Интеграл простой

Нам понадобится следующий интеграл (простые, но громоздкие выкладки опускаем) [c.239]

Смысл этого интеграла прост. Если на спутник не действуют возмущающие моменты, то вектор кинетического момента сохраняет свое направление в абсолютном пространстве. В частности, сохраняется постоянным угол х с направлением на полюс мира, что и описывается интегралом (8.3.7). Формула (8.3.7) позволяет рассмотреть движение вектора кинетического момента относительно регрессирующей орбиты в рассматриваемом случае отсутствия возмущающих моментов. Траектория конца вектора кинетического момента на единичной сфере представляет собой подвижную окружность постоянного радиуса х, которую вектор кинетического момента [c.262]

Здесь 20 = I -/.dl этот интеграл просто равен ф(я) — ф(0), если = 1. [c.192]

Если начальное и конечное состояния таковы, что они удовлетворяют условию сохранения количества движения, то экспоненциальная функция, как мы видели, превращается в единицу и подынтегральное выражение становится независимым от положения. В таком случае интеграл просто равен объему области интегрирования (т. е. объему упомянутого выше ящика). Кроме того, здесь будут сомножители, зависящие от нормировочных коэффициентов волновых функций отдельных частиц. На этом следует остановиться подробнее, так как коэффициенты бывают различными в зависимости от того, подчиняются ли эти частицы принципу запрета Паули или статистике Бозе-Эйнштейна. [c.32]

Благодаря тому что под интегралом стоит смешанное произведение, вклад в интеграл дают только компоненты г, перпендикулярные Н, т. е. интеграл просто равен площади, ограниченной проекцией [c.141]

Подставляя в этот интеграл простейшее выражение для спектральной плотности (см. 6, а также задачу 28 из гл. 2), модель ее, как мы увидим, несущественна, [c.167]

Для I =Ф I" l p l"q) = О по свойству ортогональности. Следовательно надо, чтобы l p "q) равнялось бы бесконечности — иначе весь интеграл просто обратится в нуль. Поэтому норми-руемые собственные векторы, принадлежащие EW-m непрерывного спектра, нам совершенно бесполезны — их вклад в большинство интересующих нас выражений будет равен нулю. Мы видим, что в таком случае приходится вводить собственные векторы, не нормируемые в обычном смысле, и нормировать их так, чтобы [c.345]

Несмотря на простой вид, уравнение переноса излучения (4.4) описывает очень большой класс задач по взаимодействию излучения с веществом в разнообразных физически.х явлениях. В общем случае оно является интегро-дифференциальным и допускает решение в весьма ограниченном числе случаев. Формальным решением уравнения (4.4) является [c.141]

Проведенное рассмотрение существенно упрощено с предположением об однородности температуры внутри стекла. Для неоднородных температур уравнение (7.104) должно быть модифицировано введением Ь Х, Т) под знак интеграла. Для конкретных температурных градиентов уравнение должно решаться численным методом [6], так как никакое простое решение невозможно. К счастью, коэффициент поглощения и коэффициенты отражения поверхностей обычно такие, что даже для слоя толщиной всего 5 мм внутренние отражения более высоких порядков очень малы и ими обычно можно пренебречь. [c.396]

Разобьем фигуру на простые составляющие /, II и III, например так, как показано на рисунке. При вычислении интеграла (2.18) будем последовательно суммировать произведения y dF, охватывая площади fi, [c.20]

Физический смысл константы дробления В V, V) очень прост. Она определяет вероятность образования пузырьков газа с объемом V при распаде пузырьков с объемами V > V. Нормировка О (Р", V) выбрана таким образом, чтобы интеграл [c.180]

Если фигуру можно представить в виде отдельных простых фигур (квадратов, треугольников и т. д.), для которых известны положения центров тяжести, то в этом случае статический момент всей фигуры можно получить как сумму статических моментов этих простых фигур. Это непосредственно следует из свойств определенного интеграла. [c.94]

После подстановки в явной форме выражения для/(г , Т о, АГо) в левой части формулы (69) получается эллиптический интеграл, и таким образом, задача сводится к одной простой квадратуре — эллиптическому интегралу. Интегралы такого рода хорошо изучены, и для них составлены специальные таблицы. Вычислив этот интеграл, т. е. найдя t как функцию от л и трех произвольных постоянных S, Ко и То, определяемых начальными данными, а затем разрешив полученное соотношение относительно г, нужно вернуться к уравнениям (66) и подставить в их правые части найденное выражение г. Тогда р vi q тоже будут найдены как функции t и указанных трех произвольных постоянных. Уравнения (60) полностью проинтегрированы, причем были использованы два готовых первых интеграла, даваемых законами сохранения, и лишь один раз пришлось вычислить интеграл. [c.198]

Пусть действительная часть комплексного спектра координаты <7у —четная функция. В таком случае вместо (88) можно написать еще более простой интеграл [c.256]

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента t = 0 при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу Qf t), можно вычислить комплексный спектр ее и координаты q и затем выделить действительную часть спектра д,. Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента P(Q) называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую Р Q) кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых. [c.256]

Коль скоро параметр а вы бран, функции (40) зависят только от одного аргумента — времени, их можно продифференцировать по времени и подставить полученные выражения и в функционал (41). Тогда функция Ф, стоящая под знаком интеграла, будет функцией только от времени, так что можно вычислить интеграл (41) и после подстановки пределов определить число— значение ф. Таким образом, каждой кривой рассматриваемого пучка (40) функционал (41) ставит в соответствие некоторое определенное число, и в этом смысле на однопараметрическом пучке кривых значение функционала является просто функцией параметра а. Эта функция может при некоторых значениях сс принимать стационарные значения кривые, которые получаются при подстановке в (40) этих значений а, носят название экстремалей. [c.273]

Вспоминая теперь, что символ вариации означает просто дифференцирование по параметру а, и используя обычные правила дифференцирования интеграла по параметру в случае, когда пределы интегрирования зависят от параметра, получаем [c.275]

Теорема 9.3.2 и ее следствие 9.3.4 дают простое правило, позволяющее из двух известных первых интегралов получить при помощи алгебраических операций и дифференцирования третий интеграл, четвертый и т.д. Однако при этом не все получающиеся интегралы будут независимыми, так как независимых функций от 2п переменных может быть не более чем 2п. Иногда может получиться функция от исходных первых интегралов, а иногда числовое тождество. [c.640]

Особенно простой вид имеют уравнения, описывающие движение жидкости, если к условиям существования интеграла Бернулли — Эйлера добавить еще условие несжимаемости жидкости. Действительно, в этом случае интеграл (162.31) будет иметь вид [c.256]

Проведенное рассмотрение простого эксперимента является как бы введением в решение общего вопроса о возможности преобразования произвольной временной функции в соответствующую частотную зависимость. Обоснование этой процедуры содержится в теореме Фурье, значение которой для физических исследований трудно переоценить. В этой теореме, подробное рассмотрение которой содержится в любом курсе высшей математики, утверждается любую конечную и интегрируемую функцию E(t) можно представить в виде интеграла [c.63]

Пусть теперь масса (заряд) непрерывным образом распределена по поверхности 5 в с плотностью i (у), тогда потенциалом простого слоя будет называться интеграл [c.100]

Отметим, что определенный прогресс здесь был достигнут путем перехода от требования (4.250) к более простому в реализации требованию интеграл от выражений типа (4.250) для базисных функций метода по отдельному элементу должен быть равен нулю. [c.206]

При вычислении интеграла по сфере очень большого радиуса в выражении (22,3) для скорости следует, конечно, сохранить лишь члены Простое вычисление дает для этого интеграла [c.110]

Второй интеграл можно вычислить, взяв его по частям. Поскольку он берется по замкнутому контуру, то пределы интегрирования сливаются в одну точку, и потому мы получаем просто [c.64]

Такие фосфоресцирующие вещества характеризуются длительным послесвечением и, как уже упоминалось, сильной зависимостью длительности от температуры. Повышение температуры значительно сокращает длительность свечения, причем одновременно очень сильно повышается яркость его. Явление можно наблюдать на следующем простом опыте. Возбудим фосфоресценцию экрана сернистого цинка, осветив его ярким светом электрической дуги. Перенесенный в темноту экран будет светиться в течение ряда минут, постепенно угасая. Если к светящемуся экрану с противоположной стороны прижать нагретое тело, например диск, то нагревшаяся область экрана ярко вспыхнет, отчетливо передавая контуры нагретой области. Однако через короткое время эта область окажется темнее окружающей, ибо более яркое свечение сопровождается более быстрым затуханием (высвечиванием). Измерения показывают, что световая сумма, т. е. интеграл по времени от интенсивности свечения, остается практически постоянной даже при ускорении высвечивания в тысячи раз (так, например, при нагревании до 1300 время свечения с нескольких часов сокращается до 0,1 с). [c.765]

Покажем, что вычисление работы по формуле (5) мол<ет быть сведено к вычислению простого определенного интеграла. Для этого предположим, что движение точки задано уравнением [c.198]

Причем знак минус взят потому, что в рассматриваемом промежутке (7 < О, т. е. dq и dt имеют противоположные знаки. Интеграл от выражения, стоящего в левой части последнего равенства, не выражается в элементарных функциях. Пользуясь (115), можно указать простой графический метод нахождения последовательных амплитуд колебания системы. [c.521]

Вынужденные колебания при действии синусоидальной силы Q t) = Н sin pt. Здесь этот простейший случай рассматривается как пример применения полученных общих формул. Ограничимся случаем отсутствия сопротивления. Интеграл (14) принимает вид [c.534]

Величина интеграла определяется видом оператора Я. В наиболее простом предположении оператор Я равен константе g. В этом случае [c.151]

Для ТОГО чтобы вычислить этот криволинейный интеграл (т. е. свести его к простому определенному интегралу), нужно знать закон движения точки, на которую действует сила Р, т. е. знать зависимость радиуса-вектора этой точки от времени [c.627]

Псследнее соотношение есть линеаризованный интеграл простой волны Римана. Исключив Се—с И У ИЗ уравнения (3.4.5а), получим закон изменения возмущений вдоль характеристик 1-гэ семейства пучка, на которых нельзя счита1ь, то 1 [c.92]

U t — т, г) можно заменить единицей, (i — -г, I) — на E t — t)f а интеграл — простым произведением. В результате получжм [c.510]

Перемещения при изгибе в общем случае целесообразно определять, используя интеграл Мора и способ Верещагина (см. курс Со-лротпвлсние материалов ). Для простых расчетных случаев можно использовать готовые решения, приведенные в табл, 15.2. При этом вал рассматривают как имеющий постоянное сечеиие некоторого приведенного диаметра [c.268]

Полученный интеграл представляет собой простую волну, поскольку функции V, W зависят только от и. Зильберглейт 5 , Бондаренко [6] и Овсянников [7] нашли решение типа двойной волны, когда одна составляющая скорости зависит от двух других (пример см. в Приложении 2). В работе [7] показано, что общее решение уравнений (2.1) представляет постоянное (равномерное) движение, простую волну или двойную, и что эти три движения могут сосуществовать в одном общем течении, непрерывно примыкая друг к другу. С целью получения вязких течений здесь будет рассмотрено решение (2.3). [c.184]

Ита <, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтоиа можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гам льто а — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, одна (о ме Отся динамическ1 е задачи, для которых 1 ахожден е П0. 0Г0 интеграла уравнения Гамильтона— Якоби оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [c.158]

Согласно уравнению (41,2) собственные колебания течения (если они существуют) связаны с топ его частью, где о"(у)=ф 0 ). Проследить за механизмом усиления колебаний удобно на примере профиля скорости, в котором источник колебаний локализован в одном слое течения рассмотрим профиль v y), кривизна которого мала везде, за исключением лишь окрестности некоторой точки у = уо, заменкв ее просто изломом профиля, будем иметь в и" (у) член вида Аб(у — i/o) именно он будет давать основнрй вклад в интеграл в уравнении (41,3). Будем описывать течение в системе координат, в которой источник по- [c.242]

Наиболее простой вид деформация (27,10) имеет вдали от замкнутой дислокационной петли. Если представлять себе петлю расположенной вблизи начала координат, то на больших (по сравнению с ее линейными размерами) расстояниях в производной dGij/dx можно положить г — г г и вынести ее за знак интеграла. Тогда получим [c.153]

Решение. Афинная связность — символы Кристоффеля равны T . = kq gik. Учитывая интеграл энергии gv.-,q"q = V( , получим замечательно простое уравнение геодезических [c.83]

Обменный интеграл в простейшем случае двухэлектронной системы представляет собой полуразность энергий синглентного и гриплетного состояний [c.337]

Отсюда элемент объема dv=dxdydz=r sin Ь drdh d . При этом вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех простых интегралов [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...