Гриновская функция

Вернемся еще раз к вопросу о влиянии тепловых флуктуаций на свойства смектиков—на этот раз на их упругие свойства. Наиболее определенным образом вопрос может быть поставлен следующим образом как меняется под влиянием флуктуаций деформация, создаваемая приложенной к телу сосредоточенной силой, т. е. как меняется гриновская функция G (г) Оказывается, что это изменение сводится к замене в выражении (44,12) kl и [c.233]

Вычисляя фурье-компоненту гриновской функции, приходим к формуле (5.49) [c.308]

Используя аналитические свойства гриновской функции, легко находим, что [c.314]

Рассмотрим второй интеграл в ( 415.2). Обозначая действительную и мнимую части гриновской функции так G (ш, 0) = х — гу, мы можем аргумент логарифма представить в следующей форме [c.314]

Используя лишь уравнения Дайсона (6.3.29) и (6.3.30), можно показать, что элементы массового оператора обладают теми же свойствами симметрии относительно комплексного сопряжения, что и элементы гриновской функции G(l,l ) (см. задачу 6.11) [c.47]

Хотя сами ПО себе формулы (6.3.31) являются всего лишь соотношениями между массовым оператором и гриновскими функциями, достоинство уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30) состоит в том, что многие важные величины в кинетических уравнениях, включая интегралы столкновений, удается выразить через элементы массового оператора 11(1,1 ). Таким образом, найдя некоторое приближенное выражение для двухчастичной гриновской функции через одночастичные, из формулы (6.3.31) можно найти соответствующее приближение для элементов массового оператора, а затем и для интеграла столкновений. В сущности, это и есть обычный способ вывода кинетических уравнений в технике временных функций Грина. [c.47]

Уравнение движения для любой компоненты гриновской функции G(l,l ) легко получить из матричного уравнения (6.3.34). Мы не будем выписывать эти уравнения. [c.47]

Многие свойства гриновских функций и массового оператора могут быть записаны теперь как соотношения между матрицами. Например, равенства (6.3.12) и (6.3.33) означают, что [c.49]

Смысл перехода к смешанному представлению для гриновских функций состоит в том, что г и играют роль медленных переменных. С другой стороны, р и — [c.51]

Отметим, что в равновесном состоянии гриновские функции и элементы массового оператора зависят от р и Е, но не зависят от г и [c.51]

Ключевым моментом в методе функций Грина является то, что одночастичная функция G(l,l ) удовлетворяет уравнению Дайсона на контуре Келдыша-Швингера С. В большинстве практических приложений вопрос о существовании уравнения Дайсона просто не рассматривается. Между тем, это совсем не тривиальный факт. Дело в том, что мы можем записать уравнения движения для G(l,l ) в форме уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30) только тогда, когда на контуре С существует единственная обратная функция G (l,l ). В диаграммной технике [19, 54, 55] вывод уравнения Дайсона основан на теореме Вика, с помощью которой каждый член ряда теории возмущений для G(l, 1 ) выражается через произведение свободных гриновских функций. [c.58]

Соотношение (6.3.100) подсказывает один из возможных способов усовершенствовать метод гриновских функций так, чтобы естественным образом учесть корреляционные эффекты. Для этого нужно сформулировать подходящее граничное условие для статистического оператора (6.3.99) при —оо. Например, мы можем воспользоваться эргодическим условием (см. раздел 2.3.4 в первом томе) [c.60]

В соотношении (6.3.104) аргумент указывает на зависимость гриновских функций от статистического распределения в момент времени q. [c.60]

Фактически это выражение определяет смысл предельного перехода tQ —оо в статистических операторах типа (6.3.99). Таким образом, согласно соотношению (6.3.100), предельные значения временных гриновских функций даются формулой [c.61]

Несколько неожиданным является тот факт, что здесь момент времени Т может быть выбран произвольно. Отметим, однако, что сами по себе гриновские функции — вспомогательные величины, поэтому выбор момента Т зависит от того, какие физические величины вычисляются с их помощью. Допустим, например, что нас интересуют средние А- которые определяют наблюдаемые значения динамических переменных в [c.61]

Временная корреляционная функция в правой части может быть выражена через гриновские функции в квазиравновесном состоянии. Важным частным случаем формулы (6.3.109) является соотношение для одночастичной матрицы плотности [c.61]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Введем теперь матричные функции Грина операторов (6.4.9). Будем называть их смешанными функциями Грина так как они совпадают с временными функциями на контуре Келдыша-Швингера и с термодинамическими функциями на участке С . Одночастичная гриновская функция на контуре С определяется как [c.65]

Чтобы получить представление о структуре смешанной гриновской функции (6.4.12), выпишем ее компоненты [c.65]

Здесь G(l, 1 ) — уже знакомая нам временная гриновская функция (6.3.17). В последней строке стоит термодинамическая функция [c.66]

Чтобы получить уравнения движения для смешанной гриновской функции G(l, 1 ), подействуем на соотношение (6.4.12) слева и справа оператором Gg а затем воспользуемся уравнениями (6.4.29). В результате приходим к системе сопряженных друг другу уравнений [c.68]

Уравнения (6.4.36) и (6.4.37) имеют компактный вид, но на самом деле каждое из них — довольно сложная система связанных уравнений. Чтобы выяснить, какие новые черты вносят в теорию начальные корреляции, рассмотрим уравнения Дайсона для отдельных компонент смешанной гриновской функции G(l,l ). [c.69]

Интересно, что в уравнения для и не вошли функции и /С , которые учитывают вклад начальных корреляций. Это не означает, однако, что запаздывающая и опережающая гриновские функции вообще не зависят от состояния системы в момент времени Iq. Мы увидим дальше, что вклады от корреляций входят в массовые операторы и [c.70]

Напомним, что значения функций /С>(1,2) и (2,1 ) не зависят от того, какой из ветвей контура С соответствует временной аргумент 2 этих функций. Следовательно, согласно правилу интегрирования (6.3.20) вдоль контура Келдыша-Швингера, последний член в уравнении (6.4.47) равен нулю. Итак, мы видим, что термодинамическая компонента гриновской функции G(l,l ) удовлетворяет уравнению [c.71]

Нам осталось рассмотреть уравнения для перекрестных гриновских функций Q , которые учитывают влияние начальных корреляций на временную эволюцию. Полагая в уравнении Дайсона (6.4.36) I е С, V е получим [c.71]

И граничным условиям (6.4.18). С учетом очевидных свойств запаздывающей и опережающей гриновских функций (6.3.36) [c.72]

Интересно, что с помощью полученных выражений можно исключить перекрестные гриновские функции в уравнениях (6.4.46), поскольку величины Q как видно из [c.72]

В приближении Т-матрицы двухчастичная гриновская функция G(12,1 2 ) получается в результате суммирования лестничных диаграмм, описывающих взаимодействие двух частиц в среде во всех порядках теории возмущений [55], что приводит к уравнению [c.73]

Уравнение (6.4.63) можно решить итерациями и тем самым получить соотношение между двухчастичной гриновской функцией и Т-матрицей [c.73]

Па первый взгляд кажется, что из формулы (6.4.66) мы получим слишком громоздкие выражения для компонент двухчастичной гриновской функции, так как матрица Т(12,1 2 ) зависит от четырех аргументов, каждый из которых может лежать на любом из трех участков контура G (см. рис. 6.7). Вспомнив, однако, определение (6.4.33) амплитуды взаимодействия , легко убедиться с помощью уравнений (6.4.64) и (6.4.65), что компоненты Т (12,1 2 ) отличны от нуля только в том случае, когда аргументы 1 и [c.73]

Массовый оператор в приближении Т-матрицы. Подставляя двухчастичную гриновскую функцию (6.4.66) в формулы (6.4.38), получаем выражения для массового оператора на контуре С через Т-матрицу [c.76]

Отметим, что полученное выражение для /С позволяет, в принципе, найти из уравнений (6.4.48) и (6.4.74) термодинамическую гриновскую функцию Q. Нас, однако, больше интересуют формулы (6.4.91) - (6.4.93) для компонент массового оператора, непосредственно связанных с микроскопической динамикой. [c.77]

V 00. Предполагая также, что гриновская функция G(l,l ) и массовый оператор Е(1,1 ) диагональны по спиновым индексам, имеем [c.77]

Аналогичные соотношения справедливы также для остальных гриновских функций и для элементов массового оператора. В пространственно однородном состоянии одночастичная матрица плотности (6.3.2) диагональна, т. е. [c.77]

Входящие сюда перекрестные функции Qp t) можно исключить с помощью равенств (6.4.59), а для запаздывающей и опережающей гриновских функций нужны отдельные уравнения. Поскольку [gp t,t )] достаточно иметь уравнение [c.79]

При выводе последнего выражения мы учитьшали, что, после превращения с помощью формул типа (17.12) произведения трех парных средних в произведение трех функций Грина, сумма, членами которой являются произведения трех гриновских функций, образует вьфажение, симметричное относительно любой перестановки трех времен. Следовательно такую сумму можно вьшести перед тэта-функциями. Оставшаяся сумма шести произведений троек тэта-функций тождественно равняется единице. Это же правило работает и в тп-ом члене дт- В нем окажется (тп - 1) различньгс типов спариваний. Учитывая, что после симметричного интегрирования по всем временам все эти члены дадут одинаковый результат, приходим к следующему выражению для тп-го члена [c.245]

Как и в любой технике гриновских функций, одной из важных задач является вывод уравнения Дайсона для одночастичной временной функции Грина. Анализ уравнений движения показывает, однако, что ряды теории возмущений содержат все четыре функции (6.3.7) - (6.3.10) (см., например, [55]). Поэтому уравнение Дайсона, если оно существует, должно иметь матричную структуру. Элегантный подход к этой проблеме был намечен Швингером [152] и затем развит Келдышем [19]. Идея состоит в том, чтобы объединить функции (6.3.7) - (6.3.10) в одну матричную функцию Грина G(l,l ), определенную на контуре (7, который изображен на рис. 6.6. Этот контур идет вдоль оси времени от tQ до и возвращается в точку т. е. на второй ветви точка с меньшим значением времени расположена дальше от начала контура, чем точка с большим значением времени. Значение на контуре С берется таким, чтобы оно превышало значения всех временных аргументов в функциях Грина и корреляционных функциях ). Введем теперь упорядочение операторов вдоль контура Келдыша-Швингера. На ветви оно совпадает с хронологическим упорядочением а на ветви С — с антихронологическим упорядочением Т . Иными словами, при Т -упорядочении операторы с временными аргументами, лежащими на ветви (7 , всегда располагаются слева от операторов с аргументами на ветви С . [c.44]

В случае статистики Бозе это — коммутаторные гриновские функции, а в случае статистики Ферми — антикоммутаторные функции. [c.48]

Символ ... ) q означает среднее значение, вычисленное с квазиравновесным статистическим оператором в момент времени Поскольку 5-частичные гриновские функции (6.3.19) есть линейные комбинации средних произведений гайзенберговских операторов поля частиц, мы получаем для них граничное условие [c.60]

Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что при таком выборе квазирав-новесного распределения граничное условие полного ослабления корреляций (6.3.96), которое, как мы отмечали, лежит в основе стандартного метода функций Грина, следует из (6.3.104). Таким образом, выбирая более общие квазиравновесные распределения, учитывающие корреляции в системе, можно сформулировать новые граничные условия для гриновских функций. [c.61]

В предыдущем разделе мы встретились с новыми величинами — квазиравновес-ными временными гриновскими функциями G . Эти функции входят, например, в граничное условие (6.3.108) и в выражение (6.3.110) для одночастичной матрицы плотности. Мы рассмотрим теперь задачу, в которой функции используются для вывода квантовых кинетических уравнений. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...