Метод неравновесного статистического оператора

Заметим, что для расчетов реакции системы на термические возмущения применяется также целый ряд других методов, основанных на кинетических уравнениях (см. гл. VII), на теории брауновского движения и марковских процессов (см. гл. V), метод неравновесного статистического оператора ) и др. [c.182]

За последние двадцать лет метод неравновесного статистического оператора с успехом применялся ко многим проблемам кинетической теории, гидродинамики, физики твердого тела, химической физики и т. д. Кроме того, стали яснее основы этого метода и его связь с другими подходами. Таким образом, в настоящее время стало возможным дать систематическое изложение теории неравновесных процессов, основанное на методе статистических ансамблей. В этой книге предпринята попытка такого изложения на уровне, доступном для студентов, прослушавших стандартные курсы квантовой механики и равновесной статистической механики. [c.10]

Метод неравновесного статистического оператора [c.103]

Метод построения квантовых и классических неравновесных ансамблей на основе запаздывающих решений уравнений Лиувилля (2.3.11) и (2.3.69), известен как метод неравновесного статистического оператора. В отношении классических систем было бы более естественно говорить о методе неравновесной функции распределения , но и в этом случае мы предпочитаем употреблять название, которое уже давно используется в литературе. В зависимости от выбора базисных переменных, метод неравновесного [c.118]

В современной теории неравновесных процессов применяются различные методы, которые, на первый взгляд, имеют мало общего друг с другом. Если, однако, мы выделим методы, основанные на первых принципах статистической механики, то окажется, что их идеи весьма близки. Во всех этих методах, так или иначе, используется сокращенное описание неравновесных состояний и строятся соответствующие решения уравнения Лиувилля. Поучительно сравнить теперь метод неравновесного статистического оператора, изложенный в предыдущем параграфе, с некоторыми другими подходами к построению неравновесных распределений ). [c.124]

Обобщенные уравнения переноса (2.4.33) аналогичны уравнениям (2.3.45). Единственное различие между ними состоит в выборе пределов интегрирования по времени ). В этом, конечно, нет ничего удивительного, так как в методе Робертсона используется специальное начальное условие для неравновесного распределения, а в методе неравновесного статистического оператора — граничное условие в отдаленном прошлом, которое устраняет нефизическую зависимость от начального состояния системы. [c.130]

Мы рассмотрели только некоторые из имеющихся в литературе методов построения неравновесных распределений. Тем не менее, даже такой неполный анализ показывает, что с принципиальной точки зрения любой метод основан на сокращенном описании неравновесных состояний и представляет собой некоторый формализм для нахождения запаздывающих решений уравнения Лиувилля, описывающих необратимую эволюцию системы на выбранной шкале времени. В методе неравновесного статистического оператора, изложенном в параграфе 2.3, переход к сокращенному описанию и отбор запаздывающего решения уравнения Лиувилля осуществляются в компактной форме, причем ясно видна связь метода с общефизическим принципом спонтанного нарушения симметрии. В неравновесной статистической механике — это симметрия относительно обращения времени. В других подходах фактически реализуется та же самая [c.133]

Применение метода неравновесного статистического оператора к конкретным процессам сводится к исследованию обобщенных уравнений переноса. В частности, необходимо вычислить корреляционные функции, которые определяют значения кинетических коэффициентов в этих уравнениях. Кроме того, в каждом случае нужно обосновать выбор наблюдаемых, достаточных для описания процесса. [c.134]

Задача состоит в том, чтобы вывести уравнение, описывающее релаксацию среднего импульса примеси (Р) Чтобы применить метод неравновесного статистического оператора, нам нужно выбрать базисные динамические переменные Рт- Из сказанного выше ясно, что такими переменными являются гамильтониан системы Я и импульс примеси Р. Так как изменениями температуры мы пренебрегаем, то квазиравновесное распределение (2.1.20) в данном случае запишется в виде [c.135]

До сих пор мы учитывали лишь баланс частиц в химической реакции. Если обмен энергией между компонентами протекает медленно, то следует включить и уравнение баланса энергии. Интересный пример такого рода — процессы ионизации в плазме — рассмотрен методом неравновесного статистического оператора в работе [159]. Так как отношение массы электрона к массе иона мало, обмен энергией между подсистемами затруднен. Поэтому в квазиравновесном состоянии электронам и ионам следует приписать различные температуры. [c.149]

Хорошо известно, что простейшими моделями в равновесной статистической механики ЯВЛЯЮТСЯ системы с малой плотностью или со слабым взаимодействием, так как изучение каждой из них можно начинать с очень простого нулевого приближения — системы свободных частиц. Аналогичная ситуация имеет место и в теории неравновесных процессов. Как отмечено в разделе 2.1.1, для разреженного газа и для систем со слабым взаимодействием можно ввести кинетическую шкалу времени или, как ее иногда называют, кинетическую стадию эволюции. На этой стадии все многочастичные функции распределения полностью определяются одночастичной функцией распределения. При этом основная задача состоит в том, чтобы получить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения. В настоящей главе мы применим метод неравновесного статистического оператора к выводу кинетических уравнений для классических систем и рассмотрим несколько типичных примеров. [c.163]

В параграфе 2.1 уже обсуждалось лежащее в основе кинетического описания системы предположение о том, что неравновесное состояние может быть задано одночастичной функцией распределения fi x t) = /i(r,p, t). Тогда, согласно методу неравновесного статистического оператора, Д/ -частичная функция распределения д х , t) =. .., Ждг, ) должна выражаться в виде функционала от fi x,t). В соответствии с подходом, развитым в параграфе 2.3, первым этапом должно быть построение квази-равновесной Д/ -частичной функции распределения Qq x соответствующей максимуму информационной энтропии при заданной fi x,t). Это распределение уже было получено нами в разделе 2.2.2 в виде (2.2.32). Истинная неравновесная Д/ -частичная функция распределения д х t) = (ж ,..., Ждг, ) находится как решение уравнения Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени [c.164]

Следуя методу неравновесного статистического оператора, начнем с граничного условия для Д/ -частичной функции распределения д х которое определяется соответствующим квазиравновесным распределением Qq x ,t). Последнее находится из условия максимума информационной энтропии при заданных неравновесных значениях наблюдаемых величин. В нашем случае такими величинами являются одночастичная функция распределения и среднее значение плотности энергии Н г))К Предполагая, что система описывается гамильтонианом (3.1.1), имеем [c.208]

В ЭТОЙ главе мы применим метод неравновесного статистического оператора к кинетическим процессам в квантовых системах. Обычно процессы такого рода описываются кинетическим уравнением для одночастичной матрицы плотности = a],ai)K [c.248]

Аналогичная ситуация возникает в теории сверхпроводимости и в некоторых задачах квантовой теории магнетизма. Одночастичной матрицы плотности недостаточно и для описания кинетических процессов в газах, где идут химические реакции [104,105] или могут возникать связанные состояния частиц. Кинетика таких систем очень интересна, но в рамках одной главы мы, к сожалению, не сможем дать даже ее беглого обзора. Поскольку наша цель состоит с том, чтобы показать, как применяется метод неравновесного статистического оператора в квантовой кинетической теории, мы ограничимся лишь теми случаями, когда неравновесное состояние описывается одночастичной матрицей плотности. [c.248]

В этой главе мы построим микроскопическую теорию линейной реакции, исходя из основных принципов статистической механики и применяя метод неравновесного статистического оператора, изложенный в главе 2. В отличие от кинетической теории, этот метод пригоден, в принципе, для произвольных классических и квантовых систем. Кроме того, он позволяет изучать реакцию системы на механические и термические возмущения с единой точки зрения. [c.338]

Итак, при вычислении линейного отклика на переменное внешнее возмущение теория Кубо полностью эквивалентна методу неравновесного статистического оператора. [c.352]

В этой главе мы обсудим проблему термодинамических и динамических корреляций с точки зрения связи между методом функций Грина и методом неравновесного статистического оператора ). Оба подхода весьма часто используются в теории неравновесных процессов и, как следует из сказанного выше, их объединение кажется совершенно естественным. Мы увидим, однако, что это далеко не тривиальная задача, поэтому ряд разделов настоящей главы можно рассматривать лишь как первые шаги на пути к ее решению. [c.9]

Этот аспект кинетической теории обсуждался в разделах 3.3.4 и 4.3.3 в рамках метода неравновесного статистического оператора. [c.9]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Для того, чтобы воспользоваться методом неравновесного статистического оператора, предположим, что в отдаленном прошлом подсистема S и термостат были статистически независимы. Тогда исходное уравнение Лиувилля можно записать как [c.117]

В ЭТОЙ главе метод неравновесного статистического оператора применяется к теории гидродинамических процессов. Основное внимание мы уделим построению статистических распределений, соответствующих гидродинамической стадии эволюции, и выводу уравнений переноса на основе микроскопического подхода ). [c.158]

Начнем с некоторых общих свойств гидродинамических процессов и их описания методом неравновесного статистического оператора. Для определенности мы ограничимся классическим случаем, хотя дальнейшие рассуждения легко обобщить и на квантовые системы. [c.158]

Более того, если случайные потоки даются выражениями (9.2.31), то в непрерывном пределе уравнение (9.2.36) переходит в функциональное уравнение Фоккера-Планка (9.1.66), полученное методом неравновесного статистического оператора из уравнения Лиувилля ). Это очень важный момент, так как возможность различных интерпретаций уравнений (9.2.34) вызвала в свое время возражения против метода Ланжевена в теории нелинейных гидродинамических флуктуаций [67-69]. Частично эти возражения были сняты в работах [45, 166]. Полное доказательство эквивалентности интерпретаций стохастических уравнений для нелинейных гидродинамических флуктуаций было дано в [132]. [c.241]

Подстановка выражения (9.4.87) в (9.4.80) приводит к формально замкнутым уравнениям для средней скорости и корреляций Эти уравнения аналогичны обобщенным уравнениям переноса, которые выводились ранее методом неравновесного статистического оператора из уравнения Лиувилля, поэтому в общем случае они сильно нелинейны и содержат эффекты памяти. Тем не менее, вполне возможно, что более детальное изучение нормальных решений уравнения Фоккера-Планка — один из путей построения последовательной статистической теории турбулентности. Надеемся, что читатель, дочитавший до конца книгу, достаточно подготовлен к тому, чтобы принять участие в решении этой важной и увлекательной проблемы. [c.270]

В методе неравновесного статистического оператора роль этих параметров обычно играют множители Лагранжа, сопряженные средним значениям РтУ - [c.281]

Ясно, что кинетическая теория, основанная на релятивистском (классическом или квантовом) уравнении Больцмана, непригодна для описания неравновесных процессов в произвольных квантово-полевых системах, поэтому естественно обратиться к более общим методам статистических ансамблей и попытаться вывести уравнения переноса для таких систем, исходя из релятивистского уравнения Лиувилля. На этом пути уже достигнут определенный прогресс. Метод неравновесного статистического оператора, изложенный в настоящей книге, применялся в некоторых задачах [13-15, 34, 88]). От- [c.282]

Столь высокие достижения в лазерном охлаждении газов не могли не стимулировать разработки в области лазерного охлаждения твёрдых тел. После первого твердотельного эксперимента [6], в котором удалось получить понижение температуры образца всего лишь на 0,3°, начался интенсивный поиск путей повышения эффективности лазерного охлаждения. Так, начиная с 1996 года С.Н. Андриановым и одним из авторов данной книги было дано адекватное теоретическое описание эксперимента [6] и ряда последующих экспериментов в рамках метода неравновесного статистического оператора и сделан прогноз возможности лазерного охлаждения молекулярных и примесных кри- [c.11]

Как уже отмечалось, квантовые кинетические уравнения можно вывести из цепочки уравнений для 5-частичных матриц плотности, которые аналогичны 5-частичным функциям распределения в классических системах. Здесь мы займемся построением этой цепочки уравнений, исходя из квантового уравнения Лиувилля для неравновесного статистического оператора. Мы также приведем примеры, иллюстрирующие возможности метода группового разложения в квантовой кинетической теории. [c.266]

Исторически теория информации заимствовала многие понятия из статистической механики. Среди прочих, к ним относится понятие информационной энтропии, введенное Шенноном [151]. Однако теперь, когда теория информации представляет собой хорошо разработанную теорию, можно, следуя Джейнсу [98, 99], принять ее положения за исходные и применить их к статистической механике. В частности, мы увидим, что все равновесные распределения Гиббса могут быть выведены из условия максимума информационной энтропии при соответствующих ограничениях, наложенных на статистический ансамбль. Отметим, однако, что подход, основанный на теории информации, не следует рассматривать как строгое обоснование статистической механики ). Но во всяком случае, он предоставляет собой очень удобный эвристический метод построения функций распределения и статистических операторов. Этот метод оказывается особенно полезным в неравновесной статистической механике. [c.49]

Диаграммный метод Б а леску в комбинации с методом неравновесного статистического оператора см. в работе Д. Н. Зубарева и М. Ю. Новикова [ТМФ, 18, 78 (1974)]. Другая диаграммная техника для неравновесных процессов была предложена О. В. Константиновым и В. И. Перелем [ЖЭТФ, 39, 197 (I960)] и Л. В. Келдышем [ЖЭТФ, 47, 1515 (1964)].— Прим. ред. [c.267]

Сегодня имеется обширная литература, в которой излагаются конкретные вопросы теории неравновесных процессов. Однако, в отличие от равновесной статистической механики, основанной на универсальном методе ансамблей Гиббса, существует большое число различных подходов к неравновесным системам. Поскольку детали микроскопических взаимодействий тесно связаны с неравновесными свойствами многочастичных систем, может показаться, что общий статистический подход к необратимым процессам вообще невозможен. Как следствие такой точки зрения, во многих недавно изданных книгах отсутствует изложение неравновесной статистической механики как таковой. Вместо этого проводится мысль, что различные явления требуют различных подходов. Тем не менее, фундаментальная идея статистических ансамблей Гиббса применима и к неравновесных системам, так что задача состоит в том, чтобы использовать эту идею в форме, пригодной для описания различных неравновесных процессов, в рамках единого метода. Такой метод, известный теперь как метод неравновесного статистического оператора был развит Д.Н. Зубаревым и изложен в его книге Неравновесная статистическая термодинамика , которая появилась на русском языке в 1971 году, а затем была переиздана в США (1974 г.) и в Германии (1976 г.). Позже краткое введение в метод было дано в книге Г. Рёпке Неравновесная статистическая механика (на немецком языке книга вышла в 1987 году и на русском — в 1990 году). [c.10]

Мы видим, что фактически метод Цванцига является частным случаем метода неравновесного статистического оператора, когда роль квазиравновесного распределения, определяющего граничное условие к уравнению Лиувилля, играет Qq t) = Vg t). В следующем параграфе мы дадим примеры, иллюстрирующие применение основного кинетического уравнения (2.4.18) в конкретных задачах. Более подробное обсуждение основных кинетических уравнений мы отложим до главы 7 второго тома. [c.127]

Метод проектирования Робертсона. По существу, основная идея метода Робертсона [139, 140] близка к идее метода неравновесного статистического оператора. Неравновесное состояние системы описывается средними значениями некоторых базисных динамических переменных и вводится соответствующее квазиравновесное распределение (2.3.3), в котором параметры F t) определяются из условий самосогласования (2.3.4). Вместо граничного условия в отдаленном прошлом, Робертсон, как и Цванциг, использует начальное условие для неравновесного распределения. Предполагается, что в некоторый момент времени истинное неравновесное распределение g t) совпадает с квазиравновесным, т. е. [c.127]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Папомним, что в главе 4 первого тома методом неравновесного статистического оператора квантовое кинетическое уравнение выводилось для одночастичной функции Вигнера [c.51]

В динамической теории флуктуаций уравнение (9.1.35) принято называть обобщенным уравнением Фоккера-Планка так как по структуре оно напоминает уравнение Фоккера-Планка, которое широко используется в теории броуновского движения и во многих других физических задачах [146]. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка в форме (9.1.35) было выведено Цванцигом [175] с помощью разработанного им метода проектирования ). Аналогичное уравнение для квантовых систем получено методом неравновесного статистического оператора в работе [28]. [c.223]

Хорошо известно, какую важную роль в развитии статистической физики равновесных систем сыграл метод ансамблей Гиббса. До недавнего времени было широко распространено мнение, что теория неравновесных процессов не может иметь единого универсального метода, применимого к любой системе, подобного методу Гиббса, и допускает точную постановку задачи лишь в предельных случаях, для которых возможно построение кинетического уравнения. Однако уже в 1951 году Кэллен и Велтон в работе по теории флуктуаций [51] писали Мы думаем, что установленная связь между равновесными флуктуациями и необратимостью открывает путь к построению общей теории необратимости, использующей методы статистических ансамблей . В настоящей книге мы попытались подвести итоги, которые достигнуты на этом пути. Большая часть книги посвящена единому подходу к теории неравновесных процессов в различных физических системах, который получил название метода неравновесного статистического оператора ). Рассмотрен также ряд примеров, иллюстрирующих применение метода к конкретным задачам. [c.280]

Методом неравновесного статистического оператора уравнения типа Грэда получены в работе [35]. [c.280]

Недавно был предложен новый общий подход к теории неравновесных процессов [17, 41, 156], основанный на так называемой термополевой динамике квантовых систем (см., например, [163, 164]). Как показано в работе [17], метод термополевой динамики близок к методу неравновесного статистического оператора и приводит, по существу, к тем же результатам. Тем не менее, эта новая формулировка неравновесной статистической механики может оказаться полезной для изучения процессов переноса в квантово-полевых системах и требует дальнейшей разработки. [c.283]

Для общего случая конденсированной среды и без приближения систем со слабым взаимодействием в книге Д. Н. Зубарева [97] показана возможность описания гидродинамической стадии с помощью некоторой неравновесной функции распределения (т.н. неравновесным статистическим оператором), зависящей от времени через свои параметры. Метод неравновесного статистического оператора Зубарева затем развивался в работах С. В. Пелетминского (см. книгу [99]). Если соответствующим образом выбрать параметры, описывающие состояние системы, то можно построить уравнения для динамических переменных, которые будут справедливыми и на кинетическом этапе эволюции [100, 101. [c.65]

Выводы. Мы видели, что основное кинетическое уравнение Паули (2.3) имеет силу лишь в довольно специфических случаях. С другой стороны, кинетическое уравнение Цванцига (2.11) имеет очень общий характер, но оно настолько сложное, что необходимо вводить некоторые приближения для его практического использования. Метод неравновесного статистического оператора также обладает общим характером и ограничен лишь операторами, для которых справедливы соотношения (2.15), а для получения кинетических уравнений типа (2.22) на неравновесные средние динамических переменных, с точностью до высших порядков теории возмущений (по меньшей мере, начиная с третьего), этот метод требует проведения весьма сложных математических выкладок. Для балансных уравнений типа (2.23) в частном случае (отсутствие внешнего излучения накачки и неоптических переходов) показано [170, 171], что они вытекают из основных уравнений квантовой оптики, однако в общем случае не следуют из уравнений квантовой электродинамики. Их можно получить лишь используя специальные предположения, которыми и ограничивается область их применимости. [c.68]

Методы получения основного кинетического уравнения, использующие ПХФ, были развиты в наиболее полной форме Пригожиным и его школой [7, 12]. Изящный метод проекционного оператора был предложен Цванцигом [103]. В работах Зубарева [1, 104, 105] был предложен метод неравновесного статистического оператора, позволяющий, в частности, в трудных слз чаях определить вид необходимого проекционного оператора. [c.121]

На первом этапе задача состоит в том, чтобы построить неравновесный статистический оператор, описывающий состояние системы. Как обычно, начнем с квазирав-новесного распределения. Пусть Рт набор базисных динамических переменных, включающий в себя операторы наблюдаемых потоков и, возможно, некоторые дополнительные переменные. Эти дополнительные переменные могут потребоваться, например, при вычислении коэффициентов переноса с помощью вариационного метода ). К вопросу о выборе базисных переменных Рт мы вернемся позже, а пока лишь предположим, что их средние значения равны нулю в тепловом равновесии и что они ортого- [c.406]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...