пространственные повороты за даются к=0, и общее решение имеет вид [c.149]

Разделение азимутальных гармоник. Представление индикатрисы рассеяния в виде разложения по многочленам Лежандра позволяет разделить поля излучения, соответствующие различным гармоникам азимута. Такое разделение основывается на теореме сложения для многочленов Лежандра, выражаемой формулой [c.36]

Ясно, что в полное отраженное излучение дает вклад только нуле-вая гармоника в разложении по косинусам кратных азимутов (индекс О не пишется). [c.72]

В этом разделе рассматривается итеративный алгоритм расчета фазовых ДОЭ, которые могут быть названы тловыми спектральными анализаторами, служащими для разложения амплитуды когерентного светового поля по ортогональному базису с угловыми гармониками. Сферическая линза фактически играет роль фурье-анализатора, так как она раскладывает светового поля на плоские волны или пространственные фурье-гармоники. Аналогично, комбинация линза + ДОЭ может быть названа анализатором Бесселя, Гаусса-Лагерра, или Цернике если данный оптический элемент раскладывает лазерный свет по соответствующему базису. Разложение по модам Гаусса-Лагерра используется при селекции поперечных мод на выходе многомодового волокна с параболическим профилем показателя преломления [44 . Базис круговых полиномов Цернике используется при анализе аберраций волновых фронтов [45. [c.622]

Два члена в соотношении (6.62) можно рассматривать как первые два члена разложения / по сферическим гармоникам. [c.275]

Можно также поставить вопрос о спаривании с ненулевые орбитальным моментом, / 0. Исследование этого вопроса показывает, что если амплитуда рассеяния электронов существенно-зависит от угла и в ее разложении по сферическим гармоникам (каждая соответствует определенному I) имеются отрицательные коэффициенты, то может осуществляться спаривание, соответствующее отрицательному коэ ициенту, наибольшему по абсолютному значению Абрикосов, Горьков, Ландау, Халатников, 1958, см. [4, 20]). Пример такого рода в природе имеется—это-ферми-жидкость—сверхтекучий Не. В нем действительно возникает спаривание квазичастиц с орбитальным моментом / = 1 и параллельными спинами, что приводит к сверхтекучести (см. обзоры [161, 162]), но Не—нейтральная ферми-жидкость. Среди металлов спаривание с ненулевым орбитальным моментом, возможно, осуществляется в так называемых системах с тяжелыми) фермионами , но пока этот вопрос недостаточно изучен. [c.299]

Ряд Фурье (21.136)—(21.13в) называется разложением по пространственным гармоникам. [c.221]

Другими словами, W x, р) соответствует фурье-преобразованию матрицы плотности ф х)ф х ) по одной из координат, а вероятность рр р) равна модулю квадрата амплитуды в фурье-разложении ф х) по гармоникам вида exp(i x), где х = р/Л. [c.87]

Для симметричных тел — шара, цилиндра — удобно применять разложение по соответствуюш им ортогональным функциям [144]. Разложение по временным гармоникам сохраняет смысл всегда в силу стационарности равновесных моментов. [c.120]

Важным методом, используемым при вычислении амплитуд рассеяния, является разложение по сферическим гармоникам или по векторным сферическим гармоникам. В настоящем параграфе будет дано определение сферических гармоник и будут перечислены некоторые их свойства. [c.39]

Гармонический ряд с членами целого порядка п, связанный с разложением по сферическим гармоникам и потому аналогичный решению Ми, которое лежит в основе нашего рассмотрения проблемы рассеяния. [c.251]

Если жидкость заключена между концентрическими сферами, отсутствуют условия, которые должны быть удовлетворены как в начале координат, так и на бесконечности следовательно, можпо использовать гармонические функции как положительных, так и отрицательных порядков. Как и в предыдущих случаях, можно получить разложения по гармоническим функциям, соответствуюп1 ие произвольно заданным на обеих поверхностях скоростям. Совместное решение шести уравнений дает возможность найти гармоники, появляюп1 иеся в общем решении (3.2.3). [c.84]

Очень похожее решение задачи о движении двух близко расположенных сфер дал Вакия [33]. В качестве системы координат он выбирал ту же систему, что и на рис. 6.2.1, так что результат выражается в виде, подобном полученному выше при решении двух задач о движении сфер вдоль и перпендикулярно их линии центров. Применяемый им метод решения несколько отличен от использованного здесь. Хотя также применяется разложение по сферическим гармоникам, гармоники для второй сферы выражаются непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы, после чего из граничных условий на первой сфере а получается одна система соотношений, связывающих определяющие коэффициенты. Таким же образом по граничным условиям на сфере Ъ получается другая система соотношений. Исключая из этих двух систем одну совокупность констант, можно получить бесконечную систему уравнений для другой совокупности констант, определяющих соответствующие гармонические функции. Эту бесконечную систему уравнений Вакия решает методом последовательных приближений, и поэтому расчетная часть у него такая же, как и здесь. Полученные им результаты согласуются с результатами Факсена для двух сфер, движущихся одна за другой, а также с приведенными выше данными для движения сфер как вдоль линии центров, так и в перпендикулярном направлении. [c.307]

Упрощенный вариант расчета тел вращения при действии неосесимметричной нагрузки, допускающей разложение системы по гармоникам, реализован в программе ROTOR-F для ЭВМ серии ЕС на языке PL/1. В качестве конечного элемента выбран простейший выпуклый четырехугольник. Принципы задания исходной информации и полуавтоматической дискретизации области на конечные элементы такие же как и в программе ROTOR-K. [c.170]

Все описаппые выше методы могут быть применимы и уже применялись к линеаризованному уравнению Больцмана [13— Г9, 3—5]. Аналогичные методы хорошо показали себя в задачах переноса нейтронов и переноса излучения. Особенно много работ выполнено с помопдью разложения по сферическим гармоникам и полиномам Лежандра [20, 22] и так называемого двойного Ррметода, основанного на кусочно непрерывной аппроксимации [22—23]. [c.393]

В данной работе для количественного описания крупномаспЕтабных структур использован метод ортогонального разложения поля турбулентных пульсаций скорости. Описание этого метода можно найти в [3, 4]. Для исследования турбулентных течений он был предложен Ламли [5]. Идея ортогональных разложений естественна и вводилась для разных целей многими авторами (см., например, обзор в [5]). Идея метода заключается в представлении поля скорости в виде комбинации стандартных возмущений (колебаний) со случайными и некоррелированными коэффициентами. В однородной турбулентности таким представлением является разложение мгновенного поля скорости в интеграл Фурье по системе гармонических функций ехр(гкг). Коэффициенты разложения (амплитуды гармоник) оказываются некоррелированными случайными функциями волнового вектора к. В неоднородной турбулентности разложения скорости по гармоническим функциям также возможно, однако коэффициенты разложения коррелиро-ваны между собой. [c.431]

Чтобы понять условия применимости различных приближений (напр,, диффузионного) и пути их уточнения, а также связь приб пгженных ур-пий с точным кинетич. ур-нием, удобно представить (1) в другом виде, воспользовавшись разложением по сферич. гармоникам [c.404]

Здесь R ooTB i TBy T величине f из 8.8, Интересно отметить, что дифракционный интеграл можио сиива представить в виде разложения по угловым гармоникам, если воспользоваться уравнениями (8.8.2) и (8.8,3) [20], [c.421]

Несмотря на то что в квантовой механике угловые моменты частиц или групп частиц могут равняться только целому или полуцелому числу, кратному II, для более ясного понимания математических свойств амплитуды рассеяния целесообразно снять это ограничение. С математической точки зрения введение квантования орбитального углового момента I связано с использованием разложений по парциальным волнам. При этом существенное значение имеют свойства сферических гармоник, которые в случае нецелочисленных I как функции переменного os 0 при os О 1 не обладают достаточно хорошим поведением. Условие целочисленности углового момента I вытекает из требования регулярности трехмерной волновой функции по всем направлениям. [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...